Estudo de funções reais de várias variáveis

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1 Estudo de funções reais de várias variáveis Sofia Castro Gothen Faculdade de Economia do Porto Setembro de 2002

2 Introdução Nestes apontamentos é feito o estudo de funções de várias variáveis. Sendo estas funções de difícil representação gráfica, este estudo destina-se a conhecer melhor a função sem recurso ao gráfico. No entanto, são tratados aspectos gráficos, como as curvas de nível e, sempre que possível, é explicado o significado geométrico dos objectos estudados. Sendo um texto de apoio para disciplinas de matemática, não se pretende introduzir nenhuma aplicação de carácter económico. Estas aplicações serão certamente muito melhor apresentadas nas disciplinas da área apropriada. Para os mais interessados em aplicações fica a referência do livro de A.C. Chiang [2], em cujas secções 7.5, 8.6 e 11.6 se podem encontrar aplicações de assuntos como derivação, funções implícitas e extremos, respectivamente. Em relação ao livro de A.C. Chiang, uma chamada de atenção para os alunos, da licenciatura em Economia, que vão ser avaliados sobre os assuntos aqui tratados: a avaliação é feita sobre este texto e não sobre o livro de A.C. Chiang. Assim, quaisquer definições, resultados ou notação de algum modo utilizados na avaliação são os que constam no presente texto. Ao contrário da maior parte dos produtos dos dias de hoje, estas notas são oferecidas sem qualquer garantia. Por esse motivo, comentários e correcções são muito bem-vindos. Finalmente, resta agradecer ao Senhor Professor Doutor Francisco Durão cujos apontamentos de aula foram preciosos para estruturar estas notas. Agradeço também aos Mestres Manuela Aguiar e Filipe Antunes o terem lido e comentado a versão original. A presente versão beneficiou dos comentários do meu colega Paulo Sousa, a quem eu muito agradeço. 1

3 Índice 1 O espaço vectorial R n 3 2 Funções reais de várias variáveis reais 4 3 Limites e continuidade 6 4 Derivação Derivadas parciais Derivada de uma função real de 2 variáveis reais Derivadas direccionais Funções homogéneas 29 6 Funções Implícitas 30 7 Extremos de funções de várias variáveis Extremos livres Extremos condicionados Breve introdução às condições de Kuhn-Tucker Alguns exercícios 46 9 Bibliografia 55 2

4 1 O espaço vectorial R n Definimos R n como o conjunto seguinte {(x 1,..., x n ) : x i R; i = 1,..., n}, ou seja, como o conjunto dos pontos com n coordenadas reais. Representamos os pontos de R n da seguinte forma X = (x 1,..., x n ) ou, simplesmente como X R n quando não houver necessidade de usar coordenadas explicitamente. É sabido que se trata de um espaço vectorial real com as operações de adição ou composição interna e X + Y = (x 1,..., x n ) + (y 1,..., y n ) = (x 1 + y 1,..., x n + y n ) multiplicação ou composição externa λx = λ(x 1,..., x n ) = (λx 1,..., λx n ), válidas para todos os X, Y R n e todos os λ R. Sendo um espaço vectorial, utilizamos frequentemente a designação de vectores para os elementos de R n e a de escalares para os elementos do corpo R. Observação. Se n = 1, as designações acima podem tornar-se confusas, uma vez que, tanto os vectores como os escalares, são elementos de um mesmo conjunto. No entanto, estas designações permitem distinguir as diferentes propriedades dos reais quando os consideramos um corpo ou um espaço vectorial. Dados dois vectores X = (x 1,..., x n ) e Y = (y 1,..., y n ) de R n, definimos o produto escalar de X e Y como o número real X.Y = (x 1,..., x n ).(y 1,..., y n ) = x 1 y x n y n. Definimos a norma de um vector X como sendo o número real não negativo associado a X da seguinte maneira X = X.X. 3

5 A distância entre os dois pontos de R n definidos por X e Y é dada por X Y = (X Y ).(X Y ). Sendo a distância definida à custa da norma, é evidente que esta vai ser sempre positiva ou nula. 2 Funções reais de várias variáveis reais Vamos agora fazer o estudo de funções reais de várias variáveis reais. Note-se que este estudo tem necessariamente que incluir todos os resultados relativos a funções reais de variável real. Definição 2.1. Seja D R n um subconjunto. Uma função real de n variáveis reais é uma lei que associa a cada X = (x 1,..., x n ) D R n um único número real f : D R (x 1,..., x n ) f(x 1,..., x n ). Ao conjunto D chamamos domínio de f e definimos o contradomínio de f como sendo o {f(x 1,..., x n ) : (x 1,..., x n ) D}. Exemplo 1. O domínio da função de duas variáveis definida por é D = {(x, y) R 2 : x 2} R 2. f(x, y) = y 2 + x Exercício 1. Represente graficamente o domínio da função do exemplo anterior. Por vezes, utilizamos D f para representar o domínio de f e assim distinguir entre domínios de diferentes funções. É também frequente o uso da notação z = f(x 1,..., x n ) para designar o valor que a função f toma no ponto (x 1,..., x n ). Neste caso, distinguimos entre as variáveis independentes (x 1,..., x n ) e a variável dependente z. Utilizaremos as diferentes notações conforme for mais apropriado. 4

6 Observação. Uma vez que apenas faz sentido estudar as funções em pontos do seu domínio, encontrar este domínio é o primeiro passo no estudo de funções. Mais adiante, deixaremos de fazer referência explícita a D f, referindo apenas o espaço R n em que este se encontra. É claro que qualquer resultado a seguir mencionado apenas é válido em D f. Definição 2.2. O gráfico de uma função f : D R n R é o conjunto dos pontos de R n+1 da forma (x 1,..., x n, z) tais que (x 1,..., x n ) D e z = f(x 1,..., x n ), isto é, {(x 1,..., x n, z) R n+1 : z = f(x 1,..., x n ) (x 1,..., x n ) D}. Todas estas definições são conhecidas se n = 1. Neste caso, o gráfico é uma curva em R 2 que sabemos desenhar. No caso de f ser uma função de duas variáveis, já o gráfico não é tão fácil de desenhar, uma vez que é uma superfície em R 3. Para funções de mais variáveis torna-se impossível o seu esboço gráfico. Para termos uma ideia de como é este gráfico sem, no entanto, sermos capazes de o desenhar, recorremos às superfícies de nível. Definição 2.3. A superfície de nível c, com c R constante, da função f : D R n R é o conjunto dos pontos de D cuja imagem é igual ao valor constante c, ou seja, N c = {(x 1,..., x n ) D : f(x 1,..., x n ) = c} D. Assim, para uma função de duas variáveis, as superfícies de nível são curvas em R 2. Por este motivo, muitas vezes utilizamos a designação curva de nível neste caso. Para estas funções, as curvas de nível equivalem a fazer um corte no gráfico de f, em R 3, por um plano horizontal de altura c. Exemplo 2. Seja f : R 2 R a função definida por f(x, y) = x 2 + y 2. As superfícies de nível c de f são vazias se c < 0, são um ponto (a origem) se c = 0 e são circunferências de raio c para c > 0, N c = {(x, y) R 2 : x 2 + y 2 = c}. 5

