Aula 00 Curso: Noções de Estatística p/ Auditor TCU Professor: Fábio Amorim

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1 Aula 00 Curso: Noções de Estatística p/ Auditor TCU Professor: Fábio Amorim Prof. Fábio Amorim 1 de 38

2 Olá pessoal! Curso: Noções de Estatística p/ Auditor TCU Sejam bem vindos ao Exponencial Concursos! Estamos iniciando o curso de Noções de Estatística, direcionado para o concurso de Auditor Federal de Controle Externo, do Tribunal de Contas da União. Este curso abordará todo o conteúdo exigido pelo Edital, incluindo teoria e questões comentadas. Nosso objetivo é que vocês tenham condições de acertar todas as questões da disciplina que serão cobradas nesse novo concurso do TCU. O curso é estruturado de forma bastante objetiva e didática, onde cada aula é dividida em quatro partes: teoria, questões comentadas, resumo da aula, e lista de exercícios. O conteúdo do edital é abordado na parte teórica das aulas, sempre com o objetivo de facilitar ao máximo a compreensão dos assuntos. Em outra parte da aula, essencial para o aprendizado, trazemos as questões comentadas de concursos anteriores da mesma banca examinadora (CESPE). Em seguida, trazemos um resumo dos principais conceitos expostos em cada aula, que é bastante útil para a revisão do conteúdo aprendido. Por fim, apresentamos a lista dos exercícios comentados em cada aula para que vocês possam treinar a resolução das questões. Além disso, temos a disposição no site do curso um fórum que permite interagirmos para sanear as eventuais dúvidas que surgirem no aprendizado. O curso será composto por sete aulas, cujos assuntos e datas em que serão disponibilizadas são: Aula Assunto Aula 0 Estatística Descritiva: variáveis quantitativas e qualitativas, organização e apresentação de variáveis. Séries estatísticas. Histogramas e curvas de frequência. Distribuição de frequências: absoluta, relativa, acumulada. Aula 1 Estatística Descritiva: Medidas de posição: média, moda, mediana e separatrizes. Medidas de dispersão: desvio-padrão, variância, coeficiente de variação. Diagrama box-plot. Avaliação de outliers. Aula 2 Análise de dados categorizados. Distribuições de probabilidade. Distribuição binomial. Distribuição normal. Data Disponível 23/06 03/07 Prof. Fábio Amorim 2 de 38

3 Aula Assunto Curso: Noções de Estatística p/ Auditor TCU Data Aula 3 Noções de inferência estatística. Estimação de parâmetros por ponto e por intervalo. Intervalo de 10/07 confiança. Técnicas de Amostragem. Aula 4 Testes de hipóteses. Testes paramétricos: médias e proporções. 17/07 Aula 5 Correlação. Análise de regressão linear 24/07 Aula 6 Análise multivariada. Análise de séries temporais. 31/07 Agora que já apresentamos o curso, peço licença para me apresentar! APRESENTAÇÃO Meu nome é Fábio Amorim, sou formado em Engenharia Civil pelo Instituto Militar de Engenharia (2003), pós-graduado em Docência do Ensino Superior pela Universidade Castelo Branco (2007) e em Direito Administrativo pela Universidade Estácio de Sá (2014). Durante a minha trajetória profissional, depois de formado, trabalhei por cinco anos no Exército Brasileiro, na minha área de formação. Já em 2009, tomei posse no cargo de Especialista em Regulação de Serviços de Transportes Terrestres, na Agência Nacional de Transportes Terrestres - ANTT. Exerci minhas funções até o final de 2009, quando tomei posse no cargo de Auditor Federal de Controle Externo, no Tribunal de Contas da União, onde estou até hoje. Em termos de concursos públicos, obtive aprovação nos seguintes: ANTT (2008) Especialista em Regulação; MPOG (2008) Analista de Infraestrutura; TCU (2009) Auditor Federal de Controle Externo. Feitas as devidas apresentações, vale destacar que, ao longo deste curso transmitirei a vocês diversas dicas de estudo para ajudá-los a conseguir a tão sonhada aprovação. Há cerca de seis anos eu vivia uma expectativa muito grande de ingressar no TCU. Foram incontáveis horas de estudo e dedicação que valeram a pena, e muito! Hoje, terei a oportunidade de compartilhar essa experiência e ajudálos a ingressar no TCU, que é o melhor órgão público para se trabalhar, conforme a última pesquisa da revista Você S/A. Prof. Fábio Amorim 3 de 38

4 HISTÓRICO E ANÁLISE DAS PROVAS ESTATÍSTICA Foi uma grata surpresa perceber a disciplina de Estatística no Conteúdo Programático do atual concurso do TCU. Ela está prevista na prova objetiva P 1, a ser aplicada na data provável de 16 de agosto, pela manhã. Essa grata surpresa aconteceu pois a Estatística, no exercício das minhas atividades como Auditor no TCU, é uma das disciplinas que eu mais tenho exercitado no dia a dia, juntamente com Língua Portuguesa, Controle Externo, Direito Constitucional, Direito Administrativo, Auditoria Governamental e AFO. É claro que isso varia de acordo com a área de atuação de cada servidor. Desde que ingressei no TCU, em 2009, atuo na área de controle externo do setor de infraestrutura rodoviária. Historicamente, a disciplina de Estatística foi contemplada nos editais para o cargo de AUFC em apenas duas oportunidades. No ano de 2009, foram 5 questões (P 1) para a área de Auditoria de Obras Públicas. No ano de 2008, foram 15 questões (P 2) para a área de Planejamento e Gestão. Pelo gráfico abaixo, podemos ver que, historicamente, o assunto mais cobrado é a estatística descritiva. Assuntos mais cobrados nas provas de Estatística do concurso do TCU 5% 5% 10% 9% 14% 57% estatística descritiva teste de hipóteses distribuições de probabilidade inferência estatística correlação linear regressão linear Sendo assim, a minha expectativa é que haja pelo menos cinco questões da nossa disciplina neste concurso. Agora, vamos a nossa Aula 0, para que vocês possam conhecer a metodologia que iremos aplicar neste curso. Futuros Colegas, boa sorte e vamos lá! Prof. Fábio Amorim 4 de 38

