FUNDAÇÃO EDUCACIONAL UNIFICADA CAMPOGRANDENSE (FEUC) FACULDADES INTEGRADAS CAMPO-GRANDENSES (FIC) COORDENAÇÃO DE MATEMÁTICA

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1 E N A D E 005 LICENCIATURA MATEMÁTICA QUESTÕES RESOLVIDAS

2 I N T R O D U Ç Ã O Estamos apresentando a prova do ENADE aplicada em 005 para os cursos de Licenciatura em Matemática. Este trabalho tem o objetivo de aproximar alunos e professores das Faculdades Integradas Campo-Grandenses ao Projeto ENADE 011. Reconhecemos que fazemos um trabalho de qualidade. Isto fica determinado pela nota 3,0 do ENADE 008. Mas, necessariamente, ao pensarmos que temos a necessidade de expandirmos nossos conhecimentos estaremos no caminho progressivo. Esperamos que, alunos e professores, possam colaborar informando sobre possíveis erros que por ventura tenhamos cometido. Agradecemos ao Professor Rodrigo pelas resoluções das questões 3, 4, 7 e 8. Dedicamos este trabalho aos alunos concluintes 011 do Curso de Licenciatura em Matemática das Faculdades Integradas Campo-Grandenses. Alzir Fourny Marinhos Rodrigo Neves

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4 RESOLUÇÃO: Retirada de x 3 /s de água. Custo total de y estimado da obra em bilhões de reais. Número de habitantes z beneficiados pelo projeto x y = 4 z x + y z = 11 4y z = 4 x - z = Multiplicando a primeira equação por (-1) e somando-se à terceira, teremos o sistema equivalente:

5 x + y z = 11 4y z = 4 - y = -9 Daí: y = 4,5 bilhões de reais; z = 4y - 4 = 4. 4,5-4 = 14 milhões de habitantes; x = 11 y + z = = 30 m 3 / s (menos de % da vazão do rio( % de 1850 = 37 m 3 /s). RESPOSTA: O custo total estimado da obra é superior a 4 bilhões de reais. RESOLUÇÃO: C 3. C5. C4 = 3.. = = 180 RESPOSTA: 180

6 RESOLUÇÃO: No somatório temos uma progressão geométrica de razão 1. A soma de uma PG finita é representação de q por x. n a1( q 1). Como a 1 = 1 temos q 1 q n 1, que na questão faz a q 1

7 S n > 1 ; 4 3 n x 1 x 1 > x n x + 1 x 1 > Se q = x = 1 temos 1 ( ) n > Chegamos em : 1 n 1 > Então n - 1 < 81 e o maior inteiro que satisfaz a inequação é n = 7. RESPOSTA : 7 RESPOSTA: P(x) = (m - 4) (m + 4) x 5 + x + kx + 1. P(x) não admite raiz real. Veja que um polinômio do quinto grau admite cinco raízes. Podemos ter dois pares de raízes complexas imaginárias conjugadas e uma raiz complexa real. Se o polinômio for de grau impar sempre admite raiz real. Logo (m - 4). (m + 4) = 0, para não admitir raiz real.

8 Daí m - 4 = 0 e m = 4. Para m + 4 = 0, não teremos raízes reais como solução desta equação. Logo para (m - 4). (m + 4) = 0 temos m = 4. Agora devemos analisar x + kx + 1 = 0. Qual a condição para que tenha raízes complexas? Que b 4ac seja negativo. Logo k 4 < 0. A parábola abaixo representa a lei y = k 4 e tem valores de y negativos no intervalo - < k <. Logo a solução de k 4 < 0 é - < k <, k Real. RESPOSTA: m = 4 e - < k <.

9 QUESTÃO ANULADA FUNDAÇÃO EDUCACIONAL UNIFICADA CAMPOGRANDENSE (FEUC)

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11 RESOLUÇÃO: Q 0 Q 1 Q Q3 Veja que Q 0, Q, Q 4, Q 6... são paralelogramos retângulo. Veja que Q 1, Q 3, Q 5... são paralelogramos não retângulo. Construindo um modelo para os dois primeiros paralelogramos Q 0 e Q 1 : Veja que a área de (Q 1 ) é igual a área de (Q 0 ) subtraída de quatro triângulos retângulos congruentes formados entre as duas figuras Q 0 e Q 1. Assim: Supondo o retângulo Q 0 com lados e 4. A área a(q 0 ) = 8. A área de cada triângulo retângulo será S = teremos a( Q 1 ) = 8 4.1= = 1. Como há quatro triângulos congruentes Assim temos a( Q ) 4 = a( Q ) 8 1 = 0 1 a( Qi ). Isto é válido para as outra situações. a( Q ) i 1 Então temos todos os itens do exercício corretos. RESPOSTA: Todos os itens estão corretos.

