Análise Matemática III

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1 Universidade de Coimbra Engenharia Civil Análise Matemática III Textos de apoio às aulas teóricas Armando Gonçalves 2005

2 Conteúdo 1 Cálculo diferencial em R n 1 11 Produto interno, norma e métrica em R n 1 12 Algumas noções topológicas em R n 2 13 Funções reais definidas em R n Limites e continuidade Algumas propriedades das funções contínuas 4 14 Derivação parcial 8 15 Mudança na ordem de derivação 9 16 Significado geométrico das derivadas parciais de primeira ordem Funções diferenciáveis e diferencial de uma função Regras de derivação das funções compostas Generalização de alguns resultados anteriores a funções definidas em R n e com valores em R m Derivada direccional; gradiente e matriz jacobiana Divergência e rotacional Derivadas direccionais de ordem superior à primeira, para funções reais definidas em R n Fórmula de Taylor Funções implícitas Planos tangentes e rectas normais a superfícies Optimização de funções reais de n variáveis reais Extremos livres Extremos condicionados Funções homogéneas Teorema de Euler 41 2 Equações diferenciais de ordem n Equações diferenciais ordinárias Equações diferenciais, ordinárias e lineares Equações lineares, homogéneas e de ordem n Wronskiano Equação linear, completa e de ordem n Método de Lagrange ou de variação das constantes arbitrárias Equação linear, homogénea, com coeficientes constantes e de ordem n 49 i

3 26 Equação linear, completa, com coeficientes constantes e de ordem n Método do polinómio anulador Equação linear, completa e de ordem n Método de D Alembert ou de abaixamento de ordem 54 ii

4 1 Cálculo diferencial em R n 11 Produto interno, norma e métrica em R n Sendo n um número natural, consideraremos R n := {(x 1,, x n ) : x i R, i = 1,, n} (R n, +, ) é um respaço vectorial sobre R, com, para (x 1,, x n ) R n, (y 1,, y n ) R n, λ R, as operações + e definidas por (x 1,, x n ) + (y 1,, y n ) = (x 1 + y 1,, x n + y n ) λ (x 1,, x n ) = (λx 1,, λx n ) A base canónica de R n é constituída pelos vectores (1,0,,0), (0,1,0,,0),,(0,,0,1) Munido do produto interno <, > definido por < (x 1,, x n ), (y 1,, y n ) > := R n é designado por espaço euclidiano de dimensão n n x i y i, Sendo (x 1,, x n ) R n, (y 1,, y n ) R n e λ R, no espaço (normado) R n consideraremos a norma, definda por (x 1,, x n ) := i=1 x x2 n Observação 11 É fácil provar que (x 1,, x n ) 0, λ(x 1,, x n ) = λ (x 1,, x n ) (x 1,, x n ) + (y 1,, y n ) (x 1,, x n ) + (y 1,, y n ) (x 1,, x n ) = 0 = x = 0 Além disso, (x 1,, x n ) = < (x 1,, x n ), (x 1,, x n ) > É ainda conhecido o facto de, em R n, poderem ser definidas outras normas Sendo (x 1,, x n ) R n, (y 1,, y n ) R n, no espaço(métrico) R n consideraremos a distância ou métrica d(, ), definida por d((x 1,, x n ), (y 1,, y n )) := (x 1,, x n ) (y 1,, y n ) 1

5 Observação 12 É fácil provar que d((x 1,, x n ), (y 1,, y n )) 0 d((x 1,, x n ), (y 1,, y n )) = d((x 1,, x n ), (y 1,, y n )) d((x 1,, x n ), (y 1,, y n )) d((x 1,, x n ), (z 1,, z n )) + d((z 1,, z n ), (y 1,, y n )) d((x 1,, x n ), (y 1,, y n )) = 0 = (x 1,, x n ) = (y 1,, y n ) Exemplo 13 Se n = 1, d(x, y) designa o comprimento do segmento de extremidades x e y Se n = 2, d((x 1, x 2 ), (y 1, y 2 )) designa o comprimento do segmento de recta que une os pontos do plano de coordenadas (x 1, x 2 ) e (y 1, y 2 ) 12 Algumas noções topológicas em R n Sejam x um elemento do espaço (métrico) R n e α um real positivo Definição 14 Chama-se bola aberta de centro em x e raio α ao conjunto B(x, α) := {y R n : d(x, y) < α} Definição 15 Chama-se bola fechada de centro em x e raio α ao conjunto B(x, α) := {y R n : d(x, y) α} Definição 16 Chama-se vizinhança de x a qualquer subconjunto V de R n que contenha alguma bola aberta centrada em x Observação 17 Toda a bola aberta centrada em x é vizinhança de x Definição 18 Um subconjunto de R n é limitado se existir alguma bola aberta que o contenha Seja S um subconjunto não vazio de R n Definição 19 x é ponto interior de S se S contiver alguma bola aberta centrada em x Observação 110 x é ponto interior de S se e só se S é vizinhança de x Definição 111 x é ponto exterior de S se for interior a R n \ S 2

6 Definição 112 x é ponto fronteiro de S se não for nem ponto interior nem exterior de S Observação 113 x é ponto fronteiro de S se e só se qualquer bola aberta centrada em x tiver intersecção não vazia com S e com R n \ S Problema 114 Um elemento de R n \ S será necessariamente um ponto exterior de S? Definição 115 O conjunto de todos os pontos interiores de S designa-se por interior de S e nota-se por int S O conjunto de todos os pontos exteriores de S designa-se por exterior de S e nota-se por ext S O conjunto de todos os pontos fronteiros de S designa-se por fronteira de S e nota-se por fr S Definição 116 O fecho de S é o conjunto S := S fr S Definição 117 S é aberto se for igual ao seu interior Observação 118 S é aberto se e só se S fr S Definição 119 S é fechado se for igual ao seu fecho Observação 120 S é fechado se e só se fr S S Observação 121 S é fechado se e só se R n \ S é aberto Definição 122 x é ponto de acumulação de S se, para toda a bola aberta B(x, α), se verificar (B(x, α) \ {x}) S Definição 123 O conjunto dos pontos de acumulação de S designa-se por derivado de S e nota-se S Observação 124 Nem todos os elementos de S são necessariamente pontos de acumulação de S Definição 125 x é um ponto isolado de S se pertence a S mas não é ponto de acumulação desse conjunto Exercício 126 Determine o interior, o fecho e o derivado dos conjuntos S 1 = {(x, y) R 2 : x 2 + y 2 1 y > 0} e S 2 = [0, 1] [0, 1[ Será algum desses conjuntos aberto ou fechado? 3

7 13 Funções reais definidas em R n Limites e continuidade Algumas propriedades das funções contínuas Seja D um subconjunto não vazio de R n Uma função real f de n variáveis reais é uma correspodência que a cada elemento x de D, associa um e só um real y := f(x) Definição 127 O domínio de f é D O contradomínio de f é o conjunto {y R : y = f(x), x D} O gráfico de f é o subconjunto de R n+1 assim definido: {(x, f(x)) R n+1 : x D} Em muitos casos, o gráfico de f não é simples de representar geometricamente Nesses casos, usam-se as chamadas curvas de nível Definição 128 Uma curva de nível de f, de valor k, é o conjunto {x D : f(x) = k} Relativamente à função f(x, y) = sin x, insere-se, em seguida, uma parte do gráfico de e y algumas curvas de nível

8 Definição 129 Seja a um ponto de acumulação de D l é o limite de f(x) no ponto a, se δ > 0 ɛ > 0 : x ((B(a, ɛ) \ {a}) D) = f(x) B(l, δ) Notaremos l := lim x a f(x) Observação 130 se e só se É evidente que l = lim x a f(x) δ > 0 ɛ > 0 : (0 < x a < ɛ x D) = f(x) l < δ Definição 131 Sejam a e v elementos fixos de R n O limite direccional de f(x), no ponto a e segundo a direcção e o sentido de v é definido por lim f(a + tv) t 0 + O teorema que se segue tem demonstração imediata Teorema 132 Se então lim f(x) = k x a lim f(a + tv) = k, t 0 + para os limites direccionais de f(x) no ponto a e segundo a direcção e sentido de qualquer v R n 5