5 Aula 00 Estatística Descritiva (parte 1) Assunto Página 1- Introdução Tabelas estatísticas Gráficos Distribuição de frequências Questões comentadas Resumo da aula Lista de exercícios Gabarito 38 Prof. Fábio Amorim 5 de 38

6 1- Introdução Curso: Noções de Estatística p/ Auditor TCU A estatística descritiva é um ramo da Estatística que tem como objetivo sintetizar e descrever um conjunto de dados. Para tal, utilizam-se diversas ferramentas, como tabelas, gráficos e medidas, que descrevem e resumem esses dados. Vamos supor que você deseje saber alguma informação relacionada à contabilidade de um conjunto de empresas. Após um levantamento desses dados, você terá dezenas, centenas, milhares de números listados em sequência, como na figura abaixo: 0,318 0,778 0,815 0,838 0,093 0,748 0,255 0,670 0,415 0,484 0,882 0,203 0,986 0,792 0,432 0,579 0,182 0,955 0,243 0,203 0,350 0,101 0,792 0,055 0,923 0,009 0,091 0,906 0,740 0,298 0,411 0,706 0,038 0,123 0,890 0,814 0,614 0,069 0,209 0,604 0,073 0,773 0,787 0,806 0,645 0,317 0,594 0,608 0,185 0,746 0,767 0,021 0,837 0,788 0,821 0,212 0,924 0,498 0,008 0,867 0,438 0,167 0,141 0,809 0,153 0,731 0,906 0,449 0,004 0,300 0,824 0,399 0,093 0,947 0,426 0,575 0,838 0,023 0,275 0,427 0,151 0,566 0,507 0,174 0,728 0,218 0,396 0,957 0,818 0,129 0,633 0,275 0,340 0,953 0,833 0,233 0,309 0,831 0,128 0,680 0,110 0,188 0,319 0,274 0,692 0,910 0,889 0,696 0,794 0,730 0,527 0,695 0,999 0,762 0,073 0,861 0,776 0,532 0,666 0,941 0,925 0,105 0,452 0,498 0,167 0,290 0,138 0,393 0,329 0,819 0,965 0,248 0,443 0,141 0,371 0,750 0,152 0,640 0,932 0,619 0,556 0,481 0,428 0,805 0,176 0,334 0,143 0,893 0,860 0,774 0,747 0,022 0,599 0,810 0,233 0,850 0,974 0,705 0,684 0,695 0,828 0,840 0,828 0,289 0,930 0,204 0,192 0,813 0,432 0,873 0,645 0,896 0,732 0,653 0,021 0,956 0,150 0,878 0,943 0,484 0,112 0,022 0,503 0,701 0,094 0,496 0,874 0,652 0,263 0,979 0,702 0,796 0,073 0,325 0,288 0,735 0,586 0,369 0,491 0,865 0,313 0,552 0,834 0,618 0,029 0,884 0,657 0,721 0,047 0,805 0,392 0,641 0,099 0,536 0,036 0,271 0,485 0,189 0,188 0,982 0,964 0,183 0,096 0,595 0,282 0,695 0,751 0,319 0,458 0,496 0,725 0,751 0,762 0,282 0,346 0,796 0,274 0,359 0,998 0,594 0,335 0,448 0,545 0,121 0,932 0,548 0,202 0,195 0,874 0,900 0,641 0,471 0,001 0,839 0,412 0,122 0,344 0,899 0,214 0,949 0,162 0,623 0,762 0,201 0,986 0,947 0,759 0,172 0,540 0,219 0,797 0,286 0,992 0,324 0,277 0,789 0,498 0,784 0,656 0,080 0,080 0,718 0,743 0,390 0,568 0,406 0,285 0,156 0,907 0,089 0,146 0,320 0,342 0,260 0,365 0,367 0,885 0,172 0,771 0,722 0,838 0,647 0,305 0,120 0,237 0,949 0,349 0,902 0,595 0,422 0,813 0,417 0,653 0,581 0,915 0,284 0,507 0,598 0,758 0,448 0,519 0,252 0,268 0,664 0,456 0,399 0,747 0,284 0,550 0,556 0,546 0,397 0,256 0,046 0,604 0,097 0,222 0,468 0,939 0,320 0,205 0,693 0,883 0,993 0,773 0,982 0,275 0,110 0,025 0,392 0,040 0,784 0,849 0,539 0,878 0,090 0,013 0,065 0,449 0,201 0,130 0,348 0,312 0,137 0,235 0,350 0,729 0,685 0,622 0,491 0,900 0,178 0,456 0,870 0,985 0,236 0,159 0,906 0,478 0,010 0,224 0,003 0,203 0,668 0,496 0,061 0,732 0,506 0,476 0,864 0,634 0,454 0,146 0,051 0,764 0,369 0,226 0,035 0,115 0,944 0,558 0,409 0,100 0,984 0,792 0,220 0,585 0,906 0,961 0,373 0,063 0,701 0,313 0,516 0,047 0,485 0,576 0,621 0,270 0,069 0,803 0,955 0,026 0,526 0,561 Pergunta: é possível fazer algum tipo de avaliação a olho nu sobre esses dados? Muito difícil, não é mesmo? Sendo assim, o objetivo da estatística descritiva é sintetizar e ao mesmo tempo descrever os dados, com o objetivo de colhermos alguma informação sobre suas características. Na presente aula veremos as duas ferramentas utilizadas na estatística descritiva para alcançar esse objetivo: as tabelas e os gráficos. Na próxima aula, veremos as medidas. Antes, porém, vamos estabelecer uma classificação para as características estudadas pela estatística descritiva, as quais são chamadas de variáveis. Prof. Fábio Amorim 6 de 38

