Progressão Aritmética

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1 Progressão Aritmética 1. (G1 - cftrj 14) Disponha os números 1,,, 4,, 6, 7, 8 e 9 nas casas do tabuleiro abaixo de modo que: o número 9 ocupe a casa central, os números da primeira linha sejam todos ímpares e a soma dos números de cada linha e cada coluna seja sempre a mesma. 4 1 a) Dada a progressão harmônica,,,..., 9 encontre o seu sexto termo. b) Sejam a, b e c termos consecutivos de uma ac progressão harmônica. Verifique que b =. a+ c. (Uneb 14) Evite o excesso de álcool, pois ele aumenta os efeitos do estrogênio. Algumas pesquisas sugerem que beber apenas uma unidade de álcool por dia aumenta o risco de câncer de mama em 11%, aumentando para 4% com duas unidades e 8% com três unidades diárias. (BREWER. 1, p. 7).. (Espm 14) Dois irmãos começaram juntos a guardar dinheiro para uma viagem. Um deles guardou R$, por mês e o outro começou com R$, no primeiro mês, depois R$1, no segundo mês, R$1, no terceiro e assim por diante, sempre aumentando R$, em relação ao mês anterior. Ao final de um certo número de meses, os dois tinham guardado exatamente a mesma quantia. Esse número de meses corresponde a: a) pouco mais de um ano e meio. b) pouco menos de um ano e meio. c) pouco mais de dois anos. d) pouco menos de um ano. e) exatamente um ano e dois meses.. (Uece 14) Se a soma de k inteiros consecutivos é p, então o maior destes números em função de p e de k é a) p k + 1. k b) p + k. k c) p k k d) p k + +. k 4. (Unicamp 14) Dizemos que uma sequência de números reais não nulos (a 1,a,a,a 4,...) é uma progressão harmônica se a sequência dos inversos,,,,... é uma progressão a1 a a a4 aritmética (PA). Se as diferenças entre os percentuais que indicam o risco de câncer de mama informados no texto crescessem formando uma progressão aritmética, à medida que o número de unidades de álcool ingeridas por dia aumentassem, então uma pessoa que ingerisse cinco unidades de álcool, diariamente, teria um risco de desenvolver câncer de mama de a) 6%. b) 6%. c) 67%. d) 69%. e) 7%. 6. (Uem 14) Em relação à sequência infinita de números inteiros, cujo n-ésimo termo é obtido pela fórmula an = n+ 6, para todo inteiro positivo n, assinale o que for correto. 1) Essa sequência é uma progressão aritmética de razão. ) Todos os termos dessa sequência são múltiplos de. 4) a4 = 18. 8) Para todo inteiro positivo n, o termo a n divide o termo a n+. 16) Para todo inteiro n >, vale a seguinte n + 1n igualdade a1+ a an 1+ a n =. 7. (Fgv 1) Um anfiteatro tem 1 fileiras de cadeiras. Na 1ª fileira há 1 lugares, na ª há 1, na ª há 14 e assim por diante (isto é, cada fileira, a partir da segunda, tem duas cadeiras a mais que a da frente). O número total de cadeiras é a) b) c) 4 d) 6 Página 1

2 e) 8 8. (Fgv 1) Observe a tabela com duas sequências. Sequência 1 Sequência 1.º termo.º termo.º termo 4.º termo Sendo S n a soma dos n primeiros termos da sequência 1, e b n o n-ésimo termo da sequência, então, S n = b n para n igual a 1 ou a) 6. b) 9. c) 8. d) 4. e) (Uepg 1) Um total de n bolas está distribuído em caixas, de modo que a primeira caixa contém bolas, a segunda caixa contém 6 bolas, a terceira caixa contém 9 bolas e assim sucessivamente, formando uma P.A. Sobre o número n de bolas, assinale o que for correto. 1) n é um múltiplo de 6. ) n > 6. 4) n é um múltiplo de 4. 8) n < (Mackenzie 1) Em uma progressão aritmética o primeiro termo é e a razão é 4. Nessa progressão, a média aritmética ponderada entre o terceiro termo, com peso, e 1% da soma dos cincos primeiros termos, com peso, é a) 1 b) c) d) 7 e) (Ufmg 1) Dentro dos bloquinhos que formam uma pirâmide foram escritos os números naturais, conforme ilustrado na figura abaixo, de forma que: na primeira linha da pirâmide aparece um número: 1; na segunda linha da pirâmide aparecem dois números: e ; na terceira linha da pirâmide aparecem três números: 4, e 6; na quarta linha da pirâmide aparecem quatro números: 7, 8, 9 e 1, e assim sucessivamente. Considerando essas informações, a) DETERMINE quantos bloquinhos são necessários para construir as 1 primeiras linhas da pirâmide. b) DETERMINE o último número escrito na trigésima linha da pirâmide. c) DETERMINE a soma de todos os números escritos na trigésima linha da pirâmide. Progressão Geométrica 1. (Espm 14) A figura abaixo mostra a trajetória de um móvel a partir de um ponto A, com BC= CD, DE= EF, FG= GH, HI= IJ e assim por diante. Considerando infinita a quantidade desses segmentos, a distância horizontal AP alcançada por esse móvel será de: a) 6 m b) 7 m c) 8 m d) 96 m e) 1 m. (Uel 14) Leia o texto a seguir. Van Gogh (18-189) vendeu um único quadro em vida a seu irmão, por 4 francos. Nas palavras do artista: Não posso evitar os fatos de que meus quadros não sejam vendáveis. Mas virá o tempo em que as pessoas verão que eles valem mais que o preço das tintas. (Disponível em: < df>. Acesso em: out. 1.) Página