9 Observação 133 Para que exista lim f(x) x a é necessário que todos os limites direccionais de f(x) no ponto a existam e tomem o mesmo valor Exemplo 134 Determine o valor dos limites direccionais, na origem, de f(x, y) = x2 y 2 x 2 + y 2 Conclua que não existe lim f(x, y) (x,y) (0,0) Observação 135 Podem existir todos os limites direcionais de f(x) em a e serem todos iguais, sem no entanto existir lim f(x) x a Antes de apresentarmos um exemplo que ilustre a observação anterior, vamos definir os limites trajectoriais Definição 136 Seja C uma curva (trajectória) de D tal que a C O limite trajectorial de f(x), no ponto a, ao longo de C, é L, e nota-se lim x a f(x) x C se δ > 0 ɛ > 0 : (0 < x a < δ x C) = f(x) L < ɛ Observação 137 Nas condições da definição anterior, é evidente que se e só se segundo qualquer trajectória C, lim f(x) = L x a lim x a f(x) = L x C 6

10 Observação 138 Seja f(x, y) = xy3 x 2 + y 6 Calcule os limites direccionais, na origem Existirá lim f(x, y)? (x,y) (0,0) O teorema seguinte tem uma demonstração de tipo semelhante ao correspondente resultado para funções de uma só variável real Teorema 139 Seja a um ponto de acumulação dos domínios de f e g Supondo que existem os limites que a seguir se referem, 1 2 Sendo α R, então 3 lim(f(x) + g(x)) = lim f(x) + lim g(x); x a x a x a lim(αf(x)) = α lim f(x); x a x a lim(f(x)g(x)) = lim f(x) lim g(x); x a x a x a 4 Se lim x a g(x) 0, então f(x) lim f(x) lim x a g(x) = x a lim g(x) x a Seja f uma função de domínio D e a D Definição 140 f é contínua em a se lim x a f(x) = f(a) Observação 141 f é contínua em a se e só se δ > 0 ɛ > 0 : (0 < x a < ɛ x D) = f(x) f(a) < δ O teorema seguinte tem uma demonstração semelhante ao correspondente resultado para funções de uma só variável real 7

11 Teorema Se f e g são contínuas em a, então f + g e f g são contínuas em a Se f e g são contínuas em a e, além disso, g(a) 0, então f g é contínua em a 2 Se f é contínua em a e g é contínua em f(a), então g f é contínua em a 3 Se f é contínua em a e f(x) 0, então existe uma bola aberta B(a, α) na qual f(x) mantem o mesmo sinal que toma em a 14 Derivação parcial Em todo este parágrafo, para simplificação de notações, restringir-nos-emos a funções de duas variáveis reais Seja f uma função de duas variáveis reais, com domínio D, e (a, b) um elemento de D Fixando y = b, obtemos a função de uma variável real, definida por φ(x) := f(xb) Se φ for derivável em a, sabemos que φ φ(a + h) φ(a) f(a + h, b) f(a, b) (a) := lim = lim h 0 h h 0 h Definição 143 Dá-se o nome de derivada parcial de f(x, y), em ordem a x, no ponto (a, b), e nota-se f x (a, b) ou f x (a, b), à expressão f x(a, b) := φ (a) A derivada parcial de f(x, y) em ordem a y, no ponto (a, b), que se notará f y (a, b) ou f (a, b), y f(a, b + h) f(a, b) define-se por f y (a, b) := lim h 0 h Exemplo 144 Sendo f(x, y) = y 3 + y 2 + xy 2 + x 2 + 1, então f x (0, 1) = 1 e f y (0, 1) = 5 Seja S D o conjunto de elementos de D nos quais f x está definida A função derivada parcial de f em ordem a x é a função f x de domínio S, que a cada elemento (x, y) de S associa f x (x, y) De modo análogo se define a função derivada parcial de f em ordem a y Exemplo 145 Sendo f(x, y) = y 6 + x 6 y + 1, então f x (x, y) = 6x 5 y e f y (x, y) = 6y 5 + x 6 Ambas as derivadas parciais têm por domínio R 2 f x e f y podem, por sua vez, admitir derivadas parciais 8

12 Definição A derivada parcial de segunda ordem e relativa a x, notada por f x 2 ou 2 f, é definida por x2 f x 2 := (f x ) x 2 De modo análogo a derivada parcial de segunda ordem e relativa a y, notada por f y 2 ou 2 f y 2, é definida por f y 2 := (f y ) y 3 A derivada parcial de segunda ordem e primeiro relativamente a y depois em ordem a x, notada por f yx ou 2 f, é definida por x y f yx := (f y ) x 4 A derivada parcial de segunda ordem e primeiro relativamente a x depois em ordem a y, notada por f xy ou 2 f, é definida por y x f xy := (f x ) y A partir das derivadas de segunda ordem podem-se definir as de terceira ordem e assim sucessivamente Problema 147 Sendo k 1, qual o número de derivadas de ordem k que poderão ser definidas (embora algumas possam ter o mesmo valor)? Exemplo 148 Sendo f(x, y) = y 3 +x 3 +2x 2 y+x+1, então f x 2(x, y) = 6x+4y, f y 2(x, y) = 6y e f xy (x, y) = f yx (x, y) = 4x 15 Mudança na ordem de derivação Passamos a enunciar o Teorema de Schwarz Teorema 149 Sejam f uma função real definida em D R e (a, b) um ponto interior de D Se f x, f y, f xy e f yx existem em alguma bola aberta B((a, b), δ) e se f xy e f yx são contínuas em (a, b), então f xy (a, b) = f yx (a, b) 9

13 As hipóteses do Teorema de Schwarz podem ser enfraquecidas e, como pode ser consultado no livro de Dias Agudo, podemos enunciar o seguinte resultado: Teorema 150 Sejam f uma função real definida em D R 2 e (a, b) um ponto interior de D Se f x, f y e f xy existem em alguma bola aberta B((a, b), δ) e se f xy é contínua em (a, b), então f yx também está definida em (a, b) e f yx (a, b) = f xy (a, b) 16 Significado geométrico das derivadas parciais de primeira ordem Seja f uma função real de domínio D R 2 Seja S := {(x, y, z) R 3 : (x, y) D z = f(x, y)} A superfície S representa o gráfico de f Intersectando S com o plano Π, de equação y = b, obtem-se uma linha L que pode ser entendida como o gráfico de de uma função real φ, de uma variável real, definida por φ(x) := f(x, b) φ tem por domínio o conjunto {x R : (x, b) D} Seja r a recta tangente a L num ponto (a, b, f(a, b) f x (a, b) = φ (a) é o declive da recta r, contida em Π, isto é, tem o valor da tangente da medida do ângulo que r faz com a recta de definida por y = b e z = 0 Na página seguinte damos uma ideia geométrica do que acabamos de expor 17 Funções diferenciáveis e diferencial de uma função Definição 151 Seja (a, b) um ponto interior do domínio D da função real de duas variáveis reais f f é diferenciável em (a, b) se existir alguma bola aberta B((a, b), δ) tal que, para quaisquer reais h e k satisfazendo (a + h, b + k) B((a, b), δ), se verifica f(a + h, b + k) f(a, b) = αh + βk + ɛρ, com α e β reais fixos, ρ := h 2 + k 2 e ɛ uma função de h e k tal que lim ρ 0 ɛ = 0 10

14 11

15 Mantendo as notações da definição anterior, temos Teorema 152 Se f é diferenciável em (a, b), então é contínua e admite derivadas parciais de primeira ordem nesse ponto Além disso, α = f x (a, b) e β = f y (a, b) Demonstração Seja f diferenciável em (a, b) Então Logo, lim f(a + h, b + k) f(a, b) = 0 ρ 0 µ > 0 θ > 0 : 0 < ρ = (a + h, b + k) (a, b) < θ = f(a + h, b + k) f(a, b) < µ Então Tal significa que µ > 0 θ > 0 : 0 < (x, y) (a, b) < θ = f(x, y) f(a, b) < µ lim f(x, y) = f(a, b), (x,y) (a,b) o que permite concluir que f é contínua em (a, b) Para provar que α = f x (a, b), comece-se por se notar que da definição de diferenciabilidade de f em (a, b) se conclui, para k = 0, que ( f(a + h, b) f(a, b) lim = lim α + h 0 h h 0 já que limɛ(h, 0) = 0 e h h 0 h é limitada Logo f x (a, b) existe e α = f x (a, b) De modo análogo se prova que β = f y (a, b) ) ( ɛ(h, 0)ρ = lim h h 0 α + ɛ(h, 0) ) h = α, h Corolário 153 Se f é diferenciável em (a, b), então f(a + h, b + k) f(a, b) = f x (a, b)h + f y (a, b)k + ɛρ Observação 154 O recíproco do teorema 152 não é verdadeiro, como se pode ver no exemplo que se segue 12