7 Exemplo 3. Seja f : R 2 R a função definida por f(x, y) = x 2 y 2. As superfícies de nível c de f são as rectas bissectrizes dos quatro quadrantes se c = 0 e são hipérboles que intersectam o eixo horizontal se c > 0 e o eixo vertical se c < 0, N c = {(x, y) R 2 : x 2 y 2 = c}. 3 Limites e continuidade Vamos estender às funções reais de n variáveis as noções já conhecidas de limite e continuidade. De forma análoga ao que acontece com funções de uma variável, temos a seguinte Definição 3.1. Dizemos que a função f : R n R tem limite igual a L no ponto X 0 R n se f(x) está arbitrariamente próximo de L para todos os pontos X no domínio de f suficientemente próximos de X 0, ou seja, ɛ > 0 δ > 0 : X D f \ {X 0 } X X 0 < δ f(x) L < ɛ. Escrevemos então lim f(x) = L. X X 0 Uma observação importante é a de que, na definição acima, não exigimos que o ponto X 0 no qual estamos a calcular o limite seja um ponto do domínio da função. No entanto, se não houver pontos do domínio de f a uma distância de X 0 menor que δ, não faz sentido definir o limite da função neste ponto X 0 desta maneira. Assim, falamos de limite no ponto X 0 apenas quando, qualquer que seja δ, haja pontos do domínio de f, diferentes de X 0, a uma distância de X 0 menor que δ, isto é, δ > 0 X D f \ {X 0 } : X X 0 < δ. 6

8 Aos pontos X 0 que verificam esta condição chamamos pontos de acumulação. Se, pelo contrário, X 0 D f é tal que δ > 0 : {X D f \ {X 0 } : X X 0 < δ} =, isto é, não há pontos em D f tão próximos de X 0 quanto se queira, dizemos que X 0 é um ponto isolado. Ao seguinte conjunto V δ = {X D f : X X 0 < δ} chamamos vizinhança de X 0 de raio δ em D f, isto é, trata-se do conjunto dos pontos que distam menos de δ do ponto X 0. Para pontos isolados nos quais a função está definida, definimos o limite, por convenção, como sendo lim f(x) = f(x 0 ). X X 0 Exemplo 4. No domínio da função real de duas variáveis definida por f(x, y) = y x apenas existem pontos de acumulação. Temos D f = {(x, y) R 2 ; x 0} e todos os pontos do eixo vertical têm pontos de D f tão próximos quanto se queira. O domínio da função real de variável real g(x, y) = y log x é o conjunto {(x, y) R 2 ; x > 0}. Todos os pontos do domínio são pontos de acumulação e, além destes, todos os pontos do eixo vertical são pontos de acumulação do domínio. No conjunto {(x, y) R 2 : x 0} {( 1, 1)}, o ponto ( 1, 1) é um ponto isolado. Todos os outros pontos do conjunto são pontos de acumulação. Definição 3.2. Dizemos que a função f : R n R tem limite infinito no ponto X 0 D f se f(x) se torna arbitrariamente grande para todos os pontos X no domínio de f suficientemente próximos de X 0, ou seja, M > 0 δ > 0 : X D f \ {X 0 } X X 0 < δ f(x) > M. 7

9 Escrevemos então lim f(x) =. X X 0 Assim como para funções reais de uma variável podemos falar de limite à esquerda e limite à direita, também para funções de mais variáveis podemos falar do limite restrito a uma direcção determinada ou a um qualquer caminho contido no domínio de f. A estes limites chamamos limites trajectoriais ou limites ao longo de um caminho. Escrevemos lim f(x) = L, X X 0 X C sendo C o caminho ou a trajectória que define a aproximação ao ponto X 0. É claro que, sendo a definição de limite independente do modo como os pontos X D f estão próximos de X 0, se existir limite L neste ponto, existem todos os limites trajectoriais e são iguais a L. O inverso também é verdade, isto é, se existirem e forem iguais a L todos os limites trajectoriais em X 0 então também existe e é igual a L o limite em X 0. Mas, sendo o número de limites trajectoriais num ponto em R n, n 2, infinito, não podemos utilizar este facto para estabelecer a existência de limite. Os limites trajectoriais são úteis, em especial, para obter o resultado inverso, ou seja, a não existência de limite num ponto. Com efeito, se dois limites trajectoriais são diferentes ou, pelo menos um deles não existe, num ponto X 0 então não existe limite nesse ponto. Exemplo 5. Mostremos que não existe lim f(x, y) = (x,y) (0,0) lim (x,y) (0,0) x 2 x 2 + y 2. Ao longo do eixo horizontal, isto é, da recta de equação y = 0 temos lim (x,0) (0,0) x 2 x 2 + y 2 = 1. Mas, ao longo do eixo vertical, ou seja, da recta x = 0 lim (0,y) (0,0) x 2 x 2 + y 2 = 0. Logo, o limite da função dada não existe na origem. 8

10 Vejamos, a título de curiosidade, que podíamos ter utilizado qualquer recta que passe pela origem. Calculemos o limite ao longo da recta genérica de equação y = ax com a R, isto é, da recta com a direcção do vector U = (1, a). O x 2 lim f(x, ax) = lim x 0 x 0 x 2 + a 2 x = a 2 varia com a R logo, o limite não existe. Este exemplo ilustra o caso mais simples de limite trajectorial que é aquele em que o caminho é uma recta que passa por X 0. Dado que a recta é determinada pela direcção de um vector, U, utiliza-se, neste caso, a designação de limite direccional. Apesar de não servirem para provar a existência de limite num ponto, o cálculo dos limites trajectoriais pode levar-nos a crer que tal limite existe e a encontrar o valor desse limite. Exemplo 6. Para encontrar o valor do limite na origem de f(x, y) = x2 y 2 x 2 + y 2, comecemos por calcular este limite ao longo de rectas da forma y = ax com a R. Obtemos lim x 0 x 2 a 2 x 2 x 2 + a 2 x 2 = 0, o que nos garante que, caso o limite exista, este é o seu valor. Vamos mostrar que assim é. Queremos encontrar δ > 0 tal que se então Temos (x, y) < δ f(x, y) < ɛ. x 2 y 2 f(x, y) = x 2 + y 2 < (x2 + y 2 )(x 2 + y 2 ) x 2 + y 2 = x 2 + y 2 = (x, y) 2 < δ 2 < ɛ. Logo, basta escolher δ < ɛ, por exemplo, δ = ɛ 2. 9

11 Lema 3.1 (Propriedades dos limites). As propriedades dos limites são as mesmas que para funções reais de variável real. Exercício 2. Enuncie e demonstre as propriedades dos limites para funções reais de duas variáveis. [Sugestão: Procure na bibliografia.] Definição 3.3. Uma função f : R n R diz-se contínua no ponto X 0 D f se ou seja, lim f(x) = f(x 0 ), X X 0 ɛ > 0 δ > 0 : X D f X X 0 < δ f(x) f(x 0 ) < ɛ. Se f não é contínua em X 0, diz-se descontínua em X 0 ou que tem uma descontinuidade em X 0. Note-se que nesta definição não é necessário exigir a existência de pontos do domínio de f próximos de X 0. Com efeito, a condição da definição de continuidade verifica-se trivialmente em pontos isolados pelo que, qualquer função é sempre contínua neste tipo de pontos. Definição 3.4. Uma função f : R n R diz-se contínua em D 1, D 1 D f, se é contínua em todos os pontos de D 1. Uma função f : R n R diz-se contínua se é contínua em todos os pontos do seu domínio, isto é, se X 0 D f ɛ > 0 δ > 0 : X D f X X 0 < δ f(x) f(x 0 ) < ɛ. Exemplo 7. A função f : R 2 R definida por f(x, y) = x + y 2 é contínua. Temos e x x 0 (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = X X 0 y y 0 (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = X X 0. 10