7 Variáveis Discretas e Contínuas Curso: Noções de Estatística p/ Auditor TCU Chamamos de variável toda característica que se pretende avaliar estatisticamente em um determinado conjunto de elementos (amostra ou população). Cada elemento desse conjunto terá uma medida para essa característica, seja ela expressa em termos numéricos ou não. Por exemplo, se fizermos uma pesquisa a respeito da altura dos brasileiros, entrevistando pessoas. A variável dessa pesquisa será o valor da altura dos brasileiros, que varia de entrevistado para entrevistado. Nesse contexto, existem dois tipos de variáveis na estatística descritiva: a quantitativa e a qualitativa. A variável quantitativa é aquela que pode ser expressa em termos numéricos (altura, peso, número de ocorrências, dias, tempo, etc.). Dividimos esse tipo de variável em duas espécies: as variáveis quantitativas discretas, e as quantitativas contínuas. As variáveis quantitativas discretas são aquelas expressas em números contáveis, por exemplo: número de passageiros por viagem, número de crianças por sala de aula, número de computadores por casa, etc. As variáveis quantitativas contínuas são aquelas mensuráveis em um intervalo, ou seja, podem assumir qualquer número (inteiro ou não) dentro de um intervalo de valores. Por exemplo: tempo para chegar ao trabalho, litros de água por habitação, distância percorrida, etc. Pela tabela abaixo, podemos observar a diferença: Aluno Número de Faltas Altura A 5 1,61m B 2 1,57m C 0 1,70m D 3 1,49m O número de faltas, por ser um elemento contável, é uma variável quantitativa discreta. A altura, por ser mensurável em um intervalo, é uma variável contínua. A variável qualitativa é aquela expressa não por valores, mas por um atributo. Por exemplo: nacionalidade, religião, cor dos olhos, etc. Dividimos esse tipo em duas espécies: variáveis qualitativas nominais e ordinais. Prof. Fábio Amorim 7 de 38

8 As variáveis qualitativas nominais são aquelas em que não se pode estabelecer uma ordem para elas. As variáveis qualitativas ordinais são aquelas em que é possível estabelecer uma ordem: marco temporal (século XIX, XX, XI), grau de escolaridade (1º, 2º, 3º grau), etc. A tabela abaixo evidencia a diferença entre essas classificações: Funcionário Cor dos Olhos Grau de Escolaridade A Azul 1 grau B Castanho 2 grau C Verde 2 grau D Castanho 3 grau A variável cor dos olhos é do tipo qualitativa nominal, pois os atributos elencados não são possíveis de ordenar. Já a variável grau de escolaridade é do tipo qualitativa ordinal, pois os atributos são possíveis de ordenar. Estabelecida essa classificação, vamos iniciar o estudo das ferramentas da estatística descritiva, a começar pelas tabelas. 2- Tabelas estatísticas A função das tabelas é demonstrar o comportamento de determinada característica (variável) da população ou amostra, de forma simples que possibilite ao leitor a compreensão dos dados. Em síntese, a tabela é dividida em cabeçalho, corpo e rodapé. Cabeçalho Corpo Rodapé O cabeçalho deve informar a variável que está sendo apresentada na tabela, incluindo o local e a época em que os dados foram obtidos. Prof. Fábio Amorim 8 de 38

9 O corpo da tabela é representado por linhas e colunas e é reservado para apresentar o conteúdo dos dados estudados. O rodapé é reservado para fazer observações sobre a tabela, bem como identificar a fonte das informações. Classificação As tabelas são também chamadas de séries, e podem ser classificadas nos seguintes tipos: cronológicas, geográficas, específicas ou distribuição de frequências. Série cronológica, temporal ou histórica: Os dados são dispostos de acordo com a variação da data de observação. Varia o tempo e permanece constante o fato e o local. Série geográfica: os dados são dispostos de acordo com a variação do local de observação. Varia o local e permanece constante a época e o fato. Série específica ou qualitativa: os dados são dispostos de acordo com a variação do grupo de observação. Varia o fato e permanece constante a época e o local. Prof. Fábio Amorim 9 de 38

10 Distribuição de frequências: Os dados são dispostos de acordo com o intervalo de observação. Permanece constante o fato, o local e a época. Prof. Fábio Amorim 10 de 38

11 3- Gráficos Curso: Noções de Estatística p/ Auditor TCU O objetivo dos gráficos na estatística descritiva é representar, visualmente, a evolução de determinada variável ou então, a relação entre os valores de uma mesma série. Vamos apresentar em seguida os principais gráficos utilizados. Gráfico em colunas: indicado para séries temporais, geográficas e específicas. Gráfico em barras: indicado para séries geográficas e específicas. Prof. Fábio Amorim 11 de 38

