PA Progressão Aritmética

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1 PA Progressão Aritmética 1. (Unicamp 014) O perímetro de um triângulo retângulo é igual a 6,0 m e as medidas dos lados estão em progressão aritmética (PA). A área desse triângulo é igual a a) 3,0 m. b),0 m. c) 1,5 m. d) 3,5 m.. (Uece 014) Seja (a n) uma progressão aritmética crescente, de números naturais, cujo primeiro termo é igual a 4 e a razão é igual a r. Se existe um termo desta progressão igual a 5, então a soma dos possíveis valores de r é a) 4. b) 8. c) 3. d) (Uerj 014) Admita a realização de um campeonato de futebol no qual as advertências recebidas pelos atletas são representadas apenas por cartões amarelos. Esses cartões são convertidos em multas, de acordo com os seguintes critérios: - os dois primeiros cartões recebidos não geram multas; - o terceiro cartão gera multa de R$ 500,00; - os cartões seguintes geram multas cujos valores são sempre acrescidos de R$ 500,00 em relação ao valor da multa anterior. Na tabela, indicam-se as multas relacionadas aos cinco primeiros cartões aplicados a um atleta. Cartão amarelo Valor da multa (R$) recebido 1º º 3º 500 4º º Considere um atleta que tenha recebido 13 cartões amarelos durante o campeonato. O valor total, em reais, das multas geradas por todos esses cartões equivale a: a) b) c) d) Página 1 de 11

2 4. (Uerj 014) Uma farmácia recebeu 15 frascos de um remédio. De acordo com os rótulos, cada frasco contém 00 comprimidos, e cada comprimido tem massa igual a 0mg. Admita que um dos frascos contenha a quantidade indicada de comprimidos, mas que cada um destes comprimidos tenha 30mg. Para identificar esse frasco, cujo rótulo está errado, são utilizados os seguintes procedimentos: - numeram-se os frascos de 1 a 15; - retira-se de cada frasco a quantidade de comprimidos correspondente à sua numeração; - verifica-se, usando uma balança, que a massa total dos comprimidos retirados é igual a 540mg. A numeração do frasco que contém os comprimidos mais pesados é: a) 1 b) 13 c) 14 d) (Espcex (Aman) 014) Os números naturais ímpares são dispostos como mostra o quadro 1ª linha 1 ª linha 3 5 3ª linha ª linha ª linha O primeiro elemento da 43ª linha, na horizontal, é: a) 807 b) 1007 c) 1307 d) 1507 e) (Cefet MG 013) Durante o mesmo período, dois irmãos depositaram, uma vez por semana, em seus respectivos cofrinhos, uma determinada quantia, da seguinte forma: o mais novo depositou, na primeira semana, R$ 1,00, na segunda, R$,00, na terceira, R$ 3,00 e assim, sucessivamente, enquanto que o mais velho colocou R$ 10,00 semanalmente até que ambos atingissem a mesma quantidade de dinheiro. Não havendo retirada em nenhum dos cofrinhos, a quantia que cada irmão obteve ao final desse período, em R$, foi de a) 19. b) 1. c) 190. d) 10. e) (Uerj 013) Na figura, está representada uma torre de quatro andares construída com cubos congruentes empilhados, sendo sua base formada por dez cubos. Calcule o número de cubos que formam a base de outra torre, com 100 andares, construída com cubos iguais e procedimento idêntico. Página de 11