12 Usando as desigualdades acima, obtemos f(x) f(x 0 ) = x + y 2 x 0 y 2 0 = (x x 0 ) + y 2 y 2 0 = = (x x 0 ) + (y y 0 ) 2 + 2y 0 (y y 0 ) X X 0 + X X y 0 X X 0 δ + δ y 0 δ = δ(δ y 0 ). Queremos escolher δ tal que δ(δ y 0 ) < ɛ. Se δ 1 então δ 2 δ e δ(δ y 0 ) < 2δ(1 + y 0 ). Para esta última expressão ser menor que ɛ escolhemos, por exemplo, δ = min{1, ɛ 4(1 + y 0 ) }. Observação. Para estudar a continuidade num ponto X 0, podemos fazer uso também dos limites trajectoriais. Assim, se ao aproximarmos o ponto X 0 por um dado caminho não obtivermos como limite o valor f(x 0 ), garantimos a descontinuidade da função nesse ponto. Exercício 3. Mostrar que tem uma descontinuidade na origem a função definida em R 2 por { x 2 f(x, y) = x 2 +y 2 1 se (x, y) (0, 0) se (x, y) = (0, 0). Teorema 3.1. Sejam f : R n R e g : R R funções contínuas em X 0 e f(x 0 ), respectivamente. A função g f : R n R é também contínua no ponto X 0. Demonstração: Seja ɛ > 0. Como g é contínua em Y X0 = f(x 0 ), existe δ g > 0 tal que Y Y X0 = Y f(x 0 ) < δ g g(y ) g(y X0 ) = g(y ) g(f(x 0 ) < ɛ. Fixemos δ g nas condições anteriores. Como f é contínua em X 0, para este δ g, existe δ > 0 tal que X X 0 < δ f(x) f(x 0 ) < δ g. 11

13 Uma vez que a última desigualdade implica g(f(x)) g(f(x 0 ) < ɛ fica provado o teorema. Este resultado permite-nos concluir a continuidade, por exemplo, da função h(x, y) = ln(x + y 2 ), usando o exemplo anterior e a continuidade, que já conhecemos, da função logaritmo no seu domínio. O teorema seguinte, apresentado sem demonstração, permite concluir, por exemplo, que a função f(x, y) = x 2 /(x 2 + y 2 ) é contínua. Teorema 3.2. Sejam f e g funções reais de variável real, contínuas em x 0 e y 0, respectivamente. As funções h : R 2 R e k : R 2 R definidas por h(x, y) = f(x)g(y) e k(x, y) = f(x) + g(y) são contínuas no ponto (x 0, y 0 ). 4 Derivação Neste capítulo, vamos estabelecer o conceito de derivada de uma função de várias variáveis. Convém ter sempre em mente a razão pela qual nos interessa saber derivar. Assim como nas funções reais de variável real, a derivada da função nos dá informação sobre o crescimento da função e pontos extremos, também aqui a derivada nos vai dar informação sobre a forma do gráfico da função. Note-se que, sendo muito mais difícil desenhar gráficos de funções de várias variáveis, a derivada adquire aqui um papel ainda mais importante. Analogamente ao que acontece em funções de uma variável, as funções diferenciáveis ou deriváveis de mais variáveis são aquelas cujo gráfico não tem dobras nem cantos. 4.1 Derivadas parciais Este conceito requer apenas conhecimentos relativos a funções de uma variável. No que se segue, não vamos explicitar o domínio das funções que consideramos. Assim, supomos que as funções têm domínio R n. Caso tal não aconteça, os resultados mantêm-se válidos em D f R n. Definição 4.1. Seja f : R n R uma função de n variáveis, x 1, x 2,..., x n. A derivada parcial de f em ordem a x i é uma função das mesmas n 12

14 variáveis reais definida, no ponto (x 0 1, x 0 2,..., x 0 n), por f xi (x 0 1, x0 2,..., x0 n ) = f x i (x 0 1, x0 2,..., x0 n ) f(x 0 = lim 1, x 0 2,..., x 0 i + h,..., x 0 n) f(x 0 1, x 0 2,..., x 0 n). h 0 h É claro que a derivada parcial só existe se existir e fôr finito o limite da definição. Da definição de derivada parcial, é imediato reconhecer que se trata de calcular a derivada de uma função real de variável real x i, sendo as restantes componentes consideradas constantes nesta nova função. Podemos, então, utilizar todas as regras de derivação em R para calcular derivadas parciais. Exemplo 8. A função f(x, y) = x 2 y + e (y sen (y5 +log y 6 )) tem como derivada parcial em ordem a x a função f (x, y) = 2xy. x Para entendermos o significado geométrico desta definição, consideremos a função de duas variáveis, f : R 2 R tal que z = f(x, y). Utilizando o ponto (x 0, y 0 ) R 2, definimos duas funções reais de uma variável e Com esta notação, temos g : R R x f(x, y 0 ) h : R R y f(x 0, y). f x (x 0, y 0 ) = f x (x 0, y 0 ) = g (x 0 ) 13

15 e f y (x 0, y 0 ) = f y (x 0, y 0 ) = h (y 0 ). Fazendo variar o ponto (x 0, y 0 ), obtemos duas funções nas variáveis x e y, a saber f x (x, y) = f x (x, y) e f y(x, y) = f (x, y). y Em termos do gráfico das funções, a função g tem o gráfico que resulta da intersecção do gráfico de f com o plano vertical y = y 0. Analogamente, o gráfico de h obtém-se intersectando o gráfico de f com o plano vertical x = x 0. Assim sendo, como as derivadas das funções g e h correspondem à variação de cada uma das funções, as derivadas parciais indicam a variação de f ao longo das curvas que constituem os gráficos de g e h, nos planos que os contêm. Exemplo 9. Dada a função real de duas variáveis f(x, y) = x 2 y + y 3, as suas derivadas parciais são f x (x, y) = f x (x, y) = 2xy e f y(x, y) = f y (x, y) = x2 + 3y 2. Uma vez que a derivada parcial em ordem a y é sempre positiva, sabemos que a função f é sempre crescente em qualquer plano vertical x = a R. As derivadas parciais foram obtidas por derivação directa usando as regras de derivação de funções de uma variável. Vejamos como calcular f x com a definição. f x (x f(x 0 + h, y 0 ) f(x 0, y 0 ) 0, y 0 ) = lim h 0 h = lim h 0 (x 0 + h) 2 y 0 + y 3 0 x2 0 y 0 y 3 0 h x 2 = lim 0y 0 + 2x 0 y 0 h + y 0 h 2 x 2 0y 0 h 0 h = lim (2x 0 y 0 + y 0 h) = 2x 0 y 0. h 0 = = = Como nos diz a definição de derivada parcial, esta é uma função real nas mesmas variáveis que a função f de que partimos. Podemos então pensar em calcular derivadas parciais para esta função derivada parcial, f xi = f/ x i, 14

