UFPB PRG X ENCONTRO DE INICIAÇÃO À DOCÊNCIA

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1 4CCENDMMT03 ABELHA: GEOMETRIA DOS ALVÉOLOS Thiago Pereira Rique (1), Jorge Costa Duarte Filho (3) Centro de Ciências Exatas e da Natureza/Departamento de Matemática/Monitoria Resumo Este trabalho tem por objetivo substituir a visão ingênua de uma realidade por uma atitude crítica e mais abrangente, utilizando a linguagem e conceitos de matemática. Apresenta um estudo sistemático do mosaico de um favo, bem como da configuração dos alvéolos, selecionando alguns tópicos relacionados com sua geometria. Abrange também como as abelhas escolhem o ângulo ideal dos prismas que formam os alvéolos de modo que, para um mesmo volume, se gaste uma menor quantidade possível de cera. Destaca a importância do cálculo diferencial, pois é através dos conceitos de pontos críticos (máximos e mínimos) que esse problema será solucionado, como veremos adiante. Palavras chave Geometria dos alvéolos, mosaico de um favo, pavimentação de um plano, ângulo ideal, minimização da quantidade de cera, simetria do alvéolo. Introdução Este tema foi objeto de estudo de um grupo de professores do ensino médio, no curso de Especialização realizado em Guarapuava (PR) em Alguns modelos obtidos na ocasião passaram a compor o folclore de Modelagem Matemática e foram apresentados em cursos e congressos de Educação Matemática como exemplos típicos desta estratégia de ensino aprendizagem. Em relação à modelagem propriamente dita, várias questões foram levantadas: dança das abelhas, viscosidade do mel, posicionamento das colméias, etc. Este trabalho apresenta um tipo distinto de modelo: a geometria dos alvéolos. Geometria dos alvéolos As abelhas constroem suas casas ou favos na forma de recipientes aglomerados de cera que se propagam um ao lado do outro; Os recipientes, denominados alvéolos, têm a forma de um prisma hexagonal regular (faces laterais iguais e ângulos entre as faces iguais) aberto numa extremidade e formando um ápice triédrico na outra face. Em uma colméia, cada indivíduo executa uma função específica e todo trabalho é orientado segundo a lei natural do mínimo esforço e máximo rendimento. No caso das abelhas esta lei é amplamente utilizada, como veremos no exemplo sobre construção dos alvéolos. Em relação à construção de um favo foram selecionadas algumas questões envolvendo sua geometria. Mosaico de um favo O corte transversal de um favo apresenta a configuração de um mosaico formado pela repetição de hexágonos regulares. Figura 1: Esquema de um favo. (1) Monitor(a)Bolsista; (2) Monitor(a) Voluntário(a); (3) Prof(a) Orientador(a)/Coordenador(a);

2 A pavimentação de um plano (mosaico) consiste em cobri lo com uma mesma figura (molde), sem deixar espaços vazios ou tendo figuras interseccionadas. Se quisermos um mosaico formado pela propagação de um só tipo de polígono regular (lados iguais e ângulos internos iguais), devemos escolher tal polígono de modo que seu ângulo interno Θ seja um divisor de 360º (para que haja um encaixe ente os polígonos). Quadrado Θ=90º Triângulo Eqüilátero Θ=60º Hexágono Θ=120º Figura 2: Possíveis configurações para um favo. Todo polígono regular pode ser inscrito em um círculo de modo que seus lados sejam cordas deste círculo. Deste modo, dado um polígono regular de n lados, podemos sempre dividi lo em n triângulos isósceles. Cada triângulo é formado considerando o lado do polígono como base e tendo vértice no centro do círculo que circunscreve o polígono. Em cada triângulo, v = 360º/n (ângulo do vértice) e os ângulos iguais valem α = Θ/2, onde Θ é o ângulo interno do polígono. Figura 3: Polígonos regulares. Da figura acima, temos o seguinte para os triângulos isósceles formados: α + α + v = 180º Vimos que α = Θ/2 => Θ = 2α. Logo, Θ + v = 180º => Θ = 180º v A relação entre os ângulos Θ e v nos leva a: α =Θ = 180 v, (1) 2 2,, α = 90(n 2), com 360/v = n Є N (2) n Sabemos que um polígono regular pode se propagar, formando um mosaico, se 360/Θ for um número inteiro positivo. Como Θ = 2α, usando (1) obtemos: 360 = 360n = 2n com n Є N, n 3 (3) Θ 180(n 2) n 2 Assim, um polígono regular de n lados pode formar um mosaico no plano se, e somente se, 2n / n 2 for um número inteiro positivo, divisor de 360, com n 3. Temos que Θ <

