Introdução MATRIZES. O que vocês acham? Onde podemos usar Matrizes além dos estudos de matemática?

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1 PROBBILIDDES Professora Rosana Relva Números Inteiros e Racionais Introdução rrelva@globo.com O crescente uso dos computadores tem feito com que a teoria das matrizes seja cada vez mais aplicada. Onde podemos usar Matrizes além dos estudos de matemática? O que vocês acham? Podemos usar em áreas como Economia, Engenharia, Matemática, Física, dentre outras, Ciência da Computação. 6

2 Os desenhos feitos em computadores, os programas são utilizado por matrizes!!! s Matrizes funcionam como um código de números, que possibilitam montar as imagens, desenho geométricos e outros desenhos em D e D. 7 8 Na segunda guerra Mundial as matrizes foram utilizadas para se enviar mensagens Vejamos um eemplo: tabela a seguir representa as notas de três alunos em uma etapa: 9 Química Inglês Literatura Espanhol B C 8 9 Então!!! B C = Quím. Ing. Lit. Esp

3 Se quisermos saber a nota do aluno B em Literatura, basta procurar o número que fica na segunda linha e na terceira coluna da tabela B = Linha C 8 9 Em tabelas assim dispostas, os números são os elementos. s linhas são enumeradas de cima para baio e as colunas, da esquerda para direita: ª Linha ª Linha ª Linha 7 Em tabelas assim dispostas, os números são os elementos. s linhas são enumeradas de cima para baio e as colunas, da esquerda para direita: 7 6 ª coluna ª coluna ª coluna TREINE... Observe a matriz e responda a) De que tipo ou ordem é?,, b) Quais são os números da ª linha?,, c) E os da ª coluna?, /, d) Quem é o elemento a? - 7 CLSSIFICÇÃO Matriz Quadrada: número de linhas igual ao números de colunas nº de Linha = coluna 8

4 Matriz quadrada. Matriz quadrada de 8 B 7 9 ordem. Matriz quadrada de ordem. Matriz quadrada. C Matriz quadrada de ordem. 9 Matriz Linha. É aquela que possui uma linha. O número de colunas é independente. B 7 8 Matriz Coluna. É aquela que possui somente uma coluna. 9 B 7 Matriz Oposta. para Eemplo: encontrar a matriz oposta de uma matriz qualquer basta trocar os sinais dos elementos. Matriz nula B

5 Matriz Retangular Matriz Retangular : número de linhas é diferente do números de colunas 9 B C Eemplos: é uma matriz do tipo. 8 é uma matriz do tipo. 6 Matriz Transposta transposta da matriz por eemplo, é indicada por. 8, 7 7 t transposta da matriz trocaremos os elementos de linhas por colunas. t 8, Matriz Transposta Matriz Transposta 9

6 t Matriz Transposta Matriz diagonal t Para que uma matriz tenha diagonal ela deverá ser uma matriz quadrada, então uma matriz diagonal é uma matriz quadrada onde os elementos que não pertencem à diagonal principal são obrigatoriamente iguais a zero. Matriz diagonal Diagonal secundária 8 8 Diagonal principal gora é com você Classifique a matriz abaio: Essa matriz é... Nula? Quadrada? Linha? Coluna? 6 6

7 Sim, é nula Sim, é quadrada Sim, é linha Sim, é coluna 7 Matriz Simétrica Observe a matriz seguinte e a sua transposta : t e 8 t Comparando, vemos que =. Quando isso acontece, dizemos que é simétrica. t Construção de Matrizes Dada uma matriz denotaremos cada elemento da matriz por aij onde i é o número da linha e j é o número da coluna dessa Matriz. 9 É a letra i (ª linha) É a letra j (ª coluna) 7

8 É a letra i ( ª linha) É a letra j (ª coluna) Continuando 6 Continuando Matriz Identidade ou

9 ou Matriz Identidade Obs: matriz identidade é o elemento neutro da multiplicação ou seja:.i=i.= 9 Diagonal Principal Igualdade de Matrizes Igualdade de Matrizes Considere as matrizes de mesmo tipo: = (aij) e B = (bij). Se cada elemento de for igual ao elemento correspondente (que ocupa a mesma posição) de B, as matrizes e B são ditas iguais. Como eemplo, veja as matrizes e B do tipo. dição Define-se a adição + B = C como sendo formada pelos elementos cij = aij + bij. Dizemos que = B. 9

10 dição () 6 ) ( = 6 7 Define-se a subtração - B = C como sendo formada pelos elementos cij= aij bij B Subtração 8 B Subtração 9 ( B) Subtração 6 ( B) Subtração ) ( ) ( ( B)

11 Subtração B 6 Produto de número por uma Matriz Multiplicação Dada duas matrizes do tipo mn e B do tipo n p, chama-se produto da matriz pela matriz B que se indica C =. B Observações: O produto de duas matrizes eiste se e somente se o número de colunas da matriz for igual ao número de linhas da matriz B. 6 6 Observações: Se as matrizes e B são do tipo m n e n p respectivamente, então o produto C =. B eiste e é uma matriz do tipo m p 6 Dadas as matrizes e B.... B

12 67.B B 68 EXERCÍCIOS 69 CESGRNRIO No produto de matrizes O valor de bc-ad é igual a a) b) / c) -/ d) -/ e) / d c b a 7 d c b a 7.d.b.c.a.d.b c.a d c b a 7 d b c a d c.d.b.c.a.d.b c.a d c b a

13 a b c d.a c.b.d.a.c.b.d c d a c b d 7 c d a c b d Logo teremos... 7 c= c =/ c d a c b d a-c= a=c a=/ a =/ d= d = b-d= b-= b= b =/ 7 Logo... bc - ad =.. 76 ÁLGEBR LINER ESF - Sejam as matrizes e seja ij o elemento genérico de uma matriz X tal que X =(.B) t, isto é, a matriz X é a matriz transposta do produto entre as matrizes e B. ssim, a razão entre e é igual a: a) b) / c) d) / e) 77 Não esquecer transposta (.B) t =B t. t Vamos transpor 78

14 t 6 ÁLGEBR LINER...B 79 t ÁLGEBR LINER t 6...B (.B) t =B t. t ª linha de B ª coluna de 8 t =.+.=+=6 ÁLGEBR LINER t 6...B (.B) t =B t. t t =.+.6=+6=8 ÁLGEBR LINER X X LOGO RZÃO ENTRE 6 8 ª linha de B ª coluna de 8 LETR 8 ÁLGEBR LINER ÁLGEBR LINER ESF Genericamente, qualquer elemento de uma matriz M pode ser representado por m ij onde i representa a linha e j representa a coluna que esse elemento se localiza. Uma matriz X = ij de terceira ordem, é a resultante da soma das matrizes = (a ij ) e B = (b ij ). Sabendo-se que (a ij ) = i e que (b ij ) = (i-j), então o produto dos elementos e, é igual a: a) 6 b) 8 c) 6 d) 6 e) 69 a b 8 8

15 ÁLGEBR LINER ÁLGEBR LINER a 9 b.. LETR D alegria está na luta, na tentativa, no sofrimento envolvido. Não na vitória propriamente dita