O Ensino do Cálculo Diferencial e Integral motivado por Fenómenos de Difusão

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1 Universidade de Aveiro 2016 Departamento de Matemática Sandra Cristina Martins Barbosa O Ensino do Cálculo Diferencial e Integral motivado por Fenómenos de Difusão

2 Universidade de Aveiro 2016 Departamento de Matemática Sandra Cristina Martins Barbosa O Ensino do Cálculo Diferencial e Integral motivado por Fenómenos de Difusão Dissertação apresentada à Universidade de Aveiro para cumprimento dos requisitos necessários à obtenção do grau de Mestre em Matemática para Professores (2º ciclo), realizada sob a orientação científica da Prof. Doutora Maria Manuela Fernandes Rodrigues, Professora Auxiliar do Departamento de Matemática da Universidade de Aveiro

3 o júri presidente Prof. Doutora Maria Paula de Sousa Oliveira Professora auxiliar da Universidade de Aveiro Prof. Doutor Milton dos Santos Ferreira Professor adjunto da Escola Superior de Tecnologia e Gestão do Instituto Politécnico de Leiria Prof. Doutora Maria Manuela Fernandes Rodrigues Professora auxiliar da Universidade de Aveiro (orientadora)

4 palavras-chave Diferenciabilidade, integrabilidade, equações diferenciais, modelação matemática, equação do calor. resumo Esta tese pretende mostrar a importância do Ensino do Cálculo Diferencial e Integral e suas aplicações no estudo de fenómenos naturais. Mais concretamente, tem como motivação a dedução da equação do calor a uma dimensão. O trabalho é composto por uma introdução; por um conjunto de definições e alguns resultados importantes necessários para a compreensão dos conceitos de diferenciabilidade e integrabilidade de funções e por algumas noções de física (sobre transferência de energia como calor condutividade térmica) necessárias para a dedução da equação que modela a propagação do calor num meio homogéneo.

5 Keywords Differentiability, integrability, differential equations, mathematical modeling, heat equation. abstract The aim of this thesis is to show the importance of the teaching of differential and integral calculus and its applications in the study of natural phenomena, which is motivated by the deduction of the heat equation in one dimension. This work includes an introduction; some definitions and important results necessary for the understanding of the concepts of differentiability and integrability of functions, and some notions of physics (on heat energy transfer - thermal conductivity) that are required for the deduction of the equation that models the propagation of heat in an homogeneous medium.

6 Conteúdo 1 Introdução 3 2 Funções Reais de Várias Variáveis Reais Função real de várias variáveis reais: gráfico e conjuntos de nível Limites Vizinhança de centro em a e raio r Pontos interior, fronteiro, exterior e de acumulação de subconjuntos de R n Conjuntos aberto, fechado, itado e compacto Limite de uma função num ponto Limites segundo subconjuntos do domínio Limites direcionais Continuidade Diferenciação e Integração Diferenciabilidade de funções reais de várias variáveis Derivada de uma função real de variável real Derivada parcial Derivada segundo um vetor Diferenciabilidade Integrabilidade de funções reais de variável real Primitivas e integral indefinido

7 2 CONTEÚDO Integral definido Propriedades do integral e critérios de integrabilidade Teorema fundamental do cálculo integral e fórmula de Barrow Exemplos de aplicações do cálculo integral Equações diferenciais - uma breve referência Equações diferenciais ordinárias Equações diferenciais de derivadas parciais Modelação Matemática Transferência de energia como calor Mecanismos de transferência de energia como calor Condutividade térmica Lei de Fourier A equação do calor Equação do calor unidimensional Atividade em contexto de sala de aula Atividade Conclusão 85

8 Capítulo 1 Introdução Este trabalho é uma dissertação de mestrado para cursos de 2 o ciclo, cujo tema é O Ensino do Cálculo Diferencial e Integral motivado por Fenómenos de Difusão. O seu objetivo é, tendo em vista tornar o processo de ensino/aprendizagem mais apelativo para os estudantes, mostrar a aplicabilidade dos conceitos estudados na sala de aula no estudo de fenómenos naturais. A aprendizagem dos alunos será mais enriquecida se a sua experiência matemática contemplar a resolução de problemas do seu quotidiano, relacionando os conceitos que estudam em matemática com as situações do dia a dia e com as diversas áreas que compõem o seu percurso escolar (física, química, biologia, economia). Segundo Goldenberg (1999), Aprender Matemática é compreender a sua natureza. O exemplo escolhido para mostrar a importância/aplicabilidade da modelação matemática no estudo das mais variadas situações é o fenómeno da propagação do calor que pode ser expresso através de uma equação de derivadas parciais [10]. Para deduzir corretamente esta equação convém perceber que fatores influenciam a propagação do calor bem como se comportam. Desta forma, é importante apresentar algumas noções de física sobre a transmisão do calor antes da sua dedução. Repare-se que a disciplina de matemática A, para o ensino secundário, é lecionada a alunos dos cursos científico-humanisticos de ciências e tecnologias e de ciências sócio-económicas. Os primeiros estudaram na disciplina de Física 10 o ano A energia no aquecimento/arrefecimento de sistemas pelo que já 3

9 4 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO possuem conhecimentos que lhes permitem deduzir a equação que modela a propagação do calor. Este texto está organizado por capítulos, constando em cada um definições, exemplos e resultados importantes para a compreensão do tópico a ser abordado. No Capítulo 2, Funções Reais de Várias Variáveis Reais, são introduzidos os conceitos de função real de várias variáveis reais e de gráfico e curvas de nível de uma função. São apresentadas algumas noções topológicas em R n necessárias à compreensão do conceito de ite e das suas propriedades. É estudada a continuidade de funções reais de várias variáveis reais [2], [7]. O Capítulo 3, Diferenciação e Integração, está dividido em três secções. A primeira visa estudar a diferenciabilidade de funções reais de n variáveis [18] e a segunda aborda a integrabilidade de funções reais de variável real [16], [13]. Por fim, faz-se uma breve referência às equações diferenciais [12], distinguindo-se equação diferencial ordinária de equação diferencial de derivadas parciais. São apresentadas algumas noções que permitem classificar estas equações relativamente à sua ordem, grau e linearidade [4]. A secção termina com um breve apontamento sobre o Método de Separação de Variáveis [20] na resolução de uma equação diferencial de derivadas parciais linear de 2 a ordem. O Capítulo 4, Modelação Matemática, pretende mostrar a importância da matemática no estudo de diversos problemas relacionados com as mais diversas áreas de conhecimento. Em particular, pretende-se ilustrar a aplicação do cálculo diferencial e integral no estudo de fenómenos naturais. Como referido acima, o exemplo considerado neste trabalho é o fenómeno de propagação do calor num meio homogéneo. Antes de se proceder à dedução da equação que modela esta situação, são introduzidos alguns conceitos sobre transferência de calor [8] necessários à compreensão e desenvolvimento deste tópico.

10 Capítulo 2 Funções Reais de Várias Variáveis Reais O estudo de grande parte dos fenómenos passa pela identificação dos diversos parâmetros que os caracterizam e da análise do seu comportamento aquando da variação desses parâmetros. Quase tudo o que nos rodeia depende de várias variáveis: temperatura, densidade de massa, pressão atmosférica, cargas elétricas, fatores económicos, posição, velocidade, aceleração, entre outros. Matematicamente, algumas destas grandezas são representadas por campos escalares ou vetoriais. As grandezas escalares são aquelas que podem ser medidas com um valor numérico e sua respetiva unidade de medida. Por exemplo, medimos a temperatura do nosso corpo com um termómetro graduado que nos apresenta um valor numérico, normalmente, em graus. As grandezas vetoriais precisam, além do valor numérico, de uma direção e de um sentido. São representadas por vetores que, por exemplo, representam a força aplicada num determinado ponto. Seja f : D R n R m, n, m N. Se m = n = 1, estas funções designam-se por funções reais de variável real, isto é, f : D R R. 5

11 6 CAPÍTULO 2. FUNÇÕES REAIS DE VÁRIAS VARIÁVEIS REAIS Se m = 1, f : D R n R, (n 1) designa-se por função escalar. Se m > 1, f : D R n R m, (n 1) representa uma função vetorial. 2.1 Função real de várias variáveis reais: gráfico e conjuntos de nível Definição Uma função real de n variáveis é uma aplicação f com domínio D R n, que a cada ponto x = (x 1,..., x n ) D associa um número real f(x) = f(x 1,..., x n ) R. Isto é, f : D R n R. Definição O gráfico da função f : D R n R, que se denota por G f, é o subconjunto de R n+1 definido por: G f = {(x 1,..., x n, y) : (x 1,..., x n ) D y = f(x 1,..., x n )}. Definição Os conjuntos de nível de uma função correspondem aos pontos do domínio onde o valor da função é igual a uma constante, isto é, N c = {(x 1,..., x n ) D R n : f(x 1,..., x n ) = c}, c R. Exemplo Um exemplo de conjuntos de nível são as curvas isotérmicas num mapa de temperaturas. Estas linhas representam todos os pontos de uma região que registam a mesma temperatura. Outro exemplo são as curvas de nível que representam regiões com altitude constante nos mapas topográficos. Figura 2.1: Curvas isotérmicas de Portugal em Janeiro e em Junho

12 2.1. FUNÇÃO REAL DE VÁRIAS VARIÁVEIS REAIS: GRÁFICO E CONJUNTOS DE NÍVEL7 Observação Se f : D R 2 R, os conjuntos de nível designam-se por curvas de nível. A curva de nível de f associada ao nível c R é dada por N c = {(x, y) D f(x, y) = c}. Se f : D R 3 R, os conjuntos de nível designam-se por superfícies de nível. O conjunto N c = {(x, y, z) D f(x, y, z) = c} representa a superfície de nível de f associada ao nível c R. Para uma função f : D R n R, o conjunto de nível correspondente a c é dado por N c = {(x 1,..., x n ) D f(x 1,..., x n ) = c}. Os dois exemplos que se seguem mostram, respetivamente, como determinar o gráfico e as curvas de nível de uma função e como os conjuntos de nível permitem concluir acerca do contradomínio de uma função. Exemplo Seja f : R 2 R a função definida por f(x, y) = x 2 + y 2. O gráfico da função f é dado por: G f = {(x, y, z) R 3 : (x, y) D z = f(x, y)} = {(x, y, z) R 3 : (x, y) R 2 z = x 2 + y 2 }. As curvas de nível da função f são dadas por: N c = {(x, y) R 2 : x 2 + y 2 = c}, c R. Uma vez que x 2 + y 2 0, para todo (x, y) R 2, se c < 0, N c =. Para c 0, N c é a circunferência de centro (0, 0) e com raio c. Concluo que o contradomínio de f é [0, + [.

13 8 CAPÍTULO 2. FUNÇÕES REAIS DE VÁRIAS VARIÁVEIS REAIS Figura 2.2: Gráfico e curvas de nível da função f Exemplo Seja f : R 3 R tal que f(x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2 2x + 6y 4z 2. Para cada c R, a superfície de nível associada a c é o conjunto N c = {(x, y, z) R 3 : x 2 + y 2 + z 2 2x + 6y 4z 2 = c} = {(x, y, z) R 3 : (x 2 2x + 1) + (y 2 + 6y + 9) + (z 2 4z + 4) = c } = {(x, y, z) R 3 : (x 1) 2 + (y + 3) 2 + (z 2) 2 = c + 16}. Se c + 16 < 0 c < 16, a superficie de nível associada a c é o conjunto vazio. Se c c 16, então N c é a superfície esférica centrada no ponto (1, 3, 2) e raio r = c Concluo que o contradomínio de f é [ 16, + [. 2.2 Limites Os ites são a base do cálculo diferencial e integral de funções. Nesta secção apresenta-se o conceito de ite e suas propriedades [18] com o objetivo de aplicá-lo no estudo da continuidade, à definição de derivadas parciais e à diferenciabilidade e integrabilidade de funções [19]. Para realizar esta abordagem são necessárias algumas noções topológicas em R n, nomeadamente, os conceitos de vizinhança, de pontos interior, fronteiro, exterior e de acumulação, e de conjuntos aberto, fechado, itado e compacto [18].

14 2.2. LIMITES Vizinhança de centro em a e raio r Definição A distância euclidiana entre quaisquer dois pontos x = (x 1,..., x n ) R n e y = (y 1,..., y n ) R n é definida por d(x, y) = (x 1 y 1 ) (x n y n ) 2. Definição Sejam a = (a 1,..., a n ) um ponto de R n e r > 0 um número real. A vizinhança de centro em a e raio r é o conjunto de todos os pontos de R n cuja distância a a é inferior a r: V r (a) = {x R n : d(x, a) < r} = {x R n : x a < r} = {(x 1,..., x n ) R n : (x 1 a 1 ) (x n a n ) 2 < r}. Definição Sejam a = (a 1,..., a n ) um ponto de R n e r > 0 um número real. A vizinhança reduzida de centro em a e raio r é o conjunto de todos os pontos de x R n distintos de a tais que d(x, a) < r, isto é: V r (a) = V r (a) \ {a} = {x R n : 0 < d(x, a) < r} = {x R n : 0 < x a < r}. No exemplo seguinte pode ver-se o cálculo das vizinhanças de um ponto em R 3 bem como a sua interpretação geométrica. Exemplo As vizinhanças do ponto (2, 5, 1) R 3 são conjuntos da forma: V r (2, 5, 1) = {(x, y, z) R 3 : d((x, y, z), (2, 5, 1)) < r} = {(x, y, z) R 3 : (x, y, z) (2, 5, 1) < r} = {(x, y, z) R 3 : (x 2) 2 + (y 5) 2 + (z 1) 2 < r}. Para cada r > 0, V r (2, 5, 1) é uma esfera de centro (2, 5, 1) e de raio r Pontos interior, fronteiro, exterior e de acumulação de subconjuntos de R n Definição Sejam C um subconjunto de R n e a um ponto de R n.

15 10 CAPÍTULO 2. FUNÇÕES REAIS DE VÁRIAS VARIÁVEIS REAIS a é um ponto interior de C se existir uma vizinhança de centro em a e raio r que está contida em C. Ao conjunto formado por todos os pontos interiores de C chama-se interior de C e denota-se por int(c). a é um ponto fronteiro de C se toda a vizinhança de centro em a e raio r contém pontos de C e de R n \ C, ou seja, para todo r > 0, V r (a) C e V r (a) (R n \ C). Ao conjunto formado por todos os pontos fronteiros de C chama-se fronteira de C e denota-se por frt(c). a é um ponto exterior de C se é ponto interior de R n \ C, ou seja, se existe r > 0, tal que V r (a) R n \ C. Ao conjunto formado por todos os pontos exteriores de C chama-se exterior de C e denota-se por ext(c). a é um ponto de acumulação de C se toda a vizinhança de centro em a e raio r contém pontos de C distintos de a, isto é, se para toda a vizinhança reduzida de a se verificar que V r (a) C. Exemplo Seja D o conjunto de pontos constituído pelo quadrilátero representado na figura 2.3 e pelo seu interior. O ponto b é um ponto interior de D, o ponto c é um ponto exterior a D e o ponto a é um ponto fronteiro do conjunto. O ponto a é um exemplo de um ponto de acumulação de D. Figura 2.3: b é um ponto interior de D, c é um ponto exterior de D, a é um ponto fronteiro de D, a é um ponto de acumulação de D

16 2.2. LIMITES Conjuntos aberto, fechado, itado e compacto Definição Seja C um subconjunto de R n. C é um conjunto aberto se o interior de C coincidir com o próprio conjunto C. C é um conjunto fechado se o seu complementar R n \ C for um aberto. C é um conjunto itado se existe uma vizinhança de centro na origem e raio r que o contém, isto é, se existe um número real r > 0 tal que d(x, o) r, para todo o x C e o = (0,..., 0). C é um conjunto compacto se for itado e fechado. Observação R n e são simultaneamente abertos e fechados: int(r n ) = R n, ext(r n ) =, int( ) =, ext( ) = R n. Para uma melhor compreensão das noções apresentadas nas definições e , apresenta-se o seguinte exemplo onde, partindo de um conjunto que representa geometricamente um cubo, se define o seu interior, exterior e fronteira e se conclui sobre se é um conjunto compacto. Exemplo Considere-se o conjunto C = {(x, y, z) R 3 : x 1 y 1 z 1}. A representação gráfica deste conjunto é um cubo de centro na origem e aresta 2cm. O interior do conjunto C é dado por int(c) = {(x, y, z) R 3 : x < 1 y < 1 z < 1}, pelo que se conclui que C não é um conjunto aberto. O exterior deste conjunto é dado por ext(c) = {(x, y, z) R 3 : x > 1 y > 1 z > 1}. Como ext(c) é um conjunto aberto conclui-se que C é um conjunto fechado. A fronteira de C é o conjunto frt(c) = F 1 F 2 F 3 onde F 1 = {(x, y, z) R 3 : (x = 1 x = 1) 1 y 1 1 z 1};