3 180º, pois é o ângulo interno. Sabemos que o polígono regular de menor número de lados é o triângulo eqüilátero (n = 3). Neste caso, usando (3) temos: Como Θ = 360(3 Θ cresce 2) = quando 60 n cresce, então 60 Θ < 180. Assim, os valores possíveis para Θ são 60, 72, 90 e Para Θ = 72º, temos 360 = 5 = 2n => 2n = 5n 10 => n = 10 Є N 72 n 2 3 Isso significa que não podemos ter um mosaico do plano formado somente de pentágonos regulares. Para Θ = 90º => n = 4 (quadrado) ; Para Θ = 120º => n = 6 (hexágono) ; Logo, só podemos ter 3 polígonos para pavimentar o plano: triângulo eqüilátero, quadrado e hexágono. Curiosidade Sempre que o apótema valer 2 u (u unidade com que é medido o lado) o hexágono terá sua área A em u 2 igual ao seu perímetro p em u. Senão vejamos: Seja l o lado do hexágono e a seu apótema. Cada triângulo isósceles (neste caso eqüilátero) tem área igual a A 3 = la / 2. Logo, área do hexágono será A = 6la / 2 = 3la. Para que tenhamos A = p, 3la = 6l, donde a = 2. Este resultado particular pode ser generalizado na seguinte proposição: Dado qualquer polígono regular, o valor numérico do seu perímetro coincide com o da sua área se, e somente se, seu apótema vale 2. De fato, seja l o lado do polígono regular de n lados. Podemos dividir o polígono em n triângulos isósceles de base l. O apótema será a altura destes triângulos (fig.4). A área de cada triângulo vale la /2. Assim, A = nla / 2 e p = nl. A = p nla / 2 = nl a = 2 (n 3 e l > 0) Geometria dos alvéolos Figura 4: Construção de um polígono regular. Cada alvéolo é projetado de maneira a se encaixar perfeitamente com outros alvéolos paralelos. Em cada extremidade de um ápice triédrico são encaixados 3 outros alvéolos. Figura 5: Parte de um favo (encaixe de alvéolos).

4 As abelhas usam cera para construir o favo procurando economizar material para obter o mesmo volume. Considerando um alvéolo (prisma de base hexagonal) como a união de 3 prismas de base losangonal com ângulos internos de 60º e 120º, podemos determinar o ângulo ideal destes prismas de modo que, para um mesmo volume, se gaste uma menor quantidade possível de cera. A minimização da quantidade de cera se reduz ao problema matemático de se encontrar o valor do ângulo Θ = OVB (fig. 6) de modo que a soma das áreas das figuras abba, bccb e ABCV seja a menor possível. Devido à simetria existente num alvéolo, os trapézios abba e cbbc possuem a mesma área. Vamos encontrar um modelo que relacione as áreas das figuras abba e ABCV com o ângulo Θ. a. Cálculo da área do trapézio abba (figura 6) A t = ab(aa + bb) 2 onde ab = l e aa = h são valores dados. Figura 6: Alvéolo (vista tridimensional). Da figura acima, temos que bh = h e bh = bb + BH. Agora BH = VH. Do triângulo VHD tiramos: cotgθ = VH ; mas HD = Ob = l, donde BH = HDcotgΘ = l cotgθ HD Logo, a área do trapézio A t é dada por A t = l[h + (h l cotgθ)] = lh l 2 cotgθ (4) b. Cálculo da área do losango ABCV CD é altura do triângulo eqüilátero de lado l, logo CD = ( 3/2)l (5)

5 Ainda, de VHD tiramos que A área do triângulo VCD é pois senθ = HD / VD => VD = l / 2senΘ (6) VD CD = 1 l 3 l = 3l 2 (7) Como o losango é formado por 4 triângulos iguais a VCD, temos que sua área será: senθ 2 8 senθ A l = 3l 2 / 2senΘ (8) A área total de A um = 6A alvéolo t + 3A(aberto) l = 6lh é 3 pois: l 2 cotgθ + 3 3l 2 (9), ou 2 2senΘ A = 6lh + 3l 2 ( 3 cotgθ) (10) 2 senθ Esta área, como função de Θ, terá o menor valor quando T(Θ) for mínimo, para 0º < Θ < 90º, com T(Θ) dado por: T(Θ) = 3 cotgθ = 3 cosθ > 0 (11) senθ senθ Podemos calcular alguns valores de T, usando uma calculadora, e obtemos a seguinte tabela: Θ T(Θ) 10º º º º º º º º º Observamos que o menor valor de T deve ocorrer quando Θ está entre 50º e 60º. O ângulo médio escolhido pelas abelhas está bem próximo do valor ótimo de Θ que é 54.7º. Podemos obter o valor de Θ que minimiza a função A(Θ) da seguinte forma: Seja A(Θ) = 6lh + 3l 2 ( 3 cotgθ) (12) 2 senθ Sabemos que se Θ = Θ* é um ponto de mínimo para A(Θ) então a derivada se anula no ponto Θ*. Temos que, da = 3l 2 ( 1 3cosΘ) (13) dθ 2 sen 2 Θ sen 2 Θ

6 Logo, da = 0 dθ se, e somente se, 1/sen 2 Θ = 3cosΘ/ sen 2 Θ => 1 = 3cosΘ => cosθ = 1/ 3 e, portanto, da(θ)/dθ = 0, para 60 Θ 90, quando Θ = Θ* = º. Conclusão Para a solução do problema, podemos ver que a minimização da quantidade de material estava relacionada ao problema matemático de se encontrar o ângulo ideal dos prismas que formam os alvéolos. Percebemos, portanto, a importância do cálculo diferencial para a abordagem de questões que, muitas vezes, passam por nós sem um olhar crítico e matemático, como é o caso das abelhas. p.215. Referência bibliográfica: BASSANEZI, Rodney Carlos. Modelagem Matemática.