Universidade de Coimbra Mestrado Integrado em Engenharia do Ambiente. Análise Matemática III

Transcrição

1 Universidade de Coimbra Mestrado Integrado em Engenharia do Ambiente Análise Matemática III Armando Gonçalves 2/2

2 Conteúdo Cálculo integral em R 2 e R 3.. Integrais duplos.definição Propriedades do integral duplo Interpretação geométrica do integral duplo Cálculo de integrais duplos Cálculo de áreas e volumes Áreas Volumes Mudança de variáveis em integrais duplos Caso particular das coordenadas polares Integrais triplos. Definição e propriedades Cálculo de integrais triplos Cálculo de volumes por integrais triplos Mudança de variáveis em integrais triplos Caso particular das coordenadas esféricas Caso particular das coordenadas cilíndricas Integrais curvilíneos sobre curvas planas Interpretação geométrica do integral curvilíneo, integrais relativamente às componentes cartesianas e parametrizações padrão Integrais curvilíneos sobre curvas de R Aplicações dos integrais curvilíneos Independência do caminho Teorema de Green Integrais de superfície Teorema de Stokes Teorema da divergência Equações diferenciais de ordem n Equações diferenciais ordinárias i

3 2.2 Equações diferenciais, ordinárias e lineares Equações lineares, homogéneas e de ordem n. Wronskiano Equação linear, completa e de ordem n. Método de Lagrange ou de variação das constantes arbitrárias Equação linear, homogénea, com coeficientes constantes e de ordem n Equação linear, completa, com coeficientes constantes e de ordem n. Método do polinómio anulador Equação linear, completa e de ordem n. Método de D Alembert ou de abaixamento de ordem Transformada de Laplace Resultados e definições Algumas propriedades Aplicação da transformada de Laplace à resolução de equações diferenciais, lineares e com coeficientes constantes Sistemas de equações diferenciais lineares e com coeficientes constantes Resolução usando a transformada de Laplace Sistemas homogéneos - resolução usando o Método da Álgebra Linear Os valores próprios de A são reais e distintos Valores próprios complexos de A Valores próprios reais e de multiplicidade algébrica m >, de A Conclusões Sistemas completos - resolução usando o Método da Álgebra Linear Aplicações do Método da Álgebra Linear ii

4 Cálculo integral em R 2 e R 3.. Integrais duplos.definição. Definição. Sejam a e b números reais, com a < b. Sejam ainda f e f 2 funções contínuas em [a, b] e tais que, para qualquer x [a, b], f (x) f 2 (x). Chama-se região de tipo I à parte R do plano definida por R := {(x, y) : a x b z [a, b] : f (z) y f 2 (z)}. A figura que se segue é um exemplo gráfico de uma região de tipo I De modo análogo se define uma região de tipo II. Definição.2 Sejam c e d números reais, com c < d. g 2 (y). Sejam ainda g e g 2 funções contínuas em [c, d] e tais que, para qualquer y [c, d], g (y)

5 Chama-se região de tipo II à parte R 2 do plano definida por R 2 := {(x, y) : c y d z [c, d] : g (z) x g 2 (z)}. A figura que se segue é um exemplo gráfico de uma região de tipo II Definição.3 Um subconjunto A de R 2 é conexo se quaisquer dois pontos de A podem ser unidos por uma linha poligonal contida em A. Exemplo.4 Exemplos de conexos: um círculo e uma coroa circular Exemplo de um conjunto não conexo: a união de dois círculos que não tenham pontos comuns (disjuntos). Definição.5 Uma região de R 2 é um qualquer conjunto conexo de R 2. Definição.6 Uma região de R 2 é fechada se contem todos os seus pontos fronteiros. Definição.7 Uma região é limitada se existe um círculo que a contenha. 2

6 Teorema.8 Uma região R de R 2, fechada e limitada, pode ser decomposta num número finito de regiões de tipo I e/ou de tipo II. Seja R uma região fechada e limitada de R 2 e W uma região rectangular que contenha R. Dividindo W por meio de rectas horizontais e verticais, obtem-se uma partição interior de R: é o conjunto P de todos os rectângulos assim obtidos e totalmente contidos em R. Graficamente a situação é ilustrada na figura que se segue. Definição.9 Seja P := {P,, P n } uma partição de R. Designa-se por norma da partição P, e nota-se por P, o comprimento da maior diagonal dos rectângulos de P. A área de P i (i =,, n) será notada por A i. Definição. Seja f uma função definida numa região R de R 2. Sejam ainda P := {P,, P n } uma partição interior de R e (u i, v i ) elementos de P i (i =,, n). 3

7 Chama-se soma de Riemann de f, para P, ao valor n (f(u i, v i ) A i ). i= Definição. Seja f uma função real de duas variáveis, definida numa região R. Diz-se que lim P (f(u i, v i ) A i ) := L R i se, para qualquer ϵ >, existe δ > tal que para toda a partição interior P := {P,, P n }, de R, se verifica com (u i, v i ) P i, i =,, n. P < δ = (f(u i, v i ) A i ) L < ϵ, i Definição.2 Seja f uma função real de duas variáveis, definida numa região R de R 2. Chama-se integral duplo (à Riemann) de f sobre R, e nota-se f(x, y) da, ao limite (caso exista) lim P R (f(u i, v i ) A i ). Caso o limite exista, f diz-se integrável, à Riemann, em R. i.2 Propriedades do integral duplo. Sem demonstração, indicam-se algumas propriedades do integral duplo. Em todas elas, supõe-se que os integrais envolvidos, existem.. Se f é contínua numa região R de R 2, então f é integrável à Riemann, em R. 2. Se R é uma união disjunta de duas regiões, R e R 2, isto é, se R = R R 2 e R R 2 =, então f(x, y) da = R f(x, y) da + R f(x, y) da. R 2 3. Se c é uma constante real e R é uma região de R 2, então c f(x, y) da, = c f(x, y) da. R R 4

8 4. R (f(x, y) + g(x, y)) da = R f(x, y)da + R g(x, y)da. 5. Se para qualquer (x, y) R, f(x, y), então R f(x, y)da..3 Interpretação geométrica do integral duplo. Se f é contínua na região R e, para qualquer (x, y) R, f(x, y), então R f(x, y)da representa o volume do sólido de base R e superiormente limitado pelo gráfico de f..4 Cálculo de integrais duplos. Os integrais duplos não se calculam, habitualmente, pela definição. Como calcular, na prática, esses integrais? Seja R uma região de tipo I definida por R := {(x, y) : a x b; (z [a, b] : f (z) y f 2 (z))}, com f e f 2 funções contínuas em [a, b]. Seja ainda R 2 uma região de tipo II definida por R 2 := {(x, y) : c y d; (z [a, b] : g (z) x g 2 (z))}, com g e g 2 funções contínuas em [c, d]. Se f é contínua em R e R 2, então pode-se enunciar, sem demonstração, o Teorema Fundamental do Cálculo: Teorema.3 f(x, y)da = R f(x, y)da = R 2 b a d ( ) f2 (x) f(x, y)dy dx f (x) ( ) g2 (y) f(x, y)dx dy. c g (y) Exemplo.4 Cálculo de R x 3 + y da, com R a região do plano limitada inferiormente pelo gráfico da função definida por y = x 2 e superiormente por y = x. 5