12 Gráfico em setores: indicado quando se deseja comparar proporções. Gráfico polar: indicado para séries temporais. Gráfico em linhas: indicado para séries temporais Prof. Fábio Amorim 12 de 38

13 4- Distribuição de frequências Curso: Noções de Estatística p/ Auditor TCU Como vimos anteriormente, a distribuição de frequências é um dos tipos de séries existentes na estatística descritiva. Porém, como é a série mais importante dentre as apresentadas, vamos detalhá-la um pouco mais neste capítulo. Nesta série, as variáveis são dispostas em intervalos préestabelecidos (chamados de classes), registrando-se, ainda, a frequência com que cada variável ocorre. A maioria dos autores (e o CESPE também) considera que a distribuição de frequências é exclusiva das variáveis quantitativas contínuas. Assim, vamos supor os seguintes dados. Eles se referem à distância de frenagem, em metros, de uma determinada amostra de veículos. 13,62, 14,69, 13,72, 14,25, 14,10, 14,47, 14,17, 13,71, 14,00, 13,51, 13,72, 13,88, 14,87, 14,43, 14,15, 14,00, 13,55, 14,57, 14,17, 13,52, 14,12, 13,58, 13,65, 14,72, 14,19, 14,13, 14,85, 13,54, 13,70, 14,88, 14,77 Percebam que olhando esses dados, dificilmente tiraremos grandes conclusões a respeito deles. É possível, no entanto, estabelecer o número de observações (frequência) para cada intervalo pré-estabelecido: Distância de frenagem (m) Frequência 13,50 13, ,75 14, ,00 14, ,25 14, ,50 14, ,75 15,00 4 Total 31 Essa tabela, ou série, com os intervalos pré-estabelecidos e as respectivas frequências encontradas é denominada de distribuição de frequências. É importante anotarmos, ainda, a definição de alguns elementos pertencentes à distribuição de frequências: Amplitude total (AT): é a diferença entre o maior e o menor valor encontrado na variável; Prof. Fábio Amorim 13 de 38

14 Classes: são as subdivisões em que as variáveis são dispostas na tabela; Número de Classes (K): é o número de classes de uma determinada distribuição de frequências. Podem ser adotados os seguintes critérios, a depender do tamanho da série (n): a) =5, para 5 b), para >5 c) =1+3,22 log (Fórmula de Sturges) Limites das Classes: são os extremos de uma classe (inferior e superior), e podem ser representados por: a) a b: inclui o limite inferior a e exclui limite superior b ; b) a b: exclui o limite inferior a e inclui limite superior b ; c) a b: inclui o limite inferior a e o limite superior b ; d) a b: exclui o limite inferior a e o limite superior b. Ponto Médio de uma Classe: é a média aritmética entre o limite inferior e o limite superior de uma classe. Amplitude das Classes (h): é a diferença entre o limite superior e o inferior de uma classe. Pode ser calculada a partir da divisão entre a amplitude total e o número de classes. No exemplo que trouxemos: Amplitude total (AT): =14,88 13,51=1,37 Número de Classes (K): a) 31=5,57 6 ou; b) =1+3,22 log=1+3,22 log31=5,80 6. (Fórmula de Sturges) Amplitude das Classes (h): h = ",#$ =0,23 h 0,25! % 4.1 Tipos de Frequências Existem alguns tipos de frequência que podem estar contidas em uma série de distribuição de frequências. Vamos ver cada uma delas: a) Frequência Absoluta (& ' ) É o número observações que aparecem em cada classe da distribuição. No exemplo anterior, a frequência inserida na distribuição é uma frequência absoluta. Prof. Fábio Amorim 14 de 38

15 Significa, por exemplo, que foram encontrados 11 elementos no intervalo 13,50 13,75. b) Frequência Absoluta Acumulada (& () ) A frequência absoluta acumulada de uma classe é a soma das frequências absolutas encontradas na distribuição, até o limite superior dessa classe. Pessoal, estejam atentos para o fato de que a frequência absoluta acumulada da última classe deve ser igual à soma das frequências absolutas de todas as classes, que retrata o número de observações da distribuição! c) Frequência Relativa (* ' ) Prof. Fábio Amorim 15 de 38

16 A frequência relativa de uma classe é a divisão entre a frequência absoluta dessa classe e a soma das frequências absolutas da distribuição. Pode ser expressa em número decimal ou em porcentagem. d) Frequência Relativa Acumulada (* () ) A frequência relativa acumulada de uma classe é a soma das frequências relativas até o limite superior dessa classe. Pode ser expressa em número decimal ou em porcentagem. Prof. Fábio Amorim 16 de 38

17 4.2 Gráficos da Distribuição de Frequências o Histograma É a principal representação gráfica de uma distribuição de frequências. É composto por retângulos justapostos, que representam as classes da distribuição. No eixo vertical, constam as frequências absolutas. 12 Frequências Absolutas ,25 13,50 13,75 14,00 14,25 14,50 14,75 15,00 Classes o Polígono de frequências É o gráfico que se obtém a partir da união, por linhas retas, dos pontos médios das bases superiores dos retângulos do histograma. 12 Frequências Absolutas Polígono de frequências 0 13,25 13,50 13,75 14,00 14,25 14,50 14,75 15,00 Classes o Polígono de frequências acumuladas (ou Ogiva) São gráficos elaborados a partir dos valores das frequências acumuladas, podendo ser as absolutas ou as relativas. É representada pela Prof. Fábio Amorim 17 de 38