3 A mercantilização da cultura impulsionou o mercado de artes nos grandes centros urbanos. Hoje, o quadro Jardim das Flores, de Van Gogh, é avaliado em aproximadamente 84 milhões de dólares. Supondo que há 61 anos essa obra custasse 84 dólares e que sua valorização até 1 ocorra segundo uma PG, assinale a alternativa que apresenta, corretamente, o valor dessa obra em, considerando que sua valorização continue conforme a mesma PG. 9 a) 1,68 1 dólares. b) c) d) e) 9 8,4 1 dólares. 7 84, 1 dólares , 1 dólares. 7 4, 1 dólares.. (Ufsm 1) A tabela mostra o número de pessoas que procuraram serviços de saúde, segundo o local, numa determinada cidade. Local \ Ano Postos e Centros de Saúde Clínicas Privadas Clínicas Odontológi cas Supõe-se que esse comportamento é mantido nos próximos anos. Partindo dos dados, fazem-se as seguintes afirmações: I. O número de pessoas que procuraram Postos e Centros de Saúde cresceu em progressão geométrica de razão.. II. O total de pessoas que procuraram atendimento em Clínicas Privadas de 1 até 11 é igual a 11.. III. Em 11, o número de atendimentos em Clínicas Odontológicas é igual a 87. Está(ão) correta(s) a) apenas I. b) apenas II. c) apenas I e III. d) apenas II e III. e) I, II e III. 4. (Uem 1) Seja r um número inteiro positivo fixado. Considere a sequência numérica definida a por { 1 = r e assinale o que for correto. an+ 1= an + a1 1) A soma dos primeiros termos da sequência (a 1,a,a,a 4,a, K ) é r. ) A sequência (a 1,a,a 4,a 8,a 16, K ) é uma progressão geométrica. 4) A sequência (a 1,a,a,a 7,a 9, K ) é uma progressão aritmética. 8) O vigésimo termo da sequência (a 1,a,a 4,a 8,a 16, K ) é r. 16) A soma dos primeiros termos da sequência (a,a 4,a 6,a 8,a 1, K ) é 9r.. (Fgv 1) Um capital A de R$1., é aplicado a juros compostos, à taxa de % ao ano; simultaneamente, um outro capital B, de R$.,, também é aplicado a juros compostos, à taxa de 68% ao ano. Utilize a tabela abaixo para resolver. x lo,,,,,,,, g x Depois de quanto tempo os montantes se igualam? a) meses. b), meses. c) meses. d), meses. e) 4 meses. 6. (Ufg 1) Dois experimentos independentes foram realizados para estudar a propagação de um tipo de fungo que ataca as folhas das plantas de feijão. A distribuição das plantas na área plantada é uniforme, com a mesma densidade em ambos os experimentos. No experimento A, inicialmente, 6% das plantas estavam atacadas pelo fungo e, quatro semanas depois, o número de plantas atacadas aumentou para 4%. Já no experimento B, a observação iniciou-se com 11% das plantas atacadas pelo fungo e, seis semanas depois, o número de plantas atacadas já era 8% do total. Considerando-se que a área ocupada pelo fungo cresce exponencialmente, a fração da plantação atingida pelo fungo aumenta, semanalmente, em progressão geométrica, e a razão desta progressão é uma medida da rapidez de propagação do fungo. Neste caso, determine em qual dos dois experimentos a propagação do fungo ocorre mais rapidamente (Epcar (Afa) 1) A sequência x,6,y,y + é tal, que os três primeiros termos formam uma progressão aritmética, e os três últimos formam uma progressão geométrica. Página

