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1 NIVERSIDADE ESTADAL DE SANTA CRZ - ESC DEARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS - DCET ÁLGEBRA LINEAR ASSNTO: MATRIZES EXERCÍCIOS RESOLVIDOS. Suponha que um corretor da Bolsa de Valores faça um pedido para comprar ações na segunda-feira, como segue: 00 quotas de ação A, 00 quotas da ação B e 600 quotas da ação C. As ações A, B e C custam por quota R$ 00,00, R$ 00,00 e R$ 0,00, respectivamente. (a) Encontre o custo total de ações, usando multiplicação de matrizes. (b) Qual será o ganho ou a perda quando as ações forem vendidas seis meses mais tarde se as ações A, B e C custarem R$ 600,00, R$ 0,00 e R$ 00,00 por quota, respectivamente? RESOSTAS (a) O custo total das ações é R$0.000,00. (b) o lucro total foi de R$.000,00.. m construtor tem contratos para construir estilos de casa: moderno, terrâneo e colonial. A quantidade de material empregada em cada tipo de casa é dada pala matriz: Ferro Madeira V idro Tinta Tijolo Moderno 0 6 M editerrâneo 8 9 Colonial 6 8 (Qualquer coincidência dos números com a realidade é mera coincidência.) (a) Se ele vai construir, e casas dos tipos moderno, mediterrâneo e colonial, respectivamente, quantas unidades de cada material são empregadas? (b) Suponha agora que os preços por unidade de ferro, madeira, vidro, tinta e tijolo sejam, respectivamente,, 8,, e u.c.p.. Qual é o preço unitário de cada tipo de casa?

2 (c) Qual é o custo total do material empregado? RESOSTAS 0 6 Considere A = e B = (a) As entradas, c,c,c,c,c, da matriz C = A B = são as quantidades dos materiais ferro, madeira, vidro, tinta e tijolo empregados na construção, respectivamente. (b) Considere H = 8 a matriz cujas entradas representam o preço por unidade de ferro, madeira, vidro, tinta e tijolo, respectivamente; e E = B t = 6 8 ; Temos: 9 F = H E = 9 8 6, as entradas f,f e f representam o preço unitário das casas dos tipos moderno, mediterrâneo e colonial, respectivamente. (c) O custo total será dado pelo produto matricial: F A t = = 6, ou seja, o custo total da construção será R$6,00.. ma rede de comunicação tem cinco locais com transmissão de potências distintas. Estabelecemos que a ij =, na matriz abaixo, significa que a estação i pode transmitir diretamente à estação j, a ij = 0 significa que a transmissão da estação i não alcança a estação j. Observe que a diagonal principal é nula significando que uma estação não transmite diretamente para si mesma. A = Qual seria o significado da matriz A = A A? Seja A = [C ij ].Calculemos o elemento c = k= a k a k = =.

3 Note que a única parcela não nula veio de a a =. Isto significa que a estação transmite para a estação através de uma retransmissão pela estação, embora não exista uma transmissão direta de para. (a) Calcule A.( Ver Apêndice.) (b) Qual o significado de c =?. c = k= a ka k = , onde a a = = a a. Ou seja, para a estação transmitir para a estação, pode transmitir para a estação e a estação retransmitir para a estação, ou transmitir para a estação e a estação retransmitir para a estação. (c) Discuta o significado dos termos nulos, iguais a e maiores que de modo a justificar a afirmação: A matriz A representa o número de caminhos disponíveis para se ir de uma estação a outra com uma única retransmissão. Ver o item (b). (d) Qual o significado das matrizes A + A, A e A + A + A? i. A + A = B. As entradas b ij significam o número de possibilidades de ir de uma estação i para uma estação j, transmitindo diretamente ou com apenas uma única retransmissão. ii. A = D. As entradas d ij significam o número de possibilidades de ir de uma estação i para uma estação j, com exatamente duas retransmissões. iii. A+A +A = E. As entradas e ij significam o número de possibilidades de ir de uma estação i para uma estação j, transmitindo diretamente, com apenas uma única retransmissão ou com exatamente duas retransmissões. (e) Se A fosse simétrica, o que significaria? Significaria que uma estação i transmite diretamente para uma estação j se, e somente se, esta estação j transmite diretamente para a estação i.