16 Exemplo 155 Seja f(x, y) = xy É evidente que f é contínua em R 2 Além disso, f x (0, 0) = f y (0, 0) = 0 Se f fosse diferenciável em (0, 0) teríamos, por um lado hk = f(h, k) f(0, 0) = 0h + 0k + ɛρ donde Por outro lado, para k = h, teríamos lim ρ 0 lim (h,k) (0,0) hk ρ hk ρ = lim ρ 0 ɛ = 0 h 2 2 = lim = h 0 2h 2 2 Chegamos assim a conclusões contraditórias, pelo que f não é diferenciável em (0, 0) Temos, no entanto, o seguinte resultado Teorema 156 Seja f uma função real de domínio D R 2 Se f admitir derivadas parciais de primeira ordem numa bola aberta B ((a, b), δ) contida em D e se essas derivadas parciais forem contínuas em (a, b), então f é diferenciável em (a, b) Observações Dias Agudo provou o seguinte resultado Seja f uma função real de domínio D R 2 Se f admitir derivadas parciais de primeira ordem numa bola aberta B ((a, b), δ) contida em D e se pelo menos uma dessas derivadas parciais for contínuas em (a, b), então f é diferenciável em (a, b) 2 Verificámos que se f admite derivadas parciais em (a, b) tal não garante a diferenciabilidade de f em (a, b) No entanto, se as derivadas parciais são contínuas em (a, b), então f é diferenciável em (a, b) 13

17 3 Se f é diferenciável em (a, b), então (a, b) é um ponto do domínio tanto de f x como de f y No entanto, como se verá no exemplo seguinte, f x (a, b) e f y poderão não ser contínuas em Exemplo 158 Considere a função f definida por x 2 sin 1 f(x, y) = x, x 0 0, x = 0 e repare que, 1 e 2x sin 1 f x (x, y) = x cos 1 x, x 0 0, x = 0 f y (x, y) = 0; 2 f é diferenciável em (0, 0); 3 f x e f y estão definidas em (0, 0); 4 f x não é contínua em (0, 0) Definição 159 Seja f uma função real de duas variáveis reais diferenciável em (a, b) Chama-se diferencial de f, no ponto (a, b), relativamente ao vector v := (h, k), e nota-se (df) v (a, b), à expressão (df) v (a, b) := hf x (a, b) + kf y (a, b) Definição 160 Mantendo as notações da definição anterior, sejam h := dx e k := dy (diferenciais das variáveis independentes) Chama-se diferencial total de f, no ponto (a, b), e nota-se df(a, b), à expressão df(a, b) := f x (a, b)dx + f y (a, b)dy Chama-se acréscimo de f, em (a, b), e nota-se f(a, b), à expressão f(a, b) := f(a + dx, b + dy) f(a, b) 14

18 Observação 161 Para valores suficientemente pequenos de dx e dy, df(a, b) é uma boa aproximação de f(a, b) Logo, df(a, b)+f(a, b) é uma boa aproximação de f(a+dx, b+dy), já que f(a+dx, a+dy) = f(a, b) + f(a, b) 18 Regras de derivação das funções compostas Teorema 162 Sejam z := f(x, y), x := φ(t) e y := ψ(t), com f uma função real de duas variáveis reais, φ e ψ funções reais de uma variável real Supondo que φ e ψ são diferenciáveis em t 0 e f é diferenciável em (a, b), com a := φ(t 0 ) e b := ψ(t 0 ), então, sendo u(t) := f(φ(t), ψ(t)), temos du dt (t 0) = f dx (a, b) x dt (t 0) + f dy (a, b) y dt (t 0) Demonstração Iremos tentar determinar o valor de Nesse sentido, repare-se que lim h 0 u(t 0 + h) u(t 0 ) h u(t 0 + h) u(t 0 ) = f(φ(t 0 + h), ψ(t 0 + h) f(φ(t 0 ), ψ(t 0 )) = f(a + φ, b + ψ) f(a, b) = φf x (a, b) + ψf y (a, b) + ɛρ = f x (a, b)(hφ (t 0 ) + ɛ 1h h) + f y (a, b)(hψ (t 0 ) + ɛ 2h h) + ɛρ = h(f x (a, b)φ (t 0 ) + f y (a, b)ψ (t 0 )) + ɛ 1h hf x (a, b) + ɛ 2h hf y (a, b) + ɛρ Logo, u(t 0 + h) u(t 0 ) lim h 0 h = f x (a, b)φ (t 0 ) + f y (a, b)ψ (t 0 ) + limɛ ρ h 0 h ( φ) = f x (a, b)φ (t 0 ) + f y (a, b)ψ (t 0 ) + limɛ 2 + ( ψ) 2 h 0 h h = f x (a, b)φ (t 0 ) + f y (a, b)ψ (t 0 ) + limɛ 2 (φ (t 0 ) + ɛ 1h ) 2 + h 2 (ψ (t 0 ) + ɛ 2h ) 2 h 0 h = f x (a, b)φ (t 0 ) + f y (a, b)ψ (t 0 ) + limɛ h (φ h 0 h (t 0 ) + ɛ 1h ) 2 + (ψ (t 0 ) + ɛ 2h ) 2 = f x (a, b)φ (t 0 ) + f y (a, b)ψ (t 0 ) 15

19 Provamos, assim, que du dt (t 0) = f dx (a, b) x dt (t 0) + f dy (a, b) y dt (t 0) Da demonstração resulta que Corolário 163 Nas condições do teorema anterior, u é diferenciável em t 0 Exemplo 164 Sejam z = x 2 y, x = sin t e y = e t 2 Seja ainda u(t) = sin 2 t e t 2 = z(sin t, e t 2 ) Então, du dt = z dx x dt + z dy y dt = 2xy cos t + 1 x2 2 e t 2 = 2 sin t cos t y e t 2 + sin 2 t e t 2 2 Teorema 165 Sejam z := f(x, y), x := φ(s, t) e y := ψ(s, t), com f, φ e ψ funções reais de duas variáveis reais Supondo que φ e ψ são diferenciáveis em (s 0, t 0 ) e f é diferenciável em (a, b), com a := φ(s 0, t 0 ) e b := ψ(s 0, t 0 ), então, sendo u(s, t) := f(φ(s, t), ψ(s, t)), temos u s (s 0, t 0 ) = f x (a, b) x s (s 0, t 0 ) + f y (a, b) y s (s 0, t 0 ) u t (s 0, t 0 ) = f x (a, b) x t (s 0, t 0 ) + f y (a, b) y t (s 0, t 0 ) Da demonstração do resultado anterior, resulta que Corolário 166 Nas condições do teorema 165, u é diferenciável em (s 0, t 0 ) Exemplo 167 Sejam u := f(x, y) = xy, x = ρ cos θ, y = ρ sin θ Então, u (ρ, θ) = y cos θ + x sin θ ρ u (ρ, θ) = yρ cos θ + xρ sin θ θ 16

20 19 Generalização de alguns resultados anteriores a funções definidas em R n e com valores em R m Derivada direccional; gradiente e matriz jacobiana Divergência e rotacional Seja f uma função de domínio D R n e valores em R m Definição 168 Seja a D lim f(x) = b se δ > 0 ɛ > 0 : 0 < x a < ɛ = f(x) b < δ x a f é contínua em a se lim x a f(x) = f(a) Definição 169 Sejam a int D e v um vector de R n Chama-se derivada direccional de f, no ponto a, segundo o vector v, e nota-se f v (a), a Observações f v (a) é um elemento de R m f(a + h v) f(a) f v (a) := lim h 0 h 2 Sendo {e 1,, e n } a base canónica de R n, então f ek (a) = f x k (a), k = 1,, n Teorema 171 Sejam f uma função real de domínio D R n e a int D Se f for diferenciável em a, então f admite derivadas, em a, segundo qualquer vector v := (v 1,, v n ) e, além disso, Demonstração f v (a) = f (a) v f x n (a) v n f v (a) = lim h 0 f(a + h v) f(a) h f(a 1 + hv 1,, a n + hv n ) f(a) = lim h 0 h f f hv 1 x = lim 1 (a) + + hv n x n (a) + ɛ(ρ)ρ h 0 h 17