4 Sendo essa sequência crescente, a soma de seus termos é a) 9 b) 89 c) 86 d) 8 Solução Progressão Aritmética Resposta da questão 1: Calculando a soma de todos os naturais de 1 ao ( ) 9, temos: = 4. Portanto, a soma de cada linha (coluna) será 4:= (Ufpe 1) Um capital é aplicado a uma taxa anual de juros compostos e rende um montante de R$1., em anos, e um montante de R$17.49, em 4 anos. Indique o valor inteiro mais próximo da taxa percentual e anual de juros. 9. (Ufsj 1) Sabendo que a soma do º, º e 4º termos de uma progressão geométrica (PG) é igual a 14 e que a soma dos 8º, 9º e 1º termos é 896, é CORRETO afirmar que a) a razão dessa PG é 1. b) seu primeiro termo é 14. c) a razão dessa PG é. d) o quinto termo dessa PG é. 1. (Pucrj 1) A sequência (, x, y, 8) representa uma progressão geométrica. O produto xy vale: a) 8 b) 1 c) 1 d) 14 e) (Espm 1) Para que a sequência ( 9,,) se transforme numa progressão geométrica, devemos somar a cada um dos seus termos um certo número. Esse número é: a) par b) quadrado perfeito c) primo d) maior que 1 e) não inteiro 1. (Uern 1) A seguinte sequência representa uma progressão geométrica: x,9x x,16 x. O valor de x, tal que x = q q, sendo q a razão desta progressão e x é a). b) 4. c). d) 8. Resposta da questão : [A] Seja n o número de meses decorridos até que os dois irmãos venham a ter o mesmo capital. Temse que, n 1 n 1 n= + n 1 1 = n= 19, ou seja, um ano e sete meses, o que equivale a pouco mais de um ano e meio. Resposta da questão : [A] Último inteiro: x Primeiro inteiro: x k + 1 Calculando a soma desses inteiros, temos: ( ) x+ x k+ 1 k p = p x k+ 1= k p 1 k x = + k Resposta da questão 4: 4 1 a) Se a progressão,,, K é harmônica, 9 9 então a sequência,,, K é uma 4 Página 4

5 progressão aritmética de razão 9 = Daí, seu sexto termo é dado por 1 a6 = + =. 4 4 Em consequência, o resultado pedido é 4. b) Sabendo que em toda progressão aritmética cada termo é igual à média aritmética do seu antecessor e do seu sucessor (exceto o primeiro e o último), tem-se a c a+ c = = b b ac ac b =. a+ c Resposta da questão : [D] Para 4 unidades: 8% + 1% = %. Para unidades: % + 16% = 69%. Resposta da questão 6: =. [1] Verdadeira, pois (9, 1, 1,...) é uma P.A de razão. [] Verdadeira, pois n+ 6= (n+ ). [4] Verdadeira, pois a4 = 9+ = 18. [8] Falsa, pois a = 1 não divide a = 1. [16] Verdadeira, pois ( ) (n 1) n n + 1n =. Resposta da questão 7: [B] O número de lugares cresce segundo uma progressão aritmética de primeiro termo igual a 1 e razão. Logo, o número total de cadeiras é =. Resposta da questão 8: A sequência 1 é uma progressão aritmética de primeiro termo a1 = e razão r 1 = 7 = 4. Logo, + (n 1) 4 Sn = n= n + n. Por outro lado, a sequência é uma progressão aritmética de primeiro termo b1 = e razão r = 8 ( ) = 79. Desse modo, bn = + (n 1) ( 79) = 79n+ 76. Portanto, S n = b n n + n = 79n+ 76 n + n,n e (n + n= 79n+ 76ou n n= 79n+ 76) n e (n 4n 8= oun 9n+ 8= ) n= 1 ou n= 8. Resposta da questão 9: = 11. Determinando o total de bolas na última caixa: a n = + 19 = 6 (termo geral da P.A.) Determinando agora o total n de bolas: ( ) + 6 n= = 6 Portanto, estão corretas as afirmações [1], [] e [8]. Resposta da questão 1: [D] O terceiro termo da P.A. será dado por: a = +.4 = 1 O quinto termo da P.A. será dado por: a = = 18 A soma dos cinco primeiros termos será dada por: S = ( + 18) =. Logo, a média M pedida será dada por: Página