9 Geometricamente, R é uma região de tipo I da forma Então, R x 3 + y da = = = x =. x 3 + y dy dx x (x 2 ) x 3 y + y2 2 x 2 dx x 4 + x2 2 x5 x4 2 dx Repare-se que R também podia ser encarada como região de tipo II e, nesse caso, R x 3 + y da = y y x 3 + y dx dy..5 Cálculo de áreas e volumes..5. Áreas Com as notações do parágrafo.4, seja R uma região de tipo I, definida por R := {(x, y) : a x b (z [a, b] : f (z) y f 2 (z))}, com f e f 2 funções contínuas em [a, b]. 6

10 Então, da = R = b a b a ( ) f2 (x) dy dx f (x) (f (x) f 2 (x)) dx. Logo, R da é o valor numérico da área de R. De modo análogo se prova que R 2 da é o valor numérico da área da região de tipo II, R 2. Exemplo.5 Determinação da área A(R) da região R, limitada pelas curvas de equações 2y = 6 x 2 e x = 2y 4. Geometricamente, R é da forma Então, A(R) = = 5 4 R da (8 x2 2 + x + 4 ) dx 2 = Volumes No parágrafo.3, foi feita a interpretação geométrica do integral duplo, como valor numérico de um determinado volume. 7

11 Exemplo.6 Determinação do volume do sólido Q, contido no primeiro octante, limitado pelos planos coordenados e pelas superfícies de equações z = x 2 +y 2 + (parabolóide) e x 2 +y 2 = 4 (cilindro). Geometricamente, Relativamente às notações usadas em.3, R é, como se mostra na figura seguinte, a região limitada pelas partes positivas dos eixos coordenados e por um quarto de circunferência, de equação y = 4 x 2 8

12 e f(x, y) = x 2 + y 2 +. Então, o volume V (Q) do sólido Q, é dado por V (Q) = x 2 + y 2 + da R = = 2 4 x 2 2 x 2 + y 2 + dy dx ) (x 2 y + y3 4 x y dx. Este integral não é fácil de calcular. O presente exemplo será acabado no próximo parágrafo, já que o cálculo do volume é muito simples se for feita a mudança para coordenadas polares..6 Mudança de variáveis em integrais duplos Seja R uma região de XOY, fechada e limitada por uma curva (fechada) C. Seja ainda T uma aplicação biunívoca que transforma uma região D do plano UOV, em R, com D fechada e limitada por uma curva (fechada) K que é transformada, por T, em C. T é designada por transformação. 9

13 Teorema.7 Seja T uma transformação de D em R, com T definida por T (u, v) := (x(u, v), y(u, v)). Se x u,y u, x v e y v são contínuas em D, se, para qualquer (u, v) D, J T (u, v) := x u x v y u y v (u, v) e se f admite derivadas parciais contínuas numa região aberta contendo R, então Observações.8 f(x, y) da = R D f(x(u, v), y(u, v)) J T (u, v) da.. O primeiro integral é em x e y e o segundo em u e v. 2. J T (u, v) designa-se por jacobiano da transformação T..6. Caso particular das coordenadas polares As coordenadas polares r e θ estão relacionadas com as cartesianas x e y, por x = r cos θ. y = r sin θ Geometricamente, r é o comprimento do segmento de extremidades (, ) e (x, y), sendo θ o ângulo formado pela parte positiva do eixo das abcissas e pelo segmento atrás referido. Observações.9. r. 2. Para que a transformação T do plano r O θ sobre o plano XOY seja biunívoca é necessário que θ varie num intervalo semiaberto de amplitude 2π, por exemplo π θ < π. 3. Obviamente, r = x 2 + y 2 e, para x, θ = arctg y x. 4. Se se definir T por T (r, θ) = (x(r, θ), y(r, θ)) := (r cos θ, r sin θ), então J T (r, θ) = r.

14 O resultado seguinte é uma consequência imediata do teorema.7 e do ponto 4 das observações.9. Corolário.2 Se R está nas condições do teorema.7 e R f(x, y)da está definido, então, sendo D a região de r O θ correspondente a R, verifica-se f(x, y)da = f(r cos θ, r sin θ) rda. R Observação.2 O primeiro integral é em x e y, sendo o segundo em r e θ. D As regiões de tipo θ têm, para r e θ, um papel semelhante ao que era desempenhado, para x e y, pelas regiões de tipo I. Definição.22 Sendo a e b constantes reais (a < b) e F e G funções contínuas em [a, b], uma região de tipo θ é definida por a θ b e F (θ) r G(θ). Uma região de tipo θ é, geometricamente, da forma Sendo R uma região de tipo θ, nas condições da definição.22, então, b G(θ) f(x, y) da = f(r cos θ, r sin θ) r dr dθ. R a F (θ)

15 Se A(R) for a área de R, então, A(R) = b G(θ) a F (θ) Se F (θ) =, então, geometricamente, R é da forma r dr dθ Exemplos.23. Pode-se agora terminar o cálculo do volume do exemplo.6. Nesse caso, F (θ) =, G(θ) = 2, a = e b = π 2. 2

16 O volume V (Q) do sólido Q, é dado por V (Q) = R x 2 + y 2 + da = π 2 2 (r 2 + ) r drdθ = π 2 ( r r2 2 ) 2 dθ = 3π. Este cálculo é claramente mais fácil que aquele que era proposto no exemplo Determinação da área da região R, limitada pelas curvas de equações y =, y = x, x 2 + y 2 = 9 e x = 6 y 2. Geometricamente, R é a região de tipo θ, esboçada na figura seguinte

17 A área A(R) de R, é dada por A(R) = = π 4 π 4 = 7π ( r 2 2 r dr dθ ) 4 3 dθ Observação.24 Sendo a e b constantes reais (a < b) e F e G funções contínuas em [a, b], definiu-se uma região de tipo θ por a θ b e F (θ) r G(θ). Sendo c e d constantes reais (c < d) e H e I funções contínuas em [c, d], de modo análogo se pode definir região de tipo r pelas desigualdades c r d e H(r) θ I(r). Exemplo.25 A região correspondente ao segundo dos exemplos.23, é de tipo r (e, simultaneamente, de tipo θ)..7 Integrais triplos. Definição e propriedades. Começa-se este parágrafo com algumas definições, em R 3, análogas às que foram introduzidas, em., no caso de R 2. Definição.26 Um subconjunto R, de R 3, é conexo se quaisquer dois pontos de R podem ser unidos por uma poligonal, totalmente contida em R. Definição.27 Um subconjunto R, de R 3, é uma região se for conexo. Definição.28 Uma região R, de R 3, é fechada se contiver todos os seus pontos fronteiros. Definição.29 Uma região R, de R 3, é limitada se estiver contida em alguma esfera. Sejam R uma região fechada e limitada de R 3 e f uma função real definida em R. Seja W um paralelipípedo tal que R W. Divida-se W em paralelipípedos menores, resultantes de cortes feitos, em W, por planos paralelos aos planos coordenados. Seja P := {P,, P n } a família de todos os paralelipípedos assim gerados e contidos em R. P é uma partição interior de R. 4