4 . Existem três marcas de automóveis disponíveis no mercado: o acaré, o iranha e o rubu. O termo a ij da matriz A abaixo é a propabilidade de que um dono de carro da linha i mude para o carro da coluna j, quando comprar um carro novo. ara 0, 0, 0, = De 0, 0, 0, 0, 0, 0, Os termos = da diagonal de A dão a probabilidade aii de se comprar um carro novo da marca A 9 Os termos de A, aij, significam mudar da marca i para a marca j depois de duas compras:. De fato: a = probabilidade de tendo inicialmente um carro da marca mudar para um outro carro desta mesma marca, ou seja,, depois de duas compras. Daí, a = + + = 9 0. a = probabilidade de tendo inicialmente um carro da marca mudar para um outro carro da marca depois de duas compras.

5 Daí, a = + + = 8 0. a = probabilidade de tendo inicialmente um carro da marca mudar para um outro carro da marca depois de duas compras. Daí, a = + + = 0. a = probabilidade de tendo inicialmente um carro da marca mudar para um outro carro da marca depois de duas compras. Daí, a = + + = 0. a = probabilidade de tendo inicialmente um carro da marca mudar para um outro carro desta mesma marca, ou seja,, depois de duas compras. Daí, a = + + = 9 0. a = probabilidade de tendo inicialmente um carro da marca mudar para um outro carro da marca depois de duas compras.

6 Daí, a = + + = 6 0. a = probabilidade de tendo inicialmente um carro da marca mudar para um outro carro da marca depois de duas compras. Daí, a = + + = 8 0. a = probabilidade de tendo inicialmente um carro da marca mudar para um outro carro da marca depois de duas compras. Daí, a = + + = 6 0. a = probabilidade de tendo inicialmente um carro da marca mudar para um outro carro da marca depois de duas compras. Daí, a = + + =

7 . Em cada item a seguir, classifique as afirmações em verdadeiras ou falsas. Mostre caso a afirmação seja verdadeira ou dê um contra-exemplo, caso a afirmação seja falsa. Considere A n (K), B n (K) e n (K) onde K = R ou C. (a) Se det(a) = então A = A. (b) Se A é uma matriz triangular, então det(a) = a + + a nn. (c) det(ka) = k n det(a), k K é uma constante. (d) Se A = A, e A I n então det(a) = 0. (e) det(a + B) = det(a) + det(b). (f) Se B = A então det(b) = det(a). RESOSTAS (a) FALSA. Considere A = i 0 0 isua inversa é: A = i 0 0 i (b) FALSA. Como conseqüência do Teorema de Laplace temos que: det(a) =n i= a ii. (c) VERDADEIRA. Conseqüência do Teorema de Laplace. (d) VERDADEIRA. Como A = A A(A I) = 0. Daí se det(a) 0 segue que A e portanto teríamos A = I. 0 (e) FALSA. Considere A = Considere B = 0 0e Observe que det(a + B) = e det(a) = det(b) = (f) VERDADEIRA. se que: det(ab) = det(a) det(b) e que det() = det( ). Observe que neste item estamos supondo que é uma matriz inversível, ou seja, det() Calcular o determinante da matriz 0. SOLÇÃO: 0 L L L L L L 0