17 12 CAPÍTULO 2. FUNÇÕES REAIS DE VÁRIAS VARIÁVEIS REAIS F 2 = {(x, y, z) R 3 : (y = 1 y = 1) 1 x 1 1 z 1}; F 3 = {(x, y, z) R 3 : (z = 1 z = 1) 1 x 1 1 y 1}. O conjunto C é itado pois para r > 3, C V r (0, 0, 0). Como C é um conjunto fechado e itado, C é um conjunto compacto Limite de uma função num ponto Definição Sejam f : D R n R uma função de n variáveis com domínio D e a um ponto de acumulação de D. O ite de f(x) quando x tende para a é igual a l R ( ) f(x) = l se se verificar que, para todo o ε > 0, existe r > 0, tal que, para todo o x a x D, x V r (a) f(x) V ε (l). No caso em que a é um ponto isolado de D temos, por definição, x a f(x) = f(a). O exemplo seguinte ilustra como se pode provar, usando a definição , que o ite de uma função num determinado ponto é igual a um certo valor. Exemplo Provar a partir da definição que x2 y (x,y) (0,0) A função f(x, y) = x tem domínio D = 2 +y R2 \ {(0, 0)}. 2 Seja ε > 0. Pretende-se mostrar que existe r > 0 tal que (x, y) D e 0 < (x, y) (0, 0) < r. Para (x, y) (0, 0), vem que x 2 y x2 + y 0 = 2 x2 y x2 + y 2 = x 2 y x2 + y 2 = 0. 0 x 2 +y < ε, para todo 2 x2 y x2 y (x, y) (x, y) 2, pois x 2 (x, y) 2 e y (x, y). Assim, para qualquer ε > 0, se (x, y) 2 < ε então x2 y 0 x 2 +y < ε. 2 Como (x, y) 2 < ε (x, y) < ε, conclui-se que para todo ε > 0, existe r = ε > 0 tal que, para todo (x, y) D, se 0 < x 2 + y 2 < r, então f(x, y) 0 < ε, o que x 2 y garante que x2 + y = 0. 2 (x,y) (0,0)

18 2.2. LIMITES 13 Na proposição seguinte estão resumidas as propriedades mais importantes dos ites. A demonstração destas propriedades pode ser consultada, por exemplo, no livro Cálculo II, de Paula Rocha, Universidade de Aveiro [18]. ites de funções de n variáveis sem recorrer à definição. Estes resultados permitem calcular Proposição (Propriedades dos ites) Sejam f, g e h funções de domínio D contido em R n e a um ponto de acumulação de D. 1. x a f(x) = l x a f(x) l = Se f(x) = l, g(x) = l e existe uma vizinhança de centro em a e raio r tal x a x a que f(x) h(x) g(x) para todo x D (V r (a) \ a) então h(x) = l (Lei do x a enquadramento). 3. Se x a f(x) = 0 e existem M > 0 e uma vizinhança de centro em a e raio r tal que g(x) M para todo o x D (V r (a) \ a) (ou seja, tal que g seja uma função itada em x D (V r (a) \ a)) então x a f(x)g(x) = Se x a f(x) = l e l > 0 [l < 0] então existe um r > 0 tal que f(x) > 0 [f(x) < 0], para todo o x D (V r (a) \ a). 5. Se x a f(x) = l 1 e x a g(x) = l 2, l 1, l 2 R, então: x a (αf(x) + βg(x)) = αl 1 + βl 2, para todo α, β R; x a f(x)g(x) = l 1 l 2 ; f(x) x a g(x) = l 1, se l 2 0. l 2 Para exemplificar a importância da proposição no cálculo de ites, calcule-se novamente o ite do exercício utilizando a propriedade adequada. Exemplo Pretende-se provar que (x,y) (0,0) Para todo (x, y) R 2, tem-se y x 2 + y 2, ou seja, f(x, y) = y x 2 +y 2 é itada em R2 \ {(0, 0)}. x 2 y x2 + y 2 = 0. y x 2 +y 2 1, pelo que a função

19 14 CAPÍTULO 2. FUNÇÕES REAIS DE VÁRIAS VARIÁVEIS REAIS Por outro lado, (x,y) (0,0) x2 = 0. Assim, recorrendo à proposição , (x,y) (0,0) x 2 y x2 + y 2 = (x,y) (0,0) x2 y x2 + y 2 = Limites segundo subconjuntos do domínio Definição Sejam f : D R n R uma função, a R n um ponto de acumulação do domínio de f e C um subconjunto de D tal que a é um ponto de acumulação de C. O ite de f quando x tende para a segundo o subconjunto C é o ite da restrição da função a C e escreve-se x C a f(x). A proposição a seguir enunciada mostra como se podem utilizar os ites segundo subconjuntos do domínio para concluir sobre a não existência de ite [18]. Proposição Sejam f : D R n R uma função, a um ponto de acumulação do domínio de f e B e C dois subconjuntos de D dos quais a também é um ponto de acumulação. Então: f(x) não existe f(x) não existe; x B a x a f(x) f(x) f(x) não existe. x B a x C a x a Limites direcionais Há um caso particular de ite segundo um subconjunto do domínio que é especialmente importante, nomeadamente, aquele em que o subconjunto considerado resulta da interseção do domínio da função com a semirreta de origem no ponto onde se pretende calcular o ite. O ite segundo este subconjunto do domínio designa-se por ite direcional. Sejam f : D R n R e a = (a 1,..., a n ) um ponto de acumulação de D.

20 2.2. LIMITES 15 Para cada v = (v 1,..., v n ) R n, v 0, seja s v a semirreta que passa por a e tem a direção e o sentido de v. Então, s v = {a + t v : t > 0} = {(a 1,..., a n ) + t(v 1,..., v n ) : t > 0}. Seja C v o conjunto dos pontos da semirreta s v pertencentes a D, distintos de a. C v = s v D = {a + t v : t > 0} D. Definição Seja v um vetor não nulo de R n tal que C v. Chama-se ite direcional de f em a segundo a direção e sentido de v ao ite de f segundo o conjunto C v = s v D. Desta forma, o ite direcional de f em a segundo a direção e sentido de v é o ite f(x 1,..., x n ) = f(a + t v) = f(a 1 + tv 1,..., a n + tv n ). x C v a t 0 + t 0 + O próximo exemplo mostra o cálculo do ite direcional de uma função num ponto. Exemplo Seja f a função definida por f(x, y) = x2 +y 2 2. Pretende-se calcular o x 2 1 ite direcional de f no ponto de coordenadas (1, 1). O domínio da função é D = {(x, y) R 2 : x 2 1 0} = {(x, y) R 2 : x 1 x 1}. Seja v = (v 1, v 2 ) um vetor não nulo de R 2. A semirreta de origem em (1, 1) e com a direção e sentido de v é dada por s v = {(1, 1) + t(v 1, v 2 ) : t > 0} = {(1 + tv 1, 1 + tv 2 ) : t > 0}. Se v 1 = 0, os pontos da semirreta s v são da forma {(1, 1 + tv 2 ) : t > 0} pelo que s v D =. Se v 1 = 2 t, t > 0, s v = {( 1, 1 + tv 2 ) : t > 0} que também não contém pontos de D. Seja v = (v 1, v 2 ) um vetor não nulo de R 2 tal que v 1 0 e v 1 2, t > 0. Nestas t condições podemos calcular o ite direcional de f em (1, 1) segundo a direção e sentido

21 16 CAPÍTULO 2. FUNÇÕES REAIS DE VÁRIAS VARIÁVEIS REAIS de v: f((1, 1) + t(v 1, v 2 )) = f(1 + tv 1, 1 + tv 2 ) t 0 + t 0 + = t 0 + (1 + tv 1 ) 2 + (1 + tv 2 ) 2 2 (1 + tv 1 ) tv 1 + (tv 1 ) tv 2 + (tv 2 ) 2 2 = t tv 1 + (tv 1 ) 2 1 t(2v 1 + tv v 2 + tv = 2) 2 t 0 + t(2v 1 + tv1) 2 = v 1 + v 2 v 1. Observação Sejam f : D R n R e a = (a 1,..., a n ) um ponto de acumulação de D. Se existe f(x 1,..., x n ), então todos os ites direcionais são iguais. (x 1,...,x n) (a 1,...,a n) No entanto, o fato de vários ites direcionais serem iguais não garante que a função tenha ite nesse ponto, pois pode existir uma trajetória para o qual o ite não exista ou não seja igual. Caso se verifique que existem ites direcionais diferentes, conclui-se imediatamente a não existência do ite. Para existir o ite, este deve ser independente da trajetória, pelo que a sua existência só é garantida recorrendo à definição. Em suma, o cálculo dos ites direcionais permite concluir acerca da não existência do ite. 2.3 Continuidade Um conceito importante no estudo das funções é o de continuidade de uma função num ponto do seu domínio. A ideia mais intuitiva de função real de variável real contínua é a da possibilidade de a representar graficamente com um único traço em todos os pontos do seu domínio. Assim, para que uma função f seja contínua num ponto x = a é necessário que a D e que para valores de x próximos de a, os valores de f(x) estejam próximos de f(a).

22 2.3. CONTINUIDADE 17 A noção de ite estudada na secção 2.2 dá-nos informação sobre o comportamento de uma função numa vizinhança do ponto independentemente do que se passa nesse ponto. A definição de continuidade relaciona o comportamento da função numa vizinhança do ponto com o valor que esta toma no mesmo. Definição Sejam f : D R n R e a D. A função f é contínua em a se x a f(x) = f(a), ou seja, f é contínua em a, se para todo o ε > 0, existe r > 0, tal que, para todo o x D, x V r (a) f(x) V ε (f(a)). Definição Uma função f : D R n R é contínua se for contínua em todos os pontos do seu domínio. O exemplo seguinte apresenta uma função que não é contínua num ponto do seu domínio. Exemplo Seja f a função definida por f(x, y) = xy 2 x 3 +y 3, se (x, y) (0, 0) 0, se (x, y) = (0, 0). O domínio da função é D = R 2 \{(x, y) R 2 : x 3 + y 3 = 0 x 0} = R 2 \{(x, y) R 2 : y = x x 0}. Pretende-se verificar se a função f é contínua em (0, 0). Seja v = (v 1, v 2 ) um vetor não nulo de R 2. A semirreta de origem em (0, 0) e com a direção e sentido de v é dada por s v = {(0, 0) + t(v 1, v 2 ) : t > 0} = {(tv 1, tv 2 ) : t > 0}. Se v 2 = v 1, os pontos da semirreta s v são da forma {(tv 1, tv 1 ) : t > 0} pelo que s v D =.

23 18 CAPÍTULO 2. FUNÇÕES REAIS DE VÁRIAS VARIÁVEIS REAIS Seja v = (v 1, v 2 ) um vetor não nulo de R 2 tal que v 2 v 1. Nestas condições podemos calcular o ite direcional de f em (0, 0) segundo a direção e sentido de v: f((0, 0) + t(v 1, v 2 )) = f(tv tv 1 (tv 2 ) 2 1, tv 2 ) = t 0 + t 0 + t 0 + (tv 1 ) 3 + (tv 2 ) 3 t 3 v 1 v2 2 = t 0 + t 3 (v1 3 + v2) = v 1v v1 3 + v2 3 Como o ite direcional depende do vetor considerado, a proposição permite concluir que não existe o f(x, y), pelo que a função f não é contínua em (0, 0). (x,y) (0,0) As proposições seguintes apresentam propriedades das funções contínuas que decorrem diretamente da definição e das propriedades dos ites vistas na proposição Estes resultados são muito úteis para justificar a continuidade de algumas funções sem recorrer à definição [4]. Proposição Sejam f e g funções contínuas em a D f D g. Então as funções f, f + g, f g e f, com g(a) 0, são contínuas em a. g Proposição Sejam f : D f R n R e g : D g R R, e seja a D f tal que f(a) D g. Se f é contínua em a e g é contínua em f(a) então a função composta h = g f é contínua em a. Segue-se um exemplo onde se justifica a continuidade de uma função recorrendo à proposição Exemplo Seja f a função definida por f(x, y) = 1 y cos(x2 ). Pretende-se estudar a continuidade de f no seu domínio. O domínio da função é D = {(x, y) R 2 : y 0}. Seja a = (a 1, a 2 ) um ponto arbitrário de D. Considerem-se as funções f 1 (x, y) = 1 y e f 2(x, y) = cos(x 2 ). A função f 1 é contínua em a = (a 1, a 2 ) pois 1 (x,y) (a 1,a 2 ) y = 1 = f 1 (a 1, a 2 ). a 2

24 2.3. CONTINUIDADE 19 Por sua vez, a função f 2 também é contínua em a pois (x,y) (a 1,a 2 ) cos(x2 ) = cos(a 2 1) = f 2 (a 1, a 2 ). Como a função f resulta do produto da função f 1 pela função f 2 e estas são contínuas em (a 1, a 2 ), conclui-se, pela proposição 2.3.4, que a função f é contínua neste ponto. Dada a arbitrariedade do ponto a, diz-se que a função f é contínua em todos os pontos do seu domínio.

25 20 CAPÍTULO 2. FUNÇÕES REAIS DE VÁRIAS VARIÁVEIS REAIS

26 Capítulo 3 Diferenciação e Integração 3.1 Diferenciabilidade de funções reais de várias variáveis No ensino secundário, a diferenciabilidade é introduzida através da interpretação geométrica da derivada de uma função num ponto e estabelecem-se fórmulas para a soma, diferença, produto, quociente e composta de funções diferenciáveis. O aluno deverá ser capaz de caracterizar a função derivada e aplicá-la ao estudo dos intervalos de monotonia e extremos relativos de uma função. Também se pretende que determine o sentido da concavidade e a existência de pontos de inflexão através da segunda derivada da função. Este estudo é feito partindo da definição e interpretação geométrica da taxa média de variação de uma função real de variável real num dado intervalo [20]. Nesta secção será apresentada a definição de derivada parcial para uma função de duas variáveis e sua generalização para funções reais de várias variáveis. De seguida, define-se derivada segundo um vetor que abrange o conceito de derivada parcial [18]. A secção termina com o estudo da diferenciabilidade de funções reais de várias variáveis, nomeadamente, definição e apresentação de resultados importantes neste contexto [18]. Esta abordagem será precedida pelo estudo da diferenciabilidade de funçãos reais de duas variáveis para permitir uma melhor compreensão do conteúdo. 21

27 22 CAPÍTULO 3. DIFERENCIAÇÃO E INTEGRAÇÃO Derivada de uma função real de variável real Definição A taxa média de variação de uma função real de variável real no intervalo [x 0, x 0 + h], sendo h um número real não nulo, é dada por f(x 0+h) f(x 0 ) h e, geometricamente, representa o declive da reta definida pelos pontos do gráfico de coordenadas (x 0, f(x 0 )) e (x 0 + h, f(x 0 + h)). Definição Sejam f : D R R e x 0 um ponto interior de D. A derivada da função f no ponto de abcissa x 0, se existir, é o valor para que tende f(x 0+h) f(x 0 ) h quando h tende para zero e representa-se por f (x 0 ) ou ( ) f x x=x 0. Desta forma, f (x 0 ) = f(x 0 + h) f(x 0 ). Geometricamente, f (x 0 ) representa o declive da reta tangente ao h 0 h gráfico de f no ponto de abcissa x 0. Observação A derivada da função f no ponto de abcissa x 0 escrita da forma f (x 0 ) = x x0 f(x) f(x 0 ) x x 0. também pode ser A título de exemplo, em Cinemática (ramo da física que estuda os movimentos), a taxa média de variação está associada à rapidez média num certo intervalo de tempo e a taxa de variação (ou derivada) está associada à rapidez instantânea. Definição Sejam f : D R R uma função e x 0 um ponto interior de D. f é f(x 0 + h) f(x 0 ) derivável em x 0 se admite derivada nesse ponto, ou seja, se existe. h 0 h Definição Sejam f : D R R uma função e x 0 um ponto interior de D. f é diferenciável em x 0 se existe um número real α independente de h tal que f(x 0 + h) f(x 0 ) αh h 0 h As duas proposições seguintes e a sua demonstração podem ser consultados em [11]. Proposição Sejam f : D R R e x 0 um ponto interior de D. Se a função admite derivada em x 0, é derivável nesse ponto. Se f (x 0 ) é finito, f é diferenciável em x 0. = 0.