18 Definição.3 Seja P := {P,, P n } uma partição interior da região R, de R 3. Designa-se por norma de P, notando-se por P, o comprimento da maior diagonal dos paralelipípedos P,, P n. O volume de P i (i =,, n), será notado por V i. Definição.3 Seja P := {P,, P n } uma partição interior da região R, de R 3. Sejam ainda (x i, y i, z i ) pontos de P i (i =,, n) e f uma função real definida em R. Chama-se soma de Riemann de f, para P, ao seguinte valor n (f(x i, y i, z i ) V i ). Definição.32 Seja f uma função real definida numa região R de R 3. Diz-se que lim P i= (f(x i, y i, z i ) V i ) := L R i se, para qualquer ϵ >, existe δ > tal que para toda a partição interior P := {P,, P n }, de R, se verifica com (x i, y i, z i ) P i (i =,, n). P < δ = (f(x i, y i, z i ) V i ) L < ϵ, Definição.33 Seja f uma função real, definida numa região R, de R 3. Chama-se integral triplo (à Riemann) de f sobre R, e nota-se f(x, y, z) dv, ao limite (caso exista) lim P i R (f(x i, y i, z i ) V i ). Caso o limite exista, f diz-se integrável, à Riemann, em R. Definição.34 Seja f uma função definida numa região R de R 3. Se f x, f y e f z são contínuas em R e satisfazem i (x, y, z) R 3, [f x (x, y, z)] 2 + [f y (x, y, z)] 2 + [f z (x, y, z)] 2 então a representação geométrica correspondente à igualdade f(x, y, z) =, forma uma superfície uniforme. 5

19 Teorema.35 Seja g uma função real e contínua numa região fechada e limitada R, de R 3. Se a fronteira de R é a união de um número finito de superfícies uniformes, então o integral g(x, y, z) dv existe. R.8 Cálculo de integrais triplos Seja R uma região fechada e limitada, de R 3. Seja ainda f uma função contínua em R e com valores em R. Se Q é uma região de tipo I, de R 2, definida por Q := {(x, y) : a x b g (x) y g 2 (x)} e se g e h são funções contínuas em Q, satisfazendo (x, y, z) R, g(x, y) z h(x, y), então, R f(x, y, z) dv = = b Q ( ) h(x,y) f(x, y, z) dz da g(x,y) ( ( g2 (x) ) ) h(x,y) f(x, y, z) dz dy dx. a g (x) g(x,y) De modo análogo se determinaria uma expressão para o integral triplo, se Q fosse de tipo II. Exemplo.36 Cálculo de R xyz dv, com R a região de R3 definida por R := {(x, y, z) : (x, y) Q x y z x + y} e Q a região de R 2 limitada pela scurvas de equações y + x =, y x = e x =. Os limites de integração em z são imediatos a partir da definição de R, sendo g(x, y) = x y e h(x, y). Geometricamente Q está esboçada na figura que se segue. 6

20 Então, R xyz dv = x x+y x x y xyz dz dy dx = 2 9. Observação.37 O papel das variáveis no integral triplo, pode ser permutado, isto é, se, por exemplo R := {(x, y, z) : (x, z) Q g(x, z) y h(x, z)} e Q := {(x, z) : a x b g (x) z g 2 (x)}, então f(x, y, z) dv = R Q ( h(x,z) g(x,z) ) f(x, y, z) dy )da = b g2 (x) h(x,z) a g (x) g(x,z) f(x, y, z) dy dz dx..9 Cálculo de volumes por integrais triplos Se R é uma região fechada e limitada, de R 3, então, o volume de V dado por V (R) = R dv. Observação.38 Compare-se a afirmação anterior com a interpretação geométrica, feita em.3, do integral duplo. Exemplo.39 Determinação do volume, V (R), de uma esfera R, de raio 3. 7

21 Seguem-se as representações geométricas de um oitavo de esfera, R, e da respectiva projecção, Q, sobre XOY

22 V (R) = 8 = 8 = 8 π 2 = 4π33 3 = 36π. R Q 3 dv 9 x 2 y 2 [z] da 9 r 2 r dr dθ. Mudança de variáveis em integrais triplos Considere-se o integral R f(x, y, z) dv, com R uma região fechada e limitada de R3 e seja D uma região fechada e limitada pela união de um número finito de superfícies uniformes. Definição.4 Uma função T com domínio D e contradomínio R, definida por T (u, v, w) := (x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w)), designa-se por transformação de D sobre R. O jacobiano, J T (u, v, w), de T, é J T (u, v, w) := x u x v x w y u y v y w z u z v z w (u,v,w). Teorema.4 Suponha-se que existe R f(x, y, z) dv. Usando as notações da definição anterior, seja T uma transformação de D sobre R, tal que x, y e z são funções definidas e com derivadas parciais contínuas, em D. Se J T (u, v, w) (excepto num número finito de pontos de D, mas mantendo sempre o mesmo sinal), então T transforma a região fechada e limitada D, numa região fechada e limitada R de talmodo que a cada ponto de D corresponde um e um só ponto de R. Além disso, T transforma a fronteira de D, na fronteira de R e R f(x, y, z) dv = D f(x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w)) J T (u, v, w) dv. 9

23 .. Caso particular das coordenadas esféricas. Um ponto P (x, y, z) de R 3 fica bem determinado pelas suas coordenadas esféricas (ρ, θ, ϕ), com ρ o comprimento do segmento OP que une a origem a P, θ o ângulo definido pelo semi-eixo positivo OX e pela projecção, sobre XOY, de OP e medido como nas coordenadas polares, e φ o menor dos ângulos definidos pelo semi-eixo positivo OZ e por OP e medido a partir de OZ. A figura seguinte ilustra as coordenadas esféricas, no caso do ponto (,, )

24 Observações.42. ρ. 2. θ varia num intervalo semiaberto, de amplitude 2π. Por exemplo, θ [ π, π[. 3. φ π. 4. As relações entre as coordenadas cartesianas e as esféricas são dadas por x = ρ cos θ sin φ y = ρ sin θ sin φ. z = ρ cos φ 5. O jacobiano da transformação de coordenadas cartesianas para esféricas toma o valor J T (ρ, θ, φ) = ρ 2 sin φ. 6. É fácil provar que ρ = x 2 + y 2 + z 2. O resultado seguinte é consequência do teorema.4. Teorema.43 Suponha-se que existe R f(x, y, z) dv, sendo R := {(ρ, θ, φ) : g (θ, φ) ρ g 2 (θ, φ) h (φ) θ h 2 (φ) a φ b}, com g, g 2, h e h 2 contínuas em domínios convenientes. Então, f(x, y, z) dv = R b a h2 (φ) h (φ) g2 (θ,φ) g (θ,φ) f(ρ cos θ sin φ, ρ sin θ sin φ, ρ cos φ) ρ 2 sin φ dρ dθ dφ. Observação.44 A região R do teorema anterior é do tipo 2

25 Exemplo.45 Determinação, usando coordenadas esféricas, do volume de uma esfera, R, de raio r. Geometricamente, a questão é semelhante à do exemplo.39. Tal como nesse exemplo, seja R um oitavo da esfera R. Então, V (R) = 8 V (R ) = 8 dv R π π 2 2 r = 8 = 4 3 πr3. ρ 2 sin φ dρ dθ dφ Observação.46 A mudança para coordenadas esféricas, entre outros casos, é aconselhável se a função a integrar envolver termos da forma x 2 + y 2 + z 2 e/ou a região de integração for limitada por superfícies esféricas, centradas na origem, ou por cones circulares, de vértice na origem e equação do tipo φ = a, com a constante. 22