18 união das retas que ligam as bases superiores dos retângulos, na posição dos limites superiores de cada classe. Frequências Acumuladas Polígono de frequências Acumuladas 13,25 13,50 13,75 14,00 14,25 14,50 14,75 15,00 Classes o Gráfico em escada: é outro tipo de representação gráfica que pode ser dada às frequências acumuladas, sejam elas absolutas ou relativas. Pessoal, dito isso, já vimos as principais tabelas e gráficos utilizados na estatística descritiva. Na próxima aula daremos continuidade ao estudo da estatística descritiva, conhecendo as principais medidas de posição e dispersão. Prof. Fábio Amorim 18 de 38

19 5- Questões Comentadas Curso: Noções de Estatística p/ Auditor TCU 1. (CESPE TCU Analista de Controle Externo 2008) Considerando a tabela acima, que apresenta a distribuição do quadro de colaboradores da CAIXA, em mil pessoas, no final dos anos de 2006 e 2007, julgue os itens seguintes. Se uma variável X registra a classificação de cada pessoa do quadro como funcionária, estagiária ou prestadora de serviço, então X é uma variável qualitativa. Conforme vimos nesta aula, a variável qualitativa é expressa por atributos (não por valores). Por exemplo: nacionalidade, religião, cor dos olhos, etc. Supondo que uma variável X registra a classificação de cada pessoa do quadro como funcionária, estagiária ou prestadora de serviço, podemos representar a variável X pela seguinte tabela: Pessoa do Quadro A B C D Classificação Funcionária Estagiária Prestadora de Serviço Estagiária Vê-se que a variável classificação registra os atributos dos dados, então, trata-se de uma variável qualitativa. Resposta, CERTO. 2. (CESPE TCU Analista de Controle Externo 2008) Uma agência de desenvolvimento urbano divulgou os dados apresentados na Prof. Fábio Amorim 19 de 38

20 tabela a seguir, acerca dos números de imóveis ofertados (X) e vendidos (Y) em determinado município, nos anos de 2005 a Considerando as informações do texto, julgue os itens subsequentes. A variável X forma uma série estatística denominada série temporal. Nas séries temporais (também chamadas de cronológicas ou históricas), as informações são retratadas de acordo com a data de observação. Varia o tempo (2005, 2006, 2007), e permanece constante o fato (número de imóveis ofertados e vendidos) e o local (município). Como a variável X retrata o número de imóveis ofertados nos anos de 2005, 2006 e 2007, podemos afirmar que X forma uma série temporal. Resposta, CERTO. 3. (CESPE TCU Analista de Controle Externo 2008) (continuação) Com respeito ao texto, considere que cada imóvel ofertado em determinado ano seja classificado como vendido ou não-vendido, e, a um imóvel e classificado como vendido seja atribuído um valor Z = 1, e, ao imóvel classificado como não-vendido, seja atribuído um valor Z = 0. Supondo-se que as classificações dos imóveis como vendido ou não-vendido em um dado ano possam ser consideradas como sendo realizações de uma amostragem aleatória simples, julgue os itens a seguir. A variável Z é classificada como variável qualitativa nominal, pois representa o atributo do imóvel como vendido ou não-vendido. Supondo que cada imóvel seja classificado como vendido e não vendido. Poderíamos representar essa variável da seguinte forma: Imóvel Situação A B C D Vendido Não vendido Não vendido Vendido Sendo assim, a variável retrata o atributo do imóvel (vendido e não vendido). Nesse caso, teríamos uma variável qualitativa. Prof. Fábio Amorim 20 de 38

21 No entanto, o enunciado supõe uma variável denominada Z, tal que Z=0 para imóveis não vendidos e Z=1 para imóveis vendidos : Imóvel Situação Z A Vendido 1 B Não vendido 0 C Não vendido 0 D Vendido 1 Esta nova variável Z será uma variável quantitativa, pois é expressa em termos numéricos. Resposta, ERRADO. 4. (CESPE Câmara dos Deputados Analista 2012) Os gráficos localizados à direita, na figura, denominam-se histogramas e são úteis para identificar a forma da distribuição dos valores. Nessa figura, eles indicam que as distribuições das despesas são aproximadamente simétricas. Os gráficos situados à direita, na figura, são chamados de gráficos box plots, e serão tema da nossa próxima aula! Os gráficos situados à esquerda é que são os histogramas, conforme visto nesta aula. Prof. Fábio Amorim 21 de 38

22 Os histogramas são a principal representação gráfica das distribuições de frequências. É composto por retângulos justapostos, que representam as classes da distribuição. No eixo vertical, constam as frequências absolutas. A simetria do histograma pode ser avaliada a partir de uma linha a ser traçada no centro da distribuição: Não Simétrico Aproximadamente Simétrico Resposta, ERRADO. 5. (CESPE EBC Analista 2011) Com base nos dados do quadro acima, em que se demonstra a distribuição de frequência das receitas de todas as empresas de uma cidade, julgue os itens a seguir. A frequência acumulada relativa das empresas que estão nas classes de 1 a 3 é de 85%. A tabela fornecida pelo enunciado indica as frequências absolutas de cada classe da distribuição. A partir desses valores, podemos calcular as frequências acumuladas e, depois, as frequências acumuladas relativas, conforme a tabela a seguir. Prof. Fábio Amorim 22 de 38