28 3.1. DIFERENCIABILIDADE DE FUNÇÕES REAIS DE VÁRIAS VARIÁVEIS 23 Proposição Sejam f : D R R uma função e x 0 um ponto interior de D. Se f é diferenciável em x 0 então é contínua nesse ponto (se f não é contínua em x 0, não é derivável em x 0 ). Demonstração: domínio. Seja f : D R R uma função derivável num ponto x 0 do seu Então, existe um k R tal que f f(x) f(x 0 ) (x 0 ) = = k. x x0 x x 0 Provar que a função f é contínua em x 0 equivale a mostrar que f(x) = f(x 0 ), ou x x0 seja, que [f(x) f(x 0 )] = 0. Sendo assim, x x0 [ ] f(x) f(x0 ) (f(x) f(x 0 )) = (x x 0 ) x x 0 x x0 x x 0 f(x) f(x 0 ) = (x x 0 ) x x0 x x 0 x x0 = k 0 = 0. Provou-se que x x0 [f(x) f(x 0 )] = 0, o que permite concluir que f é contínua em x 0. Após estes breves apontamentos sobre os conceitos e resultados estudados ao nível do ensino secundário, serão apresentadas as definições de derivada parcial e derivada segundo um vetor de uma função. Estas noções são necessárias para estudar a diferenciabilidade de funções reais de n variáveis Derivada parcial Definição Sejam f : D f R 2 R e a = (a 1, a 2 ) um ponto interior de D f. Chama-se derivada parcial de f em ordem a x no ponto a = (a 1, a 2 ), e denota-se por f x (a 1, a 2 ) ou f x(a 1, a 2 ), ao ite, se existir, h 0 f(a 1 + h, a 2 ) f(a 1, a 2 ). h

29 24 CAPÍTULO 3. DIFERENCIAÇÃO E INTEGRAÇÃO Chama-se derivada parcial de f em ordem a y no ponto a = (a 1, a 2 ), e denota-se por f y (a 1, a 2 ) ou f y(a 1, a 2 ), ao ite, se existir, h 0 f(a 1, a 2 + h) f(a 1, a 2 ). h No exemplo seguinte mostra-se o cálculo das derivadas parciais de uma função num ponto recorrendo à definição Exemplo Seja f : D R 2 R a função definida por f(x, y) = O domínio da função é D = R 2 \ {(x, y) R 2 : y = x}. As derivadas parciais da função f no ponto (1, 2) são: x. x+y e f f(1 + h, 2) f(1, 2) (1, 2) = x h 0 h = h h 3 h 3h(3 + h) = h 0 2 3(3 + h) = 2 9 = h 0 f f(1, 2 + h) f(1, 2) (1, 2) = y h 0 h = h h 3h(3 + h) = h 0 = h 0 1 3(3 + h) = 1 9. = h 0 1+h 1+h h 2h 3h(3 + h) = h 0 h 3h(3 + h) h 1 3 h Definição Sejam f : D R n R uma função de n variáveis e a = (a 1,..., a n ) um ponto do domínio de f. A derivada parcial de f em ordem a x i, i {1,..., n} no ponto a e que se denota por f x i (a 1,..., a n ) ou f x i (a 1,..., a n ), é o ite, se existir, h 0 f(a 1,..., a i 1, a i + h, a i+1,..., a n ) f(a 1,..., a n ). h Regra Prática Seja f : D f R 2 R uma função nas variáveis x e y. A derivada parcial de f em ordem a x, que denotamos por f x ou f x, obtém-se derivando a função f(x, y) em ordem à variável x e assumindo y como constante.

30 3.1. DIFERENCIABILIDADE DE FUNÇÕES REAIS DE VÁRIAS VARIÁVEIS 25 De forma análoga, a derivada parcial de f em ordem a y, que denotamos por f y ou f y, obtém-se derivando a função f(x, y) em ordem à variável y e assumindo x como constante. Sendo f uma função real de n variáveis, a derivada parcial de f em ordem a x i no ponto a = (a 1,..., a n ) obtém-se derivando a função f i (x i ) = f(a 1,..., a i 1, x i, a i+1,..., a n ) na coordenada a i. Fazendo variar o ponto a = (a 1,..., a n ), define-se uma nova função real de n variáveis reais, que se designa por derivada parcial de f em ordem a x i. Desta forma, para calcular a derivada parcial de uma função em relação a uma variável considera-se que todas as outras variáveis são constantes e que a função só depende da variável em questão. Definição Sejam f : D R n R e a um ponto do domínio de f. Chama-se gradiente de f em a, e denota-se por f(a) ou por gradf(a), ao vetor ( ) f x 1 (a),..., f x n (a), se existirem todas as derivadas parciais de f em a. No exemplo que se segue determinam-se as derivadas parciais de três funções recorrendo à regra prática e às regras de derivação, e indica-se o seu gradiente de acordo com a definição Exemplo Determinar as derivadas parciais das funções e indicar o seu gradiente: a) f(x, y) = x2 + ln(1 xy). 1+xy b) g(x, y, z) = (x 2 + y 2 + 1) z3. c) h(x, y, z) = e x sin x + cos(z 3y).

31 26 CAPÍTULO 3. DIFERENCIAÇÃO E INTEGRAÇÃO Resolução a) f (x, y) = x [ x xy ] ( ) x 2 + [ln(1 xy) = + [ln(1 xy)] x x 1 + xy x = (x2 ) x(1 + xy) x 2 (1 + xy) x + (1 xy) x (1 + xy) 2 1 xy = 2x(1 + xy) x2 y + (1 xy) x (1 + xy) 2 1 xy = 2x + 2x2 y x 2 y y (1 + xy) 2 1 xy = x2 y + 2x (1 + xy) y 2 1 xy f (x, y) = y [ x xy ] ( ) x 2 + [ln(1 xy) = + [ln(1 xy)] y y 1 + xy y = (x2 ) y(1 + xy) x 2 (1 + xy) y + (1 xy) y (1 + xy) 2 1 xy = 0(1 + xy) x2 x + x (1 + xy) 2 1 xy x 3 = (1 + xy) x 2 1 xy f(x, y) = ( x 2 y + 2x (1 + xy) y 2 1 xy, x 3 (1 + xy) x ) 2 1 xy b) g [ x (x, y, z) = (x 2 + y 2 + 1) z3] = 2xz 3 (x 2 + y 2 + 1) z3 1 x = z 3 (x 2 + y 2 + 1) x(x 2 + y 2 + 1) z3 1 g [ y (x, y, z) = (x 2 + y 2 + 1) z3] y = 2yz 3 (x 2 + y 2 + 1) z3 1 = z 3 (x 2 + y 2 + 1) y(x 2 + y 2 + 1) z3 1

32 3.1. DIFERENCIABILIDADE DE FUNÇÕES REAIS DE VÁRIAS VARIÁVEIS 27 g [ z (x, y, z) = (x 2 + y 2 + 1) z3] = (z 3 ) z ln(x 2 + y 2 + 1)(x 2 + y 2 + 1) z3 z = 3z 2 ln(x 2 + y 2 + 1)(x 2 + y 2 + 1) z3 g(x, y, z) = (2xz 3 (x 2 +y 2 +1) z3 1, 2yz 3 (x 2 +y 2 +1) z3 1, 3z 2 ln(x 2 +y 2 +1)(x 2 +y 2 +1) z3 ) c) h x (x, y, z) = [ex sin x + cos(z 3y)] x = (e x sin x) x + [cos(z 3y)] x = (e x ) x sin x + e x (sin x) x = e x sin x + e x cos x = e x (sin x + cos x) h y (x, y, z) = [ex sin x + cos(z 3y)] y = (e x sin x) y + [cos(z 3y)] y = (z 3y) y[ sin(z 3y)] = 3 sin(z 3y) h z (x, y, z) = [ex sin x + cos(z 3y)] z = (e x sin x) z + [cos(z 3y)] z = (z 3y) z[ sin(z 3y)] = sin(z 3y) h(x, y, z) = (e x (sin x + cos x), 3 sin(z 3y), sin(z 3y)) Observação As derivadas parciais de uma função f de duas variáveis x e y, em ordem a x e a y, são também funções nas mesmas variáveis podendo, assim, ser derivadas em ordem a x e em ordem a y. Obtém-se desta forma as derivadas parciais de 2 a ordem, ( nomedamente, f ) ( ) x x = 2 f, f = 2 f, ( f ) ( ) 2 x x y x y y x = 2 f e f = 2 f. y x y y 2 y Sendo as derivadas parciais de 2 a ordem de f funções nas variáveis x e y, podem também ser derivadas parcialmente em ordem a cada uma das variáveis, e assim sucessivamente.

33 28 CAPÍTULO 3. DIFERENCIAÇÃO E INTEGRAÇÃO No caso de funções com n variáveis, também se pode considerar as derivadas parciais f x 1,..., f x n como novas funções de n variáveis. Aplicando, se possível, a derivação parcial a estas funções, obtêm-se as derivadas parciais de segunda ordem da função f. As derivadas de ordens superiores de f definem-se da mesma forma. A título de exemplo, calculem-se as derivadas parciais de primeira e segunda ordem de uma função nas variáveis x e y. Exemplo Seja f : R 2 R uma função tal que f(x, y) = x 3 y 2 + 5x 2 y 2 + y 6. As derivadas parciais de 1 a ordem de f em ordem a x e a y são, respetivamente, as funções e f x (x, y) = 3y2 x y 2 x f y (x, y) = 2x3 y + 10x 2 y + 6y 5. As derivadas parciais de 2 a ordem de f em ordem a x e em ordem a y são dadas por: 2 f (x, y) = 2 x x (3y2 x y 2 x) = 6y 2 x + 10y 2 ; 2 f (x, y) = y x y (3y2 x y 2 x) = 6x 2 y + 20xy; 2 f (x, y) = x y x (2x3 y + 10x 2 y + 6y 5 ) = 6x 2 y + 20xy; 2 f (x, y) = 2 y y (2x3 y + 10x 2 y + 6y 5 ) = 2x x y Derivada segundo um vetor Sejam f : D R n R, a um ponto interior do domínio de f e v um vetor não nulo de R n. A reta s que passa por a e tem a direção de v é dada pela equação s = {a + t v : t R} = {(a 1,..., a n ) + t(v 1,..., v n ) : t R}. Como a é ponto interior de D, a reta s interseta o domínio de f numa vizinhança de a. Assim, existe um r R tal que, para todo o t ] r, r[, a + t v D.

34 3.1. DIFERENCIABILIDADE DE FUNÇÕES REAIS DE VÁRIAS VARIÁVEIS 29 Definição Chama-se derivada de f no ponto a segundo o vetor v e denota-se por f (a) ou f v v (a) ao ite f(a + t v) f(a) t 0 t f(a 1 + tv 1,..., a n + tv n ) f(a 1,..., a n ) =, t 0 t se existir. No caso em que v = 1, f (a) é a derivada direcional de f no ponto a segundo a v direção de v. Observação Em termos práticos, para se comparar o comportamento de uma função f quando x R n varia ao longo de duas direções diferentes, é preciso que essa variação se faça com a mesma rapidez. Desta forma, quando a direção segundo a qual se pretende calcular a derivada for dada por um vetor não unitário v, é necessário normalizar este vetor para obter um vetor unitário, o versor de v. Normalizar um vetor é calcular o quociente entre as componentes de v e a sua norma. Assim, u = v v. O exemplo seguinte mostra o cálculo da derivada direcional de uma função segundo a direção de um vetor não unitário. Exemplo Seja f : R 2 R uma função tal que f(x, y) = x 2 + 3xy e xy. A derivada direcional de f segundo a direção do vetor v = (1, 1) é, de acordo com a observação , a derivada de f segundo o versor de v. ( Seja u um vetor tal que u = (1, 1) 1 2 = 2, 1 2 ). Então,

35 30 CAPÍTULO 3. DIFERENCIAÇÃO E INTEGRAÇÃO ( f f x + t (x, y) = u t 0 = t 0 = t 0 = t 0 ) 2, y t 2 f(x, y) t ( ) 2 ) ) x + t (x + t 2 (y t 2 e ( xt 2 t2 + 3yt 2 2 e xy e xt + yt t t ( x t y ) e xy 2 t ) e t 0 xt 2 + yt 2 t2 2 = x + 3y ( x e xy + y ) 2x = = 2 2 [3y x exy (y x)]. ( x+ )(y t t 2 xt + yt t y 2 2 ) x 2 3xy + e xy ( x + y t ) ( e xy 2x 2y Observação Se o vetor v coincidir com o vetor e i da base canónica de R n, vem que f f f(a + t e i ) f(a) (a) = (a) = v e i t 0 t f(a 1,..., a i 1, a i + t, a i+1,..., a n ) f(a 1,..., a n ) =. t 0 t Comparando este resultado com a definição , verifica-se que a derivada da função f no ponto a segundo o vetor e i coincide com a derivada parcial de f em ordem a x i. Desta forma, conclui-se que o conceito de derivada segundo um vetor generaliza o conceito de derivada parcial. ) Diferenciabilidade O estudo da diferenciabilidade de funções reais de n variáveis [22] será precedido pela abordagem da diferenciabilidade de funções reais de duas variáveis. Será analisado também a relação entre a continuidade e diferenciabilidade de funções reais de n variáveis. Definição Sejam f : D R 2 R uma função e a = (a 1, a 2 ) um ponto interior de D. f é diferenciável em a se existem números reais α e β independentes de h e k tais

36 3.1. DIFERENCIABILIDADE DE FUNÇÕES REAIS DE VÁRIAS VARIÁVEIS 31 que f(a 1 + h, a 2 + k) f(a 1, a 2 ) αh βk = 0. (h,k) (0,0) h2 + k 2 No exemplo que se segue vai-se averiguar, recorrendo à definição , se uma função é diferenciável num ponto do seu domínio. Exemplo Sejam f : R 2 R uma função tal que f(x, y) = xy e (1, 2) um ponto do domínio de f. Pela definição , f é diferenciável em (1, 2) se existem α, β R tais que f(1 + h, 2 + k) f(1, 2) αh βk = 0. (h,k) (0,0) h2 + k 2 Em primeiro lugar, escreva-se a expressão simplificada do ite para a função dada: f(1 + h, 2 + k) f(1, 2) αh βk (1 + h)(2 + k) 2 αh βk = (h,k) (0,0) h2 + k 2 (h,k) (0,0) h2 + k 2 e Pretende-se determinar α, β R de forma que = (h,k) (0,0) hk + (2 α)h + (1 β)k = 0. (h,k) (0,0) h2 + k k + 2h + hk 2 αh βk h2 + k 2 hk + (2 α)h + (1 β)k =. (h,k) (0,0) h2 + k 2 Se α 2 ou β 1, esta igualdade não se verifica. Repare-se que, hk + (2 α)h + (1 β)k h 2 + (2 α)h + (1 β)h = (h,k) k=h (0,0) h2 + k 2 h 0 2h 2 Uma vez que h(h + 3 α β) h h h(h + 3 α β) h 0 2 h = h 0 + h(h + 3 α β) 2h = h 0 h(h + 3 α β) 2h h(h + 3 α β) =. h 0 2 h = h 0 + h + 3 α β 2 = h 0 h + 3 α β 2 = 3 α β 2 = α + β 3 2,

37 32 CAPÍTULO 3. DIFERENCIAÇÃO E INTEGRAÇÃO conclui-se que (h,k) k=h (0,0) , também não existe Se α = 2 e β = 1, tem-se hk + (2 α)h + (1 β)k h2 + k 2 (h,k) (0,0) pois k = k 2 h 2 + k 2 e portanto 0 hk + (2 α)h + (1 β)k. (h,k) (0,0) h2 + k 2 hk h2 + k 2 = (h,k) (0,0) h = 0, k h 2 +k 2 1. Assim, existem α, β R(α = 2, β = 1) tais que não existe e, portanto, pela proposição k h2 + k 2 f(1 + h, 2 + k) f(1, 2) αh βk = 0, (h,k) (0,0) h2 + k 2 o que prova que f é diferenciável em (1, 2). Proposição Sejam f : D R 2 R uma função e a = (a 1, a 2 ) um ponto interior de D. f é diferenciável em a se e só se existem e são finitas as derivadas parciais f x (a) e f y (a) e (h,k) (0,0) f(a 1 + h, a 2 + k) f(a 1, a 2 ) f (a x 1, a 2 )h f (a y 1, a 2 )k = 0. (3.1) h2 + k 2 Demonstração: Seja f : D R 2 R uma função diferenciável em a = (a 1, a 2 ). Então, pela definição , existem α e β tais que f(a 1 + h, a 2 + k) f(a 1, a 2 ) αh βk = 0. (h,k) (0,0) h2 + k 2 Seja C = {(h, k) R : k = 0}. Então, o que é equivalente a f(a 1 + h, a 2 + k) f(a 1, a 2 ) αh βk = 0, (h,k) C (0,0) h2 + k 2 f(a 1 + h, a 2 + k) f(a 1, a 2 ) αh βk f(a 1 + h, a 2 ) f(a 1, a 2 ) αh = 0 (h,k) k=0 (0,0) h2 + k 2 h 0 h 2 f(a 1 + h, a 2 ) f(a 1, a 2 ) = α h 0 h f (a) = α. x = 0