26 ..2 Caso particular das coordenadas cilíndricas Seguindo as notações e a ilustração geométrica usadas para as coordenadas esféricas, seja P (x, y, z) um ponto de R 3. As correspondentes coordenadas cilíndricas serão (r, θ, z) com theta definido como nas esféricas e r o comprimento da projecção, sobre XOY, do segmento que une a origem a P. Observações.47. r. 2. θ varia num intervalo semiaberto, de amplitude 2π. Por exemplo, θ [ π, π[. 3. As relações entre as coordenadas cartesianas e as cilíndricas são dadas por x = r cos θ y = r sin θ, sendo z o mesmo nos dois sistemas de coordenadas. 4. O jacobiano da transformação de coordenadas cartesianas para cilíndricas toma o valor J T (r, θ, z) = r. 5. Evidentemente r = x 2 + y 2. O resultado seguinte é consequência do teorema.4. Teorema.48 Suponha-se que existe R f(x, y, z) dv, sendo R := {(r, θ, z) : g (r, θ) z g 2 (r, θ) h (θ) r h 2 (θ) a θ b}, com g, g 2, h e h 2 contínuas em domínios convenientes, [a, b] [ π, π[ e h (θ). Então, R f(x, y, z) dv = b a h2 (θ) h (θ) g2 (r,θ) g (r,θ) f(r cos θ, r sin θ, z) r dz dr dθ. 23

27 Observação.49 A região R do teorema anterior é do tipo Exemplo.5 Determinação do volume da parte de cilíndro R, limitada pelas superfícies de equações x 2 + y 2 = 4, z = 3 e z =. Seja R a região da figura

28 A projecção de R sobre XOY é da seguinte forma Logo, V (R) = 4 V (R ) = 4 dv R = 4 π 2 = 2 π. 2 3 r dz dr dθ Observação.5 A mudança para coordenadas cilíndricas, entre outros casos, é aconselhável se a função a integrar envolver termos da forma x 2 +y 2 e/ou a região de integração for cilíndrica circular de equação do tipo x 2 + y 2 = a 2, com a uma constante positiva.. Integrais curvilíneos sobre curvas planas x = g(t) Seja C uma curva plana definida por, com g e h definidas em [a, b]. y = h(t) Definição.52 Se g e h admitem derivadas contínuas em [a, b] que se não anulam, simultaneamente, em qualquer ponto, excepto, possivelmente, em a e b, então C é uma curva suave. Se [a, b] puder ser dividido em subintervalos nos quais C seja suave, C é parcialmente suave. 25

29 Seja f uma função contínua numa região D R 2 e C uma curva suave, em [a, b], tal que C D. Sejam ainda A e B definidos por A := (g(a), h(a)) e B := (g(b), h(b)). Observação.53 O sentido positivo, ao longo de C, é aquele que é definido pelos valores crescentes de t. Sejam t := a, t,, t n := b reais tais que [t, t ],, [t n, t n ] é uma partição de [a, b]. x i = g(t i ) Sendo e P i := (x i, y i ), i =,, n, os arcos P i P i, i =,, n constituem uma partição de y i = h(t i ) C. Definição.54 Sejam x i := x i x i, y i := y i y i e s i o comprimento de i =,, n. A norma da partição é o maior dos s i. P i P i, Definição.55 Nas condições da definição anterior, sejam Q i := (u i, v i ), i =,, n, pontos de P i P i. Defina-se a soma de Riemann n f(u i, v i ) s i. i= Definição.56 Se a soma de Riemann tiver limite (definido de modo análogo ao limite da definição.) quando, esse limite irá designar-se por integral curvilíneo de f, ao longo de C. Na bibliografia que é apresentada, poderá ser consultada a demonstração do resultado seguinte. Esse integral será notado por C f(x, y) ds := lim f(u i, v i ) s i. i Teorema.57 Seja f uma função contínua numa região D, de R 2, que contem a curva suave C. Então C f(x, y) ds existe e é independente da parametrização de C. 26

30 Além disso, C f(x, y) ds = b a f(g(t), h(t)) (g (t)) 2 + (h (t)) 2 dt. Observação.58 A definição de integral curvilíneo pode ser estendida ao caso das curvas parcialmente suaves, sendo o integral curvilíneo de f ao longo da curva parcialmente suave C, entendido como a soma dos integrais de f ao longo das curvas suaves em que C se decompõe. Exemplo.59 Cálculo de x = cos t C xy2 ds, com C definida por e t [, π 2 ]. y = sin t C é o quarto de circunferência de raio, centrada na origem, contida no primeiro quadrante e percorrida de (, ) para (, ). Então, C x y 2 ds = π 2 = 3. cos t sin 2 t cos 2 t + sin 2 t dt.2 Interpretação geométrica do integral curvilíneo, integrais relativamente às componentes cartesianas e parametrizações padrão Seja f uma função contínua e positiva numa região de suave C. C x y2 ds é o valor numérico da área da superfície cilíndrica de directriz C, geratrizes paralelas a OZ e compreendida entre C e f(c). Geometricamente, essa superfície é do tipo 27

31 Observações.6. O integral definido b a f(x) dx, pode ser encarado como um caso particular do integral curvilíneo, no qual a curva é parametrizada por x = t e y =, com a t b. 2. As propriedades dos integrais curvilíneos são, em muitos casos, semelhantes às dos integrais definidos. (a) Por exemplo, o integral curvilíneo de uma soma de funções é igual à soma dos integrais curvilíneos de cada uma das funções. (b) No entanto, CÂB f(x, y) ds = C BA f(x, y) ds. Observação.6 Se, na definição de integral curvilíneo, s i for substituído por x i := x i x i (ou por y i := y i y i ), obtêm-se os integrais curvilíneos C f(x, y) dx (ou C f(x, y) dy) que se designam por integrais curvilíneos de f, ao longo de C, em relação a x (ou a y). e Se C é definida parametricamente por x = g(t) e y = h(t) e a t b, então b f(x, y) dx = f(g(t), h(t))g (t) dt C C f(x, y) dy = a b a f(g(t), h(t))h (t) dt. Exemplo.62 Cálculo de C x y2 dx e C x y2 dy, com C definida por x = t e y = t 2, t 2. C C x y 2 dx = x y 2 dx = 2 2 t 5 dt = t 6 dt = Observação.63 Se C é dada na forma y = g(x), com x [a, b], pode-se parametrizar C na forma padrão x = t, y = g(t) e t [a, b]. Nesse caso, tem-se C C C f(x, y) ds = f(x, y) dx = f(x, y) dy = b a b a b a f(t, g(t)) + (g (t)) 2 dt f(t, g(t)) dt f(t, g(t)) g (t) dt. 28