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13 RESOLUÇÃO: V 1 - Volume da Pirâmide. ( CD. CB). OA V 1 = 3 Veja que AO é a altura da pirâmide. V Volume do Prisma. CD CB OA CD. CB. OA V =.. =. 8 V CD. CB. OA 8 8 =. = V 3 CD. CB. OA 3 1 Veja que CD.CB e AO surgem nos dois volumes. Esses dados determinam que a base da pirâmide seja retângulo ou um paralelogramo qualquer e a altura da pirâmide dada por AO, seja definida quando o ângulo OAB for retângulo ou não. RESPOSTA: As duas asserções são proposições verdadeiras, mas a segunda não é justificativa da primeira.

14 RESOLUÇÃO: (1) x + y + 4x 4y + 4 = 0 () x + y x + y + 1 = 0 x + y x c x y c y + x c + y c r = 0 (1) - x c = 4; x c = - - y c = - 4; y c = (-) + r = 4 - r = - 4; r = () x c = -; x c = 1 - y c = ; y c = (-1) r = 1 r = 1; r = 1 Abaixo temos as representações das duas equações de circunferência:

15 y x Comentando os itens: Item a) As duas circunferências não têm pontos em comum. Item b) Equação da reta que passa pelos centros das circunferências (1, -1) e ( -, ) é y = - x. Item c) Veja na representação das circunferências que o eixo x tangencia as duas circunferências, assim como o eixo y. Item d) O raio da circunferência C 1 é o dobro do raio da circunferência C. Item e) C 1 está contida no segundo quadrante e C está contida no quarto quadrante. RESPOSTA: Os eixos coordenados são tangentes comuns às duas circunferências.

16 RESOLUÇÃO: Veja novembro de 005: seg ter quar qui sex sáb dom é côngruo a 1 módulo 7, isto é, 15 dividido por 7 deixa resto 1, que está na terça feira. Devemos verificar quantos dias temos de 15 de Nov de 005 a 15 de Nov de 008. Veja que temos em 005 de 15 de Nov (inclusive) a 31 de dez, 16 dias em novembro e 31 dias em dezembro. Em 006 temos 365 dias; em 007 temos 365 dias; em 008 (ano bissexto com fevereiro tendo 9 dias) até 15 de novembro temos 366 dias menos 46 dias (excluir 15 dias de novembro mais 31 dias de dezembro). Logo temos no total 1097 dias, que dividido por 7 deixa resto 5, que equivale ao sábado. RESPOSTA: sábado

17 RESOLUÇÃO: 3 1 Módulo 1 Argumento K = 1(cos K + i sen K = 0: 1(cos i sen 0 0 ) = ) K = 1: 1(cos i sen 10 0 ) = K = : 1(cos i sen 40 0 ) = i i 3 8

18 Módulo Argumento K = (cos K + i sen K = 0: ( cos i sen 0 0 )= 0 0 ) K=1: K=: 1 3 ( + i) = 1+ 3i 1 3 ( i) = 1 3i Comentando os itens: Item a) Os vértices do triângulo T são 1, i, i. A proposição é falsa. Item b) π e i π π = (cos + isen ) = ( + i ) = 1+ 3i. Os vértices do triângulo S são ; i ; 1 3i. A proposição é falsa. Item c) O produto de W 1 Z 1 tem módulo dado pelo produto do módulo de W 1 pelo módulo de Z 1, isto é, módulo. Veja que 6 1 tem módulo 1. A proposição é falsa. Item d) Se W 1 =, então W = W 3. W não pode ser W 3 pois W tem módulo 4 e W 3 tem módulo. A proposição é falsa. Item e) Z 1 = 1 ; Z = verdadeira i ; = Z3 1 3 i. Z é o conjugado de Z 3. A proposição é RESPOSTA: Se Z 1 = 1, então Z é o conjugado de Z 3.