21 Como então, ɛ(ρ)ρ lim = lim ɛ(ρ) h v2 + + v n = 0 ρ 0 h ρ 0 h f v (a) = f (a) v f x n (a) v n Observação 172 A igualdade do teorema anterior, pode ser escrita na forma f v (a) = [ f (a) f x n (a) ( f Definição 173 Ao vector (a),, f ) (a), que notaremos por ( f)(a) ou (grad f)(a), x n chamaremos gradiente de f no ponto a ] v 1 v n Teorema 174 Sejam f uma função real com domínio D R n e a um ponto interior de D Supondo que f é diferenciável em a, então o valor máximo da derivada direccional de f, em a, segundo um vector unitário ˆv é ( f) (a) Esse valor é atingido quando ˆv = vers ( f) (a) := ( f) (a) ( f) (a) Demonstração A prova deste resultado, decorre de modo evidente, a partir do teorema 171 e das igualdades fˆv (a) = < ( f) (a), ˆv > = ( f) (a) ˆv cos θ, com θ o ângulo formado por ( f) (a) e ˆv Seja agora f uma função de domínio D R n e com valores em R m y 1 = f 1 (x 1,, x n ) y = f(x) pode ser representado na forma, com f i (i = 1,, n) y n = f n (x 1,, x n ) funções reais de domínio D 18

22 Supondo que f 1,, f m são diferenciáveis em a, então, pelo teorema 171, a i-ésima componente de f v (a) é (f i ) v (a) e, com ˆv := (v 1,, v n ), temos Assim, (f i ) v (a) = (f 1 ) v (a) f v (a) = = (f n ) v (a) Definição 175 À matriz J f (a) := de f, em a [ fi (a) f i x n (a) f 1 (a) f m (a) f 1 (a) f m (a) ] f 1 x n (a) f m x n (a) v 1 v n f 1 x n (a) f m x n (a) v 1 v n chamaremos matriz jacobiana Definição 176 Se m = n, 1 chamaremos jacobiano de f, no ponto a, ao determinante de J f (a) Notá-lo-emos por (f 1,, f n ) (x 1,, x n ) (a) 2 Ao traço de J f chamaremos divergência de f Notaremos div f Observação 177 É evidente que div f = f 1 (a) + + f n x n (a) Definição 178 Se m = n = 3, chamaremos rotacional de f (notando-o por rot f) ao vector rot f := ( f3 f ) 2 x 2 x 3 ( f1 e 1 + f ) 3 x 3 ( f2 e 2 + f ) 1 x 2 Observação 179 Para se calcular o rotacional de uma função f, recorre-se, habitualmente, e 3 ao determinante simbólico e 1 e 2 e 3 x 2 x 3 f 1 f 2 f 3 19

23 Vamos agora ver como generalizar os teoremas 162 e 165, a funções vectoriais Teorema 180 Sejam f uma função de domínio D 1 R n e com valores em R m função de domínio D 2 R m e com valores em R p, com f(d 1 ) D 2 e g uma Sejam a um ponto interior de D 1, f 1,, f m funções diferenciáveis em a e g 1,, g p funções diferenciáveis em b := f(a), tais que, para qualquer x = (x 1,, x n ) D 1, f(x) := (f 1 (x),, f n (x)) e g(f(x)) := ( g 1 ( f 1 (x),, f m (x) ),, g p ( f 1 (x),, f m (x) ) ) Seja µ := g f, a função de domínio D 1, definida por µ 1 (x) g 1 ( f 1 (x),, f m (x) ) µ(x) = := µ p (x) g p ( f 1 (x),, f m (x) ) Então, µ 1 µ p µ 1 x n µ p x n (a) = g 1 z 1 g p z 1 g 1 z m g p z m (b) f 1 f m f 1 x n f m x n, (a) com z i (x 1,, x n ) := f i (x 1,, x n ) (i = 1,, m) 110 Derivadas direccionais de ordem superior à primeira, para funções reais definidas em R n Fórmula de Taylor Seja f uma função real de domínio D R n, com D aberto e f tendo as derivadas parciais de primeira ordem, contínuas em D Logo, com a D e v = (v 1,, v n ), concluímos, pelo teorema 171, que f v (a) = f (a) v f x n (a) v n Observação 181 A partir da definição 159, temos que (df) v (a) = f v (a), para qualquer vector v Exercício 182 Justifique que podemos, no presente caso, definir, para qualquer vector v, a função real f v, de domínio D, que a cada x de D, associa f v (x) 20

24 Teorema 183 Seja f uma função real de domínio D R n Se f admite derivadas de segunda ordem contínuas, em D, então f v admite derivadas de primeira ordem contínuas, em D Além disso, para i = 1,, n, f v x i (x) = 2 f x i (x) v f x i x n (x) v n Então, a derivada direccional de segunda ordem, que notaremos f (2) v (a), pode ser calculada da seguinte forma f (2) v (a) := (f v ) v (a) = f v (a)v f v (a)v n x ( n 2 ) f = x 2 (a)v f (a)v n v x n ( 2 ) f + (a)v f (a)v n v n x n = n n j=1 i=1 2 f x j x i (a)v i v j As igualdades anteriores e o teorema de Schwarz, levam à seguinte notação simbólica x 2 n ( f (2) f v (a) = (a)v f ) (2) (a)v n, x n convencionando que ( ) f (2) := 2 f x i x 2 i e f f := x i x i 2 f x i x j Exemplo 184 Se n = 2, ( f (2) f v (a) = (a)v 1 + f ) (2) (a)v 2 = 2 f x 2 x f + 2 f 1 x 2 x 2 2 De modo análogo poderíamos obter f (3) v (a) = n n n k=1 j=1 i=1 2 ( f f (a)v i v j v k = (a)v f ) (3) (a)v n x k x j x i x n Observação 185 As derivadas direccionais podem também ser notadas do seguinte modo f v (a) = D v f(a), f (2) v (a) = D v 2 f(a), f (3) v (a) = D v 3 f(a), 21

25 Podemos, agora, enunciar o teorema de Taylor para funções reais, definidas em R n Teorema 186 Seja f uma função real, com domínio D R n, admitindo derivadas parciais contínuas até à ordem m + 1, numa bola aberta B(a, δ), com a + v B(a, δ) Então, f(a + v) = f(a) + D v f(a) + 1 2! D v 2 f(a) m! D v m f(a) + com 0 < θ < 1 1 (m + 1)! D v (m+1) f(a + θ v), 111 Funções implícitas Para definir uma função real f de domínio D R n, usamos, muitas vezes, uma expressão analítica com o fim de determinar o valor de f em cada ponto x D Exemplo 187 z = x 2 + y 2 define uma função real f de domínio R 2, dada por z := f(x, y) = x 2 + y 2, sendo (x, y) a variável independente e z a variável dependente A função está definida explicitamente (ou z é função explícita de x e y) Outras vezes a função é definida por uma equação da forma φ(x, z) = 0, com z R e x R n, não resolvida em ordem à variável dependendente z, mas permitindo associar a cada x D um valor z satisfazendo φ(x, z) = 0 z está definida implicitamente ou é uma função implícita de x Exemplo 188 x cos (xy) = 0 define, implicitamente, uma função y(x), numa vizinhança de (1, π 2 ) Mais geralmente, com x R n e z R m, φ 1 (x, z) = 0 φ m (x, z) = 0, pode definir, implicitamente, z como função de x (obviamente z : R n R m ) Exemplo 189 y 1 2 y 2 = 3x 1 + x 2 y 1 2y 2 2 = x 1 2x 2, 22