16 obtendo novas funções reais nas mesmas variáveis. Chamamos a estas últimas derivadas parciais, derivadas parciais de 2 ā ordem. Para uma função f de duas variáveis existem 4 derivadas parciais de 2 ā ordem, a saber 2 f = x 2 x ( f x ) = (f x) x = f xx 2 f y x = y ( f x ) = (f x) y = f xy 2 f = x y x ( f y ) = (f y) x = f yx 2 f = y 2 y ( f y ) = (f y) y = f yy. Para obter derivadas parciais de ordem superior, basta calcular as derivadas parciais das funções obtidas acima e iterar o processo tantas vezes quantas as necessárias. Exemplo 10. Dada a função real de duas variáveis f(x, y) = sen x sen 2 y, temos as seguintes derivadas parciais f x (x, y) = cos x sen2 y e f (x, y) = 2 sen x sen y cos y = sen x sen(2y). y Derivando cada uma destas funções em ordem a cada uma das variáveis, obtemos as derivadas parciais de 2 ā ordem e 2 f x (x, y) 2 = sen x sen2 y, 2 f (x, y) y2 = 2 sen x cos(2y), 2 f (x, y) x y = cos x sen(2y) 2 f y x (x, y) = 2 cos x sen y cos y = cos x sen(2y). Exercício 4. Calcule as derivadas parciais de 3 ā ordem da função f do e- xemplo anterior. No exemplo acima, verificamos que as derivadas de 2 ā ordem, em ordem às duas variáveis são iguais. Vejamos que isso não acontece por acaso. 15

17 Teorema 4.1 (Teorema de Schwarz). Se f é uma função real de duas variáveis reais de domínio D f, cujas derivadas parciais f x, f y e f xy existem numa vizinhança centrada num ponto (x 0, y 0 ) D f e são contínuas neste ponto, então existe também f yx (x 0, y 0 ) e 2 f x y (x 0, y 0 ) = 2 f y x (x 0, y 0 ). A demonstração deste teorema pode ser encontrada em A. A. Breda e J. N. Costa [1], p.46. O Teorema de Schwarz aparece por vezes enunciado na seguinte forma: Teorema 4.2. Se f é uma função real de duas variáveis reais de domínio D f, cujas derivadas parciais f yx e f xy existem numa vizinhança centrada num ponto (x 0, y 0 ) D f e são contínuas neste ponto, então 2 f x y (x 0, y 0 ) = 2 f y x (x 0, y 0 ). 4.2 Derivada de uma função real de 2 variáveis reais Por analogia com a derivada de funções de uma variável, pretendemos que a derivada de uma função de duas variáveis num ponto dê alguma indicação sobre a variação da função e, ao mesmo tempo constitua uma boa aproximação da função em pontos próximos. Se para funções reais de variável real, a recta tangente à curva que constitui o gráfico da função no ponto x 0 é uma boa aproximação da função para pontos próximos de x 0, vamos definir derivada de uma função de duas variáveis de modo a que o plano tangente à superfície que constitui o gráfico da função seja a boa aproximação que procuramos. Definição 4.2. Seja f : R 2 R. Dizemos que f é derivável ou diferenciável no ponto (x 0, y 0 ) D f se ambas as derivadas parciais de 1 ā ordem existem em (x 0, y 0 ) e se f(x, y) f(x 0, y 0 ) f lim (x x 0, y 0 )(x x 0 ) f (x y 0, y 0 )(y y 0 ) (x,y) (x 0,y 0 ) (x, y) (x 0, y 0 ) Por outras palavras, dizemos que f é derivável se a expressão f(x 0, y 0 ) + f x (x 0, y 0 )(x x 0 ) + f y (x 0, y 0 )(y y 0 ) = 0. é uma boa aproximação de f para pontos próximos de (x 0, y 0 ). 16

18 Vejamos agora que z = f(x 0, y 0 ) + f x (x 0, y 0 )(x x 0 ) + f y (x 0, y 0 )(y y 0 ) não é mais do que a equação do plano tangente ao gráfico de f no ponto (x 0, y 0, f(x 0, y 0 )). Com efeito, a equação de um plano em R 3 é da forma z = a(x x 0 ) + b(y y 0 ) + c. Se queremos que este plano seja tangente ao gráfico de f, o declive das rectas tangentes nos planos verticais x = x 0 e y = y 0 é dado pelo valor das derivadas parciais neste ponto. Assim, a = f x (x 0, y 0 ) e b = f y (x 0, y 0 ). Como para (x, y) = (x 0, y 0 ) temos z = f(x 0, y 0 ), vem c = f(x 0, y 0 ). Podemos dizer que uma função é diferenciável num ponto (x 0, y 0 ) se o plano tangente ao gráfico da função neste ponto é uma boa aproximação da função. Neste caso, pode fazer sentido aproximar o valor que a função toma num ponto próximo de (x 0, y 0 ) pela imagem desse ponto no plano tangente conforme o exemplo a seguir. Exemplo 11. Sabendo que f(x, y) = xy é diferenciável em todo o domínio, podemos aproximar o valor que a função toma em (x, y) = (10.1, 5.2) usando o plano tangente ao gráfico de f no ponto (x 0, y 0, f(x 0, y 0 ) = (10, 5, 50). Este plano tangente é descrito pela equação z = (10, 5) + f f (10, 5)(x 10) + (10, 5)(y 5) x y logo, f(10.1, 5.2) ( ) + 10(5.2 5) = Definição 4.3. Seja f : R 2 R derivável no ponto (x 0, y 0 ). Ao vector grad f(x 0, y 0 ) = f(x 0, y 0 ) = ( f x (x 0, y 0 ), f y (x 0, y 0 )) chamamos vector gradiente de f. 17

19 A equação do plano tangente ao gráfico de f no ponto (x 0, y 0 ) obtém-se a partir do produto escalar z = f(x 0, y 0 ) + f(x 0, y 0 ).(x x 0, y y 0 ). Definição 4.4. A derivada de f no ponto (x 0, y 0 ) é a aplicação de R 2 em R que a um vector (u, v) R 2 associa Df(x 0, y 0 )(u, v) = f(x 0, y 0 ).(u, v) e a única função linear que satisfaz a seguinte igualdade f(x, y) f(x 0, y 0 ) Df(x 0, y 0 )(x x 0, y y 0 ) lim = 0. (x,y) (x 0,y 0 ) (x, y) (x 0, y 0 ) Neste caso, a equação do plano tangente obtém-se efectuando z = f(x 0, y 0 ) + Df(x 0, y 0 )(x x 0, y y 0 ). Note-se que, sendo a derivada uma função das mesmas variáveis que a função original, podemos, em alguns casos, continuar o processo de derivação. Não vamos tratar este assunto neste curso. Observação. Se f é uma função de n variáveis, as definições de gradiente e derivada são a generalização trivial das definições acima. Assim, se f : R n R temos e f(x 0 1,..., x 0 n) = ( f x 1 (x 0 1,..., x 0 n),..., f x n (x 0 1,..., x 0 n)) Df(x 0 1,..., x 0 n)(u 1,..., u n ) = f(x 0 1,..., x 0 n).(u 1,..., u n ). Lema 4.1 (Propriedades da derivada). As propriedades da função derivada são análogas às propriedades da derivada de uma função real de uma variável real. Exercício 5. Enuncie as propriedades da função derivada de uma função real de duas variáveis. 18