23 Classes Receitas (em R$) Curso: Noções de Estatística p/ Auditor TCU Frequência absoluta Frequência absoluta acumulada Frequência relativa acumulada ,7% ,7% ,0% ,0% ,0% Conforme destacado, nas classes 1, 2 e 3, a frequência relativa acumulada é igual a 85%. Resposta, CERTO. 6. (CESPE SERPRO Analista 2010) Certa empresa, em determinado mês, realizou levantamento acerca da quantidade diária de acessos simultâneos ao seu sistema, cujo resultado é mostrado na figura acima. A partir das informações apresentadas nessa figura, e considerando que a distribuição da quantidade diária de acessos simultâneos é representada pela variável X, julgue os itens seguintes. O mês em que esse levantamento foi realizado possui mais de 30 dias. O gráfico demonstra o número de dias em que foram verificadas determinadas quantidades de acessos simultâneos ao sistema durante o mês. Transformando esse gráfico em uma tabela, podemos visualizar o seguinte: Quantidade Frequência de acessos Absoluta Total 31 Prof. Fábio Amorim 23 de 38

24 Assim, percebe-se que o levantamento foi realizado em 31 dias, pela soma das frequências absolutas da distribuição. Resposta, CERTO. 7. (CESPE SERPRO Analista 2010) (continuação) É correto classificar a variável X como uma variável quantitativa ordinal. A variável denominada Quantidade de Acessos é uma variável quantitativa, pois pode ser expressa em termos numéricos. A partir do indicado no gráfico, podemos afirmar, ainda, que é uma variável quantitativa discreta, pois a quantidade de acessos é um número contável. Conforme vimos nesta aula, as variáveis ordinais são relacionadas com as variáveis qualitativas. Resposta, ERRADO. 8. (CESPE STM Analista Judiciário 2010) Um histograma é um gráfico que representa a dispersão tanto de variáveis discretas quanto de contínuas. O histograma é um gráfico que representa uma série de distribuição de frequências. Conforme vimos nesta aula, a maioria dos autores considera que a distribuição de frequências é exclusiva das variáveis quantitativas contínuas. Resposta, ERRADO. 9. (CESPE STM Analista Judiciário 2010) O gráfico de setores, quando descreve a distribuição de uma variável quantitativa, pode ser usado para se obter uma estimativa da média amostral. O gráfico de setores, também conhecida como gráfico de pizza, é indicado quando se deseja comparar proporções. Normalmente, utilizamos para avaliar variáveis qualitativas, como no exemplo abaixo. Prof. Fábio Amorim 24 de 38

25 Entretanto, descrevendo variáveis quantitativas, podemos ter o seguinte exemplo: Quantidade hospitais por Bairro do Município X 50% 17% 33% A média pode ser obtida a partir das informações constantesno gráfico (o cálculo das médias será abordado na próxima aula): +é-./ 1017%2033%3050% +é-./ 2,33 Portanto, o gráfico pode ser utilizado para se obter uma estimativa da média amostral. Resposta, CERTO. Prof. Fábio Amorim 25 de 38

26 10. (CESPE STM Analista Judiciário 2010) Curso: Noções de Estatística p/ Auditor TCU A partir do histograma mostrado na figura abaixo, é correto inferir que a distribuição da variável X é simétrica. Analisando o histograma, ao traçarmos uma linha vertical no centro da distribuição, podemos perceber que não se trata de um gráfico simétrico: Um gráfico simétrico, de fato, pode ser observado no histograma abaixo: Resposta, ERRADO. Prof. Fábio Amorim 26 de 38

27 11. (CESPE TRE/ES Analista Judiciário 2010) Curso: Noções de Estatística p/ Auditor TCU Com base na tabela acima, referente às eleições de 2010, que apresenta a quantidade de candidatos para os cargos de presidente da República, governador de estado, senador, deputado federal e deputado estadual/distrital, bem como a quantidade de candidatos considerados aptos pela justiça eleitoral e o total de eleitos para cada cargo pretendido, julgue os itens a seguir. O histograma é a representação gráfica ideal para a distribuição de frequências do número de candidatos aptos segundo o cargo pretendido. Conforme vimos nesta aula, o histograma é um gráfico indicado para demonstrar a série de distribuição de frequências. Por sua vez, essa série é, conforme a maioria dos autores, exclusiva das variáveis quantitativas contínuas. Todavia, a variável número de candidatos aptos é classificada como quantitativa discreta, pois é expressa por números contáveis. Portanto, o histograma não é a representação gráfica ideal para essa variável. Resposta, ERRADO. 12. (CESPE TRE/ES Analista Judiciário 2010) (continuação) Considerando-se a representação das quantidades de eleitos para cada cargo em um gráfico de pizza, a fatia desse gráfico correspondente ao cargo de deputado federal terá ângulo superior a 120. Avaliando-se as quantidades de eleitos para cada cargo, no caso dos deputados federais, temos 513 eleitos, em um total de Ou seja, os deputados federais representam 30,9% (100% 2"# ) do total de "%23 eleitos. Em um gráfico de setores (ou gráfico de pizza) a quantidade total (100%) é representada por um círculo de 360. Prof. Fábio Amorim 27 de 38