26 define z := (y 1, y 2 ) como função implícita de x 1 e x 2, numa vizinhança de cada ponto que seja solução do sistema e tal que y 1 y z = (y 1, y 2 ) é uma função de duas variáveis reais e com valores em R 2, definida por z(x 1, x 2 ) = (y 1 (x 1, x 2 ), y 2 (x 1, x 2 ) O teorema seguinte dá-nos condições para a existência de funções definidas implicitamente em vizinhanças convenientes de certos pontos Teorema 190 Sejam x 0 R n e y 0 R m tais que (x 0, y 0 ) é solução do sistema φ 1 (x, y) = 0 φ m (x, y) = 0, com φ i (i = 1,, m) funções de domínio D R n+m, D aberto e (x 0, y 0 ) D Suponhamos que φ i (i = 1,, m) têm derivadas parciais contínuas e, além disso, φ 1 φ 1 y 1 y m 0 φ m φ m y 1 y m (x0,y 0 ) Então existe uma vizinhança V(x 0 ) R n de x 0 e funções ψ i : V(x 0 ) R (i = 1,, m) tais que, com y := (y 1,, y m ), x := (x 1,, x n ), y 0 := (y 10,, y m0 ), e x 0 := (x 10,, x n0 ), ψ i (i = 1,, m) admite derivadas parciais contínuas em V(x 0 ); y i0 = ψ i (x 10,, x n0 ), i = 1,, m; {}}{{}}{ para i = 1,, m, verifica-se φ i (x 1,, x n, ψ 1 (x 1,, x n ),, ψ m (x 1, x n )) = 0, para qualquer (x 1,, x n ) V(x 0 ) Observação 191 Nas condições do teorema, diz-se que φ 1 (x, y) = 0 φ m (x, y) = 0, definem y 1,, y m como funções implícitas de x, numa vizinhança de (x 0, y 0 ) y 1 y m 23

27 Exemplos Considere-se a equação x cos (xy) = 0 (1, π 2 ) é solução da equação ; A função φ dada por φ(x, y) := x cos (xy) está definida e admite derivadas parciais contínuas em R 2 ; φ y (1, π ) = Então existem uma vizinhança V(1) e uma função real ψ definida, em V(1), por ψ(x) := y(x), tais que ψ admite derivadas parciais contínuas em V(1); ψ(1) = π 2 ; φ(x, ψ(x)) = 0, para qualquer x V(1) y 2 1 y 2 = 3x 1 + x 2 2 Seja y 1 2y 2 2 = x 1 2x 2 O ponto (0, 0, 0, 0) é uma das soluções do sistema As funções reais φ 1 e φ 2 definidas por φ 1 (x 1, x 2, y 1, y 2 ) = y 2 1 y 2 3x 1 x 2 φ 2 (x 1, x 2, y 1, y 2 ) = y 1 2y 2 2 x 1 + 2x 2, admitem derivadas parciais contínuas em R 4 Como então φ 1 y 1 φ 1 y 2 φ 2 y 1 φ 2 y 2 2y = y 2 = 8y 1y 2 + 1, φ 1 y 1 φ 1 y 2 φ 2 y 1 φ 2 y 2 (0,0,0,0) Podemos aplicar o teorema 190 e concluir que existe uma vizinhança V(0, 0) e funções reais ψ 1 e ψ 2 definidas, em V(0, 0), por ψ 1 (x 1, x 2 ) := y 1 (x), e ψ 2 (x 1, x 2 ) := y 2 (x), tais que 24 0

28 ψ 1 e ψ 2 admitem derivadas parciais contínuas em V(0, 0); ψ 1 (0, 0) = 0 = ψ 2 (0, 0); φ 1 (x 1, x 2, ψ 1 (x 1, x 2 ), ψ 2 (x 1, x 2 )) = 0, para qualquer (x 1, x 2 ) V(0, 0) O teorema 190 garante a existência de funções ψ i, com derivadas parciais contínuas Como obter essas derivadas? Repare-se que, para i = 1, m, Para cada j = 1, n, y 1 {}}{{}}{ φ i (x 1,, x n, ψ 1 (x 1, x n ),, ψ m (x 1, x n )) = 0 y m φ i x j x j x j + φ i y 1 ψ 1 x j + + φ i y m ψ m x j = 0 φ 1 y 1 Sendo J a matriz jacobiana definida por J := φ m y 1 J ψ 1 x j ψ m x j = φ 1 x j φ m x j φ 1 y m φ m y m, temos Como J (x0,y 0 ) 0, podemos concluir que ψ 1 x j = (J 1 ) (x0,y 0 ) ψ m x j (x 0 ) φ 1 x j φ m x j (x 0,y 0 ) O mesmo se pode concluir em todos os pontos nos quais J = 0 Observação 193 No caso m = 1, sendo φ(x, y) = 0, y := ψ(x) e i = 1,, n, temos y x j = ψ x j = φ x j φ y 25

29 Exemplos Sendo φ(x, y) = x cos(xy) = 0 e y = ψ(x), temos, em pontos convenientes, ψ (x) = cos (xy) xy cos (xy) x 2 sin (xy) 2 Sendo e φ 1 (x 1, x 2, y 1, y 2 ) = y 1 2 y 2 3x 1 x 2 = 0 φ 2 (x 1, x 2, y 1, y 2 ) = y 1 2y 2 2 x 1 + 2x 2 = 0 y = (y 1, y 2 ) = ( ψ 1, ψ 2 ), temos, em pontos convenientes, e ψ 1 ψ 2 ψ 1 x 2 ψ 2 x 2 = 2y y 2 = 2y y Observação 195 Podemos fazer, por um método semelhante ao que usámos neste parágrafo, o estudo da derivada da função inversa, aplicando as técnicas da função implícita à igualdade φ(x, y) := f 1 (y) x = 0 Tal também poderia ser feito aplicando à igualdade f 1 f(x) = x, a teoria relativa às funções compostas Refira-se que Dias Agudo prova o seguinte resultado sobre a invertibilidade local de uma função: Teorema 196 Seja f uma função definida num aberto D R n e com valores em R n Se, em D, f tem derivadas parciais contínuas e (f 1,, f n ) 0, então f é localmente (x 1,, x n ) invertível, isto é, para cada ponto de D, existe alguma vizinhança onde f é biunívoca 26

30 112 Planos tangentes e rectas normais a superfícies Seja S a superfície correspondente à equação F (x, y, z) = 0, com F x, F y e F z contínuas Seja (x 0, y 0, z 0 ) um ponto de S tal que F x (x 0, y 0, z 0 ) 0 ou F y (x 0, y 0, z 0 ) 0 ou F z (x 0, y 0, z 0 ) 0 x Seja C a curva de S definida por y z [a, b] e (x 0, y 0, z 0 ) C x 0 = f(t 0 ) Seja t 0 [a, b] tal que y 0 = g(t 0 ) z 0 = h(t 0 ) = f(t) = g(t) = h(t), com t [a, b], f, g e h contínuas em Como, para qualquer t [a, b], (f(t), g(t), h(t)) C S, então F (f(t), g(t), h(t)) = 0 Pelo teorema da função composta, para t [a, b], F x (x, y, z)f (t) + F y (x, y, z)g (t) + F z (x, y, z)h (t) = 0 Desse modo, F x (x 0, y 0, z 0 )f (t 0 ) + F y (x 0, y 0, z 0 )g (t 0 ) + F z (x 0, y 0, z 0 )h (t 0 ) = 0, ou seja, f (t 0 ) < ( F )(x 0, y 0, z 0 ), r (t 0 ) >= 0, com r (t 0 ) = g (t 0 ) h (t 0 ) r (t 0 ) é o vector tangente a C, no ponto (x 0, y 0, z 0 ) Logo, para qualquer curva C de S, passando por (x 0, y 0, z 0 ), ( F )(x 0, y 0, z 0 ) define uma direcção normal à tangente a C em (x 0, y 0, z 0 ) O plano que passa por (x 0, y 0, z 0 ) e é ortogonal a ( F )(x 0, y 0, z 0 ), designa-se por plano tangente a S, em (x 0, y 0, z 0 ) a equação desse plano é F x (x 0, y 0, z 0 )(x x 0 ) + F y (x 0, y 0, z 0 )(y y 0 ) + F z (x 0, y 0, z 0 )(z z 0 ) = 0 27