38 3.1. DIFERENCIABILIDADE DE FUNÇÕES REAIS DE VÁRIAS VARIÁVEIS 33 Considerando B = {(h, k) R : h = 0} prova-se de forma análoga que f (a) = β. y Prove-se, agora, a implicação recíproca. Sejam f : D R 2 R uma função e a = (a 1, a 2 ) um ponto interior de D. Por hipótese, existem e são finitas as derivadas parciais f f (a) e (a) e x y (h,k) (0,0) Como f x f(a 1 + h, a 2 + k) f(a 1, a 2 ) f (a x 1, a 2 )h f (a y 1, a 2 )k = 0. h2 + k 2 f (a) não depende de h e (a) não depende de k, tem-se que existem números y reais α = f f (a) e β = (a) independentes de h e k tais que x y f(a 1 + h, a 2 + k) f(a 1, a 2 ) αh βk = 0. (h,k) (0,0) h2 + k 2 Atendendo à definição , conclui-se que f é diferenciável em a. O exemplo seguinte mostra como estudar a diferenciabilidade de uma função num ponto recorrendo à Proposição Exemplo Seja f : R 2 R uma função tal que f(x, y) = x 2 + y 2. Pretende-se averiguar se a função é diferenciavél no ponto (1, 1). De acordo com a proposição , f é diferenciável em (1, 1) se existem e são finitas as derivadas parciais f f (1, 1) e (1, 1), e x y Tem-se (h,k) (0,0) f f(h + 1, 1) f(1, 1) (1, 1) = x h 0 h e = h 0 h 2 + 2h h f(1 + h, 1 + k) f(1, 1) f f (1, 1)h (1, 1)k x y = 0. h2 + k 2 = h 0 (h + 2) = 2 f f(1, k + 1) f(1, 1) (1, 1) = y k 0 k = k 0 k 2 + 2k k = k 0 (k + 2) = 2. = h 0 (h + 1) h = k (k + 1) 2 2 k = h 0 h 2 + 2h h = k k 2 + 2k k

39 34 CAPÍTULO 3. DIFERENCIAÇÃO E INTEGRAÇÃO Por outro lado, f(1 + h, 1 + k) f(1, 1) 2h 2k (1 + h) 2 + (1 + k) 2 2 2h 2k = (h,k) (0,0) h2 + k 2 (h,k) (0,0) h2 + k 2 Portanto, a função f é diferenciável em (1, 1) h + h k + k 2 2h 2k = (h,k) (0,0) h2 + k 2 = (h,k) (0,0) h 2 + k 2 h2 + k 2 = h2 + k 2 = 0. (h,k) (0,0) Para verificar se uma dada função é ou não diferenciável teremos de averiguar a existência das suas derivadas parciais e calcular o ite 3.1, o que poderá ser bastante trabalhoso. A proposição que a seguir se enuncia permite contornar essa dificuldade. A existência de derivadas parciais contínuas num ponto garante que a função é diferenciável nesse ponto. Proposição Seja f : D R 2 R uma função. Dado um ponto a D, se as derivadas parciais f f (a) e (a) existirem e forem contínuas em a, então f é diferenciável x y em a. Demonstração: domínio. Sejam f : D R 2 R uma função e a = (a 1, a 2 ) um ponto do seu Por hipótese, as derivadas parciais f f (a) e (a) existem e são contínuas. x y Pretende-se provar que (h,k) (0,0) f(a 1 + h, a 2 + k) f(a 1, a 2 ) f (a x 1, a 2 )h f (a y 1, a 2 )k = 0. h2 + k 2 A diferença f(a 1 + h, a 2 + k) f(a 1, a 2 ) pode ser reescrita como f(a 1 + h, a 2 + k) f(a 1, a 2 ) = f(a 1 + h, a 2 + k) f(a 1, a 2 + k) + f(a 1, a 2 + k) f(a 1, a 2 ). que Definindo as funções reais de variável real g(x) = f(x, a 2 + k) e h(y) = f(a 1, y) vem f(a 1 + h, a 2 + k) f(a 1, a 2 ) = g(a 1 + h) g(a 1 ) + h(a 2 + k) h(a 2 ).

40 3.1. DIFERENCIABILIDADE DE FUNÇÕES REAIS DE VÁRIAS VARIÁVEIS 35 Pelo Teorema de Lagrange [11], g(a 1 + h) g(a 1 ) = g (α)h e h(a 2 + k) h(a 2 ) = h (β)k para valores de α ]a 1, a 1 + h[ e β ]a 2, a 2 + k[. Desta forma, Assim, (h,k) (0,0) = (h,k) (0,0) f(a 1 + h, a 2 + k) f(a 1, a 2 ) = f x (α, a 2 + k)h + f y (a 1, β)k. f(a 1 + h, a 2 + k) f(a 1, a 2 ) f (a x 1, a 2 )h f (a y 1, a 2 )k = h2 + k 2 [ f (α, a x 2 + k) f (a x 1, a 2 ) ] [ ] f h + (a y 1, β) f (a y 1, a 2 ) k (3.2) h2 + k 2 Uma vez que (h, k) (0, 0) implica (α, a 2 + k) (a 1, a 2 ) e (a 1, β) (a 1, a 2 ) e, por hípótese, as derivadas da função f são contínuas em (a 1, a 2 ), [ f (h,k) (0,0) x (α, a 2 + k) f ] x (a 1, a 2 ) = 0 e [ f (h,k) (0,0) y (a 1, β) f ] y (a 1, a 2 ) = 0. Por outro lado, como h = h 2 h 2 + k 2 e k = k 2 h 2 + k 2, tem-se 0 h h 1 e 0 k 2 +k 2 h k 2 Desta forma, o ite 3.2 é igual a [( f (h,k) (0,0) x (α, a 2 + k) f ) x (a 1, a 2 ) Logo, a função f é diferenciável em (a 1, a 2 ). ( h f h2 + k + 2 y (a 1, β) f ) y (a 1, a 2 ) k h2 + k 2 ] = 0. Teorema Sejam f : D R 2 R uma função e a um ponto interior de D. Se a função f é diferenciável em a então é contínua nesse ponto.

41 36 CAPÍTULO 3. DIFERENCIAÇÃO E INTEGRAÇÃO Demonstração: Sejam f : D R 2 R uma função diferenciável em a = (a 1, a 2 ), ponto interior do seu domínio. Pretende-se provar que f é contínua em a, ou seja, que f(x, y) = f(a 1, a 2 ). (x,y) (a 1,a 2 ) Por hipótese, a função é diferenciável em a. Então, pela proposição , existem e são finitas as derivadas parciais f f (a) e (a) e x y (h,k) (0,0) onde f(a 1 + h, a 2 + k) f(a 1, a 2 ) f (a x 1, a 2 )h f (a y 1, a 2 )k h2 + k 2 = 0 (h,k) (0,0) g(h, k) h2 + k 2 = 0, g(h, k) = f(a 1 + h, a 2 + k) f(a 1, a 2 ) f x (a 1, a 2 )h f y (a 1, a 2 )k (3.3) A expressão 3.3 pode ser reescrita como f(a 1 + h, a 2 + k) = g(h, k) + f(a 1, a 2 ) + f x (a 1, a 2 )h + f y (a 1, a 2 )k. Aplicando o ite quando (h, k) (0, 0), tem-se f(a 1 + h, a 2 + k) = (h,k) (0,0) = g(h, k) + (h,k) (0,0) Uma vez que (h,k) (0,0) [ g(h, k) + f(a 1, a 2 ) + f f(a 1, a 2 ) + (h,k) (0,0) (h,k) (0,0) h2 + k 2 = 0 e, por hipótese, (h,k) (0,0) ] y (a 1, a 2 )k ] x (a 1, a 2 )h + f [ f x (a 1, a 2 )h + f y (a 1, a 2 )k (h,k) (0,0) g(h, k) (h,k) (0,0) = g(h, k) h2 + k2 (h,k) (0,0) h2 + k 2 h2 + k 2 Por outro lado, = (h,k) (0,0) f(a 1, a 2 ) = f(a 1, a 2 ) e (h,k) (0,0) [ f (h,k) (0,0) x (a 1, a 2 )h + f y (a 1, a 2 )k ] (h,k) (0,0) g(h, k) h2 + k 2 = 0, g(h, k) h2 + k 2 = 0. = f x (a 1, a 2 ) 0 + f y (a 1, a 2 ) 0 = 0 (por hipótese, as derivadas parciais de f em ordem a x e a y no ponto a existem e são finitas). Assim, f(a 1 + h, a 2 + k) = 0 + f(a 1, a 2 ) + 0 = f(a 1, a 2 ), (h,k) (0,0).

42 3.1. DIFERENCIABILIDADE DE FUNÇÕES REAIS DE VÁRIAS VARIÁVEIS 37 ou seja, f(x, y) = f(a 1, a 2 ). (x,y) (a 1,a 2 ) Portanto, a função é contínua em a = (a 1, a 2 ). Observação Da proposição e do teorema conclui-se que se uma função é diferenciável em (a 1, a 2 ) D, então é contínua e tem derivadas parciais nesse ponto. Assim, se ela não for contínua ou não existir alguma das suas derivadas parciais, a função não pode ser diferenciável. No entanto, o fato de a função ser contínua em (a 1, a 2 ) não permite afirmar sobre a sua diferenciabilidade. Além disso, mesmo que se garanta a existência de derivadas parciais, se o ite (h,k) (0,0) f(a 1 + h, a 2 + k) f(a 1, a 2 ) f (a x 1, a 2 )h f (a y 1, a 2 )k (3.4) h2 + k 2 for diferente de zero, então a função não é diferenciável no ponto. O exemplo que se segue ilustra o caso em que uma função contínua e que admite derivadas parciais não é diferenciável. Exemplo Seja f a função definida por x 3, se (x, y) (0, 0) x f(x, y) = 2 +y 2 0, se (x, y) = (0, 0). Pretende-se averiguar se a função é diferenciável em (x, y) = (0, 0). Será que f(x, y) é uma função contínua em (x, y) = (0, 0)? Atendendo a que x = 0 e x 2 (x,y) (0,0) x 2 +y < 1, tem-se, pela proposição , 2 (x,y) (0,0) x 3 x 2 + y 2 = x (x,y) (0,0) x2 x 2 + y 2 = 0. Logo, a função f é contínua em (0, 0) pois f(x, y) = f(0, 0) = 0. (x,y) (0,0) Agora, é preciso verificar se a função admite derivadas parciais nesse ponto. Pela definição , f f(0 + h, 0) f(0, 0) (0, 0) = x h 0 h h 3 h = 2 h 0 h = h 3 h 0 h = 1 3

43 38 CAPÍTULO 3. DIFERENCIAÇÃO E INTEGRAÇÃO e f f(0, 0 + h) f(0, 0) (0, 0) = y h 0 h = h 0 0 h 2 h = h 0 0 h 3 = 0. Portanto, existem e são finitas as derivadas parciais da função f no ponto (0, 0). Por último, falta averiguar se o ite 3.4 é igual a zero. A expressão simplificada do ite é h f(0 + h, 0 + k) f(0, 0) 1h 0k 3 h h = 2 +k 2 (h,k) (0,0) h2 + k 2 (h,k) (0,0) h2 + k 2 Considerando C = {(h, k) R : k = h}, (h,k) C (0,0) hk 2 h2 + k 2 (h 2 + k 2 ) h 3 h 3 hk 2 = (h,k) (0,0) h2 + k 2 (h 2 + k 2 ) hk 2 = (h,k) (0,0) h2 + k 2 (h 2 + k 2 ). hk 2 = h k=h 0 h2 + k 2 (h 2 + k 2 ) h 3 = h 0 2h2 2h 2 h = h h. h Como h h = 2 h h h = e h h 0 2 h = 2 h h 0 2 2h = 1 2 2, h conclui-se que não existe o h 0 2 e, portanto, também não existe o ite h Logo, a função não é diferenciável em (0, 0). O resultado que se segue permite medir a variação de uma função entre (x, y) e (x + h, y + k) utilizando as derivadas parciais. Torna-se bastante útil para calcular o valor aproximado de uma função num determinado ponto. Seja f : D R 2 R uma função diferenciável em a = (a 1, a 2 ), um ponto interior do seu domínio. Então, pela proposição , (h,k) (0,0) f(a 1 + h, a 2 + k) f(a 1, a 2 ) f (a x 1, a 2 )h f (a y 1, a 2 )k = 0, h2 + k 2 o que permite concluir que f(a 1 + h, a 2 + k) f(a 1, a 2 ) é aproximadamente igual a f x (a 1, a 2 )h + f y (a 1, a 2 )k,

44 3.1. DIFERENCIABILIDADE DE FUNÇÕES REAIS DE VÁRIAS VARIÁVEIS 39 quando (h, k) (0, 0). Em linguagem matemática, (h, k). f(a 1 + h, a 2 + k) f(a 1, a 2 ) f x (a 1, a 2 )h + f y (a 1, a 2 )k (3.5) À soma 3.5 chama-se diferencial da função f no ponto (a 1, a 2 ) relativamente ao vetor Definição Seja f : D R 2 R uma função diferenciável em a = (a 1, a 2 ) int(d). O diferencial de f em a = (a 1, a 2 ) relativo ao vetor v = (h, k) é a soma (Df) v (a) = f x (a 1, a 2 )h + f y (a 1, a 2 )k. Os próximos dois exercícios ilustram, respetivamente, o processo para calcular o diferencial de uma função e como utilizar o diferencial para calcular o valor aproximado da função num determinado ponto. Exemplo Seja f : R 2 R tal que f(x, y) = 2 x y. Pretende-se calcular o diferencial de f. Como f é uma função diferenciável no seu domínio, Df(x, y) = f (x, y)h + x f (x, y)k. y função é f Assim, sendo (x, y) = x 2x y ln 2 e f (x, y) = y 2x y ln 2, o diferencial da Df(x, y) = ln 2(2 x y h 2 x y k). Exemplo Utilizando diferenciais, calcular um valor aproximado de 1, 01e 1,012 1, f x Seja f : R 2 R a função definida por f(x, y) = xe x2 y 2. Sendo f diferenciável em R 2 tem-se, por 3.5, f(a 1 + h, a 2 + k) f(a 1, a 2 ) + f x (a 1, a 2 )h + f y (a 1, a 2 )k. Fazendo (a 1 + h, a 2 + k) = (1 + 0, 01; 1 + 0, 002), vem que f(1, 01; 1, 002) f(1, 1) + 0, 01 f (1, 1) + 0, 002 f (1, 1). x y Como f x (x, y) = ex2 y 2 (1 + 2x 2 ) e f y (x, y) = 2yxex2 y 2 f (1, 1) = 3 e (1, 1) = 2. y Então, f(1, 01; 1, 002) 1 + 0, , 002( 2) = 1, para todo (x, y) R 2, tem-se

45 40 CAPÍTULO 3. DIFERENCIAÇÃO E INTEGRAÇÃO As definições, proposições e teoremas apresentados e analisados no caso de funções reais de duas variáveis serão agora reescritos para as funções reais de n variáveis [22]. Definição Sejam f : D R n R uma função e a = (a 1,..., a n ) um ponto interior de D. A função f é diferenciável em a se existem números reais α 1,..., α n tais que (h 1,...,h n) (0,...,0) f(a 1 + h 1,..., a n + h n ) f(a 1,..., a n ) n i=1 α ih i h h 2 n Proposição Sejam f : D R n R uma função e a = (a 1,..., a n ) um ponto interior de D. A função f é diferenciável em a se e só se existem e são finitas as derivadas parciais f x i (a) e = 0. (h 1,...,h n) (0,...,0) f(a 1 + h 1,..., a n + h n ) f(a 1,..., a n ) n h h 2 n i=1 h i f x i (a 1,..., a n ) = 0. Proposição Seja f : D R n R uma função de n variáveis. Dado um ponto a D, se as derivadas parciais f x i (a), i {1,..., n} existirem e forem contínuas em a, então f é diferenciável em a. Teorema Sejam f : D R n R uma função e a um ponto interior de D. Se a função f é diferenciável em a então é contínua nesse ponto. Definição Seja f : D R n R. O diferencial de f em a = (a 1,..., a n ) relativo ao vetor h = (h 1,..., h n ) é a soma (Df) h (a) = n i=1 h i f x i (a). Observação O diferencial de f em a relativo ao vetor h dá um valor aproximado de f(a + h) f(a). Em linguagem matemática, f(a 1 + h 1,..., a n + h n ) f(a 1,..., a n ) h 1 f x 1 (a 1,..., a n ) h n f x n (a 1,..., a n ).

46 3.2. INTEGRABILIDADE DE FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL Integrabilidade de funções reais de variável real O primeiro tópico a ser abordado nesta secção é de como obter uma função conhecendo apenas a sua derivada. Este problema é chamado de integração indefinida. Será introduzido o conceito de primitiva e provado que uma função tem infinitas primitivas que diferem entre si por uma constante [17]. No tópico seguinte será definido o integral definido tendo por base as somas de Riemann (ver [20]) e o problema do cálculo da área de uma região plana deitada pelos gráficos de funções continuas definidas num intervalo [a, b]. A área desta região pode ser aproximada pela soma das áreas dos retângulos em que se subdivide a região e cuja base é um subintervalo de [a, b]. Para facilitar a resolução de determinados integrais existem diversos métodos como a primitivação por partes, por substituição, entre outros. Estes métodos de integração permitem escrever integrais complicados de maneira mais simples e aplicar as fórmulas de primitivas básicas. Não serão apresentadas estas fórmulas nem estudados estes métodos neste trabalho mas, podem ser consultados, por exemplo, em [20]. O Teorema Fundamental do Cálculo Integral e a Fórmula de Barrow são resultados importantes pois permitem simplificar bastante o cálculo de um integral, pelo que serão enunciados e demonstrados [17]. A secção da integrabilidade de uma função real de variável real termina com exemplos de aplicação do cálculo integral. É importante referir que um integral não representa necessariamente uma área. A sua interpretação depende do contexto do problema e pode representar grandezas como volume de um sólido, trabalho realizado por uma força, velocidade, entre outras Primitivas e integral indefinido Definição Seja f : I R R um função, onde I é um intervalo. A primitiva ou antiderivada de f é toda a função F diferenciável em I tal que F (x) = f(x), para todo o x I.