19 RESOLUÇÃO: Área de T: Abaixo os pontos (, );(, );(1,0 ) Área a = 1 3(1 + ) = 3 3 4

20 Área de S: Abaixo os pontos ( 1, 3);( 1, 3);(,0) 3( + 1) Área a = = 3 3 Veja que a = 4 a. RESPOSTA: a = 4ª

21 RESOLUÇÃO: Os dois planos são paralelos pois: 5 15 = 1 3 = Veja que (1, 1, -1) pertence ao plano 5x + y + 4z = e sendo (10,, 8) vetor normal ao plano temos a equação 10(x 1)+ (y-1) +8(z+1) = 0, que corresponde a equação do plano dada. Veja que (7/15, 0, 0) pertence ao plano 15x + 3y + 1z = 7 e sendo (10,, 8) vetor normal temos a equação 10(x 7/15) + (y - 0) + 8(z 0) = 0, que corresponde a equação do plano dada. Então (10,, 8) é vetor normal aos dois planos dados. Ao dizer que (10,, 8) é um vetor não nulo e normal a ambos os planos está informando que os planos poderiam ser coincidentes. Logo esta asserção, somente, não justifica que os dois planos sejam paralelos. É necessário que se observe os termos independentes das equações do plano. RESPOSTA: As duas asserções são proposições verdadeiras, mas a segunda não é uma justificativa da primeira.

22 RESOLUÇÃO: Dados dois elementos a e b G, um conjunto munido de uma operação * terá sempre uma solução para a equação a * x = b se o elemento a 0 for simetrizável (no caso de * ser aditiva) ou inversível (no caso de * ser multiplicativa). Assim sabemos que existe a 1 G tal que a * a 1 = a -1 * a = 0 (elemento neutro). Logo: a -1 * ( a * x) = a -1 * b (a - 1 * a) * x = a -1 * b; Veja que a -1 * a é o elemento neutro. X = a -1 * b é solução. Agora note que : 1 0 ) Em um grupo ( G,.) todos os elementos 0 são simetrizáveis por. 0 ) Em um corpo ( K, +,.) todos os elementos 0 são simetrizáveis por + e inversíveis por. 3 0 ) Em um anel ( A, +,.), garantimos a simetria por +, mas não a inversibilidade por. Consequentemente a resposta certa é c. RESPOSTA : Em um anel ( A, +,.) a equação a. X = b tem solução para quaisquer a e b pertencentes a A.

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24 RESOLUÇÃO: Uma transformação linear é uma função entre dois espaços vetoriais que preserva as operações de adição vetorial e produto por escalar. Definição: Sejam V e W espaços vetoriais sobre o mesmo corpo K. Diz-se que T : V W é uma transformação linear se: i) v, w V, T ( v + w) = T( v) + T ( w) ii) v Vea R, T ( av) = at ( v) Importante: Toda transformação linear T pode ser escrita na forma matricial como um produto de uma matriz de constantes ( coeficientes) por um vetor. No caso do exercício temos T : R R No item I temos uma rotação com um ângulo θ dado por cosθ T (x) = senθ senθ x. (produto). cosθ y Logo é transformação linear. No iem II temos um cisilhamento dado por T(x) = Logo é transformação linear. 1 c c 1 x. (produto). 1 y x c1 No item III temos translação dada por T(x) =. + ( adição). y c Não é transformação linear No item IV não é linear pois precisa de alguma lei envolvendo potências de expoente ou raízes.

25 No item V temos a variação de tamanho uniforme ou homotetia dada por T(x) = c 1 x. (produto). c y. Logo é transformação linear. No item VI temos variação de tamanho não uniforme dado por T(x) = c 1 x. com c = 0 ( produto). c y. Logo é transformação linear. RESPOSTA : I, II, V e VI RESOLUÇÃO: Vamos fazer algumas análises na função f(x) = x 3 x + 5x +16. Veja que ao derivarmos f(x) encontramos f (x) = 3 x 4x + 5, que tem como representação uma parábola acima do eixo x ( f (x) admite raízes complexas). Logo f (x) > 0 para todo real x. Logo isto determina que a função f(x) = x 3 x + 5x + 16 é crescente para todo real x. Em busca da resposta correta verificamos que f(-1) = 8 > 0 e f(-)= -10 < 0. Logo temos, no intervalo entre -1 e -, a raiz x 0 de multiplicidade 3 da função f(x), isto é, f(x 0 ) = 0, onde x 0 está entre -1 e -. RESPOSTA: Existe um número real x 0 < 0 tal que f(x 0 ) = 0.

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27 RESOLUÇÃO: Veja que o gráfico dado tem, no enunciado, no intervalo entre 0 e 1 a função f(x) = 1, que resulta como integral uma função do primeiro grau F(x) = x neste intervalo; tem, no intervalo de 1 a, a função f(x) = -1, que resulta como integral uma função do primeiro grau F(x) = ax + b, a < 0 neste intervalo; tem, no intervalo de ao infinito a função f(x) = ax + b, a > 0, que resulta como integral uma função quadrática de concavidade para cima neste intervalo. RESPOSTA: Item D

28 RESOLUÇÃO: Note que a temperatura é dada por T(x,y,z) = x 50 + y + z + 1 Como desejamos encontrar o ponto de maior temperatura e T é dada por uma fração de numerador constante, temos de achar o menor valor para o denominador x + y + z + 1. Usando gradiente: T T T ( x, y, z) = (,, ) = (x,y,z) x y z O mínimo será encontrado quando ( x, y, z) = (0,0,0) (x,y,z) = (0,0,0) x = 0 y = 0 O centro z = 0 da esfera RESPOSTA: Item D) atingirá o seu maior valor no centro da bola.