32 Observação.64 Nas aplicações podem ocorrer situações nas quais se combinam os dois tipos de integrais em realção a x e y. Por exemplo M(x, y) dx + C C N(x, y) dy. A expressão anterior será notada por M(x, y) dx + N(x, y) dy..3 Integrais curvilíneos sobre curvas de R 3. C Seja C uma curva de R 3, definida por x = g(t), y = h(t), z = k(t), com t [a, b], g, h e k funções admitindo derivadas em [a, b] e que se não anulam simultaneamente em qualquer ponto desse intervalo. C é uma curva suave. Seja ainda f uma função contínua numa região D R 3, tal que C D. O integral curvilíneo de f, ao longo de C, é, como no caso das curvas planas, definido por f(x, y, z) ds := f(u i, v i, w i ) s i. C lim Este integral pode ser calculado pela fórmula b f(x, y, z) ds = f(g(t), h(t), k(t)) (g (t)) 2 + (h (t)) 2 + (k (t)) 2 dt. C Tal como no caso das curvas planas, poder-se-ia definir f(x, y, z) dx, f(x, y, z) dy e C ditos os integrais de f, ao longo de C, relativamente a x, y e z. Exemplo.65 Cálculo de C yz dx + xz dy + xy dz. C yz dx + xz dy + xy dz = 2 t5 + 2t 5 + 3t 5 dt = 64. a C i C f(x, y, z) dz,.4 Aplicações dos integrais curvilíneos.. Seja C uma curva suave. Então o valor numérico, C(C), do comprimento da curva C é dado por C(C) = ds. C 29

33 2. Seja C uma curva suave imersa num campo de forças. Suponha-se que, em cada ponto (x, y, z), as forças actuam segundo a função vectorial F, definida por F (x, y, z) := M(x, y, z)î + N(x, y, z)ĵ + P (x, y, z)ˆk, com M, N e P contínuas. O trabalho, W, realizado por F quando o seu ponto de aplicação se desloca ao longo de C, é dado por W := C M(x, y, z) dx + N(x, y, z) dy + P (x, y, z) dz..5 Independência do caminho Definição.66 Seja C uma curva parcialmente suave, unindo os pontos A e B. C é designada por caminho de A a B. Nesta fase, a intenção é determinar condições para que o integral curvilíneo seja independente do caminho, isto é, para quaisquer dois pontos A e B, a dependência seja unicamente de A e B. Nesse caso o integral será notado B A e não C. Teorema.67 Sejam M, N e P funções contínuas numa região aberta (e, portanto, conexa) D de R 3. Então B A M(x, y, z) dx + N(x, y, z) dy + P (x, y, z) dz é independente do caminho, em D, se e só se existe f tal que f x (x, y, z) = M(x, y, z), f f (x, y, z) = N(x, y, z) e (x, y, z) = P (x, y, z). y z Demonstração. Suponha-se o integral independente do caminho, de A a B, para quaisquer pontos A e B, de D. Fixe-se P := (x, y, z ), em D, e defina-se f do seguinte modo com (x, y, z) D. f(x, y, z) := (x,y,z) P M(x, y, z) dx + N(x, y, z) dy + P (x, y, z) dz, 3

34 Então f depende unicamente de (x, y, z) e não do caminho de P a (x, y, z). Considere-se um círculo centrado em (x, y, z) e contido em D (como pode garantir a existência de tal círculo?). Seja P := (x, y, z) um ponto desse círculo, distinto de (x, y, z). Sendo C um caminho de P a P e C 2 um segmento de recta a unir P a (x, y, z), tem-se f(x, y, z) = = M(x, y, z) dx + N(x, y, z) dy + P (x, y, z) dz + C M(x, y, z) dx + N(x, y, z) dy + P (x, y, z) dz C 2 P P M(x, y, z) dx + N(x, y, z) dy + P (x, y, z) dz + (x,y,z) P M(x, y, z) dx + N(x, y, z) dy + P (x, y, z) dz Logo, ( ) f (x,y,z) (x, y, z) = M(x, y, z) dx + N(x, y, z) dy + P (x, y, z) dz x x P ( ) = (x,y,z) M(x, y, z) dx x P = M(x, y, z). De forma análoga se provaria que f f (x, y, z) = N(x, y, z) e (x, y, z) = P (x, y, z). y z Reciprocamente, suponha-se que f x (x, y, z) = M(x, y, z) f y f (x, y, z) = N(x, y, z) (x, y, z) = P (x, y, z). z Sejam A := (x, y, z ) e B := (x 2, y 2, z 2 ) dois pontos arbitrários de D e C uma qualquer curva suave unindo esses dois pontos, definida parametricamente por x := g(t), y := h(t) e z := k(t), com t t t 2. 3

35 Então, C M(x, y, z) dx + N(x, y, z) dy + P (x, y, z) dz = = = f (x, y, z) dx + C x f f (x, y, z) dy + (x, y, z) dz y z t2 f t x (g(t), h(t), k(t)) g (t) + f y (g(t), h(t), k(t)) h (t) + f z (g(t), h(t), k(t)) k (t) dt t2 d f (g(t), h(t), k(t)) dt d t t = f(b) f(a). Logo, o integral depende unicamente dos pontos A e B e não da curva que os une. Observação.68 O teorema anterior tem a seguinte versão, no caso de R 2. Sejam M e N funções contínuas numa região aberta (e, portanto, conexa) D de R 2. Então, B A M(x, y) dx + N(x, y) dy é independente do caminho, em D, se e só se existe f tal que f f (x, y) = M(x, y) (x, y) = N(x, y). x y Exemplo.69 C (x + y) dx + (x + ey ) dy é independente do caminho. Para se provar este facto, determine-se uma função f, nas condições da observação anterior. Se existir tal função, então f (x, y) = x + y. x Logo, f(x, y) = x2 + yx + g(y), com g uma função de y. 2 Pode-se concluir, por um lado, que f y (x, y) = x + g (y), por outro, sabe-se que f (x, y) = y x + e y. Assim, g (y) = e y, o que permitir afirmar que f, definida por f(x, y) = x2 2 + yx + ey, é uma das funções que está nas condições da observação

36 O próximo resultado fornece condições necessárias para a independência do caminho, logo irá ser usado para provar que não há independência do caminho. Teorema.7 Se M, N e P têm derivadas parciais de primeira ordem contínuas numa região aberta (e conexa) D, de R 3 e se M(x, y, z) dx + N(x, y, z) dy + P (x, y, z) dz é independente do caminho, em D, então C M y = N x, M z = P x e N z = P y. Demonstração. Pelo teorema.67, existe f tal que Como f x (x, y, z) = M(x, y, z), f f (x, y, z) = N(x, y, z) e (x, y, z) = P (x, y, z). y z 2 f y x = M y e 2 f x y = N x então, pelo teorema de Schwarz, M y = N x. As outras duas igualdades provam-se de modo análogo. As condições do teorema anterior não são suficientes para a independência do caminho. No entanto, se D for simplesmente conexa, essas condições são suficientes. Definição.7 Uma região (conexa) D, de R 3, é simplesmente conexa se qualquer curva fechada C, contida em D, só contorna pontos de D. (Em linguagem corrente, D é simplesmente conexa se não tem buracos.) O próximo resultado será apresentado sem demonstração, podendo a mesma ser consultada em livros que constam da bibliografia que se indica neste texto de apoio às aulas teóricas de Análise Matemática IV. Teorema.72 Se M,N e P têm derivadas parciais de primeira ordem contínuas numa região simplesmente conexa D, de R 3, e se M y = N x, M z = P x e N z = P y 33