20 Exemplo 12. O plano tangente ao gráfico de f(x, y) = x 2 + y 4 + e xy no ponto (1, 0, f(1, 0)) é dado pela equação z = 2x + y. Comecemos por calcular o valor da função no ponto em causa: f(1, 0) = = 2. As derivadas parciais no ponto considerado são f x (1, 0) = (2x + yexy ) (1,0) = 2 e f y (1, 0) = (4y3 + xe xy ) (1,0) = 1, donde a equação do plano tangente é z = 2(x 1) + 1(y 0) + 2. Exercício 6. Calcule a função derivada da função do exemplo anterior no ponto (1, 0). Exemplo 13. A função f(x, y) = x + y é derivável no ponto (1, 0) já que lim (x,y) (1,0) f(x, y) f(1, 0) f x = lim (x,y) (1,0) f (1, 0)(x 1) (1, 0)(y 0) y (x, y) (1, 0) f(x, y) 1 1(x 1) 1(y 0) = (x 1)2 + y 2 0 = lim (x,y) (1,0) (x 1)2 + y = 0. 2 = A derivada de f neste ponto é a função real de duas variáveis Df(1, 0)(u, v) = (1, 1).(u, v) = u + v. De notar que a derivada é a própria função. Isto acontece com todas as funções lineares. Geometricamente, o gráfico da função f, quando esta é uma função linear de duas variáveis, é um plano. Logo, a melhor aproximação ao gráfico da função, isto é, o plano tangente ao gráfico da função, é o próprio gráfico. Assim, a derivada é a própria função. 19

21 Exercício 7. Calcule a derivada da função f(x, y) = x + y + 1 no ponto (1, 0) e determine a equação do plano tangente ao gráfico da função neste ponto. Este último exemplo permite também concluir que a utilização da definição para mostrar que uma função é derivável pode conduzir a cálculos muito complicados. Assim, vamos introduzir alguns resultados que permitem, em alguns casos, concluir da derivabilidade ou não de uma função sem recorrer à definição. Vejamos, antes de mais, que a existência de derivadas parciais não é condição suficiente para a existência de derivada de uma função. No entanto, é claro que se não existirem derivadas parciais, a função não é derivável. Esta conclusão é imediata a partir da definição. Exemplo 14. A função f de duas variáveis definida por { xy se (x, y) (0, 0) f(x, y) = x 2 +y 2 0 se (x, y) = (0, 0). Usando a definição para calcular as derivadas parciais na origem obtemos f (0, 0) = lim x h 0 h.0 0 h h e analogamente, a derivada parcial em ordem a y é igual a zero. Caso a função seja diferenciável na origem tem que ser igual a zero o seguinte lim (x,y) (0,0) xy 0 x 2 +y 2 x2 + y = lim 2 (x,y) (0,0) = 0 xy x2 + y 2 (x 2 + y 2 ). Ora, ao longo da recta y = x este limite é infinito pelo que a função f não é diferenciável na origem. A função f do exemplo anterior não é sequer contínua na origem. O facto de uma função ser contínua não nos permite concluir se ela é derivável como sabemos de exemplos com uma variável. No entanto, a descontinuidade de uma função num ponto permite-nos concluir que ela não é derivável nesse ponto, como nos diz o seguinte Teorema 4.3. Se f : R 2 R é derivável em X 0 D f então f é contínua em X 0. Este teorema é especialmente útil para mostrar que uma função não é derivável. Note-se que se f não é contínua num ponto, não faz sentido falar 20

22 no plano tangente ao gráfico da função nesse ponto. Uma vez que é mais simples testar a continuidade do que a derivabilidade, este teorema introduz algumas simplificações. De referir, no entanto, que há funções contínuas que não são deriváveis, como a do exercício seguinte. Exercício 8. Considere a função real de duas variáveis reais definida por { xy se (x, y) (0, 0) f(x, y) = x 2 +y 2 0 se (x, y) = (0, 0). (a) Mostre que f é contínua. (b) Mostre que as derivadas parciais são nulas na origem. (c) Mostre que as derivadas parciais não são contínuas na origem. (d) Use a alínea (b) para concluir que, caso a derivada de f exista, ela vale 0 na origem. Usando este valor, mostre que f não é derivável na origem. Para concluirmos que uma função é derivável temos que exigir algo mais do que a existência das derivadas parciais, como nos mostra o seguinte Teorema 4.4. Se f : R 2 R é tal que as derivadas parciais de 1 ā ordem existem e são contínuas numa vizinhança de um ponto X 0 D f, então f é derivável em X 0. Este teorema não será demonstrado. Corolário 4.1. Se f : R n R é tal que n 1 das suas derivadas parciais são contínuas numa vizinhança de X 0 D f e a derivada parcial restante existe em X 0 D f então f é derivável nesse ponto. No exemplo anterior, as derivadas parciais, que existem na origem, não são contínuas nesse ponto. De facto, f f(h, ɛ) f(0, 0) (0, ɛ) = lim = x h 0 h 1 = lim h 0 h =. Note-se que a existência de derivadas parciais contínuas implica a diferenciabilidade de f mas o inverso não é verdade, como podemos ver no seguinte Exemplo 15. A função f(x) = { x 2 sen 1 x se x 0 0 se x = 0. 21

23 tem derivada parcial, que neste caso não é mais do que a derivada total e portanto, f é derivável na origem, mas a derivada não é contínua em x = 0. De facto, calculando a derivada em x = 0 a partir da definição temos f (0) = f f(h) f(0) (0) = lim x h 0 h = lim h 0 h 2 sen 1 h h = = lim h 0 h sen 1 h = 0 = Por outro lado, se x 0 então e f (x) = 2x sen 1 x + x2 ( 1 x 2 ) cos 1 x = 2x sen 1 x cos 1 x lim f (x) = 0 lim cos 1 x 0 x 0 x não existe. Observação. Mostrámos que são verdadeiras as seguintes implicações existência de derivadas parciais contínuas função derivável; função derivável função contínua e existência de derivadas parciais. Mostrámos também, por meio de contra-exemplos, que nenhuma das implicações contrárias às anteriores é verdadeira. Um caso importante do cálculo da derivada de uma função é o caso da derivação de funções compostas. Os teoremas seguintes mostram que, formalmente, este caso é muito semelhante ao que se passa com funções de uma variável. Teorema 4.5 (Derivada da função composta I). Sejam f : R 2 R e Φ : R R 2 funções deriváveis em X 0 = Φ(t 0 ) e em t 0, respectivamente, e tais que o contradomínio de Φ está contido no domínio de f. A função F = f Φ é derivável em t 0 e F (t 0 ) = Df(x(t 0 ), y(t 0 ))(Φ (t 0 )) = f(x(t 0 ), y(t 0 )).Φ (t 0 ). 22