29 QUESTÃO 8: FUNDAÇÃO EDUCACIONAL UNIFICADA CAMPOGRANDENSE (FEUC)

30 RESOLUÇÃO: I) Certo pois as curvas de nível de uma superfície são dadas pelas intersecções da mesma por planos horizontais. II) Certo pois lim x y e = lim ( x + y ) e = lim a e = 0 x + y 1 1 lim = = 0 a e a e x + y III) Errado pois ela é ilimitada inferiormente pelo plano xy. Quanto mais nos afastarmos da origem mais a altura da superfície tende a zero, mas não o ultrapassa. Consequência direta do item II. a IV) R e x y π (1 0) = π Está correto. dxdy = e x + y x y dxdy = a e x y dxdy = limπ (1 e a a ) = π (1 e ) = RESPOSTA : I, II e IV.

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32 PADRÃO DE RESPOSTAS DADO PELO INEP:

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34 PADRÃO DE RESPOSTAS DADO PELO INEP:

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37 RESOLUÇÃO: Item I: Na figura do problema 1 podemos ter um círculo inscrito no octógono sugerindo uma aproximação da área do círculo com a área do octógono. O item I está certo. Item II: No problema ao aproximarmos π podemos ter: 3,14 < 3,1415 < 3,15. 3,14 é aproximação por defeito (para menos) e 3,15 por excesso (para mais). Veja que a área do círculo com aproximação 3,14 dá 3,14. (4,5) = 63,5 = 64. Logo podemos ter aproximação por defeito (para menos). O item II está errado. Item III: No problema a área do círculo de diâmetro d é igual a área do quadrado de lado O item III está correto. RESPOSTA: Apenas os itens I e III estão corretos. 8 d. 9

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39 RESOLUÇÃO: A equação do segundo grau, já antes de Cristo ac, tinha propostas de resolução de equações simples. Não havia os números negativos. Não havia a álgebra simbólica. Resolviam alguns tipos de equações com palavras (álgebra retórica). Após a cultura geométrica Grega (500 ac) resolviam de forma geométrica completando quadrados. A fórmula, hoje conhecida, foi desenvolvida com o passar dos séculos e só depois de 1500, com a álgebra simbólica, tomou a forma algébrica que conhecemos. O item A está incorreto. Com a história os alunos podem perceber formas de resoluções diferentes das equações do segundo grau, desenvolvendo competências. O item B está correto pois, geometricamente, podemos resolver algumas equações do segundo grau completando quadrados, metodologia usada para a construção algébrica da fórmula da resolução da equação do segundo grau. O item C está incorreto pois devemos apresentar inicialmente os fatos históricos ( já no Ensino Fundamental) e a partir deles construirmos os conceitos. O item D está incorreto pois historicamente tivemos, antes de Cristo (3000 ac), resoluções de equações simples, pelas propostas metodológicas de resolução e por não termos a construção dos negativos, irracionais e complexos imaginários.

40 O item E está incorreto. Com a história da Matemática teremos aceleração de aprendizagem. RESPOSTA: É adequada a inserção dessa perspectiva, associada à manipulação de recorte e colagem pela complementação de quadrados, buscando sempre alternativas para as situações que esse procedimento não consegue resolver.

41 RESOLUÇÃO: O estudo dos números decimais tem início nos anos iniciais do Ensino Fundamental quinto ano - onde os números decimais são ensinados através do material dourado (com representações parte do todo, sendo o todo potências de 10) e problemas envolvendo valores monetários e grandezas de medida. Comentando os itens II e III:

42 No item II ao colocar que os números decimais deve preceder o ensino do sistema monetário, está incorreto, pois o ensino dos números decimais deve ser ensinado atrelado aos problemas envolvendo valores monetários. O Item III não é apropriado para superação da baixa aprendizagem embora a maioria dos programas apresentem o estudo de frações decimais de forma independente e bem posterior ao estudo de frações de quantidade qualquer. Assim, as reflexões dos itens I e IV podem superar a baixa aprendizagem dos números decimais. RESPOSTA: I e IV

43 RESOLUÇÃO: Nesta questão apenas o item e está incorreto. Ao afirmar que o problema examina conseqüências do uso de diferentes definições deixa o problema fechado apenas para o exame de conseqüências com o gasto de água. RESPOSTA: Examina conseqüências do uso de diferentes definições.