31 a recta normal a S, em (x 0, y 0, z 0 ) tem por equações paramétricas x = x 0 + λf x (x 0, y 0, z 0 ) y = y 0 + λf y (x 0, y 0, z 0 ), z = z 0 + λf z (x 0, y 0, z 0 ) com λ R 113 Optimização de funções reais de n variáveis reais 1131 Extremos livres Definição 197 Sejam f uma função real definida em D R n e a D f atinge um máximo local ou relativo em a (sendo f(a) um máximo relativo de f) se existir uma vizinhança V(a) de a tal que x (V(a) D), f(x) f(a) f atinge um máximo absoluto em a (sendo f(a) um máximo absoluto de f) se x D, f(x) f(a) Observação 198 De modo análogo se define mínimo local ou relativo e mínimo absoluto Teorema 199 Seja f uma função real definida e contínua em D R n, com D fechado e limitado Então f tem um máximo e um mínimo absolutos, em D Teorema 1100 Sejam f uma função real definida em D R n, a int D e f diferenciável em a Se f(a) for um extremo relativo de f, então, para qualquer vector h, f h (a) = 0 Demonstração Sendo a := (a 1,, a n ), defina-se, para i = 1,, n, g i da seguinte forma g i (x) := f(a 1,, a i 1, x, a i+1,, a n ) Se f tem um extremo relativo em a, então g i tem o mesmo tipo de extremo em a i 28

32 Logo, g i (a i) = 0 Como f x i (a) = g i(a i ), temos, considerando h := (h 1,, h n ), f h (a) = f (a)h f x n (a)h n = 0 Corolário 1101 Sejam f uma função real definida em D R n, a int D e f diferenciável em a Se f(a) for um extremo relativo de f, então, para i = 1,, n, f x i (a) = 0 Definição 1102 Sejam f uma função real definida em D R n e a int D f Se, para i = 1,, n, (a) = 0, então a é dito um ponto estacionário ou crítico de f x i Observação 1103 Pelo corolário 1101, podemos afirmar que, para determinar os extremos relativos (em pontos interiores de D) de f, basta estudar o comportamento de f nos pontos estacionários No entanto, a estacionaridade num determinado ponto, pode não ser suficiente para que exista extremo local nesse ponto Os pontos estacionários nos quais não seja atingido um extremo, designam-se por pontos sela O próximo resultado fornece condições suficientes para a existência (ou não) de extremos em pontos estacionários No entanto, ainda vai deixar algumas situações em aberto (casos duvidosos) A demonstração baseia-se na fórmula de Taylor (teorema 186) Teorema 1104 Sejam f uma função real de domínio D R n e a int D, com a um ponto estacionário de f Se f possui derivadas parciais contínuas até à ordem m, numa bola B(a, δ) D e m é o menor inteiro positivo tal que alguma derivada parcial dessa ordem se não anula em a, podemos concluir que 1 se m é par e se, para qualquer vector unitário local de f; (m) ĥ, f (a) > 0, então f(a) é um mínimo ĥ 29

33 (m) 2 se m é par e se, para qualquer vector unitário ĥ, f (a) < 0, então f(a) é um máximo local de f; 3 (a) se m é ímpar ou ĥ (b) se m é par e existem vectores unitários ĥ1 e ĥ1 tais que f (m) (a) > 0 e f (m) (a) < 0, ĥ 1 ĥ 2 ou (c) se m é par e (m) i para qualquer vector unitário ĥ, f (a) 0 e ĥ ii existe ĥ1 tal que f (m) (a) = 0 e ĥ 1 iii sendo p (obviamente p > m) o menor inteiro para o qual f (p) (a) 0, ou p é ĥ 1 ímpar ou p é par mas f (p) (a) < 0, ĥ 1 então f não tem extremo em a; 4 (caso duvidoso) (a) se m é par e (b) para qualquer vector unitário (m) ĥ, f (a) 0 e ĥ (c) sendo p (par) o menor inteiro positivo tal que f (p) ĥ 1 (a) 0, ( ) f (m) (a) = 0 ĥ 1 = ( ) f (p) (a) > 0, ĥ 1 então nada garante a existência (ou não) de extremo em a Observação 1105 Se nas condições 3 ci) e 4 b) substituirmos f (m) (m) (a) 0 por f (a) 0, ĥ deveremos, para que as conclusões do teorema ainda permaneçam verdadeiras, substituir, em 3 ciii), f (p) ĥ 1 (a) < 0, por f (p) ĥ 1 (a) > 0 e, em 4c), f (p) ĥ 1 (a) > 0 por f (p) ĥ 1 (a) < Seguem-se algumas notas úteis para a resolução das dificuldades de aplicação do teorema Estas notas, embora generalizáveis, irão ser feitas para o caso m = 2 ĥ 30

34 Observações 1106 Sejam ĥ := (h 1,, h n ) e B := 2 f x f x n 2 f x n 2 f x 2 n (a) 1 f (2) ĥ (a) = [ ] h 1 h n B h 1 = ĥt Bĥ h n 2 Se 0 é valor próprio de B, então existe (2) ĥ tal que f (a) = 0 ĥ 3 Se B tem todos os seus valores próprios positivos, então B é definida positiva e, para (2) qualquer ĥ, f (a) > 0 ĥ 4 Se B tem todos os seus valores próprios negativos, então B é definida negativa e, para (2) qualquer ĥ, f (a) < 0 ĥ 5 Se B tem todos os seus valores próprios não negativos, então B é semidefinida positiva (2) e, para qualquer ĥ, f (a) 0 ĥ 6 Se B tem todos os seus valores próprios não positivos, então B é semidefinida negativa (2) e, para qualquer ĥ, f (a) 0 ĥ 7 Se B tem valores próprios negativos e positivos, então B é indefinida e existem ĥ1 e ĥ1 tais que f (m) (a) > 0 e f (m) (a) < 0 ĥ 1 ĥ 2 Conjugando o teorema 1104 com as observações anteriores, podemos formular o teorema 1104 em termos de valores próprios de B Em particular, para funções reais de duas variáveis reais e m = 2, temos o resultado seguinte Teorema 1107 Seja f uma função real de duas variáveis reais, com derivadas parciais de segunda ordem contínuas numa bola B(a, δ), e a um ponto crítico de f f Seja ainda := x 2(a) f xy (a) f yx (a) f y 2(a) = f x 2(a) f y 2(a) (f xy(a)) 2 1 Se > 0 e f x 2(a) > 0, então f(a) é um mínimo local; 31

35 2 Se > 0 e f x 2(a) < 0, então f(a) é um máximo local; 3 Se < 0, então f(a) não é extremo local; 4 = 0 conduz ao caso duvidoso Exemplos Estudo da existência de extremos locais da função f dada por f(x, y, z) = x 2 + y 2 + 3z 2 + yz + 2xz xy Determinação das derivadas parciais de primeira ordem: f x (x, y, z) = 2x y + 2z; f y (x, y, z) = x + 2y + z; f z (x, y, z) = 2x + y + 6z Determinação dos pontos críticos: Como = 4 0, então (0, 0, 0) é o único ponto crítico B = Determinação dos valores próprios de B : 2 λ λ 1 = λ λ 2 22λ + 4 = 0 = λ = 138 λ = 10 3 λ = λ Como os valores próprios de B são todos positivos, B é definida positiva e f tem um mínimo local em (0, 0, 0) 2 Estudo da existência de extremos locais da função f dada por f(x, y) = (x y) 2 x 4 y 4 Determinação das derivadas parciais de primeira ordem: f x (x, y) = 2(x y) 4x 3 ; 32