24 Observação. Sendo Φ uma função de uma variável e duas componentes, escrevemos e a sua derivada é o vector Φ(t) = (Φ 1 (t), Φ 2 (t)) ( dφ 1 dt (t), dφ 2 dt (t)). No caso particular do teorema anterior, temos Φ 1 (t) = x(t) e Φ 2 (t) = y(t). A função F do teorema anterior é uma função real de variável real. No entanto, como ela resulta da composição de funções que o não são, o cálculo da derivada requer uma técnica diferente da de funções de uma variável. Para calcular explicitamente a derivada de uma função como a função F, reescrevemos frequentemente a expressão da derivada da seguinte maneira df f f (t) = (x, y)dx(t) + (x, y)dy dt x dt y dt (t). Exemplo 16. Cálculo da derivada de F : R R definida por F = f Φ onde Φ(t) = (t + 1, 2t) e f(x, y) = e x + xy 2. Temos e f(x, y) = ( f f (x, y), x y (x, y)) = (ex + y 2, 2xy) Φ (t) = (1, 2). Logo, pelo teorema anterior, F (t) = f(φ(t)).φ (t) = (e x + y 2, 2xy) (x,y)=φ(t).(1, 2) = e ( t + 1) + (2t) 2 + 4(t + 1)(2t) = e t t 2 + 8t. Podíamos ter calculado directamente a derivada de F a partir da sua expressão analítica F (t) = f(φ(t)) = f(t + 1, 2t) = e t+1 + (t + 1)(2t) 2. 23

25 Exercício 9. Seja f : R 2 R definida por f(x, y) = x 3 + xy 2. Mostre que F = f Φ é crescente sendo Φ = (φ 1, φ 2 ) : R R 2 com φ 1, φ 2 funções crescentes em R. Esta versão do Teorema da Função Composta não é a mais geral. A versão mais geral deste teorema, que contempla aplicações R n R m, requer conhecimentos sobre matrizes e pode ser encontrada em Marsden e Tromba [3], p.102. Teorema 4.6 (Derivada da função composta II). Sejam f : R R, na variável u, e Φ : R 2 R, com Φ(x, y) = u, tais que o contradomínio de Φ está contido no domínio de f e para as quais existe derivada de f em u 0 = Φ(x 0, y 0 ) e derivadas parciais de Φ contínuas numa vizinhança de (x 0, y 0 ). A função F = f Φ : R 2 R tem derivadas parciais dadas por e por F x (x 0, y 0 ) = df du (u 0) Φ x (x 0, y 0 ) F y (x 0, y 0 ) = df du (u 0) Φ y (x 0, y 0 ) no ponto (x 0, y 0 ). Exemplo 17. Cálculo da derivada parcial em ordem à primeira variável de F : R 2 R definida por F = f Φ onde f(u) = u 2 + 2u e Φ(x, y) = x(y + 1). Temos F df (x, y) = x du (u) Φ x (x, y) = (2u + 2)(y + 1) = 2x(y + 1)2 + 2(y + 1). Exercício 10. Seja f : R R uma função derivável que atinge um máximo em u 0 = Φ(x 0, y 0 ). Mostre que, qualquer que seja Φ : R 2 R diferenciável, F = f Φ tem gradiente nulo em (x 0, y 0 ). Exemplo 18. De modo análogo, é fácil entender que sendo f : R 2 R, nas variáveis u e v, e Φ : R 2 R 2, com Φ(x, y) = (φ 1 (x, y), φ 2 (x, y)), tais que o contradomínio de Φ está contido no domínio de f e para as quais existem derivadas parciais contínuas numa vizinhança de (u 0, v 0 ) = Φ(x 0, y 0 ) 24

26 e de (x 0, y 0 ), respectivamente, a função F = f Φ : R 2 R tem derivadas parciais dadas por e por F x (x 0, y 0 ) = f u (u 0, v 0 ) φ 1 x (x 0, y 0 ) + f v (u 0, v 0 ) φ 2 x (x 0, y 0 ) F y (x 0, y 0 ) = f u (u 0, v 0 ) φ 1 y (x 0, y 0 ) + f v (u 0, v 0 ) φ 2 y (x 0, y 0 ) no ponto (x 0, y 0 ). Este resultado não é mais do que uma terceira versão do caso mais geral do Teorema da Função Composta. O primeiro destes teoremas permite-nos entender melhor o significado geométrico do vector f. Seja f : R 2 R uma função derivável. A direcção do vector gradiente diz-nos qual é a direcção em que há maior variação nos valores da função. Suponhamos que o gráfico de f representa o contorno de um monte, sendo as curvas de nível curvas de altura constante. Se queremos passar de uma curva de nível a outra com a maior variação possível, isto é, se queremos passar de uma altitude a outra pela encosta de maior declive, devemos seguir a direcção do vector gradiente. Isto ilustra um resultado importante relativo ao gradiente de uma função. Teorema 4.7. Seja f : R 2 R. O vector f é normal às curvas de nível N c de f nos pontos em que a curva de nível é regular. Demonstração: Dizer que f é normal à curva de nível N c, é dizer que é ortogonal a um vector tangente a essa curva de nível. Tomemos F : I R R 2 derivável e tal que F (t) N c t I, ou seja, temos f(f (t)) = c. composta I, temos Aplicando o teorema da derivada da função [f(f (t))] = Df(F (t))(f (t)) = f.f (t), resultando a última igualdade da definição de derivada de uma função de duas variáveis. Mas, f F é uma função real de variável real donde, f(f (t)) = c [f(f (t))] = 0. 25

27 Logo, temos f.f (t) = 0, o que significa que os dois vectores são ortogonais. Este resultado permite calcular a equação da recta tangente à curva de nível N c num ponto X 0 = (x 0, y 0 ) N c. Esta equação é dada por 4.3 Derivadas direccionais f(x 0, y 0 ).(x x 0, y y 0 ) = 0. Sabemos já que as derivadas parciais de uma função f : R 2 R correspondem às derivadas da função segundo a direcção dos eixos coordenados. Assim, a partir das derivadas parciais podemos analisar a variação de f segundo a direcção dos eixos. Interessa-nos agora obter informação sobre a variação da função segundo outras direcções, por exemplo, segundo a direcção de um vector U R 2 que vamos supôr de norma unitária. Definição 4.5. Seja f : R 2 R. A derivada direccional de f no ponto X 0 segundo o vector U, de norma unitária, é dada por D U f(x 0 ) = d dt f(x 0 + tu) t=0. Note-se que, para a definição de derivada direccional consideramos a restrição de f à recta com a direcção de U que passa por X 0, isto é, à recta de equação X = X 0 + tu. Da definição de derivada de uma função de uma variável vem que a derivada direccional pode ser calculada de modo equivalente através do f(x 0 + tu) f(x 0 ) lim. t 0 t Geometricamente, estamos a calcular o declive da recta tangente à curva que resulta da intersecção do gráfico de f com o plano vertical com a direcção do vector U. 26

28 Teorema 4.8. Se f : R 2 R é diferenciável então existem derivadas direccionais segundo todas as direcções. A derivada direccional de f no ponto X 0 = (x 0, y 0 ), segundo o vector U = (u 1, u 2 ) é dada pela expressão seguinte D U f(x 0, y 0 ) = f(x 0, y 0 ).U = f x (x 0, y 0 )u 1 + f y (x 0, y 0 )u 2. Demonstração: que Seja c : R R 2 definida por c(t) = X 0 + tu de modo a F (t) = f(x 0 + tu) = f(c(t)). Usando o teorema da derivada da função composta I, temos d dt F (0) = d dt f(x 0 + tu) t=0 = ( f(c(t)).c (t)) t=0 = f(x 0, y 0 ).U, já que c(0) = X 0 e c (0) = U. Um resultado importante e de grande aplicação é o seguinte Corolário 4.2. Se f é tal que f(x) 0 então o vector f aponta na direcção de maior crescimento da função f. Demonstração: Para esta demonstração precisamos de utilizar uma expressão para o cálculo do produto escalar que não foi ainda referida. Dados dois vectores U e V, o seu produto escalar pode ser calculado de forma equivalente por meio da expressão U.V = U V cos θ, onde θ é o ângulo formado pelos dois vectores. Seja então U um vector unitário. A variação de f na direcção de U é, segundo o teorema anterior, dada por f.u = f cos θ, sendo θ o ângulo formado por U e f. Ora, o produto anterior é máximo quando cos θ = 1, ou seja, θ = 0, o que significa que os vectores têm a mesma direcção. Vamos agora ver porque é que na definição de derivada direccional exigimos que o vector que determina a direcção seja unitário uma vez que, do ponto de vista do cálculo, não há diferença entre escolher um vector unitário ou um de norma qualquer. Em primeiro lugar, dado um inteiro qualquer 27