47 42 CAPÍTULO 3. DIFERENCIAÇÃO E INTEGRAÇÃO No exercício seguinte exemplifica-se o cálculo de uma primitiva de uma dada função, recorrendo às regras de diferenciação [20]. Exemplo Seja f : R + R a função definida por f(x) = 1 2. Uma primitiva x desta função é F (x) = x pois F (x) = ( x) = (x 1 2 ) = 1 2 x = x = 1 2 x. A proposição seguinte afirma que, quando I é um intervalo, todas as primitivas de f diferem por uma constante. Sendo F : I R uma primitiva da função f : I R e G : I R uma função definida por G(x) = F (x) + C, C R, para todo o x I, vem que, pelas regras de derivação, G (x) = F (x) e, portanto, G também é uma primitica de f. Assim, se uma função admite uma primitiva, tem uma infinidade de primitivas. Proposição Sejam f : I R, com I um intervalo de R e F e G duas primitivas de f. Então, existe C R tal que, para todo o x I, G(x) F (x) = C. Demonstração: Por hipótese, F e G são primitivas de f pelo que, para todo o x I, G (x) F (x) = f(x) f(x) = 0. Seja H : I R a função definida por H(x) = G(x) F (x). Então, H (x) = 0, x I. Considerem-se dois pontos quaisquer x 1 e x 2 pertencentes a I. O teorema de Lagrange [11] garante-nos que existe c ]x 1, x 2 [ tal que H (x 2 ) H (x 1 ) = H (c)(x 2 x 1 ). Como H (x) = 0, vem que H (x 2 ) H (x 1 ) = 0 e, portanto, H (x 2 ) = H (x 1 ), x 1, x 2 I. Desta forma, conclui-se que H é constante em I e, por isso, existe um C R tal que H(x) = C, x I. Daqui sai que G(x) F (x) = C, x I. A seguir apresentam-se dois exemplos onde o primeiro mostra várias primitivas para uma mesma função e o segundo exemplifica o cálculo de uma primitiva específica mediante a apresentação de uma condição.

48 3.2. INTEGRABILIDADE DE FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL 43 Exemplo Uma primitiva da função f(x) = cos(x) é F (x) = sin(x) pois, pelas regras de derivação [20], (sin(x)) = cos(x). Então, pela proposição 3.2.4, toda a primitiva de f(x) = cos(x) é do tipo G(x) = sin(x) + C, C R. Sendo assim, G 1 (x) = sin(x) + 1, G 2 (x) = sin(x) + π, G 3 (x) = sin(x) 7 3 são todas primitivas de f. Exemplo Pretende-se encontrar uma primitiva F (x) da função f(x) = e 3x + x que satisfaça a condição F (0) = 1. pois Atendendo às regras de derivação [20], tem-se que F (x) = e 3x x3 + C, C R F (x) = ( e 3x ) x3 + C = ( e 3x ) 3 x C = 3e 3x x = e 3x + x 1 2 = e 3x + x. Como por hipótese F (0) = 1, vem que e C = C = 1 C = 4 3. Assim, a primitiva de f na condição exigida é F (x) = e 3x x Definição Sejam I um intervalo de R, f : I R e F : I R funções tais que F é uma primitiva de f em I. O integral indefinido de f em I, que se denota por f(x)dx, é a família de todas as primitivas de f. Ou seja, f(x)dx = F (x) + C, C R, onde f é a função integranda e C a constante de integração. Observação Sejam f : I R uma função diferenciável em I e F : I R uma primitiva de f em I. Resulta imediatamente da definição que: 1. A derivada de um integral indefinido é igual à função integranda, isto é, ( ) d f(x)dx = d d (F (x) + C) = dx dx dx F (x) = F (x) = f(x);

49 44 CAPÍTULO 3. DIFERENCIAÇÃO E INTEGRAÇÃO 2. O diferencial de um integral indefinido é igual à expressão sob o sinal de integração, ou seja, ( D ) f(x)dx = D(F (x) + C) = F (x)dx = f(x)dx; 3. O integral indefinido do diferencial de uma função é igual à soma desta função e de uma constante arbitrária, ou seja, DF (x) = F (x)dx = F (x) + C. Proposição (Propriedades operatórias do integral indefinido) Sejam f e g duas funções definidas num intervalo I de números reais e α, β R. Se f e g são primitiváveis, então: (P1) αf(x)dx = α f(x)dx; (P2) αf ± βg são primitiváveis e (αf ± βg)dx = α f(x)dx ± β g(x)dx. Demonstração: Sejam f e g duas funções definidas num intervalo I de números reais, F e G duas funções diferenciáveis em I tais que F é uma primitiva de f e G é uma primitiva de g e α, β R. (P1) Pretende-se provar que αf(x)dx = α f(x)dx. (3.6) Derivando o primeiro membro desta igualdade tem-se, pelo ponto 1 da observação 3.2.8, Por outro lado, ( d α dx ( d dx ) αf(x)dx = αf(x). ) f(x)dx = α d ( dx ) f(x)dx = αf(x). As derivadas dos dois membros da equação 3.6 são iguais e, portanto, fica provado que αf(x)dx = α f(x)dx.

50 3.2. INTEGRABILIDADE DE FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL 45 (P2) Pretende-se provar que (αf ± βg)dx = α f(x)dx ± β g(x)dx. Para todo o x R, d d d (αf (x) ± βg(x)) = αf (x) ± βg(x) = αf(x) ± βg(x), dx dx dx o que permite concluir que αf (x) ± βg(x) é uma primitva de αf(x) ± βg(x). Assim, ficou provado que o integral indefinido da soma algébrica de duas funções é igual à soma algébrica dos seus integrais Integral definido A noção de integral definido apresentada a seguir baseia-se nas somas de Riemann e é definido como o ite destas somas. A construção deste ite pode ser consultada, por exemplo, em [20]. Definição Seja [a, b] um intervalo de R, com a < b. Chama-se partição de [a, b] a qualquer conjunto P = {x 0, x 1,..., x n 1, x n } de pontos deste intervalo tais que a = x 0 < x 1 <... < x n 1 < x n = b. Definição Seja x k a amplitude de cada intervalo [x k 1, x k ], k = 1,..., n. Chamase norma da partição P à maior das amplitudes x k, isto é, P = max{ x k : k = 1,..., n}. Definição Sejam f uma função real de variável real definida num intervalo [a, b], P = {x 0, x 1,..., x n 1, x n } uma partição desse intervalo e c k [x k 1, x k ], 1 k n. Chama-se soma de Riemann de f em [a, b] relativamente à partição P à soma n S(f, P ) = f(c k ) x k. k=0

51 46 CAPÍTULO 3. DIFERENCIAÇÃO E INTEGRAÇÃO Definição Sejam f : [a, b] R uma função itada e P = {x 0, x 1,..., x n 1, x n } uma partição de [a, b]. A soma de Riemann de f converge para um número I quando P 0 se, para todo ε > 0, existe uma partição P ε P de [a, b] tal que n f(c k ) x k I < ε S(f, P ) I < ε, isto é, I = k=0 S(f, P ), para todos os valores c k [x k 1, x k ], 1 k n. P 0 Definição Sejam [a, b] um intervalo com a < b e f : [a, b] R uma função itada em [a, b]. I R tal que A função f é integrável em [a, b] no sentido de Riemann se existe I = S(f, P ). P 0 Ao número I chama-se integral de Riemann de f em [a, b] ou integral definido de f de a a b e denota-se por I = b a f(x)dx. A função f é a função integranda, [a, b] é o intervalo de integração e os números reais a e b são, respetivamente, os ites inferior e superior da integração. Observe-se que b f(x)dx = a f(x)dx e quando a = b, a a b a f(x)dx = 0. Observação Seja f : [a, b] R uma função definida de tal forma que f(x) 0, x [a, b]. Como f é não negativa no intervalo [a, b], cada parcela f(c k ) x k da soma de Riemann pode ser interpretada como a área de um retângulo de base x k e altura f(c k ). Sendo assim, a soma de Riemann considerada corresponde à soma das áreas de todos os retângulos e estima um valor para a área da região do plano itada pelo gráfico da função f, pelo eixo Ox e pelas retas de equação x = a e x = b. Quanto menor a amplitude x k dos intervalos considerados, mais a soma das áreas desses retângulos tende a aproximar-se do valor da área da região.

52 3.2. INTEGRABILIDADE DE FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL 47 Figura 3.1: Área total sob a curva Neste contexto, o integral definido b f(x)dx representa a área da região do plano a itada pelo gráfico da função f, pelo eixo Ox e pelas retas de equação x = a e x = b. O exemplo seguinte mostra o cálculo da área de uma região do plano recorrendo à definição Exemplo Sejam f e g duas funções reais de variável real tais que f(x) = x 3 e g(x) = 9x. Pretende-se calcular a área da região do plano itada pelos gráficos de f e de g e pelas retas de equação x = 0 e x = 3. Na figura 3.2 está representada graficamente essa região. Por observação do gráfico, conclui-se que o intervalo de integração é [0, 3] e que a função h(x) = g(x) f(x) define a distância entre as imagens por g e por f de cada x [0, 3]. Figura 3.2: Região do plano itada por f(x), g(x) e pelas retas x = 0 e x = 3

53 48 CAPÍTULO 3. DIFERENCIAÇÃO E INTEGRAÇÃO Seja n o número de subdivisões do intervalo [0, 3]. Então x = 3 0 n de ordem n de [0, 3] é tal que = 3 n e a partição x 0 = 0 < x 1 = 3 n < x 2 = 6 n < x 3 = 9 n <... < x n = 3n n = n Assim, x k = 3k, k {1,..., n}. n Calculando as imagens de cada abcissa x k através da função h, conclui-se que h(x k ) = ( k ), k3 pelo que a soma de Riemann associada a esta partição é dada por n 2 S n = n h(x k ) x k = k=1 n k=1 27 n (k k3 n 2 ) 3 n = n k=1 81 n 2 (k k3 n 2 ). (3.7) Uma vez que da seguinte forma: n k=1 81 n 2 n k = k=1 ) (k k3 n 2 n(n + 1) 2 e n k=1 ( n = 81 k 1 n 2 n 2 k=1 k 3 = n2 (n + 1) 2, a soma 3.7 pode ser reescrita 4 ) n k 3 k=1 = 81 (n + 1)(2n n 1) n 2 4 Logo, a área pretendida é igual a 3 0 h(x)dx = n + S n = n + = 81 ( n(n + 1) 1 ) n 2 (n + 1) 2 n 2 2 n 2 4 = 81 (n + 1)(n 1) 4 = 81 n 2 4 n 2 1 n n = (1 1n ) = 81 4 n 2 n Propriedades do integral e critérios de integrabilidade Nesta secção serão enunciados as propriedades do integral definido e os critérios de integrabilidade. Estes resultados não serão demonstrados mas as suas provas podem ser consultadas, por exemplo, em [20] ou [11]. Proposição (Propriedades do Integral) Sejam f e g duas funções integráveis em [a, b]. Então: 1. Para todo α, β R, b a (αf + βg)(x)dx = α b a f(x)dx + β b a g(x)dx.

54 3.2. INTEGRABILIDADE DE FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL f é integrável em todo o subintervalo de [a, b]. Se a < c < b, f é integrável nos intervalos [a, c] e [c, b] e b a f(x)dx = c a f(x)dx + b c f(x)dx. 3. Se f(x) 0 para todo o x [a, b], então b f(x)dx 0. a 4. Se f(x) g(x) para todo o x [a, b], então b a f(x)dx b a g(x)dx. 5. Se m f(x) M para todo o x [a, b], então m(b a) b f(x)dx M(b a). a 6. b f(x)dx b a f(x) dx. a Nem todas as funções são integráveis sendo, por isso, importante conhecer que condições garantem a integrabilidade de uma função. A proposição que se segue dá-nos uma condição necessária para que uma função seja integrável num intervalo. Para que uma função seja integrável, ela tem que ser itada. No entanto, o facto de ser itada não implica que seja integrável. Proposição Se uma função f : [a, b] R é integrável em [a, b] então f é itada em [a, b]. A proposição seguinte estabelece condições suficientes para a integrabilidade de uma função num intervalo, isto é, condições que garantem que uma função é integrável. Proposição Seja f : [a, b] R uma função. 1. Se f é contínua em [a, b], então f é integrável em [a, b]. 2. Se f é itada em [a, b] e é descontínua apenas num número finito de pontos de [a, b], então f é integrável em [a, b]. 3. Se f é monótona em [a, b], então f é integrável em [a, b]. 4. Se f é integrável em [a, b] e g : [a, b] R difere de f apenas num número finito de pontos de [a, b], entaõ g é integrável em [a, b] e b a g(x)dx = b a f(x)dx.

55 50 CAPÍTULO 3. DIFERENCIAÇÃO E INTEGRAÇÃO Teorema fundamental do cálculo integral e fórmula de Barrow O Teorema Fundamental do cálculo integral demonstra que a integração e a diferenciação são operações inversas. Este teorema garante que a primitiva de uma função é sempre contínua e que, sob determinadas condições, também é diferenciável. Teorema (Teorema Fundamental do Cálculo Integral) Sejam f : [a, b] R uma função integrável no intervalo [a, b] e F a função definida, para cada x [a, b], por F (x) = x f(t)dt. Então: a 1. F é contínua em [a, b]; 2. Se f é contínua em c [a, b], então F é diferenciável em c e F (c) = f(c). Demonstração: seja, que 1. Seja c [a, b]. Pretende-se provar que F é contínua em c, ou [F (x) F (c)] = 0. x c Como, por hipótese, f é integrável em [a, b], então, pela proposição , f é itada em [a, b], pelo que existem números m, M R tais que, t [a, b], m f(t) M. Se x c, pela propriedade 5 da proposição , tem-se que m(x c) x Por outro lado, pela propriedade 2 da proposição , c f(t)dt M(x c). (3.8) F (x) F (c) = = = Assim, de 3.8 e 3.9, obtém-se x a x a x c f(t)dt f(t)dt + c a a c f(t)dt f(t)dt f(t)dt. (3.9) F (x) F (c) = x c f(t)dt M(x c),

56 3.2. INTEGRABILIDADE DE FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL 51 o que permite concluir que. Se x c, x c x c +[F (x) F (c)] = 0. (3.10) f(t)dt = c x f(t)dt = c x f(t)dt. Então M(c x) c f(t)dt m(c x), ou seja, m(x c) x f(t)dt M(x c). x c Procedendo de forma análoga para o caso em que x c, obtém-se De 3.10 e 3.11 conclui-se que x c [F (x) F (c)] = 0. (3.11) [F (x) F (c)] = 0, x c e, portanto, que F é contínua em qualquer ponto c [a, b]. 2. Pretende-se provar que se f é contínua em c [a, b], então F é diferenciável em c e F (c) = f(c). Ou seja, pretende-se mostrar que Repare-se que F (x) F (c) x c F (x) = x c F (x) F (c) x c f(c) = = = = f(c). F (x) F (c) f(c)(x c) x c x c x f(t)dt x f(c)dt c c x c x c [f(t) f(c)]dt. x c Como, por hipótese, f é contínua em c [a, b], dado ε > 0, existe δ > 0 tal que, t [a, b], se t c < δ, então f(t) f(c) < ε. Assim, x c [f(t) f(c)]dt x c = < x [f(t) f(c)]dt c x c x [f(t) f(c)] dt c x c εdt x c. x c

57 52 CAPÍTULO 3. DIFERENCIAÇÃO E INTEGRAÇÃO Se c x, tem-se x εdt = ε(x c) e portanto c x c εdt x c = ε(x c) x c = ε. Se c > x, tem-se x εdt = c εdt = ε(c x) e c x x εdt c ε(c x) = = ε < ε. x c c x Assim, para todo ε > 0, existe δ > 0 tal que, para todo x [a, b], se x c < δ, x c então [f(t) f(c)]dt F (x) F (c) < ε. Isto é equivalente a dizer que x c = f(c), ou seja, F (c) = f(c). x c A Fórmula de Barrow é uma consequência do teorema e apresenta uma forma de calcular o integral definido de uma função contínua sem recorrer às somas de Riemmann, bastando para isso conhecer uma primitiva da função. x c Teorema (Fórmula de Barrow) Sejam f : [a, b] R uma função contínua e F uma primitiva de f. Então Demonstração: b a f(x)dx = F (b) F (a). Seja G a função definida por G(x) = x f(t)dt, x [a, b]. a Como, por hipótese, f é contínua em [a, b], o Teorema Fundamental do Cálculo Integral permite concluir que G (x) = f(x), x [a, b], pelo que G é uma primitiva de f. Por outro lado, pela proposição 3.2.4, sendo F e G duas primitivas de f, existe C R tal que G(x) = F (x) + C, x [a, b]. (3.12) Consequentemente, G(a) = F (a) + C e como G(a) = a f(t)dt = 0, vem que a G(a) = F (a) + C 0 = F (a) + C C = F (a). (3.13)

58 3.2. INTEGRABILIDADE DE FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL 53 De 3.12 e 3.13 sai que G(x) = F (x) F (a) e G(b) = F (b) F (a). Atendendo à forma como G foi definida, G(b) = b f(t)dt, o que implica que a b a f(t)dt = F (b) F (a). Como a variável de integração é uma variável muda, provou-se o pretendido ou seja, que b f(x)dx = F (b) F (a), x [a, b]. a Para mostrar como o teorema simplifica o cálculo de um integral definido, calcule-se novamente a área da região definida no exercício através da primitiva da função integranda. Exemplo Considerando as condições referidas no exercício vem que a área pretendida é dada por 3 0 h(x)dx = = 3 0 [( 9x 2 [g(x) f(x)]dx = 2 x4 4 )] = (9x x 3 )dx 34 4 = Exemplos de aplicações do cálculo integral A primeira aplicação do cálculo integral a ser exemplificada é o cálculo da área de uma região do plano. Serão apresentados dois exemplos. O primeiro representa uma região itada por três funções e o segundo uma região itada por uma função e o eixo Ox num determinado intervalo. Uma vez que ao nível do ensino secundário é abordada a cinemática do ponto quando se estuda o conceito de derivada, o terceiro exemplo será neste contexto. Esta secção termina com outra aplicação ao ramo da física nomeadamente, a lei do arrefecimento de Newton. Exemplo Determinar a área da região do plano itada pelas funções f(x) = x 2, g(x) = 2 x 2 e h(x) = 2x + 8.