44 RESOLUÇÃO: O cubo tem 11 planificações ao todo e a planificação apresentada pelos alunos não está entre elas (não monta o cubo). Quando uma afirmação tem base matemática podemos dizer que tem explícito um fundamento matemático. Ao observarem que não poderiam montar um cubo deram justificativas. No item A colocaram que não se podem alinhar três quadrados. Falso. Podemos ter alinhamento de três e mais três quadrados para planificar o cubo. No item B podemos ter uma planificação com quatro quadrados alinhados e dois quadrados um de cada lado oposto dos quadrados alinhados. Faltou a fundamentação matemática. No item C temos uma afirmação falsa pois podemos ter três quadrados alinhados e ao lado do último mais três alinhados. No item D ao colocar que cada ponto que corresponderá a um vértice deverá ser o encontro de, no máximo, três segmentos, que serão arestas do cubo fez uma proposição verdadeira e com fundamentação matemática. No item E não podemos ter quatro quadrados e os outros dois do mesmo lado. Logo a proposição é falsa.

45 RESPOSTA: Cada ponto que corresponderá a um vértice deverá ser o encontro de, no máximo, três segmentos, que serão arestas do cubo. RESOLUÇÃO: Hoje, no ensino dos anos iniciais do Ensino Fundamental, quinto ano, já ensina-se porcentagem, após o ensino de frações e números decimais. Mostram-se exemplos em vários contextos sociais. Ensina-se porcentagem integradas à geometria quando temos um quadrado com subdivisões em cem quadrados; percentual em forma de porcentagem, fração ou número (3%; 3/100; 0,3); em medidas quando, por exemplo, definimos 50% de um litro; em tratamento da informação quando em gráficos de setores representamos porcentagens de um determinado evento. Logo consideramos corretos os itens:

46 I- O ensino de porcentagem deve ter o contexto sociocultural como motivação de aprendizagem. III- ensino de frações centesimais e o de frações de quantidade devem ser articulados com o ensino de porcentagem. IV-O conteúdo de porcentagem favorece um trabalho integrado entre diferentes blocos de conteúdos, tais como números, medidas, geometria e tratamento da informação. RESPOSTA: I, III, IV.

47 RESOLUÇÃO: Como h = m. n define a média geométrica de m e n e h = m.n podemos ter a representação com régua e compasso da média geométrica de m e n que é dada por h. Se h = m.n, então a área de um quadrado de lado h é igual a área do retângulo de lados m e n. Veja que os triângulos BAD ; ADB e ADC são semelhantes pois têm os seu ângulos congruentes. RESPOSTA: Todos os itens estão certos.

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49 RESOLUÇÃO: Ao fazermos 3. 3 temos 9 = 3. Se a máquina determina o valor de 3 teremos para 3. 3 um valor decimal finito. Ao fazer 3. 3 como 3 ou não existem erros nas máquinas. Ao encontrarmos 3 podemos estar usando as propriedades dos radicais nos programas da máquina. Ao encontrarmos estaremos usando o produto de dois números decimais finitos. É interessante observarmos que se escrevermos 3 como infinitas decimais não periódicas e multiplicarmos pelo mesmo valor teremos um número com infinitas decimais tendendo para 3 (limite). Assim estaremos discutindo as diferenças entre os conceitos de números racionais, irracionais e aproximações. RESPOSTA: Confrontar a resposta obtida com a de uma calculadora científica, discutindo a diferença entre os conceitos de números racionais, aproximações e números irracionais.

50 RESOLUÇÃO: O aluno dividiu usando inicialmente a divisão de cada ordem por 3 gerando 1. Veja que usou corretamente o procedimento de divisão quando ao dividir 7 (centena simples) por 3 obteve resto 1 (centena simples) que representa 10 na ordem da dezena simples e que somado com de resto da divisão de 8 (dezena simples) por 3 dá 1, que dividido por 3 dá 4 e que somado com gerado da divisão de 8 por 3 encontrou 6. Ao dividir 7 (unidade simples) por 3 encontrou e resto 1. Ao fazer a divisão encontrou corretamente o quociente 16 e resto 1. RESPOSTA: O aluno compreendeu tanto a estrutura de número quanto o conceito da operação de divisão.

51 PADRÃO DE RESPOSTAS DADO PELO INEP:

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