29 λ > 0, o vector V = λu tem a mesma direcção que U. No entanto, se usarmos o Teorema 4.8 para obter a derivada segundo a direcção de V obtemos f.v = f.(λu) = λ( f.u), ou seja, para λ 1 obtemos um valor diferente conforme o vector que escolhemos para definir a direcção. Exigindo que o vector de direcção seja unitário temos a derivada direccional definida de modo único. Em segundo lugar, uma vez que queremos interpretar a derivada direccional como a variação de f segundo a direcção de U, escolhendo U unitário estamos a garantir que o ponto X + tu se desloca de uma distância s quando t aumenta essa quantidade s. Exemplo 19. A derivada direccional da função f(x, y) = x + y segundo a direcção do vector U = (1, 2) é igual a 3/ 5. Uma vez que o vector U não tem norma igual a 1, vamos começar por calcular o vector unitário V com a direcção de U. Para isso, basta dividir U pelo valor da sua norma. Utilizando o Teorema 4.8, é com o vector V que vamos efectuar os cálculos. Como U = 5, temos então D V f(x, y) = f(x, y).v = 1 ((1, 1).(1, 2)) = Note-se que, como a derivada direccional de f não depende do ponto (x, y) em que é calculada, podemos dizer que f varia de modo constante em qualquer ponto na direcção dada. Exercício 11. Seja f : R 2 R a função definida por f(x,y) = -xy. 1. Esboce graficamente as curvas de nível 0, 1 e 1 de f. 2. Encontre a curva de nível a que pertence o ponto X 0 = (2, 1). 3. Determine f(2, 1). 4. Faça um esboço da curva de nível e do vector gradiente encontrados nas duas alíneas anteriores. 5. Encontre e desenhe as rectas que melhor aproximam a curva de nível encontrada em 2. nos pontos X 0 = (2, 1) e X 1 = ( 1, 2). 6. Encontre todos os pontos nos quais a função f tem maior crescimento (a) na direcção do vector U = (1, 1). (b) na vertical. (c) na vertical do que na horizontal. 28

30 5 Funções homogéneas Neste capítulo, vamos estudar um tipo particular de função que tem como característica principal o facto de, para efeitos de derivação, se comportar como uma potência. Definição 5.1. Uma função f : R n R diz-se homogénea de grau m se verifica a condição f(tx) = t m f(x) t R, X D f tais que tx D f. O caso mais simples de funções homogéneas são as funções polinomiais sem termo constante como, por exemplo, f(x, y) = x 2 + xy + y 2, para as quais o grau de homogeneidade m coincide com o grau do polinómio. Exercício 12. Mostre que as funções da forma f(x, y) = a p x p + a p 1 x p 1 y + a p 2 x p 2 y a 2 x 2 y p 2 + a 1 xy p 1 + a 0 y p são homogéneas de grau p. O resultado com mais interesse sobre funções homogéneas é o seguinte Teorema 5.1 (Teorema de Euler). Se f : R n R é homogénea de grau m e diferenciável então ou seja, f(x).x = mf(x), Demonstração: variável real mf(x 1,..., x n ) = n i=1 x i f x i (x 1,..., x n ). Seja f homogénea de grau m e definamos a função real de A derivada de g é dada por g(t) = f(tx) = t m f(x). g (t) = df dt (tx) = mtm 1 f(x). 29

31 Mas, fazendo Y = tx temos (usando o teorema da derivação da função composta) Ora, para t = 1, temos df (tx) = f(y ).dy dt dt = f(tx).x. g (1) = f(x).x = m1 m 1 f(x) = mf(x). Observação. Se na definição de função homogénea restringimos t a valores positivos então o teorema de Euler é uma equivalência. As funções que satisfazem esta definição restrita chamam-se funções positivamente homogéneas. Exercício 13. Encontre Df(1, 0)(1, 0) sabendo que f(1, 0) = 1 e f é homogénea de grau 3. 6 Funções Implícitas Continuando a estudar apenas funções reais de duas variáveis, interessa-nos agora obter resultados sobre igualdades que permitem definir uma variável à custa da outra. Comecemos por ver um exemplo. A função F : R 2 R definida por F (x, y) = x 2 + y 2 1 é tal que F (x, y) = 0 não tem solução em todos os pontos, isto é, não é possível escrever y como função de x. No entanto, há pontos nos quais está definida uma função real de uma variável, f, tal que y = f(x) e F (x, f(x)) = 0. Dizemos que, nestes pontos, a equação F (x, y) = 0 define y implicitamente como função de x. O resultado seguinte permite-nos decidir, em certos casos, quais são os pontos em que uma variável é uma função implícita da outra e também calcular a derivada dessa função implícita. Teorema 6.1 (Teorema da Função Implícita - versão 1). Seja F : R 2 R tal que as derivadas parciais de 1 ā ordem são contínuas numa vizinhança de (x 0, y 0 ) D F. Se F (x 0, y 0 ) = 0 e F y (x 0, y 0 ) 0, 30

32 então existe uma função, f, real de variável real, definida numa vizinhança de x 0 tal que y = f(x), isto é, a equação F (x, y) = 0 define implicitamente y como função de x numa vizinhança de (x 0, y 0 ) e a derivada de y em ordem a x no ponto x 0 é dada por ou seja, F x (x 0, y 0 ) + F y (x 0, y 0 ) dy dx (x 0) = 0, df dx (x 0) dy dx (x 0) = F (x x 0, y 0 ) F (x y 0, y 0 ). Não vamos demonstrar este teorema porque a demonstração exige técnicas que não cabem neste curso. Vamos apenas mostrar como é que, dada a existência da função f, se deduz a expressão da derivada já que se trata de um bom exercício sobre a derivada da função composta. Temos onde Logo, G(x) = F (x, f(x)) = (F Φ)(x), Φ : R R 2 x (x, f(x)). G (x) = F (x, y).φ (x) = ( F x, F y ).(dφ 1 dx, dφ 2 dx ) = ( F x, F df ).(1, y dx ). Substituindo na equação F (x, f(x)) = 0, vem imediatamente a expressão do teorema. Em certas condições, podemos obter derivadas de ordem mais alta da função implícita y y(x), o que nos permite estudar a existência de pontos extremos da função implícita usando a teoria das funções reais de variável real. 31