36 f y (x, y) = 2(x y) 4y 3 Determinação dos pontos críticos: 2(x y) 4x 3 = 0 De, conclui-se que os pontos críticos são (0, 0), ( 1, 1) e 2(x y) 4y 3 = 0 (1, 1) (x, y) = (2 12x 2 )(2 12y 2 ) ( 2) 2 Em (1, 1) há um máximo local, pois (1, 1) = 96 > 0 e f x 2(1, 1) = 10 < 0 Em ( 1, 1) há um máximo local, pois ( 1, 1) = 96 > 0 e f x 2( 1, 1) = 10 < 0 Em (0, 0) estamos no caso duvidoso, pois (0, 0) = 0 Neste caso, B = Os valores póprios de B são 0 e 4, logo B é semidefinida positiva e, para qualquer ĥ, f (2) (0, 0) 0 ĥ Pela observação , existe ĥ1 tal que f (2) (0, 0) = 0 ĥ 1 Calculando ĥ1, temos Logo, por exemplo, ĥ 1 = ( 2 2, 2 2 ) f (2) ĥ 1 (0, 0) = (f x (0, 0)h 1 + f y (0, 0)h 2 ) (2) = (h 11 h 12 ) 2 Como f (3) ĥ 1 (0, 0) = ( 2 2 f x (0, 0) 2 + f y(0, 0) 2 ) (3) f (4) ĥ 1 (0, 0) = ( ) 3 ( 2 2 = f x 3(0, 0) + 3f 2 x2y(0, 0) 2 ( ) 3 2 f y 3(0, 0) 2 = 0 ( f x (0, 0) = 12 < 0, f y(0, 0) 2 ) (4) ) f xy2(0, 0) 2 temos, pela condição 3 c) do teorema 1104, que, em (0, 0), não há extremo ( )

37 3 Estudo da existência de extremos locais da função f dada por f(x, y) = y 2 4x 2 y + 3x 4 Determinação das derivadas parciais de primeira ordem: f x (x, y) = 8xy + 12x 3 ; f y (x, y) = 2y 4x 2 Determinação dos pontos críticos: 8xy + 12x 3 = 0 De, conclui-se que o único ponto crítico é (0, 0) 2y 4x 2 = 0 (x, y) = ( 8y + 36x 2 )(2) ( 8x) 2 Em (0, 0), estamos no caso duvidoso, pois (0, 0) = 0 Neste caso, B = Os valores póprios de B são 0 e 2, logo B é semidefinida positiva e, para qualquer ĥ, f (2) (0, 0) 0 ĥ Pela observação , existe ĥ1 tal que f (2) (0, 0) = 0 ĥ 1 Calculando ĥ1, temos f (2) ĥ 1 (0, 0) = (f x (0, 0)h 1 + f y (0, 0)h 2 ) (2) = 2h 2 12 Logo, ĥ 1 = (1, 0) ou ĥ1 = ( 1, 0) Em qualquer desses casos, f (3) ĥ 1 (0, 0) = (f x (0, 0)(±1) + f y (0, 0)0) (3) = 0 e f (4) ĥ 1 (0, 0) = (f x (0, 0)(±1) + f y (0, 0)0) (4) = 72 > 0 Logo, pela condição 4 do teorema 1104, somos conduzidos ao caso duvidoso Reparando que f(0, 0) = 0, x 2 < y < 3x 2 = f(x, y) < 0, 34

38 (y < x 2 y > 3x 2 ) = f(x, y) > 0, provamos, por definição, que, em (0, 0), não há extremo 1132 Extremos condicionados Consideremos o seguinte problema: Determinar os extremos locais de uma função real f de domínio D R n, sujeita às restrições com m < n g 1 (x 1,, x n ) = 0 (A) g n (x 1,, x n ) = 0, 1ō caso: As restrições explicitam m das variáveis em função das outras n m variáveis Suponhamos, sem perda de generalidade, que x n m+1 = φ n m+1 (x 1,, x n m ) x n = φ n (x 1,, x n m ) Então os extremos condicionados ou sujeitos a restrições de f, serão os extremos locais da função real h, de n m variáveis reais, definida por h(x 1,, x n m ) := f(x 1,, x n m, φ n m+1 (x 1,, x n m ),, φ n (x 1,, x n m )) Exemplo 1109 Determinar três números reais positivos, de soma 10, e tais que o seu produto seja máximo Este problema pode ter a seguinte formulação : max f(x, y, z) = xyz s a x + y + z = 10 Os extremos condicionados de f serão os extremos livres de h, definida por h(x, y) := f(x, y, 10 x y) = xy(10 x y) Como h tem um máximo local em ( 10 3, 10 3 ), então f terá um máximo condicionado em ( 10 3, 10 3, ) 35

39 2ō caso: As restrições definem m das variáveis, implicitamente, como funções das outras n m variáveis Observações Sendo ( x 1,, x n ) um ponto de D, satisfazendo (A), eno qual f tem um extremo condicionado, então existem escalares de λ 1,, λm f + λ 1 g λ m g m = 0 f g 1 g m + λ λ m x n x n x n = 0 g 1 (x 1,, x n ) = 0 tais que ( x 1,, x n, λ 1,, λm ), é solução (B) g n (x 1,, x n ) = 0 Os escalares λ 1,, λ m designam-se por Multiplicadores de Lagrange 2 Se considerarmos F definida por F (x 1,, x n, λ 1,, λ m ) := f(x 1,, x n ) + λ 1 g 1 (x 1,, x n ) + + λ m g m (x 1,, x n ) então a resolução do sistema (A), equivale à determinação dos pontos críticos de F 3 Os pontos x nos quais a função f sujeita às restrições g 1 (x 1,, x n ) = 0 g m (x 1,, x n ) = 0 tem extremos, levam-nos a soluções do sistema (A) da forma ( x, λ) No entanto, nem toda a solução do sistema da forma ( x, λ) nos permite concluir que x é extremo condicionado de f 4 Há condições suficientes (de segunda ordem) para solucionar o problema da observação anterior Elas não serão objecto de estudo neste curso 36

40 5 Se o subconjunto D 1 do domínio de f que satisfaz as restrições é fechado e limitado, então, pelo teorema 199, podemos, de entre os pontos ( x, λ) que são soluções do sistema, determinar o(s) ponto(s) ( x 1 no qual f atinge o seu valor máximo (ou mínimo) e afirmar que, nesse(s) ponto(s), f tem um máximo (ou mínimo) absoluto Exemplo 1111 Estudar a existência de extremos absolutos da função real f definida por f(x, y, z) = xyz e sujeita à condição x 2 + y 2 + z 2 = 1 Neste caso F (x, y, z, λ) = xyz + λ(x 2 + y 2 + z 2 1) Determinação dos pontos críticos de F (candidatos a extremos condicionados de f) Começando por yz + 2λx = 0 xz + 2λy = 0 xy + 2λz = 0 x 2 + y 2 + z 2 1 = 0 chegamos ao sistema yz(1 3x 2 ) = 0 xz(1 3y 2 ) = 0 xy(1 3z 2 ) = 0 x 2 + y 2 + z 2 = 1 Então, há 14 pontos críticos de F, que irão ser da forma ( ) (±1, 0, 0), (0, ±1, 0), (0, 0, ±1), ± 3, ± 3, ± 3 Aplicando a observação , o máximo absoluto condicionado de f, de valor nos pontos ( ) ( ) ( ) , 3,, 3 3, 3,, 3 3, 3, e 3 O mínimo absoluto condicionado de f, de valor 3 9, é atingido nos pontos ( ) ) ) ( , 3, 3, ( 3 3 3, 3, 3, ( 3 3 3, 3, 3 e ( 3 3 3, 3, 3 3 3, 3, 3 9, é atingido ) 3 3 )

41 Iremos agora provar a observação , no caso m = 2 e n = 3 O caso geral (com m < n ) resulta de uma generalização óbvia e imediata O nosso problema é: Determinar os extremos locais de uma função real f de domínio D R 3, sujeita às restrições g 1 (x 1, x 2, x 3 ) = 0 g 2 (x 1, x 2, x 3 ) = 0 Seja x := ( x 1, x 2, x 3 ) um elemento de D, satisfazendo (B) Seja V( x) uma vizinhança aberta de x tal que g 1 e g 2 têm derivadas parciais contínuas em V( x) ( ) (g1, g 2 ) Suponhamos ainda que 0 (x 2, x 3 ) ( x) Pelo teorema das funções implícitas, existe uma vizinhança V( x 1 ) e funções reais φ 2 e φ 3 definidas em V( x 1 ) tais que φ 2 e φ 3 admitem derivadas parciais contínuas em V( x 1 ); x 2 = φ 2 ( x 1 ) e x 3 = φ 3 ( x 1 ); para qualquer x 1 em V( x 1 ), g 1 (x 1, φ 2 (x 1 ), φ 3 (x 1 )) = 0 e g 2 (x 1, φ 2 (x 1 ), φ 3 (x 1 )) = 0 Seja h uma função definida em V( x 1 ), por h(x 1 ) := (h 1 (x 1 ), h 2 (x 2 ), h 3 (x 3 )) := (x 1, φ 2 (x 1 ), φ 3 (x 1 )) A questão da existência de um extremo de f em x, reduz-se à existência de um extremo, em x 1, da função real U definida por U = f h Se U tem um extremo em x 1, então 38