37 então, é independente do caminho, em D. C M(x, y, z) dx + N(x, y, z) dy + P (x, y, z) dz Observação.73 Os teoremas.7 e.72 podem ser enunciados para curvas planas e funções em duas variáveis. Nesse caso, não se consideram três igualdades mas sim unicamente uma: M y = N x. Exemplo.74 x 2 y dx + 3xy 2 dy não é independente do caminho, em R 2. C Tal é evidente a partir do teorema.7 e da observação anterior, já que (x 2 y) y (3xy2 ) x. Definição.75 Uma função vectorial F, definida por F (x, y, z) := M(x, y, z) î + N(x, y, z) ĵ + P (x, y, z) ˆk, é conservativa se existe f tal que f x (x, y, z) = M(x, y, z), f f (x, y, z) = N(x, y, z) e (x, y, z) = P (x, y, z). y z Notando C M(x, y, z) dx + N(x, y, z) dy + P (x, y, z) dz por C F d r, o resultado que se segue é uma consequência imediata do teorema.67. Corolário.76 Se F é uma função vectorial contínua e consevativa numa região D aberta (e conexa), de R 3, então C F d r =, sobre qualquer curva fechada C contida em D. Demonstração. Se F é conservativa, então C F d r é independente do caminho. Além disso, F tem por valor a diferença entre os valores de f (referida no teorema.67) no ponto final e no ponto inicial de C. Como C é fechada, C F d r =..6 Teorema de Green Seja C uma curva plana, definida parametricamente por x = g(t), y = h(t), a t b. Definição.77 C é simples se (g(t ), h(t )) (g(t 2 ), h(t 2 )), para quaisquer dois elementos distintos, t e t 2, de [a, b], com eventual excepção de t = a e t 2 = b. 34

38 Observação.78 Se C for fechada e simples, admite-se, obviamente, que (g(a), h(a)) = (g(b), h(b)). Observação.79 Quando C é uma curva fechada e é percorrida no sentido positivo, isto é contrário ao movimento dos ponteiros do relógio, nota-se C M(x, y) dx + N(x, y) dy por M(x, y) dx + N(x, y) dy. C Em alguns casos, para se indicar o sentido da curva, poderá ser usada uma seta sobre a circunferência deste novo símbolo de integral. Observação.8 Repare-se que, enquanto no caso da observação.6 o sentido não alterava o valor do integral e tinha-se CÂB f(x, y) ds = C BA f(x, y) ds, no caso dos integrais curvilíneos ditos vectoriais, o sentido é importante e tem-se CÂB isto é, se F (x, y) := M(x, y)î + N(x, y)ĵ, então F d r = F d r C BA M(x, y) dx + N(x, y) dy = M(x, y) dx + N(x, y) dy. CÂB C BA O próximo resultado designa-se por Teorema de Green. Teorema.8 Seja C uma curva fechada, simples e parcialmente suave, em R 2. Seja R a região de R 2 constituida por C e por todo o seu interior geométrico. Se M e N são funções (contínuas) com derivadas parciais de primeira ordem contínuas, numa região aberta que contem R, então I e II. ( N M(x, y) dx + N(x, y) dy = C R x M ) da. y Demonstração. Esta prova é feita só no caso em que a região R é simultaneamente de tipo Seja então R uma região de tipo I, definida por R := {(x, y) : a x b g (x) y g 2 (x)}. 35

39 Logo, M dx = C = = M dx + M dx C C 2 b a b = = M(x, g (x)) dx + a b g2 (x) a b M(x, g 2 (x)) dx M(x, g (x)) M(x, g 2 (x)) dx a R g (x) M y M y da. dy dx De modo análogo, usando agora o facto da região ser de tipo II, se provaria que N N(x, y) dy = C R x da. Exemplo.82 Cálculo de (e x2 + y) dx + (x 2 + tan y) dy, com C a fronteira do rectângulo, C R, de vértices (, 2), (5, 2), (5, 4) e (, 4). (e x2 + y) dx + (x 2 + tan y) dy = C = 5 4 = 4. 2x da R 2 2x dy dx Observação.83 Se R não for simplesmente conexa, ainda se pode aplicar o teorema de Green se o integral curvilíneo for sobre toda a fronteira de R e se houver o cuidado de percorrer essa fronteira, mantendo sempre R do lado esquerdo. Designe-se por C a curva interior, por C 2 a curva exterior e por R a região entre C e C 2, o que geometricamente tem a seguinte representação. 36

40 O teorema de Green não é aplicável a C. O teorema de Green não é aplicável a C 2. No entanto tem-se M(x, y) dx + N(x, y) dy + M(x, y) dx + N(x, y) dy = C C 2 R ( N x M ) da. y A demonstração é deixada como exercício. Exemplo.84 Se houver indepedência do caminho, em R, qual a relação, no caso da observação anterior, entre M(x, y) dx + N(x, y) dy e M(x, y) dx + N(x, y) dy? C C 2 Observação.85 Se R é uma região simplesmente conexa, cuja fronteira é a curva simples, fechada e parcialmente suave C, então a área, A(R), de R pode ser dada por diversas expressões. Pox exemplo, A(R) = da R = x dy C = y dx = C y dx + x dy. 2 C Observação.86 Como foi visto em Análise Matemática III, pode-se definir gradiente, rotacional e divergência da forma seguinte. Se f for uma função real de três variáveis reais, então o gradiente, grad f ou f, de f definido por f = grad f := f xî + f y ĵ + f z ˆk. 37

41 Se F é uma função vectorial definida por F (x, y, z) := M(x, y, z)î + N(x, y, z)ĵ + P (x, y, z)ˆk, então. o rotacional, rot F, de F é dado por ( rot F P := y N ) z î ĵ ˆk = x y z M N P 2. a divergência, div F, de F é dado por ( M î + ; z P x div F := M x + N y + P z. ) ( N ĵ + x M ) ˆk y Os dois resultados que se seguem, são consequências imediatas do teorema de Schwarz. Teorema.87 Se f é uma função real de três variáveis reais, com derivadas parciais de segunda ordem contínuas, então rot ( f) =. Teorema.88 Seja F uma função vectorial definida por F (x, y, z) := M(x, y, z)î + N(x, y, z)ĵ + P (x, y, z)ˆk, com M, N e P admitindo derivadas parciais de segunda ordem contínuas, então div(rot F ) =. Usando a noção de rotacional, é possível obter a seguinte reformulação do teorema de Green. Teorema.89 Seja F uma função vectorial definida, numa região R limitada por uma curva C, por F (x, y) := M(x, y)î + N(x, y) j. Sob a hipótese de se considerar verificadas as condições do teorema de Green, então ( F d r = rot F ˆk ) da. C R 38