33 Exemplo 20. A equação F (x, y) = x 2 + y 2 1 = 0 define y implicitamente como função de x numa vizinhança do ponto (0, 1) uma vez que F (0, 1) = 0, são contínuas e Note-se que de F F (x, y) = 2x e (x, y) = 2y x y F (0, 1) = 2 0. y F (x, y) = 2y y podemos imediatamente concluir que, numa vizinhança de todos os pontos que são solução da equação acima e tais que y 0, isto é, x ±1, a equação dada permite definir y como função implícita de x. A derivada de y em ordem a x no ponto considerado encontra-se resolvendo F F (0, 1) + (0, 1)dy x y dx (0) = 0 em ordem a (dy/dx)(0). Obtemos dy (0) = 0. dx Sendo y y(x) uma função real de uma variável real numa vizinhança do ponto 0, o facto de a derivada se anular tem exactamente a interpretação conhecida para funções reais de variável real. Ou seja, o gráfico da função y y(x) tem uma tangente horizontal nesse ponto. É então legítimo perguntar se se trata de um ponto extremo. Para isso temos que calcular a segunda derivada em ordem a x. De salientar que, com o estudo que foi feito até aqui, não podemos estudar a monotonia da função implícita em pontos próximos de 0, uma vez que o teorema da função implícita permite calcular a derivada no ponto em questão, mas não em pontos próximos. Derivando novamente ambos os membros da igualdade anterior, obtemos 2 F x (0, 1) + 2 F (0, 1) + 2 y x + [ 2 F x y (0, 1) + 2 F F (0, 1)]dy (0) + y2 dx y (0, y 1)d2 (0) = 0. dx2 Resolvendo vem (d 2 y/dx 2 )(0) = 1. Logo, y y(x) tem um máximo no ponto x = 0. 32

34 Exercício 14. Desenhe o lugar geométrico dos pontos que satisfazem a equação do exemplo anterior e interprete geometricamente os resultados obtidos no mesmo exemplo. Exercício 15. Mostre que a equação do exemplo anterior define x implicitamente como função de y numa vizinhança do ponto (1, 0) mas nada se pode concluir numa vizinhança de (0, 1). O teorema da função implícita tem uma generalização trivial para funções reais de mais do que duas variáveis que passamos a enunciar Teorema 6.2 (Teorema da Função Implícita - versão 2). Sejam F : R n R tal que as derivadas parciais de 1 ā (x 0 1,..., x0 n ) D F. Se ordem são contínuas numa vizinhança de F (x 0 1,..., x 0 n) = 0 e F x n (x 0 1,..., x 0 n) 0, então existe uma função, f, real de n 1 variáveis reais, definida numa vizinhança de (x 0 1,..., x0 n 1 ) tal que x n = f(x 1,..., x n 1 ), isto é, a equação F (x 1,..., x n ) = 0 define implicitamente x n como função de (x 1,..., x n 1 ) numa vizinhança de (x 0 1,..., x 0 n) e as derivadas parciais de x n em ordem a x i no ponto (x 0 1,..., x0 n 1 ) são dadas por ou seja, F x i (x 0 1,..., x 0 n) + F x n (x 0 1,..., x 0 n) x n x i (x 0 1,..., x 0 n 1) = 0, F x n (x 0 1 x,..., x0 n 1 ) = x i (x 0 1,..., x 0 n) F i x n (x 0 1,..., x0 n ). Neste enunciado supomos ser a última variável aquela que pode ser definida implicitamente à custa das outras. É claro que é indiferente qual das variáveis é definida à custa das restantes desde que a derivada parcial de F em ordem a essa variável seja não nula no ponto considerado. Para obter o enunciado do teorema para qualquer outra variável, basta trocar os índices. Propositadamente, optamos por não utilizar uma letra diferente para a variável que é definida implicitamente. 33

35 Exemplo 21. A equação F (x, y, z) = xyz x + 4y z = 0 define z implicitamente como função de x e de y numa vizinhança do ponto (1, 1, 2). De facto, temos 2 F F (x, y, z) = yz 1, x F (x, y, z) = xz + 4 e y (x, y, z) = xy 1 z contínuas e F z (1, 1 2, 2) = O Teorema da Função Implícita garante a existência de uma função diferenciável f : R 2 R tal que z = f(x, y), em particular 2 = f(1, 1 ). As 2 derivadas parciais de z em ordem às outras variáveis são z y) 1 (x, y) = yf(x, x xy 1 e z y) + 4 (x, y) = xf(x,. y xy 1 Exercício 16. Mostre que a equação do exemplo anterior define y implicitamente como função de x e de z numa vizinhança de (1, 1, 2) e calcule as 2 derivadas parciais da função implícita. Mostre que a mesma equação não define necessariamente x implicitamente como função das duas outras variáveis numa vizinhança do mesmo ponto. Finalmente, vejamos a versão geral do teorema da função implícita que nos permite decidir quando é que um sistema de equações define implicitamente uma ou mais variáveis à custa das restantes. Em rigor, o que consideramos são funções F : R n+m R m. Estas funções têm m componentes em m + n variáveis F (x 1,..., x n, y 1,..., y m ) = (F 1 (x 1,..., x n, y 1,..., y m ), F 2 (x 1,..., x n, y 1,..., y m ),......, F m (x 1,..., x n, y 1,..., y m )) permitindo construir um sistema de m equações com m + n incógnitas como se segue F 1 (x 1,..., x n, y 1,..., y m ) = 0... F m (x 1,..., x n, y 1,..., y m ) = 0. A questão é a de saber se estas equações nos permitem definir implicitamente as variáveis y 1,..., y m à custa das variáveis x 1,..., x n. 34

36 Observação. A existência de funções implícitas obriga a que o sistema tenha uma infinidade de soluções. Consideremos o seguinte sistema de 2 equações e 3 incógnitas { x 2 + y z = 0 x 2e y + z = 0. Queremos saber se existem pontos perto dos quais estas equações permitem escrever, por exemplo, x e y como função de z. Em primeiro lugar, os pontos para os quais a definição de uma função implícita faz sentido têm que satisfazer o sistema de equações. O ponto (x 0, y 0, z 0 ) = (1, 0, 1) é um ponto no qual as equações do sistema se anulam. Podemos dizer então que, neste ponto, o valor atribuído a z determina o valor de x e de y. Para ver se esta dependência de x e y com z é verdadeira não só no ponto (x 0, y 0, z 0 ) mas em pontos próximos temos o seguinte Teorema 6.3 (Teorema da Função Implícita). Seja F : com componentes R n+m R m F 1 (x 1,..., x n, y 1,..., y m ),..., F m (x 1,..., x n, y 1,..., y m ) contínuas e com todas as derivadas parciais de 1 ā ordem contínuas numa vizinhança de um ponto (x 0 1,..., x 0 n, y1, 0..., ym) 0 do seu domínio. Consideremos o sistema de m equações satisfeitas por (x 0 1,..., x0 n, y0 1,..., y0 m ) F 1 (x 1,..., x n, y 1,..., y m ) = 0... F m (x 1,..., x n, y 1,..., y m ) = 0. Se F 1 F 1 y 1 F 2 F 2 y 1 F m y 1 F 1 y 2... y m F y y m F m y 2... F m y m 0 no ponto (x 0 1,..., x 0 n, y 0 1,..., y 0 m) então o sistema de equações permite definir as variáveis y 1,..., y m implicitamente à custa das restantes numa vizinhança do ponto considerado, isto é, existem funções φ i : R n R tais que y i = φ i (x 1,..., x n ). As derivadas parciais de cada y i em ordem a x j no ponto (x 0 1,..., x 0 n) obtêmse por derivação das equações do sistema associado a F em ordem a x j. 35