6 ( 1 +,1 ) ( + 1) M= = = 7. Resposta da questão 11: a) O número de bloquinhos para construir as 1 primeiras linhas é igual à soma dos números naturais de 1 até 1. (1+ 1) 1 S1 = =. b) O último número escrito na trigésima linha da pirâmide é igual a soma dos primeiros números naturais S = (1 + ). = 46 c) O último número escrito na trigésima linha é 46 e o primeiro é 46 9 = 46. Calculando agora a soma dos termos da P.A. (46, 47, 48,..., 464, 46) ( ) = 11. Solução Progressão Geométrica Resposta da questão 1: Pelo Teorema de Pitágoras aplicado no triângulo ABC, encontramos facilmente AC= m. Os triângulos ABC,CDE,EFG,K são semelhantes por AA. Logo, como a razão de semelhança é igual a CD 1, AB = 16 = 4 segue-se 4 que AC= m, CE= 1m, EG= m, K 4 constituem uma progressão geométrica cujo limite da soma dos n primeiros termos é dado por = 8m. 1 4 Resposta da questão : [B] Em 1 o valor é de 84 milhões de dólares. Admitindo que a n seja o valor do quadro no ano n, temos a1 = a 19.q 84 1 = 84 q q = 1 q = a = a1 q = = 8,4 1 Resposta da questão : [D] [I]. Falsa. O número de pessoas que procuraram Postos e Centros de Saúde cresceu em progressão geométrica de razão. [II]. Verdadeira. Observando que o número de pessoas que procuraram clínicas privadas cresce, anualmente, segundo uma progressão aritmética de primeiro termo 4 e razão 1, concluímos que o total de pessoas que procuraram atendimento nessas clínicas, de 1 a 11, é igual a = 11.. [III]. Verdadeira. O número de atendimentos em clínicas odontológicas decresce segundo uma progressão aritmética de razão e primeiro termo igual a 87. Desse modo, o número de atendimentos nessas clínicas em 11 foi de ( ) = 87. Resposta da questão 4: =. [1] Incorreto. Temos a + a + a + K+ a = r+ r+ r+ K+ r 1 r+ r = = 17r r. [] Correto. De acordo com a lei de formação, vem (a,a,a,a,a, K) = (r,r,4r,8r,16r, K ), ou seja, a sequência (a 1,a,a 4,a 8,a 16, K ) é uma progressão geométrica com primeiro termo igual a r e razão r. r = [4] Correto. De fato, Página 6

7 (a,a,a,a,a, K) = (r,r,r,7r,9r, K ) é uma progressão aritmética com primeiro termo igual a r e razão r r= r. [8] Incorreto. Conforme [], vem 1 19 a = r = r r. [16] Correto. Com efeito, a + a4 + a6 + K+ a6 = r + 4r+ 6r+ K+ 6r r+ 6r = = 9r. Resposta da questão : [E] Portanto, a soma dos elementos da sequência será: / = 86/. Resposta da questão 8: Sejam C e i, respectivamente, o capital e a taxa de juros anual. 4 Temos 1= C(1+ i) e 1749= C(1+ i). Logo, 1749= C(1+ i) (1+ i) 1749= 1(1+ i) i= i 1,7%. Portanto, o resultado pedido é 1. t Temos MA = 1 (1,) e Logo, t MB = (1,68). Resposta da questão 9: t t t 1,68 1 (1,) = (1,68) = 1, t log(1,4) = log t (log+ log7 log1) = log t (,+,8 1),, t,1 t. Portanto, os montantes se igualarão, aproximadamente, após anos (ou 4 meses). Resposta da questão 6: ( ) = 6. qa qa = 4 qa = = = 8 6 8= 11.(q 6 B) qb 7,7 Como q A > q B então, a velocidade de propagação no experimento A é maior que a velocidade de propagação no experimento B. Resposta da questão 7: P.A. (x, 6, y) x + y = 6 x = 1 y P.G. (6, y, y + 8/) y 6y 16 = y = 8 ou y = y = 8 x = 4 y = x = 14 (não convém, pois a sequência é crescente). a + a + a4 = 14 a (1+ q+ q ) = 14, a 8 + a9 + a1 = 896 a 8(1+ q+ q ) = 896 onde q é a razão da P.G. Dividindo a segunda equação pela primeira, temos: 6 q = 64 q=. Resposta da questão 1: [E] Sabendo que o produto de termos equidistantes dos extremos é igual a uma constante, temos que x y= 8= 16. Resposta da questão 11: Seja x o número procurado. Temos ( + x) = ( 9+ x) (+ x) 1x+ x = 7 6x+ x x = 1, ou seja, um primo ímpar menor do que 1. Resposta da questão 1: Página 7

8 Sabendo que x,9x x,16 x é uma progressão geométrica e fazendo x = α, vem 9α 9α α = α 16α α 4 = 9α 9α α 9 1 = α = ou α = ou α =. 9 Portanto, como 9α α 9α q= =, α segue-se que só pode ser x=, com x q q. = Página 8