8 0 0 6 L + L L L + L L ortanto Observemos que ao escalonarmos a matriz realizamos a operação elementar L + L L, alteramos o determinante da matriz do estágio anterior à operação, e portanto o det det = , det daí, o 0 0 = 60 = 0. OBS: As operações elementares L + L L L L L não alteraram o determinante da matriz do estágio L L L anterior a respectitiva operação. or quê?. Chama-se posto de uma matriz ao número máximo de linhas linearmente independentes que ela possui. Dado o sistema homogêneo a x + b y + c z = 0 a x + b y + c z = 0, a x + b y + c z = 0 prove que suas soluções formam um plano passando pela origem, uma reta passando pela origem ou se reduzem a um só ponto (a origem) cconfrome a matriz dos coeficientes tenha posto, ou. RESOSTA O posto da matriz será se, e somente se, os vetores normais dos planos (cada linha da matriz é uma equação de um plano que passa pela origem) são paralelos e neste caso a interseção,ou solução do sistema será um plano que passa pela origem. 8

9 O posto da matriz será se, e somente se, temos um vetor normal somo combinação linear dos outros dois e isto acontece se e somente se a solução é um reta. O posto da matriz será se, e somente se, os três vetores normas são linearmente independentes e neste caso a solução é um ponto. Convém observar que sistemas de equações lineares à 0 incógnitas pode ser resolvido apenas com a teoria desenvolvida em Geometria Analítica. 8. Determine os valores de x e y tais que a matriz abaixo seja ortogonal 6 x y RESOSTA x = e y = Seja m uma matriz ortogonal x, prove que existe θ R tal que:. m = cosθ senθ senθ cosθ ou m = cosθ senθ senθ cosθ, conforme seja det(m) = ou det(m) =. SOLÇÃO: z w. y = x y = x Como m w é ortogonal segue que m = m t ortanto x + y = z = = z + w e xz + yw = 0. Observemos que se y = 0 se, e somente se z = 0 e x = ±w 0 (x = 0 = 0 = 0 se, e somente se w = 0 e y = ±z 0). Daí se y = 0 temos m m 0 ou Raciocínio análogo para o caso onde x = Vamos analisar o caso onde x y z w 0. Neste caso teríamos x = w e y = z ou x = w e y = z. BIBLIOGRAFIA BOLDRINE, osé Luiz. COSTA, Suelli I. Rodrigues. FIGEREDO, Vera Lúcia. WETZLER, Henry G. Álgebra Linear. a edição. Editora: HARBRA ltda. LIMA, Elon Lages. Geometria Analítica e Álgebra Linear. Coleção Matemática niversitária. IMA. SBM. Este material foi elaborado e confeccionado pela rof a Cláudia Ribeiro Santana (DCET-ESC). 9

10 AÊNDICE. odemos utilizar um Software computacional, por exemplo o MALE, para facilitar os cálculos: (a) [> with(linearalgebra); [> A := Matrix( [[00, 00, 600] ]); A := [ ] [> B := Matrix( [[00, 00, 0] ]); B := [ ] [> A.Transpose(B); [0000] [> C:=Transpose(B); [> R:=A.C; R := [0000]; Daí, segue que O custo total das ações é R$0.000,00. (b) tilizando o Software computacional MALE, temos: [> with(linearalgebra); [> F:= Matrix( [[600, 0, 00] ]); F := [ ] [> G:= F-B; G := [0-0 0] [> R:=A.Transpose(G); R := [000] ortanto, o lucro total foi de R$.000,00.

11 . tilizando o Software computacional MALE, temos: [> with(linearalgebra); (a) [> A:= Matrix( [[0,,,,], [, 0,,, 0], [0,, 0,, 0], [0, 0,, 0, ], [0, 0, 0,, 0]]); A = [> A. A; (b) [> A. A. A; [> A + A. A; 0 0 0

12 [> A + A. A + A. A. A; Matriz de Vandermond Objetivo: rovar usando indução que o determinante da matriz de Vandermond, n a a a n an n é igual ao produto (a s a r ). r<s n Dica: Assumindo que o resultado vale para todo n, considere o determinante a an a n a n n a n+ a n n+ Mostre que este é igual a a f(a) a n f(a n ) a n+ f(a n+ ) ara qualquer polinômio mônico f sobre K (=R ou C) de grau n. Escolha f de maneira que o determinante seja mais fácil de ser calculado. Este material foi elaborado e confeccionado pela rof a Cláudia Ribeiro Santana (DCET-ESC).

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