28 Sendo assim, para calcularmos a representatividade dos deputados federais eleitos, basta efetuarmos uma regra de três: 100% ,9% X 4 30,9% % 111 Portanto, a fatia desse correspondente ao cargo de deputado federal terá ângulo inferior a 120. Resposta, ERRADO. 13. (CESPE TRE/ES Analista Judiciário 2010) (continuação) A variável cargo classifica-se como uma variável qualitativa ordinal. A variável cargo é qualitativa porque não é expressa por valores, mas sim, por atributos (presidente, governador, etc.). Além disso, é uma variável qualitativa ordinal, pois é possível estabelecer uma ordem para as classes, com base no número de candidatos, conforme indicado no enunciado. Resposta, CERTO. 14. (CESPE TRE/ES Analista Judiciário 2010) A tabela acima apresenta uma distribuição hipotética das quantidades de eleitores que não votaram no segundo turno da eleição para presidente da República bem como os números de municípios em que essas quantidades ocorreram. Com base nessa tabela, julgue os itens seguintes, relativos à análise exploratória de dados. Na tabela de frequências, o uso de intervalos de classe permite concluir que a variável em questão é contínua. Prof. Fábio Amorim 28 de 38

29 O uso de intervalo de classes serve para delimitarmos a abrangência de cada classe na distribuição. Todavia, estabelecer intervalos de classes não está relacionado diretamente com o tipo de variável quantitativa (discreta ou contínua). Ou seja, é possível estabelecer intervalos de classes tanto para variáveis discretas quanto em variáveis contínuas. Quando estabelecido em variáveis contínuas, dá-se o nome de distribuição de frequências. Resposta, ERRADO. 15. (CESPE ECT Analista 2011) Considere que determinado fabricante classifique suas embalagens de acordo com a capacidade de armazenamento unitário (c), em kg, de determinado produto por exemplo, a embalagem do tipo 10 permite armazenar mais de 9 e até 10 kg do produto. Com base nessas informações e na tabela acima, que mostra a distribuição dos dez tipos de embalagens e a demanda observada em março de 2011 para cada tipo, julgue os itens que se seguem. O valor máximo da variável capacidade foi igual a 20. O valor máximo demandado foi para a classe cuja capacidade está entre 9 e 10 kg. Resposta, ERRADO. 16. (CESPE ECT Analista 2011) (continuação) O gráfico de barras verticais é adequado para representar a distribuição da variável capacidade O gráfico de barras é indicado para séries geográficas e específicas. Prof. Fábio Amorim 29 de 38

30 No enunciado, temos uma série de distribuição de frequências, cujo gráfico adequado é o histograma. Resposta, ERRADO. 17. (CESPE INPI Analista 2012) Considerando os dados acima, que representam a quantidade de doutores presentes em pesquisas que geraram patentes industriais, julgue os próximos itens. No total, foram analisadas 20 pesquisas. O número total de pesquisas é obtido a partir da soma das frequências absolutas, como demonstrado na tabela a seguir: Resposta, CERTO. Quantidades Frequência de Doutores Absoluta Total (CESPE INPI Analista 2012) (continuação) O nível de mensuração da variável é qualitativo ordinal. A variável quantidade de doutores presentes em pesquisas que geraram patentes industriais deve ser classificada como quantitativa, pois é expressa por números ( ). Resposta, ERRADO. 19. (CESPE INPI Analista 2012) (continuação) O gráfico adequado, para esse tipo de dado, é o do tipo haste. O gráfico tipo haste é adequado para apresentar variáveis quantitativas discretas: Prof. Fábio Amorim 30 de 38

31 6 Quantidade de doutores presentes em pesquisas que geram patentes industriais Frequência Quantidades Resposta, CERTO. 20. (CESPE INPI Analista 2012) (continuação) Mais de 25% das pesquisas apresentam 3 ou mais doutores como seus componentes. Para avaliarmos essa questão, devemos encontrar as frequências relativas acumuladas: Quantidades Frequência Absoluta Frequência Acumulada Frequência Relativa Acumulada % % % % % Total % Assim, o número de pesquisas que apresentam menos de 3 doutores é igual a 60%. Por conseguinte, o número de pesquisas que apresentam 3 ou mais doutores é igual a 100% 60%=40% (/.8 9:; 25%) Resposta, CERTO. Prof. Fábio Amorim 31 de 38

32 6- Resumo da Aula Curso: Noções de Estatística p/ Auditor TCU Variável Quantitativa (números) Discreta (números contáveis) Contínua (números não contáveis) Variável Qualitativa (atributos) Nominal (atributos não ordenáveis) Ordinal (atributos ordenáveis) Estatística Descritiva Tabelas Série Temporal (varia o tempo) Série Geográfica(varia o local) Série Específica (varia o fato) Distribuição de Frequências (intervalo de observação) Estatística Descritiva Gráficos Colunas (séries temporais, geográficas e específicas) Barras (séries geográficas e específicas) Setores (avaliar proporções) Polar (séries temporais) Linhas (séries temporais) Histograma (distribuição de frequências) Prof. Fábio Amorim 32 de 38

33 7- Lista de Exercícios Curso: Noções de Estatística p/ Auditor TCU 1. (CESPE TCU Analista de Controle Externo 2008) Considerando a tabela acima, que apresenta a distribuição do quadro de colaboradores da CAIXA, em mil pessoas, no final dos anos de 2006 e 2007, julgue os itens seguintes. Se uma variável X registra a classificação de cada pessoa do quadro como funcionária, estagiária ou prestadora de serviço, então X é uma variável qualitativa. 2. (CESPE TCU Analista de Controle Externo 2008) Uma agência de desenvolvimento urbano divulgou os dados apresentados na tabela a seguir, acerca dos números de imóveis ofertados (X) e vendidos (Y) em determinado município, nos anos de 2005 a Considerando as informações do texto, julgue os itens subsequentes. A variável X forma uma série estatística denominada série temporal. 3. (CESPE TCU Analista de Controle Externo 2008) (continuação) Com respeito ao texto, considere que cada imóvel ofertado em determinado ano seja classificado como vendido ou não-vendido, e, a um imóvel e classificado como vendido seja atribuído um valor Z = 1, e, ao imóvel classificado como não-vendido, seja atribuído um valor Z = 0. Supondo-se que as classificações dos imóveis como vendido ou não-vendido em um dado ano possam ser consideradas como sendo realizações de uma amostragem aleatória simples, julgue os itens a seguir. Prof. Fábio Amorim 33 de 38