42 Demonstração. Imediata, considerando tanto em rot F como no produto interno rot F ˆk, F (x, y) = M(x, y)î + N(x, y) j + ˆk..7 Integrais de superfície Definição.9 Se a projecção de uma superfície S, de R 3, sobre um dos planos coordenados é uma região de tipo I ou II, diz-se que S tem uma projecção regular sobre esse plano. Seja S o gráfico correspondente a z = f(x, y) e suponha-se que S tem uma projecção regular, R, sobre XOY. Suponha-se ainda que f tem derivadas parciais de primeira ordem contínuas, em R. Considere-se g uma função real contínua numa região contendo S. Sejam {R,, R m } uma partição de R e S i a porção de S correspondente a R i (i =,, m). Para cada (x i, y i, z i ) em S i, seja T i a parte do plano tangente a S, em (x i, y i, z i ), correspondente a R i. Designe-se a área de T i por T i, i =,, m. Definição.9 O intregral de superfície de g sobre S, é definido por g(x, y, z) ds := g(x i, y i, z i ) T i. Observações.92 S lim P. Se S é o gráfico correspondente a z = f(x, y), então prova-se (na bibliografia pode encontrarse a demonstração) que g(x, y, z) ds = S i g(x, y, f(x, y)) [f x (x, y)] 2 + [f y (x, y)] 2 + da. R 2. Se S é o gráfico correspondente a y = h(x, z), então prova-se que g(x, y, z) ds = g(x, h(x, z), z) [h x (x, z)] 2 + [h z (x, z)] 2 + da. S R 3. Se S é o gráfico correspondente a x = k(y, z), então prova-se que g(x, y, z) ds = g(k(y, z), y, z) [k y (y, z)] 2 + [k z (y, z)] 2 + da. S R 39

43 Seja S uma superfície, de R 3, que admite plano tangente em todos os pontos do seu interior geométrico. Quando se considera a recta normal a S num dado ponto, podem-se definir dois vectores unitários normais à superfície, simétricos e aplicados nesse ponto. Definição.93 S é orientável se, em cada ponto de S, for possível escolher um dos vectores unitários normais ˆn, de modo que ˆn varie de forma contínua em toda a superfície S. Seja S uma superfície definida por z = f(x, y). Se m(x, y, z) := z f(x, y), então S é o gráfico correspondente a m(x, y, z) =. Observação.94 Neste caso, m(x, y, z) é normal a S, em (x, y, z), acontecendo, obviamente, o mesmo com o vector simétrico. Supondo que f tem derivadas parciais de primeira ordem contínuas, obtem-se a orientação positiva de S se, para vector unitário normal, for escolhido o de terceira coordenada positiva, isto é, ˆn = m(x, y, z) m(x, y, z) = f x(x, y)î f y (x, y)ĵ + ˆk [fx (x, y)] 2 + [f y (x, y)] 2 +. Observação.95 Se S é uma superfície fechada, escolhe-se para orientação positiva a que é dada pelo vector unitário normal que aponta para o exterior. Definição.96 Seja F uma função vectorial definida numa superfície S por F (x, y, z) := M(x, y, z)î + N(x, y, z)ĵ + P (x, y, z)ˆk, com M, N e P contínuas em S. Se ˆn é o vector unitário normal que define a orientação, em S, então, o integral de superfície de F sobre S é S F ds := S F ˆn ds. Observação.97 Quando nada for dito em contrário, considera-se ˆn como o vector que induz, em S, a orientação positiva. 4

44 Observação.98 Se S é definida por z = f(x, y), então, F ds M(x, y, z)f x (x, y) N(x, y, z)f y (x, y) + P (x, y, z) = ds S S [fx (x, y)] 2 + [f y (x, y)] 2 + = M(x, y, f(x, y))f x (x, y) N(x, y, f(x, y))f y (x, y) + P (x, y, f(x, y)) da, R com R a projecção de S sobre o plano XOY. Podem ser obtidas fórmulas análogas para projecções sobre XOZ e Y OZ. Exemplos.99. Cálculo de os planos z = e z = 4. S x 2 z ds, com S a porção do cone de equação z 2 = x 2 + y 2, que está entre A projecção de S sobre o plano XOY é a coroa circular, R, representada na figura seguinte Então, S -4 ( ) x 2 z ds = x 2 2 ( ) 2 x 2 + y 2 2x R 2 2y + x 2 + y da x 2 + y 2 = 2 x 2 x 2 + y 2 da R = 2 2π 4 = 23 2 π. 5 r 2 cos 2 θ r r dr dθ 4

45 2. Cálculo de F ds, com F (x, y, z) := x 2 î + y 2 ĵ + zˆk e S a parte do gráfico de função S f definida por f(x, y) := x + y +, cuja projecção sobre XOY é [, ] [, ]. A projecção, R, de S sobre XOY, é o quadrado de vértices (, ), (, ), (, ) e (, ). Então, S F ds = = = 4 3. R (x 2 ) (y 2 ) + (x + y + ) da (x 2 ) (y 2 ) + (x + y + ) dy dx.8 Teorema de Stokes Seja S uma superfície orientável com vector unitário normal ˆn, que tem por fronteira uma curva C. Definição. A orientação de S determina, em C, um sentido positivo, definido do seguinte modo: Um observador que percorra C em sentido positivo e com a cabeça a apontar no sentido de ˆn, encontra S do seu lado esquerdo. Observação. Nas aulas práticas, serão referidas regras muito simples para a determinação da orientação positiva em C, seja através do movimento dos dedos da mão direita quando o polegar aponta no sentido de ˆn, seja pela progressão do saca rolhas, com a ponta a indicar o sentido de ˆn. Indica-se agora um resultado conhecido por Teorema de Stokes, que relaciona integrais curvilíneos e de superfície. Teorema.2 Seja S uma superfície orientável, que tem por fronteira (geométrica) uma curva C fechada, simples, parcialmente fechada e com orientação positiva. Seja ainda F uma função vectorial, definida por F (x, y, z) := M(x, y, z)î + N(x, y, z)ĵ + P (x, y, z)ˆk, com M, N e P admitindo derivadas parciais de primeira ordem contínuas numa região aberta contendo S. Então, S rot F d S = F d r. C 42

46 Exemplos.3 Seja F definida por F := yzî + xzĵ + xyˆk.. Cálculo de rot F ds, quando S é a parte da esfera de equação x 2 + y 2 + z 2 = 4, que é S interior ao cilindro correspondente a x 2 + y 2 = e que está situada acima do plano XOY. 2. Cálculo de rot F ds, quando S é a esfera de equação x 2 y 2 + z 2 = 4. S Generalize o resultado obtido no exemplo Teorema da divergência Seja E uma região fechada e limitada de R 3 e designe-se por S a sua fronteira. Obviamente S é geometricamente fechada. O resultado que se segue, usualmente designado por teorema da divergência, relaciona integrais triplos, sobre E, e de superfície, sobre S. Teorema.4 Seja E uma região fechada e limitada de R 3 e designe-se por S a sua fronteira. Considere-se S com orientação positiva. Seja ainda F uma função vectorial definida por F (x, y, z) := M(x, y, z)î + N(x, y, z)ĵ + P (x, y, z)ˆk, com M, N e P admitindo derivadas parciais de primeira ordem contínuas, numa região aberta contendo E. Então, S F ds = E div F dv. Exemplo.5 Seja E a região limitada pelas superfícies definidas por x 2 + y 2 = 4, z = e z = 3. Seja ainda S + a face exterior da fronteira de E. Cálculo de F ds, com F definida por F (x, y, z) := x 3 î + y 3 ĵ + z 3ˆk. S + 43