42 0 = du dx 1 ( x 1 ) = = [ f [ f f x 2 f x 2 f x 3 f x 3 ] ] ( x) ( x) h 1 h 2 h 3 1 φ 2 φ 3 ( x 1 ) ( x 1 ) As igualdades anteriores e a derivação de funções compostas, permitem concluir que f f f x 2 x g 1 g 1 g 1 φ 2 = x 2 x 3 0 g 2 g 2 g 2 φ 3 0 x 2 x 3 ( x 1 ) Seja B := Então, f f x 2 f x 3 g 1 g 1 g 1 x 2 x 3 g 2 g 2 g 2 x 2 x 3 O sistema BX = 0 tem uma solução não nula, logo B = 0 ( x) ( x) 39

43 As linhas de B são linearmente dependentes ( ) (g1, g 2 ) Como 0, então a primeira linha é combinação linear das outras duas (x 2, x 3 ) O sistema ( x) é possível Tem uma só solução já que f ( x) + λ g 1 ( x) + µ g 2 ( x) = 0 f x 2 ( x) + λ g 1 x 2 ( x) + µ g 2 x 2 ( x) = 0 f x 3 ( x) + λ g 1 x 3 ( x) + µ g 2 ( (g1, g 2 ) (x 2, x 3 ) ( x) = 0 x 3 ) 0 Em conclusão, se f( x) é um extremo condicionado de f, sujeito ás restrições ( x) g 1 (x 1, x 2, x 3 ) = 0 g 2 (x 1, x 2, x 3 ) = 0 então existem escalares λ e µ tais que ( x 1, x 2, x 3, λ, µ) é solução do sistema f + λ g 1 + µ g 2 = 0 f x 2 + λ g 1 x 2 + µ g 2 x 2 = 0 f x 3 + λ g 1 x 3 + µ g 2 x 3 = 0 g 1 (x 1, x 2, x 3 ) = 0 g 2 (x 1, x 2, x 3 ) = 0 40

44 114 Funções homogéneas Teorema de Euler Definição 1112 Uma função real f de domínio D R 2 é homogénea de grau α se, para quaisquer x, y e t tais que (x, y) D e (tx, ty) D, f(tx, ty) = t α f(x, y) α é uma constante real independente de x, y e t t 0 A função é positivamente homogénea de grau α se a igualdade se verificar com a restrição Exemplos 1113 ( y 1 A função f definida por f(x, y) = x 2 + y 2 arcsin x) 2 é, para x 0, homogénea de grau 2 A função g definida por g(x, y) = x 2 + y 2 é positivamente homogénea de grau 1 Segue-se um resultado importante para funções positivamente homogéneas Teorema 1114 Se f é positivamente homogénea de grau α, então verifica-se a chamada identidade de Euler, xf x (x, y) + yf y (x, y) = αf(x, y), em todo o ponto no qual f seja diferenciável Reciprocamente, se uma função diferenciável verifica a identidade de Euler, ela é positivamente homogénea de grau α 41

45 2 Equações diferenciais de ordem n 21 Equações diferenciais ordinárias Definição 21 Uma equação diferencial ordinŕia é uma equação que contem uma única função incógnita f, dependente de uma variável x e um número finito de derivadas de f Exemplo 22 f (x) = x + 1 é, em R, uma equação diferencial ordinária, tendo soluções da forma f(x) = x2 2 + x + c, com c uma qualquer constante real Definição 23 Sejam D um aberto de R n+2 e F uma função real de domínio D A equação F (x, y, y,, y (n) ) = 0, onde y (i) designa a derivada de ordem i de y (em ordem a x), é chamada equação diferencial ordinária de ordem n A ordem da equação é a maior das ordens das derivadas que figuram na equação Observação 24 No exemplo anterior, a ordem é 1 Definição 25 Sejam D um aberto de R n+2 e F uma função real de domínio D Se I é um intervalo de R e φ é uma função real de domínio I, com derivadas até à ordem n, então φ é uma solução da equação F (x, y, y,, y (n) ) = 0 se, para qualquer x I, (x, φ(x), φ (x),, φ (n) (x)) D e F (x, φ(x), φ (x),, φ (n) (x)) = 0 Ao intervalo I chama-se intervalo de definição de φ Exemplo 26 A função φ definida por φ(x) = e 3x 2, é, em R, uma solução da equação diferencial y 3y 6 = 0 Definição 27 Uma família de soluções de uma equação diferencial de ordem n, contendo n constantes arbitrárias essenciais, designa-se por solução geral ou integral geral dessa equação diferencial Escolhendo valores específicos para as constantes, obtêm-se as soluções particulares As soluções que não possam ser obtidas como as particulares, designam-se por soluções singulares 42

46 Exemplos 28 1 Prova-se que a equação de Bernoulli y xy 1 2 = 0, tem y = ( x2 4 + c)2 por solução geral y = x4 16 é uma solução particular, resultante de considerar c = 0 y = 0 é uma solução singular c é uma constante essencial essenciais, devendo substituir-se c 1 + c 2 por c No entanto, em y = ( x2 4 + c 1 + c 2 ) 2, c 1 e c 2, não são 2 A determinação de soluções gerais não é, em muitos casos, simples Há, no entanto, situações fáceis como as equações lineares, que estudaremos no próximo parágrafo, ou os exemplos que se seguem y = 3x2 2 + x + c, y = x3 + 2x 2 + c 1 x + c 2 e y = e x + c 1 x 2 + c 2 x + c 3 são soluções gerais, respectivamente de y = 3x + 1, y = 6x + 4 e y = e x Definição 29 Dada a equação de ordem n y (n) = G(x, y, y,, y (n 1) ) (1) e, com k 0,, k n 1 constantes reais dadas e x 0 I, as condições iniciais y(x 0 ) = k 0, (2) y (x 0 ) = k 1, (3) y (n 1) (x 0 ) = k n 1, (4) diz-se que (1) - (4) formam um problema de condições iniciais ou um problema de Cauchy Exemplo 210 A equação y = x + 1 admite a solução geral y = x2 2 + x + c A mesma equaç ão, com a condição inicial y(0) = 8, tem a solução (particular) y = x x

47 22 Equações diferenciais, ordinárias e lineares Definição 211 Chama-se equação diferencial, ordinária, linear e de ordem n, a uma equação do tipo a 0 (x)y (n) + a 1 (x)y (n 1) + + a n 1 (x)y + a n (x)y = f(x), (5) com a 0, a 1,, a n e f funções definidas num intervalo I R e a 0 não identicamente nula, em I Se as funções a 0, a 1,, a n forem constantes, a equação diz-se com coeficientes constantes Se f for, em I, a função nula, a equação designa-se por homogénea Exemplos 212 ordem 2 1 y + y = sin (2x), é uma equação linear, com coeficientes constantes e 2 x 4 y + (cos x)y = x, é uma equação linear de ordem 3 3 e x y + xy = 0, é uma equação linear e homogénea 4 e x y + y 2 = 0, é uma equação não linear 5 y + yy = e x, é uma equação não linear Observação 213 Até ao final destas notas, consideraremos a 0, a 1,, a n e f funções contínuas num intervalo I R e, para qualquer x I, a 0 (x) 0 Segue-se um teorema de existência e unicidade de solução para o problema de Cauchy, no caso das equações lineares Teorema 214 Sejam a 0, a 1,, a n e f funções contínuas num intervalo fechado I R e, para qualquer x I, a 0 (x) 0 Sejam ainda x 0 I e k 0,, k n 1, n números reais dados Existe uma e uma só solução y(x), da equação (5), definida em I e verificando as condições (2) - (4) Observações Há teoremas de existência e unicidade para casos mais gerais (ver, por exemplo, Kaplan) 44