59 54 CAPÍTULO 3. DIFERENCIAÇÃO E INTEGRAÇÃO Figura 3.3: Região do plano itada pelas funções f, g e h Na figura 3.3 está representada graficamente a região do plano descrita. Por observação da figura 3.3, conclui-se que a área (A) pretendida é igual à diferença entre a área itada pelas funções h e f e a área entre as funções g e f. Em primeiro lugar, calcule-se as abcissas dos pontos de interseção entre as funções h(x) e f(x): h(x) = f(x) 2x + 8 = x 2 x 2 2x 8 = 0 x = ( 2) ± ( 2) ( 8) 2 1 x = 2 x = 4. Assim, a região itada pelas funções h e f é dada por {(x, y) R 2 : 2 x 4 x 2 y 2x + 8}. A sua área, A 1, é, portanto, 4 A 1 = (2x + 8 x 2 )dx = [x 2 + 8x x3 3 2 = = = 36u.a.. ] 4 2 [( 2) ( 2) ( 2)3 3 As abcissas dos pontos de interseção das funções f e g são: g(x) = f(x) 2 x 2 = x 2 2x 2 2 = 0 x = 1 x = 1. ]

60 3.2. INTEGRABILIDADE DE FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL 55 A região itada pelos gráficos de f e g é {(x, y) R 2 : 1 x 1 x 2 y 2 x 2 }, e a sua área, A 2 é dada por 1 1 A 2 = (2 x 2 x 2 )dx = (2 2x 2 )dx [2x 2x = [2 ( 1) 2 ] ( 1)3 3 3 = = 8 3 u.a.. Para terminar, calcule-se a área, A, pretendida A = A 1 A 2 = = u.a.. Exemplo Calcular a área da região do plano itada pela função f(x) = x 3 2x 2 5x + 6 e pelo eixo das abcissas no intervalo [ 2, 3]. Na figura 3.4 está representada graficamente a região do plano descrita. ] 1 1 Figura 3.4: Região do plano itada pela função f e pelo eixo Ox no intervalo [ 2, 3] Uma vez que o sinal da função varia no intervalo [ 2, 3], é necessário determinar os zeros da função para se poder definir os ites de integração: f(x) = 0 x 3 2x 2 5x + 6 = 0 (x + 2)(x 1)(x 3) = 0 x = 2 x = 1 x = 3. Por observação do gráfico da figura 3.4, verifica-se que f(x) 0 para x [ 2, 1] e que f(x) 0 para x [1, 3].

61 56 CAPÍTULO 3. DIFERENCIAÇÃO E INTEGRAÇÃO Pelas propriedades do integral (proposição ), se f(x) 0 em x [ 2, 1], então 1 f(x)dx 0. Da mesma forma, f(x) 0 em x [1, 3] implica que 3 f(x)dx por Como a área de uma região é uma grandeza não negativa, a área pretendida, A, é dada A = = = = [ x 4 f(x)dx 3 1 f(x)dx (x 3 2x 2 5x + 6)dx 4 2x3 3 5x2 ( ) 3 ] x 2 ( (x 3 2x 2 5x + 6)dx [ x 4 4 2x3 3 5x x ) = u.a.. ] 3 1 Exemplo Considere-se um corpo de massa (m) em equilíbrio estático e apoiado numa superfície completamente lisa. Ao aplicar uma força sobre esse corpo, ele adquire uma aceleração (a). Quanto maior a força exercida, maior a aceleração do corpo. Seja a = a(t) uma função contínua que define a aceleração do corpo para cada instante t. Sejam v = v(t) e x = x(t) as funções que definem, respetivamente, a velocidade e a posição do corpo para cada valor de t. A aceleração de um corpo é a taxa de variação da velocidade em relação ao tempo [8], ou seja, é a rapidez com que a velocidade de um corpo varia. Assim, a(t) = dv(t). (3.14) dt Integrando ambos os membros da expressão 3.14 e utilizando o Teorema Fundamental do Cálculo Integral (3.2.23) e a Fórmula de Barrow (3.2.24), tem-se t t 0 a(s)ds = t t 0 dv(s) ds ds t v(t) = onde t 0 é o instante inicial e v(t 0 ) a velocidade inicial. t 0 a(s)ds = v(t) v(t 0 ) t t 0 a(s)ds + v(t 0 ), (3.15) Desta forma, conhecendo a aceleração e a velocidade inicial de um corpo, obtém-se a velocidade para cada instante.

62 3.2. INTEGRABILIDADE DE FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL 57 De forma análoga, obtém-se a posição da partícula para cada instante t. Sendo a velocidade da partícula dada pela expressão v(t) = dx(t) dt t t 0 v(s)ds = t t 0 dx(s) ds ds t x(t) = t 0 v(s)ds = x(t) x(t 0 ) t, vem que t 0 v(s)ds + x(t 0 ). (3.16) Deste modo, conhecendo a velocidade e a posição inicial do corpo, obtém-se a função que dá a sua posição para cada instante t. Considere-se, agora, que o corpo se desloca com aceleração constante, a(t) = a 0, para todo o instante t e que o tempo inicial é t 0 = 0. Sejam v 0 e x 0, respetivamente, a velocidade e a posição iniciais do corpo. Então, da expressão 3.15 sai que v(t) = t 0 a 0 ds + v 0 = [a 0 t] t 0 + v 0 Substituindo na expressão 3.16, v(t) por 3.17, obtem-se x(t) = = t 0 = a 0 t + v 0. (3.17) [ a0 s 2 v(s)ds + x 0 = 2 + v 0s ] t = a 0t v 0t + x x 0 t 0 [a 0 s + v 0 ]ds + x 0 No caso particular do deslocamento vertical de um corpo à superfície terrestre, a ação da gravidade varia consoante o corpo está a subir ou a descer. Quando o corpo está em movimento ascendente contraria a ação da gravidade que o atrai para a Terra. Desprezando a resistência do ar, a força exercida pela gravidade é constante e provoca uma diminuição uniforme da velocidade do corpo até que esta se anule no ponto máximo. Quando o deslocamento vertical é descendente, o seu movimento é acelerado pois está na mesma direção e sentido da aceleração gravitacional. Desta forma, atendendo a que o valor da gravidade terrestre é aproximadamente 9, 8m/s 2, e que o sinal da aceleração gravitacional depende da direção e do sentido do

63 58 CAPÍTULO 3. DIFERENCIAÇÃO E INTEGRAÇÃO movimento do corpo, as equações da velocidade (em m/s) e da posição (em m) são, respetivamente, v(t) = v 0 ± 9, 8t e x(t) = x 0 + v 0 t ± 4, 9t 2. Exemplo Seja T a função que descreve a evolução da temperatura T = T (t) de um corpo num certo intervalo de tempo. A Lei do arrefecimento de Newton diz que a taxa de variação da temperatura, T (t), é proporcional à diferença entre a temperatura ambiente, T a, e a temperatura do corpo, T. Desta forma, tem-se que T (t) = k[t a T (t)], (3.18) onde k é uma constante positiva cujo valor depende das características físicas do corpo. A expressão 3.18 pode ser reescrita da seguinte forma: dt dt = k(t a T (x)) dt dt = k(t (x) T a) Integrando ambos os membros da expressão 3.19, obtem-se dt = T (x) T a kdt dt T (x) T a = kdt. (3.19) dt = k dt T (x) T a ln(t (t) T a ) = kt + C, C R T (t) = T a + e kt+c. (3.20) Considerando a temperatura inicial T (0) = T 0, o valor da constante C é dado por T (0) = T 0 T a + e k 0+C = T 0 e C = T 0 T a C = ln(t 0 T a ). Substituindo em 3.20, C por ln(t 0 T a ) determina-se a função T (t) que descreve a evolução da temperatura de um corpo num determinado intervalo de tempo: T (t) = T a + e kt+ln(t 0 T a) = T a + e kt) e ln(t 0 T a) = T a + (T 0 T a )e kt).

64 3.3. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS - UMA BREVE REFERÊNCIA Equações diferenciais - uma breve referência Uma equação que envolva derivadas de uma função é chamada de equação diferencial e a sua solução geral envolve uma ou mais constantes arbitrárias. Se o objetivo for obter uma solução particular deverão ser apresentadas condições específicas que permitam calcular essas constantes [15]. Estas equações permitem formular em termos matemáticos muitos problemas das mais diversas áreas de conhecimento, como por exemplo, física, engenharia, economia, química e biologia, entre outros, sendo por isso um dos principais ramos da matemática. Por exemplo, a mecânica, um ramo da física, baseia-se em diversos princípios formulados por Newton [8] que requerem o conceito de derivada e cujas aplicações dependem do conceito de integral aplicado à resolução de equações diferenciais. Os exemplos e ilustram duas situações cuja modelação matemática conduziu a equações diferenciais. Após esta nota introdutória, seguir-se-á a formalização de alguns conceitos básicos sobre as equações diferenciais. Definição Uma equação diferencial é uma equação que envolve derivadas de uma ou mais variáveis dependentes em relação a uma ou mais variáveis independentes. Exemplo As equações são exemplos de equações diferenciais. dx dt + dy dt = 5t2 + 4, (3.21) ( ) 2 dy + xy dy = sin x, (3.22) dx dx ( ) 4 x 2 d2 y dy dx xy = 0; (3.23) 2 dx 2 u x + 2 u 2 y + u = 0, z2 (3.24) v s + w t = w v (3.25)

65 60 CAPÍTULO 3. DIFERENCIAÇÃO E INTEGRAÇÃO As equações diferenciais podem ser classificadas de acordo com a ordem da derivada de maior ordem que nelas figura e com o grau da equação. Definição (ordem de uma equação diferencial) A ordem de uma equação diferencial é a ordem da derivada de maior ordem presente na equação. Definição (grau de uma equação diferencial) O grau de uma equação diferencial é a mais elevada potência da derivada de maior ordem que faz parte da equação. No exemplo 3.3.2, as equações 3.21, 3.22 e 3.25 são de ordem 1, sendo a primeira e a terceira do primeiro grau e a segunda de grau 2. As equações 3.23 e 3.24 são de ordem 2 e grau 1. As equações diferenciais dividem-se em duas grandes classes de acordo com o número de variáveis independentes que nela figuram. Nas definições seguintes distinguem-se esses dois grupos de equações diferenciais. Definição Uma equação diferencial que contém apenas derivadas de uma ou mais variáveis dependentes em relação a uma única variável independente diz-se equação diferencial ordinária (EDO). Definição Uma equação diferencial que relacione derivadas parciais de uma ou mais variáveis dependentes em relação a duas ou mais variáveis independentes chama-se equação diferencial de derivadas parciais (EDP). No exemplo 3.3.2, as equações 3.21, 3.22 e 3.23 são equações diferenciais ordinárias e as equações 3.24 e 3.25 são equações diferenciais de derivadas parciais Equações diferenciais ordinárias Uma equação diferencial ordinária de ordem n [5], onde x é a variável independente e y a variável dependente, pode ser representada por uma função real F de n + 2 variáveis reais da forma F ( x, y, dy ) dx,..., dn y = 0. (3.26) dx

66 3.3. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS - UMA BREVE REFERÊNCIA 61 Definição Uma função f real de variável real, definida em I R, é uma solução da equação 3.26 se, para todo x I, ( F x, f(x), df ) n df (x),..., dx dx (x) = 0. Exemplo Considere-se a função f(x) = 1 + Ce x2, onde C R. Pretende-se mostrar que a função f é uma solução da equação diferencial y 2xy + 2x = 0 em R. Considerando y = f(x), tem-se que y = df(x) dx = 2Cxe x2. Substituindo na equação diferencial dada, ontém-se ( 2Cxe x2 2x 1 + Ce x2) + 2x = 0 2Cxe x2 2x 2Cxe x2 + 2x = 0 0 = 0, o que permite concluir que a função f(x) é solução da equação diferencial y 2xy+2x = 0. Definição (Problema de valores iniciais ou problema de Cauchy) Um problema de valores iniciais é um problema que consiste em determinar as soluções de uma equação diferencial satisfazendo determinadas condições iniciais, ou seja, é um problema do tipo F (x, y, y,..., y (n) ) = 0 y(x 0 ) = y 0 y (x 0 ) = y 1,... y (n 1) (x 0 ) = y n 1 constituído por uma equação diferencial de ordem n e por n condições iniciais, onde x 0 R e y 0,..., y n 1 R são constantes. Os dois exemplos seguintes mostram o cálculo da solução particular de uma equação diferencial, sabendo as condições necessárias ao cálculo das constantes que resultam do processo de integração na resolução da referida equação.

67 62 CAPÍTULO 3. DIFERENCIAÇÃO E INTEGRAÇÃO Exemplo Seja f(x) = C 1 e x +C 2 e x uma família de funções reais de variável real. Pretende-se verificar que f(x) é a solução geral da equação diferencial y y = 0 e determinar a solução que satisfaz as condições y(0) = 0 e y (0) = 1. Considerando y = f(x) tem-se que y = C 1 e x C 2 e x e y = C 1 e x + C 2 e x. Substituindo na equação diferencial dada, ontém-se C 1 e x C 2 e x ( C 1 e x + C 2 e x) = 0 C 1 e x C 2 e x C 1 e x + C 2 e x = 0 0 = 0, o que permite concluir que a família de funções f(x) é a solução geral da equação diferencial y y = 0. Calcule-se agora a solução que satisfaz as condições impostas: y(0) = 0 C 1 e 0 + C 2 e 0 = 0 C 1 = C 2 y (0) = 1 C 1 e 0 C 2 e 0 = 1 2C 2 = 1 C 1 = 1 2 C 2 = 1 2 A solução particular da equação diferencial y y = 0 que satisfaz as condições y(0) = 0 e y (0) = 1 é dada por f(x) = 1 2 ex 1 2 e x. Exemplo Pretende-se determinar a solução da equação diferencial y (x) = 4x de valores iniciais y(0) = 0, y (0) = 2 e y (0) = 1. Atendendo a que a integração é o processo inverso da derivação vem que: y (x)dx = (4x 2 + 3)dx y (x) = 4x3 + 3x + C; 3 y (x)dx = ( 4x x + C)dx y (x) = x x2 2 + Cx + C 1; (3.27) y (x)dx = ( x x2 2 + Cx + C 1)dx y(x) = x x3 2 + Cx2 2 + C 1x + C 2 ; onde C, C 1 e C 2 são constantes reais e arbitrárias. Sendo assim, utilizando as condições iniciais dadas e as equações 3.27 obtém-se o valor das constantes e consequentemente a solução do problema de valores iniciais pretendida: y(0) = 0 y (0) = 2 y (0) = C C C 2 = C 0 + C 1 = C = 1 C 2 = 0 C 1 = 2 C = 1.

68 3.3. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS - UMA BREVE REFERÊNCIA 63 Logo, a solução deste problema é y(x) = x x3 2 + x x. Observação Existem diversos tipos de equações diferenciais ordinárias que requerem diferentes formas de resolução. Tem-se, por exemplo, equações diferenciais de variáveis separáveis, equações homogéneas, entre outras [15]. A resolução de uma equação diferencial ordinária é, muitas vezes, um problema díficel de solucionar, sendo, por isso, necessário recorrer a procedimentos distintos de acordo com o tipo de equação, como por exemplo, o método D Alembert, o de Lagrange, o do polinómio anulador, entre outros [4]. Na definição que se segue apresenta-se a classificação de uma equação diferencial ordinária de acordo com a sua linearidade em relação à variável dependente, ou seja, em relação aos termos em y e suas derivadas [4]. Definição (Linearidade de uma EDO) Seja I um intervalo aberto de R. Uma equação diferencial ordinária de ordem n, na variável independente x e variável dependente y, diz-se linear se puder ser escrita na forma ou seja, a 0 (x) dn y dx + a 1(x) dn 1 y dx a n 1(x) dy dx + a n(x)y = g(x), (3.28) n a j (x)y (n j) = g(x), j=0 onde as funções a j (x), j {0, 1,..., n} são funções contínuas no intervalo I e a 0 (x) 0, x I. Se as funções a j (x) forem constantes, a equação diz-se de coeficientes constantes. Quando g(x) = 0, a equação diferencial ordinária diz-se homogénea. Caso contrário, é não homogénea. A equação é não linear se não puder ser escrita na forma Para uma melhor compreensão dos conceitos introduzidos na definição anterior, apresentamse a seguir algumas equações diferenciais e a sua classificação quanto à linearidade, devidamente justificada.