34 A variável Z é classificada como variável qualitativa nominal, pois representa o atributo do imóvel como vendido ou não-vendido. 4. (CESPE Câmara dos Deputados Analista 2012) Os gráficos localizados à direita, na figura, denominam-se histogramas e são úteis para identificar a forma da distribuição dos valores. Nessa figura, eles indicam que as distribuições das despesas são aproximadamente simétricas. 5. (CESPE EBC Analista 2011) Com base nos dados do quadro acima, em que se demonstra a distribuição de frequência das receitas de todas as empresas de uma cidade, julgue os itens a seguir. A frequência acumulada relativa das empresas que estão nas classes de 1 a 3 é de 85%. Prof. Fábio Amorim 34 de 38

35 6. (CESPE SERPRO Analista 2010) Curso: Noções de Estatística p/ Auditor TCU Certa empresa, em determinado mês, realizou levantamento acerca da quantidade diária de acessos simultâneos ao seu sistema, cujo resultado é mostrado na figura acima. A partir das informações apresentadas nessa figura, e considerando que a distribuição da quantidade diária de acessos simultâneos é representada pela variável X, julgue os itens seguintes. O mês em que esse levantamento foi realizado possui mais de 30 dias. 7. (CESPE SERPRO Analista 2010) (continuação) É correto classificar a variável X como uma variável quantitativa ordinal. 8. (CESPE STM Analista Judiciário 2010) Um histograma é um gráfico que representa a dispersão tanto de variáveis discretas quanto de contínuas. 9. (CESPE STM Analista Judiciário 2010) O gráfico de setores, quando descreve a distribuição de uma variável quantitativa, pode ser usado para se obter uma estimativa da média amostral. 10. (CESPE STM Analista Judiciário 2010) A partir do histograma mostrado na figura abaixo, é correto inferir que a distribuição da variável X é simétrica. Prof. Fábio Amorim 35 de 38

36 11. (CESPE TRE/ES Analista Judiciário 2010) Com base na tabela acima, referente às eleições de 2010, que apresenta a quantidade de candidatos para os cargos de presidente da República, governador de estado, senador, deputado federal e deputado estadual/distrital, bem como a quantidade de candidatos considerados aptos pela justiça eleitoral e o total de eleitos para cada cargo pretendido, julgue os itens a seguir. O histograma é a representação gráfica ideal para a distribuição de frequências do número de candidatos aptos segundo o cargo pretendido. 12. (CESPE TRE/ES Analista Judiciário 2010) (continuação) Considerando-se a representação das quantidades de eleitos para cada cargo em um gráfico de pizza, a fatia desse gráfico correspondente ao cargo de deputado federal terá ângulo superior a (CESPE TRE/ES Analista Judiciário 2010) (continuação) A variável cargo classifica-se como uma variável qualitativa ordinal. 14. (CESPE TRE/ES Analista Judiciário 2010) A tabela acima apresenta uma distribuição hipotética das quantidades de eleitores que não votaram no segundo turno da eleição para presidente da República bem como os números de municípios em que essas quantidades ocorreram. Com base nessa tabela, julgue os itens seguintes, relativos à análise exploratória de dados. Prof. Fábio Amorim 36 de 38

37 Na tabela de frequências, o uso de intervalos de classe permite concluir que a variável em questão é contínua. 15. (CESPE ECT Analista 2011) Considere que determinado fabricante classifique suas embalagens de acordo com a capacidade de armazenamento unitário (c), em kg, de determinado produto por exemplo, a embalagem do tipo 10 permite armazenar mais de 9 e até 10 kg do produto. Com base nessas informações e na tabela acima, que mostra a distribuição dos dez tipos de embalagens e a demanda observada em março de 2011 para cada tipo, julgue os itens que se seguem. O valor máximo da variável capacidade foi igual a (CESPE ECT Analista 2011) (continuação) O gráfico de barras verticais é adequado para representar a distribuição da variável capacidade 17. (CESPE INPI Analista 2012) Considerando os dados acima, que representam a quantidade de doutores presentes em pesquisas que geraram patentes industriais, julgue os próximos itens. No total, foram analisadas 20 pesquisas. 18. (CESPE INPI Analista 2012) (continuação) O nível de mensuração da variável é qualitativo ordinal. 19. (CESPE INPI Analista 2012) (continuação) O gráfico adequado, para esse tipo de dado, é o do tipo haste. Prof. Fábio Amorim 37 de 38

38 20. (CESPE INPI Analista 2012) (continuação) Mais de 25% das pesquisas apresentam 3 ou mais doutores como seus componentes. 9- Gabarito 1 C 11 E 2 C 12 E 3 E 13 C 4 E 14 E 5 C 15 E 6 C 16 E 7 E 17 C 8 E 18 E 9 C 19 C 10 E 20 C Prof. Fábio Amorim 38 de 38

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