47 2 Equações diferenciais de ordem n 2. Equações diferenciais ordinárias Definição 2. Uma equação diferencial ordinŕia é uma equação que contem uma única função incógnita f, dependente de uma variável x e um número finito de derivadas de f. Exemplo 2.2 f (x) = x + é, em R, uma equação diferencial ordinária, tendo soluções da forma f(x) = x2 2 + x + c, com c uma qualquer constante real. Definição 2.3 Sejam D um aberto de R n+2 e F uma função real de domínio D. A equação F (x, y, y,, y (n) ) =, onde y (i) designa a derivada de ordem i de y (em ordem a x), é chamada equação diferencial ordinária de ordem n. A ordem da equação é a maior das ordens das derivadas que figuram na equação. Observação 2.4 No exemplo anterior, a ordem é. Definição 2.5 Sejam D um aberto de R n+2 e F uma função real de domínio D. Se I é um intervalo de R e ϕ é uma função real de domínio I, com derivadas até à ordem n, então ϕ é uma solução da equação F (x, y, y,, y (n) ) = se, para qualquer x I, (x, ϕ(x), ϕ (x),, ϕ (n) (x)) D e F (x, ϕ(x), ϕ (x),, ϕ (n) (x)) =. Ao intervalo I chama-se intervalo de definição de ϕ. Exemplo 2.6 A função ϕ definida por ϕ(x) = e 3x 2, é, em R, uma solução da equação diferencial y 3y 6 =. Definição 2.7 Uma família de soluções de uma equação diferencial de ordem n, contendo n constantes arbitrárias essenciais, designa-se por solução geral ou integral geral dessa equação diferencial. Escolhendo valores específicos para as constantes, obtêm-se as soluções particulares. As soluções que não possam ser obtidas como as particulares, designam-se por soluções singulares. 44

48 Exemplos 2.8. Prova-se que a equação de Bernoulli y xy 2 =, tem y = ( x2 4 + c)2 por solução geral. y = x4 6 é uma solução particular, resultante de considerar c =. y = é uma solução singular. c é uma constante essencial. essenciais, devendo substituir-se c + c 2 por c. No entanto, em y = ( x2 4 + c + c 2 ) 2, c e c 2, não são 2. A determinação de soluções gerais não é, em muitos casos, simples. Há, no entanto, situações fáceis como as equações lineares, que estudaremos no próximo parágrafo, ou os exemplos que se seguem. y = 3x2 2 + x + c, y = x3 + 2x 2 + c x + c 2 e y = e x + c x 2 + c 2 x + c 3 são soluções gerais, respectivamente de y = 3x +, y = 6x + 4 e y = e x. Definição 2.9 Dada a equação de ordem n y (n) = G(x, y, y,, y (n ) ) () e, com k,, k n constantes reais dadas e x I, as condições iniciais y(x ) = k, (2) y (x ) = k, (3). y (n ) (x ) = k n, (4) diz-se que () - (4) formam um problema de condições iniciais ou um problema de Cauchy. Exemplo 2. A equação y = x + admite a solução geral y = x2 2 + x + c. A mesma equaç ão, com a condição inicial y() = 8, tem a solução (particular) y = x x

49 2.2 Equações diferenciais, ordinárias e lineares Definição 2. Chama-se equação diferencial, ordinária, linear e de ordem n, a uma equação do tipo a (x)y (n) + a (x)y (n ) + + a n (x)y + a n (x)y = f(x), (5) com a, a,, a n e f funções definidas num intervalo I R e a não identicamente nula, em I. Se as funções a, a,, a n forem constantes, a equação diz-se com coeficientes constantes. Se f for, em I, a função nula, a equação designa-se por homogénea. Exemplos 2.2 ordem 2.. y + y = sin (2x), é uma equação linear, com coeficientes constantes e 2. x 4 y + (cos x)y = x, é uma equação linear de ordem e x y + xy =, é uma equação linear e homogénea. 4. e x y + y 2 =, é uma equação não linear. 5. y + yy = e x, é uma equação não linear. Observação 2.3 Até ao final destas notas, consideraremos a, a,, a n e f funções contínuas num intervalo I R e, para qualquer x I, a (x). Segue-se um teorema de existência e unicidade de solução para o problema de Cauchy, no caso das equações lineares. Teorema 2.4 Sejam a, a,, a n e f funções contínuas num intervalo fechado I R e, para qualquer x I, a (x). Sejam ainda x I e k,, k n, n números reais dados. Existe uma e uma só solução y(x), da equação (5), definida em I e verificando as condições (2) - (4). Observações 2.5. Há teoremas de existência e unicidade para casos mais gerais (ver, por exemplo, Kaplan). 46

50 2. Édouard Goursat demonstra esse teorema na parte 2, do volume II, do seu livro A Course in Mathematical Analysis. 3. Obviamente a solução de um problema de Cauchy é simples se se conhecer a solução geral. 4. A condição a (x), para qualquer x I, é fundamental no teorema 2.4. Considere-se, por exemplo, a equação xy + y = x e a condição inicial y() = 4. (Repare-se que (xy) = xy + y.) Um último resultado no qual se relacionam soluções gerais de uma equação não homogénea (completa) e da correspondente equação homogénea. Teorema 2.6 Sejam a, a,, a n e f funções contínuas num intervalo I R e, para qualquer x I, a (x). Se y gh designar a solução geral da equação a (x)y (n) + a (x)y (n ) + + a n (x)y + a n (x)y = (6) e y pc for uma solução particular de (5), então y gh + y pc é solução geral de (5). Exemplo 2.7 Uma equação linear de ā da forma y + p(x)y = q(x), tem por solução geral y = c e p(x) dx }{{} + e p(x) dx p(x) dx e q(x) dx = e { p(x) dx } e p(x) dx q(x) dx + c. y gh }{{} y pc 2.3 Equações lineares, homogéneas e de ordem n. Wronskiano. Seja E o espaço vectorial das funções reais com derivadas até à ordem n, em I. Seja F o espaço vectorial das funções reais definidas em I. Se L designar a aplicação linear de domínio E e com valores em F, definida por então (6) reduz-se à forma L(y) = a (x)y (n) + a (x)y (n ) + + a n (x)y + a n (x)y, L(y) =. (7) Teorema 2.8 Sejam N o conjunto de todas as soluções de (7) e x um elemento de I. Então, 47

51 . N é um espaço vectorial real; 2. a aplicação ϕ de domínio R n, com valores em N e tal que ϕ(k,, k n ) é a única solução de (7) satisfazendo (2) - (4), é um isomorfismo. Corolário 2.9 N tem dimensão n. Definição 2.2 Um sistema fundamental de soluções, notado SFS, de (7) é qualquer base de N. Corolário 2.2 Existem n soluções de (7), linearmente independentes. forma Se y,, y n forem essas soluções, então qualquer solução y de (7), pode ser escrita na y = α y,, α n y n, com α,, α n constantes reais. Definição 2.22 Sejam y,, y n funções reais, com derivadas até à ordem n (inclusivé), num intervalo I de R. Chama-se Wronskiano dessas n funções, e nota-se W (x) ou W (y,, y n ), ao determinante y y n y y n.... y (n ) y (n ) n Teorema 2.23 As soluções y,, y n de (7), constituem um sistema fundamental de soluções de (7), num intervalo I de R, se e só se W (y,, y n ), para qualquer x I. 2.4 Equação linear, completa e de ordem n. Método de Lagrange ou de variação das constantes arbitrárias. Com as notações do parágrafo anterior, consideremos a equação linear, completa e de ordem n, L(y) := a (x)y (n) + a (x)y (n ) + + a n (x)y = f(x), (8) 48