69 64 CAPÍTULO 3. DIFERENCIAÇÃO E INTEGRAÇÃO Exemplo Considerem-se as equações diferenciais, onde y é a variável dependente e x é a variável independente: d 2 y dx 5dy + 3y = 0; 2 dx (3.29) x d3 y dy + xex dx3 dx + x3 y = cos x; (3.30) ( ) d 2 3 y dy dx + y = 3x + 1; (3.31) 2 dx x 2 dy dx + y2 = 0; (3.32) x dy = tan y. dx (3.33) As equações 3.29 e 3.30 são equações diferenciais ordinárias lineares, respetivamente, de 2 a e 3 a ordens. A equação 3.29 é homogénea (g(x) = 0) e tem coeficientes constantes. A equação 3.30 é uma equação não homogénea de coeficientes variáveis, onde a 0 (x) = x, a 2 (x) = xe x e a 3 (x) = x 3 são funções contínuas e g(x) = cos x. As equações 3.31, 3.32 e 3.33 são equações diferenciais não lineares. A não linearidade da equação 3.31 deve-se ao termo ( dy dx) 3; na equação 3.32 é causada pelo termo y 2 e em 3.33 justifica-se pelo fato do argumento da função tangente ser y Equações diferenciais de derivadas parciais Uma equação diferencial de derivadas parciais [14], [9], onde x 1,..., x n são variáveis independentes e u(x 1,..., x n ) é a variável dependente, pode ser representada por uma função F da forma F ( x 1,..., x n, u(x 1,..., x n ), u, u,..., 2 u x 1 x 2 x 2 1,..., ) 2 u,... = 0, (3.34) x 1 x n onde F é uma função nas variáveis indicadas e pelo menos uma das derivadas parciais consta na expressão. Definição Uma função f definida num intervalo I é solução da equação 3.34 se, quando substituída na equação, a reduz a uma identidade.

70 3.3. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS - UMA BREVE REFERÊNCIA 65 A expressão da solução de uma equação de derivadas parciais pode conter, além de constantes arbitrárias, funções arbitrárias. Enquanto nas equações diferenciais ordinárias se obtém uma expressão geral de todas as soluções da equação, que diferem apenas nas constantes, nas equações de derivadas parciais pode ter-se soluções completamente distintas [21]. No exemplo seguinte mostra-se esta situação. Tem-se uma equação diferencial de derivadas parciais que é satisfeita por duas soluções distintas em que cada uma delas não se pode obter a partir da outra. Exemplo Considerem-se as funções u(x, y) = xf(y) [f(y)] 2 e u(x, y) = x2 4. Pretende-se provar que estas funções são soluções da equação de derivadas parciais definida por u(x, y) = x u [ ] 2 u (x, y) (x, y). (3.35) x x Considere-se, em primeiro lugar, a função u(x, y) = xf(y) [f(y)] 2. A sua derivada parcial em ordem a x é igual a u (x, y) = f(y). x Substituindo na equação diferencial 3.35, obtem-se u(x, y) = x u [ ] 2 u (x, y) (x, y) xf(y) [f(y)] 2 = xf(y) [f(y)] 2. x x Logo, a função u(x, y) = xf(y) [f(y)] 2 é solução de Procedendo de forma análoga, verifica-se que u(x, y) = x2 4 é solução da equação diferencial de derivadas parciais dada. A derivada parcial de u em ordem a x é dada por u x (x, y) = x 2. Substituindo em 3.35 obtem-se e, portanto, u(x, y) = x2 4 u(x, y) = x u (x, y) x [ ] 2 u (x, y) x2 x 4 = x x [ x ] é solução da equação x2 4 = x2 2 x2 4 x2 4 = 2x2 4 x2 4 x2 4 = x2 4,

71 66 CAPÍTULO 3. DIFERENCIAÇÃO E INTEGRAÇÃO Tal como as equações diferenciais ordinárias, as equações diferenciais de derivadas parciais também podem ser classificadas quanto à sua linearidade. Uma equação deste tipo é linear se for linear relativamente à variável dependente e às suas derivadas [21]. Definição Uma equação diferencial de derivadas parciais de ordem m, nas variáveis x 1,..., x n, diz-se linear se puder ser escrita na forma geral m a α (x) α u(x) = g(x), (3.36) α=1 onde u é uma função em x = (x 1,..., x n ), os coeficientes a α (x) podem depender das variáveis independentes mas não de u e se tem os coeficientes a m (x) não todos nulos. A equação é não linear se não puder ser escrita na forma Se a função g(x) = 0, a equação diz-se homogénea. Caso contrário, é não homogénea. No caso geral de uma equação diferencial de derivadas parciais linear de 2 a ordem, nas variáveis independentes x e y, tem-se a(x, y) 2 u + b(x, y) 2 u x 2 x y + c(x, u y) 2 + d(x, y) u y2 x + e(x, y) u y + f(x, y)u = g(x, y), (3.37) onde u é uma função em x e y, os coeficientes a, b, c, d, e, f podem depender das variáveis independentes mas não de u e se tem os coeficientes a, b e c não todos nulos. Observação De acordo com a natureza dos coeficientes, a equação pode ser de coeficientes constantes ou variáveis. Considerando apenas os coeficientes das derivadas parciais de segunda ordem, as equações de derivadas parciais de 2 a ordem podem ainda classificar-se em hiperbólica, parabólica ou elíptica como apresentado na definição que se segue. Definição A equação diferencial de derivadas parciais definida pela equação 3.37 pode ser classificada de acordo com os coeficientes das derivadas parciais de 2 a ordem da seguinte forma:

72 3.3. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS - UMA BREVE REFERÊNCIA 67 se b 2 4ac > 0, a EDP diz-se hiperbólica; se b 2 4ac = 0, a EDP diz-se parabólica; se b 2 4ac < 0, a EDP diz-se elíptica. Observação No domínio da física matemática, as equações diferenciais de derivadas parciais hiperbólicas descrevem processos físicos conservativos e dependentes do tempo que não evoluem para um estado estacionário; as parabólicas descrevem problemas físicos que dependem do tempo e evoluem, de forma dissipativa, para um estado estacionário; as elípticas descrevem processos físicos que por já se encontrarem num estado estacionário, não dependem do tempo. Exemplo Para exemplificar os conceitos introduzidos até agora no âmbito das equações diferenciais de derivadas parciais de segunda ordem, considerem-se quatro equações clássicas que surgem em diversas aplicações e que têm especial relevo na teoria das EDPs, nomeadamente: 2 u + 2 u x 2 y 2 2 u t 2 = 0 Equação de Laplace; = c 2 2 u x 2, c R Equação de onda; u = t α2 2 u x 2 2 u + 2 u x 2 y 2 Equação do calor; = g(x, y), g(x, y) 0 Equação de Poisson. As quatro equações são lineares, sendo a de Laplace, a da onda e a do calor homogéneas e a de Poisson não homogénea. As equações de Laplace e de Poisson são equacões de derivadas parciais elípticas; a equação da onda é hiperbólica e a equação do calor é parabólica. No exemplo verificou-se que duas funções completamente distintas eram solução de uma equação diferencial de derivadas parciais. De fato, nas EDPs não é possível obter uma expressão geral de todas as soluções da equação pois esta pode depender,

73 68 CAPÍTULO 3. DIFERENCIAÇÃO E INTEGRAÇÃO não só de constantes arbitrárias (como nas EDOs), mas também de funções arbitrárias. Considerando uma EDP de ordem n, uma solução geral desta equação é uma expressão que contém n funções arbitrárias. Quando uma solução é obtida a partir da solução geral, escolhendo expressões para as funções arbitrárias, diz-se solução particular. Uma solução singular é uma solução que verifica identicamente a equação diferencial dada mas que não foi obtida a partir da solução geral. No exemplo , u(x, y) = xf(y) [f(y)] 2 é uma solução geral e u(x, y) = x2 4 é uma solução singular. Uma equação diferencial de derivadas parciais pode ter, portanto, uma infinidade de soluções, como é possível ver no exemplo seguinte. Exemplo Considere-se a equação diferencial de derivadas parciais de segunda ordem 2 u x 2 = 0, onde u é uma função definida nas variáveis x e y. Atendendo a que a integração é o processo inverso da derivação vem que: u (x, y)dx = 0dx u (x, y) = f(y); u (x, y)dx = f(y)dx u(x, y) = f(y)x + g(y); onde f(y) e g(y) são funções arbitrárias, existindo, por isso, inúmeras escolhas possíveis para cada uma. Resolver uma equação diferencial de derivadas parciais não é, portanto, um processo simples. No caso das EDPs lineares é suficiente, na maior parte das aplicações, encontrar soluções que satisfaçam determinadas condições iniciais e de fronteira. Por exemplo, considerando a equação do calor para x ]0, l[ e t > 0, a solução desta equação pode ser expressa de forma única com a condição inicial t = 0 e condições de fronteira x = 0 e x = l. Os resultados seguintes são importantes pois permitem obter a solução destas equações através de soluções conhecidas [21]. Proposição Princípio da Sobreposição Se u 1,..., u m são soluções de uma equação de derivadas parciais linear homogénea, então também c 1 u c m u m, onde c 1,..., c m são constantes arbitrárias, é uma solução dessa equação.

74 3.3. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS - UMA BREVE REFERÊNCIA 69 Proposição Sejam U uma solução particular da equação diferencial de derivadas parciais linear não homogénea e v a solução geral da equação homogénea associada a essa equação. A sua solução geral pode ser escrita na forma u = U + v. Exemplo Considere-se a equação diferencial 3 u x 3 variáveis x e y. Pretende-se determinar a solução geral desta equação. = e x, onde u é uma função nas Fazendo sucessivas integrações parciais em ordem a x tem-se que U(x, y) = e x é uma solução particular da equação. A equação homogénea associada à equação dada é 3 v x 3 = 0. Uma vez que a integração é o processo inverso da derivação vem que: v (x, y)dx = 0dx v (x, y) = f(y); v (x, y)dx = f(y)dx v (x, y) = f(y)x + g(y); v (x, y)dx = f(y)x + g(y)dx v(x, y) = f(y) x2 + g(y)x + h(y); 2 de onde se conclui que v(x, y) = f(y) x2 2 homogénea. Desta forma, a solução geral da equação 3 u x , da forma u(x, y) = f(y) x2 2 + g(y)x + h(y) e x. + g(y)x + h(y) é uma solução geral da equação = e x pode ser escrita, de acordo com A maioria dos problemas físicos são complexos e envolvem fenómenos não lineares que dependem de várias variáveis, não sendo possível, muitas vezes, tratá-los analiticamente e obter a sua solução exata. Sendo assim, torna-se necessário fazer um estudo qualitativo e simplificar o modelo para que se possa obter soluções aproximadas e simular o problema (métodos numéricos). O método de Separação de Variáveis [20], introduzido por Daniel Bernoulli a partir das suas investigações sobre vibrações e ondas em 1755, é um exemplo de um método analítico para resolver EDPs, desde que seja possível separar as suas variáveis. O objetivo deste método é reduzir o problema inicial a vários problemas (tantos quanto o número de variáveis independentes) que permitam obter uma solução que verifique as condições

75 70 CAPÍTULO 3. DIFERENCIAÇÃO E INTEGRAÇÃO dadas. Parte do princípio que a solução se pode escrever como um produto de funções, em que cada uma depende de uma variável do problema. Reescreve-se a EDP de forma a que um membro dependa apenas de uma variável e o outro das variáveis restantes. Para a igualdade se verificar, cada um dos membros deverá ser igual a uma constante, o que vai permitir encontrar a solução do problema. A seguir apresenta-se um exemplo simples de aplicação deste método a uma equação diferencial de derivadas parciais de primeira ordem. Exemplo Considere-se a equação diferencial 3 u x +2 u y = 0, onde u é uma função nas variáveis independentes x e y. Pretende-se determinar uma solução que satisfaça a condição u(x, 0) = 4e x. Como pretendemos aplicar o método de separação de variáveis, suponha-se que u(x, y) = X(x)Y (y) é uma solução da equação diferencial. Como u x = Y X e u y = XY, vem que 3 u x + 2 u y = 0 3Y X + 2XY = 0 3X X = 2Y Y. Como X é uma função que depende apenas de x e Y de y, cada um dos membros tem que ser igual a uma constante. Fazendo 3X = k e 2Y X Y obtem-se duas equaçãoes diferenciais ordinárias. Integrando cada uma das equações, vem que = k em que k é uma constante, 3X X = k 1 dx X dx = k 3 1 X dx = k 1 k 3 dx X dx = 3 dx ln X = k x + C, com C R 3 X = e k 3 x+c X = C 1 e k 3 x, onde C 1 = e C e

76 3.3. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS - UMA BREVE REFERÊNCIA 71 2Y Y = k 1 Y dy dy = k Y dy = k 2 dy Y dy = ln Y = k y + E, com E R 2 k 2 dy Y = e k 2 y+e Y = C 2 e k 2 y, onde C 2 = e E. Então, u(x, y) = C 1 e k 3 x C 2 e k 2 y = C 3 e k 3 x k 2 y com C 3 = C 1 C 2. Aplicando a condição inicial à expressão obtida obtem-se C 3 = 4 e k = 3. Substituindo na expressão de u(x, y) encontrada tem-se a solução pretendida. Desta forma, u(x, y) = 4e x+ 3 2 y.

77 72 CAPÍTULO 3. DIFERENCIAÇÃO E INTEGRAÇÃO

78 Capítulo 4 Modelação Matemática A Matemática é uma ciência de extrema importância uma vez que é um forte instrumento de interpretação e análise de fenómenos reais ligados às mais diversas áreas de conhecimento. Os conteúdos matemáticos e a sua aplicabilidade originam modelos matemáticos que permitem explicar, compreender e resolver situações da vida real. Segundo J. Matos, professor catedrático da Universidade de Lisboa, um modelo matemático de uma situação problemática real constitui uma representação matemática dessa situação (uma dada situação concreta, ideia, objecto ou fenómeno). Esta representação é concretizada com objectos, relações e estruturas da matemática (tais como tabelas, relações funcionais, gráficos, figuras geométricas, etc). Um modelo matemático pode ter diversos aspectos mas em geral inclui o uso de variáveis e relações entre essas variáveis.... Estes modelos podem ser representados por uma única equação, por sistemas de equações ou por equações diferenciais nos casos mais complexos. Os alunos devem perceber que a matemática é muito mais do que um conjunto de conteúdos que são obrigados a aprender e que a modelação matemática não consiste em associar de forma arbitrária um modelo a determinado fenómeno. Devem compreender que esta disciplina permite desenvolver o raciocínio e o espírito de pesquisa, testar conjeturas e clarificar processos de resolução. Os problemas do quotidiano são um meio privilegiado para mostrar que a matemática está presente no seu dia a dia e permite explicar 73

79 74 CAPÍTULO 4. MODELAÇÃO MATEMÁTICA fenómenos e processos com os quais se deparam a todos os momentos. É necessário mudar mentalidades e apurar nos nossos estudantes o gosto pelo saber matemático. A paixão pela matemática está na sua compreensão e cabe-nos a nós professores mostrar a essência e a beleza da sua teoria, a natureza e origem dos objetos matemáticos, a eficácia das suas aplicações na ciência, na tecnologia e noutras áreas. Neste capítulo pretende-se mostrar a importância, utilidade e aplicabilidade da matemática na modelação e estudo de fenómenos naturais de difusão. Mais concretamente, será analisado um modelo que traduz a propagação do calor num meio homogéneo. Em primeiro lugar, serão apresentados uns breves apontamentos sobre a transferência de energia como calor para que qualquer leitor possua conhecimentos básicos de física que lhe facilitem a compreensão da dedução da equação diferencial de derivadas parciais que modela essa propagação. Estas noções podem ser consultadas em qualquer livro de Física do 10 o ano, do ensino secundário. A secção seguinte corresponde à dedução da equação do calor que descreve a variação da temperatura de um corpo homogéneo, ao longo de uma direção x, em função do tempo t. Como se verá, esta equação é uma equação diferencial de derivadas parciais linear, homogénea de segunda ordem. 4.1 Transferência de energia como calor A energia é um dos conceitos mais importantes da Física. Existem vários tipos de energia e a soma de todas elas (energia total) mantém-se constante durante qualquer processo, não aumenta nem diminui apesar de uma parte se degradar, pelo que a sua variação é nula. A energia pode ser transformada de uma forma noutra e transferida de um corpo para outro e, em qualquer processo, é uma quantidade que se conserva [1]. Quando é transferida das fontes para os recetores onde se transforma em energia útil, há uma parte que não se transforma na energia pretendida, dissipando-se, normalmente, como calor. A energia pode ser transferida entre sistemas como trabalho, calor e radiação. Tendo

80 4.1. TRANSFERÊNCIA DE ENERGIA COMO CALOR 75 em conta o objetivo deste trabalho, apenas se vai abordar a transferência de energia como calor, que ocorre entre sistemas a diferentes temperaturas. A quantidade de energia fornecida a materiais diferentes para lhes provocar o mesmo aumento de temperatura, durante o mesmo intervalo de tempo, depende da sua constituição uma vez que há materiais que aquecem/arrefecem com mais facilidade do que outros. A grandeza física que exprime a relação entre a quantidade de calor fornecida ao material e a variação da temperatura observada neste, ou seja, que caracteriza a capacidade que um material tem para absorver ou ceder energia, é a capacidade térmica mássica (capacidade calorífica) [1]. Esta grandeza define-se como sendo a quantidade de energia que é necessário fornecer a 1 kg de qualquer material de forma a que a sua temperatura aumente 1 o K e exprime-se, de acordo com o sistema internacional de unidades (SI), em JKg 1 K 1. Se a capacidade térmica mássica do material for elevada (baixa), a quantidade de energia necessária para aquecer ou arrefecer esse material também é elevada (baixa). No processo de transferência de energia como calor, a quantidade de energia transferida (Q) para um sistema, quando a sua temperatura varia T, depende da sua massa (m) e da substância que o compõe. Desta forma, a energia transferida como calor é dada pela expressão Q = m c T, (4.1) onde c representa a capacidade térmica mássica da substância Mecanismos de transferência de energia como calor Quando dois sistemas a diferentes temperaturas interagem, a sua energia varia através da transferência de calor. Este processo pode ocorrer através de dois mecanismos, nomeadamente, por condução ou por convecção. No processo de condução, que ocorre sobretudo em sólidos, a energia é transferida por interações das particulas que constituem a matéria, sem que haja qualquer deslocamento destas. A condução de calor existe quando há transferência de energia através de um meio

81 76 CAPÍTULO 4. MODELAÇÃO MATEMÁTICA Figura 4.1: Transferência de energia como calor por condução e por convecção natural entre zonas a diferentes temperaturas. Por exemplo, há transferência de energia como calor ao longo de uma barra metálica em que as extremidades estão a diferentes temperaturas. Na figura 4.1, a frigideira aquece por ação do fogo e transfere para a pega, que está a temperatura inferior, a energia como calor, aquecendo-a. No processo de convecção, há transferência de energia entre zonas de um fluído (gás ou líquido) a diferentes temperaturas através das correntes de convecção. Isto acontece porque, para uma mesma pressão, a massa volúmica de um fluído diminui com o aumento da temperatura e a matéria a temperaturas superiores torna-se menos densa e sobe, enquanto aquela que está a temperaturas inferiores desce. O exemplo mais comum é o do recipiente de água a aquecer (figura 4.1). A temperatura da água que está em contato com o fundo do recipiente aumenta e as suas moléculas passam a mover-se mais rapidamente, afastando-se umas das outras. O volume aumenta e essa massa de água torna-se menos densa, sofrendo um movimento de ascensão. Ao subir, entra em contato com massas de água a temperaturas inferiores, arrefece e, consequentemente, torna-se mais densa e volta a descer. Este processo repete-se continuamente enquanto o aquecimento se mantém, estabelecendo-se correntes de convecção que mantém a água em circulação Condutividade térmica Nem todos os materiais têm a mesma facilidade de transferir energia como calor num determinado intervalo de tempo, existindo uns em que esse processo é lento e outros em que ocorre rapidamente.

82 4.1. TRANSFERÊNCIA DE ENERGIA COMO CALOR 77 A condutividade térmica é a propriedade física que quantifica a capacidade dos materiais de transferir calor e é expressa, no SI, em Js 1 m 1 K 1 ou W m 1 K 1. A diferença comportamental dos diversos materiais na condução de calor justificase pelo fato de terem diferentes condutividades térmicas. Por exemplo, a condutividade térmica do ar é 0,024 W m 1 K 1, da água é 0,60 W m 1 K 1 e a do cobre é 390 W m 1 K 1. Um material que seja um bom condutor de calor tem uma condutividade térmica elevada (ex: metais). Exemplos de materiais que são maus condutores de calor e com os quais lidamos no dia a dia são a borracha (pegas do fogão) e a lã (roupas de inverno). Por exemplo, na Finlândia, país que apresenta um elevado desenvolvimento tecnológico, os esquimós continuam a viver em iglôs construídos em gelo compacto em vez de casas construídas em betão. A razão por que tal acontece é que, nas mesmas condições catéricas, o gelo é mais eficaz na conservação das condições térmicas no interior do iglô do que o betão. A condutividade térmica do gelo (0,46 kw m 1 K 1 ) é menor do que a do betão (1,28 kw m 1 K 1 ), pelo que o gelo é um melhor isolador. A título de curiosidade, se um esquimó pretendesse substituir o gelo por betão mas manter as mesmas condições de habitabilidade, a espessura das paredes de betão teriam de ser 2,8 vezes maior do que a espessura das paredes de gelo Lei de Fourier Em 1822, Joseph Fourier ( ) publicou um importante trabalho sobre a transferência de calor, Théorie Analytique de la Chaleur. A lei de condução de calor ou lei de Fourier [8] estabelece que a quantidade de energia transferida como calor por unidade de tempo ( Q ) é diretamente proporcional à área da t superfície (A) e à diferença de temperatura ( T ), e inversamente proporcional à espessura ou comprimento (l). A expressão que traduz esta lei é, portanto, onde k é a condutividade térmica do material. Q t = ka T, (4.2) l

83 78 CAPÍTULO 4. MODELAÇÃO MATEMÁTICA Considere-se um exemplo muito simples do nosso dia a dia que permite compreender a relação entre as variáveis que influenciam a transferência de calor, não só por condução (lei de Fourier), mas também por convecção. No Inverno vestimos mais roupa para que a área do nosso corpo a descoberto seja menor. Como a diferença de temperatura entre o corpo e o meio ambiente é maior, há maior quantidade de energia transferida como calor (por convecção), daí reduzirmos a área em contacto com o exterior. Além disso, usamos roupas mais grossas e feitas de material com fraca condutividade térmica (ex: lã) que funcionam como obstáculo à transmissão de calor para o exterior. Quanto maior a espessura do material e mais baixa for a sua condutividade térmica, menor será a transferência de calor por condução. 4.2 A equação do calor A equação do calor é um modelo matemático que descreve a difusão do calor em sólidos. Nesta secção pretende-se deduzir a equação da difusão que modela a condução do calor num corpo homogéneo (apresenta as mesmas propriedades físicas e mecânicas em todo o seu volume), isotrópico (apresenta as mesmas características em todas as direções), que não gera nem destrói energia no seu interior e que está isolado termicamente do meio ambiente, a não ser pelas suas extremidades. Esta equação é uma equação diferencial de derivadas parciais e é escrita tendo em atenção o número de dimensões a considerar Equação do calor unidimensional Considere-se uma barra cilíndrica metálica homogénea, de secção transversal de área A, com temperatura não uniforme, orientada segundo o eixo Ox. Considere-se ainda que a barra é isotrópica, que não há fontes de calor no seu interior e que não há troca de calor com o meio externo, a não ser pelas suas extremidades. Assuma-se que a densidade (ρ), o calor específico (c) e a condutividade térmica (k) do material de que é feito a barra são constantes.

84 4.2. A EQUAÇÃO DO CALOR 79 Uma vez que a temperatura da barra não é uniforme, o calor é transferido das regiões com temperatura mais alta para as de temperatura mais baixa (lei do arrefecimento/aquecimento de Newton). Considerando um pequeno segmento da barra de largura x, entre x e x+ x, suponha-se, sem perda de generalidade, que a temperatura do corpo aumenta da extremidade esquerda (posição x) para a extremidade direita (posição x + x), de modo que o calor flua no sentido do eixo, e atua no sentido de suprimir a diferença de temperaturas existente. Sendo assim, suponha-se que a energia térmica entra pela extremidade direita da barra e sai pela extremidade esquerda. Defina-se por T (x, t) a função que descreve a temperatura na posição x da barra num determinado instante t. Atendendo à lei de Fourier (equação 4.2), a quantidade de energia transferida como calor por unidade de tempo na extremidade direita é dada por ka T (x + x, t) e na x extremidade esquerda é dada por ka T (x, t). x Assim, num intervalo de tempo pequeno, a quantidade de calor absorvido pela barra é dado pela diferença entre o calor que entra pela extremidade direita e o calor que sai pela extremidade esquerda. Ou seja, [ ] Q T t = ka T T (x + x, t) ka T (x, t) Q = ka (x + x, t) (x, t) t. x x x x Neste mesmo intervalo de tempo, a variação da temperatura do segmento da barra considerado é dada por T (x, t) t. t Atendendo a 4.1, a quantidade de energia térmica necessária para aumentar a temperatura em T t T (x, t) t é igual a Q = m c (x, t) t. Como a massa de um corpo é t dada pela expressão m = ρv = ρa x, onde V representa o volume do corpo, a energia térmica do segmento da barra é dada pela expressão Q = cρa T (x, t) t x. t Uma vez que, por hipótese, a barra não gera nem destrói calor no seu interior, a quantidade de energia absorvida pela mesma é igual à quantidade de energia necessária para aumentar a sua temperatura. Assim, cρa T [ ] T T (x, t) t x = ka (x + x, t) (x, t) t. t x x

85 80 CAPÍTULO 4. MODELAÇÃO MATEMÁTICA Dividindo a expressão por A x t, obtém-se cρ T (x, t) = k t [ ] T T (x + x, t) (x, t). x x x Aplicando os ites quando x, t 0 e atendendo à definição de derivada parcial, vem que cρ T (x, t) = x, t 0 t x, t 0 [ ] k T T (x + x, t) (x, t) x x x cρ T t (x, t) = k 2 T (x, t) x2 T t (x, t) = k 2 T (x, t). cρ x2 Desta forma, obteve-se a equação para a propagação do calor unidimensional. Esta equação é uma equação diferencial de derivadas parciais da forma T t = k 2 T cρ x. 2 Como por hipótese as propriedades do corpo k, c e ρ são constantes, k cρ também representa uma constante. Sendo assim, fazendo α = k, a equação do calor pode ser reescrita cρ como T t = α 2 T x 2, onde α representa a constante de difusão térmica que se expressa, no SI, em m 2 s 1. Dada a arbitrariedade na escolha do segmento de barra estudado, a equação diferencial de derivadas parciais encontrada para a propagação do calor aplica-se a toda a extensão da barra metálica considerada. Observação De forma análoga se deduzem as equações de difusão do calor a duas e três dimensões que são, respetivamente, [ ] T 2 t = α T x + 2 T 2 y 2 e [ ] T 2 t = α T x + 2 T 2 y + 2 T. 2 z 2

86 4.3. ATIVIDADE EM CONTEXTO DE SALA DE AULA 81 Observação Uma técnica usada para resolver a equação do calor (por exemplo: no caso unidimensional) é o método da separação de variáveis, o qual permite reescrever a equação de tal modo que cada uma das duas variáveis aparecem em lados diferentes da equação; convertendo neste caso a equação original a duas equações diferenciais ordinárias. Para obter a expressão da solução de um problema modelado pela equação do calor é necessário uma condição inicial (que corresponde, por exemplo, ao modo como a temperatura se distribui no corpo para t = 0). Poderá também ser necessário definir condições de fronteira (que correspondem à temperatura do corpo em cada extremidade), mas estas dependem do domínio em causa. 4.3 Atividade em contexto de sala de aula A atividade a seguir proposta pretende ilustrar a aplicação dos conceitos estudados em contexto de sala de aula no estudo de fenómenos naturais, mais concretamente, da propagação do calor num meio homogéneo. É uma atividade bastante rica e que pretende: motivar os alunos para a aprendizagem e desenvolver o gosto pela matemática; estimular o espírito de investigação e despertar a curiosidade no aluno na aplicabilidade da matemática no seu quotidiano; promover a comunicação matemática; reconhecer que a equação do calor modela um fenómeno real e representa a variação da temperatura de um corpo; estabelecer uma ligação entre a análise algébrica e gráfica do modelo considerado; formular generalizações a partir de experiências; analisar situações da vida real identificando modelos matemáticos que permitam a sua interpretação e resolução;

87 82 CAPÍTULO 4. MODELAÇÃO MATEMÁTICA possibilitar a familiarização com material tecnológico, como a calculadora gráfica, permitindo a visualização simultânea de várias representações gráficas para facilitar a análise da variação dos parâmetros nos gráficos das funções; investigar e explorar as ligações entre diferentes representações para uma situação problemática. Uma vez que os conceitos de funções de várias variáveis reais, de derivada parcial e de equação diferencial não são abordados ao nível do ensino secundário, precederia esta atividade de uma tarefa onde introduziria estes conceitos de um modo informal e proporia um conjunto de exercícios que permitissem aos alunos calcular as derivadas parciais de funções com duas e três variáveis reais Atividade Considere-se uma barra homogénea de comprimento 2 metros, com temperatura não constante cujas extremidades estão a 0 o C, orientada segundo o eixo dos xx, de x = 0 até x = 2. Assuma-se ainda que a barra não gera nem destrói calor no seu interior e que não há troca de calor com o exterior, a não ser pelas suas extremidades. Seja u(x, t) a função que representa a temperatura na posição x da barra num determinado instante t. A equação u t = u xx, t > 0 e 0 < x < 2, descreve a variação da temperatura da barra, ao longo da direção x, em função do tempo t. a) Mostre que a função u(x, t) = sin( πx 2 )e π 2 t sin( 5πx 25π 2 t )e 4 é solução da equação 2 u t = u xx, t > 0 e 0 < x < 2. Em primeiro lugar, calculam-se as derivadas parciais de primeira ordem de u(x, t) em ordem t e a x e a derivada parcial de segunda ordem de u(x, t) em ordem a x. u t (x, t) = u(x, t) t = π 4 sin(πx π 2 t 2 )e 4 75π2 sin( 5πx 25π 2 t 4 2 )e 4 ;

88 4.3. ATIVIDADE EM CONTEXTO DE SALA DE AULA 83 u(x, t) u x (x, t) = x u xx (x, t) = u x(x, t) x = π 2 cos(πx π 2 t 2 )e π 2 cos(5πx 25π 2 t 2 )e 4 ; = π 4 sin(πx π 2 t 2 )e 4 75π2 sin( 5πx 25π 2 t 4 2 )e 4. Substituindo em u t = u xx, obtém-se uma igualdade, pelo que se conclui que u(x, t) = sin( πx 2 )e π 2 t sin( 5πx 25π 2 t )e 4 é solução da equação. 2 b) Considerando t = 0, calcule u(x, 0) para 0 < x < 2 e interprete a expressão obtida no contexto do problema. Substituindo t por 0 em u(x, t) vem que: u(x, 0) = sin( πx 2 ) + 3 sin(5πx 2 ). A expressão obtida para t = 0 mostra a distribuição da temperatura ao longo da barra no instante inicial. c) Para valores de t positivos, mostre que u(0, t) = u(2, t) = 0 e interprete estes resultados na situação descrita. Substituindo x por 0 e depois, x por 2 vem que: u(0, t) = sin(0)e π2 t sin(0)e 25π2 t 4 = 0; u(2, t) = sin(π)e π2 t sin(5π)e 25π2 t 4 = 0. Provou-se, desta forma, que u(0, t) = u(2, t) = 0. Este resultado dá informação sobre o comportamento da temperatura nas extremidades da barra (x = 0 e x = 2). Uma vez que u(0, t) = 0 e u(2, t) = 0, conclui-se que essas temperaturas são nulas. d) Conclua que u(x, t) = sin( πx 2 )e π 2 t sin( 5πx 25π 2 t )e 4 é solução do problema enun- 2 ciado. Como u(x, t) satisfaz a equação u t = u xx e verifica as hipóteses consideradas no enunciado, conclui-se que é uma solução do problema:

89 84 CAPÍTULO 4. MODELAÇÃO MATEMÁTICA u t = u xx, t > 0, 0 < x < 2 u(x, 0) = sin( πx 5πx ) + 3 sin( ), 0 < x < u(0, t) = u(2, t) = 0, t > 0. e) Recorrendo às capacidades gráficas da calculadora, represente graficamente a função u(x, t) no intervalo de 0 a 2, para t = 0; t = 0, 01; t = 0, 05; t = 0, 1; t = 0, 2 e t = 10. O que observa? Os gráficos seguintes representam, respetivamente, a representação gráfica de u(x) para os valores de t indicados. Representando num mesmo referencial os gráficos, obtém-se: Analisando a figura, conclui-se que à medida que o valor de t aumenta, a temperatura tende para zero, ou seja, a temperatura tende a estabilizar uniformemente em toda a barra.