3 8. (Fgv 013) Um anfiteatro tem 1 fileiras de cadeiras. Na 1Ŗ fileira hį 10 lugares, na Ŗ hį 1, na 3Ŗ hį 14 e assim por diante (isto é, cada fileira, a partir da segunda, tem duas cadeiras a mais que a da frente). O nśmero total de cadeiras é a) 50 b) 5 c) 54 d) 56 e) (Ufmg 013) Dentro dos bloquinhos que formam uma pirâmide foram escritos os números naturais, conforme ilustrado na figura abaixo, de forma que: na primeira linha da pirâmide aparece um número: 1; na segunda linha da pirâmide aparecem dois números: e 3; na terceira linha da pirâmide aparecem três números: 4, 5 e 6; na quarta linha da pirâmide aparecem quatro números: 7, 8, 9 e 10, e assim sucessivamente. Considerando essas informações, a) DETERMINE quantos bloquinhos são necessários para construir as 10 primeiras linhas da pirâmide. b) DETERMINE o último número escrito na trigésima linha da pirâmide. c) DETERMINE a soma de todos os números escritos na trigésima linha da pirâmide. 10. (Fgv 013) Entre 006 e 010, foram cometidos em média 30 crimes por ano em Kripton (entre roubos, estelionatos e assassinatos). Em 007, foram cometidos 40 crimes no total. Entre 006 e 010, o número de crimes evoluiu em uma progressão aritmética. a) Qual é a razão da progressão aritmética em que evoluiu o número de crimes, entre 006 e 010? b) Em 010, houve duas vezes mais roubos que assassinatos e igual número de roubos e estelionatos. Quantos estelionatos ocorreram em 010? c) Em 011, foram cometidos 30 crimes. Qual é o número médio de crimes cometidos entre 007 e 011? 11. (G1 - utfpr 013) A quantidade de números inteiros entre 50 e 100 que sejam múltiplos dos números 3 e 4 ao mesmo tempo é: a) 3. b) 4. c) 5. d) 13. e) (Uepg 013) Um total de n bolas está distribuído em 0 caixas, de modo que a primeira caixa contém 3 bolas, a segunda caixa contém 6 bolas, a terceira caixa contém 9 bolas e assim sucessivamente, formando uma P.A. Sobre o número n de bolas, assinale o que for correto. 01) n é um múltiplo de 6. 0) n > ) n é um múltiplo de 4. 08) n < Página 3 de 11

4 13. (Ufg 013) Pretende-se levar água de uma represa até um reservatório no topo de um morro próximo. A potência do motor que fará o bombeamento da água é determinada com base na diferença entre as alturas do reservatório e da represa. Para determinar essa diferença, utilizou-se uma mangueira de nível, ou seja, uma mangueira transparente, cheia de água e com as extremidades abertas, de maneira a manter o mesmo nível da água nas duas extremidades, permitindo medir a diferença de altura entre dois pontos do terreno. Esta medição fica restrita ao comprimento da mangueira, mas, repetindo o procedimento sucessivas vezes e somando os desníveis de cada etapa, é possível obter a diferença de altura entre dois pontos quaisquer. No presente caso, realizaram-se 50 medições sucessivas, desde a represa até o reservatório, obtendo-se uma sequência de valores para as diferenças de altura entre cada ponto e o ponto seguinte, que formam uma progressão aritmética, sendo h, 1 h, 3 h, 3..., h 0,75 m, h 0,80 m, h, 50 h 0,70 m, e assim sucessivamente. Com base no exposto, calcule a altura do reservatório em relação à represa. 14. (Mackenzie 013) Em uma progressão aritmética o primeiro termo é e a razão é 4. Nessa progressão, a média aritmética ponderada entre o terceiro termo, com peso, e 10% da soma dos cincos primeiros termos, com peso 3, é a) 1 b) 3 c) 5 d) 7 e) (Espcex (Aman) 013) Em uma progressão aritmética, a soma termos é dada pela expressão a) b) 4 c) 8 d) 10 e) 1 Sn 5n 1n, com n. S n 1 de seus n primeiros A razão dessa progressão é 16. (Ufg 013) Participaram de uma reunião 5 pessoas, entre homens e mulheres. Uma a uma, todas as mulheres passaram a convidar alguns dos homens presentes para adicioná-las como contatos em suas redes sociais, de maneira que a primeira mulher convidou sete homens, a segunda convidou oito, a terceira nove, e assim sucessivamente. Cada uma convidou um homem a mais que a anterior, até que a última das mulheres convidou todos os homens presentes. Nestas condições, calcule o número de mulheres e o de homens na reunião. 17. (Pucrj 013) Se a soma dos quatro primeiros termos de uma progressão aritmética é 4, e a razão é 5, então o primeiro termo é: a) 1 b) c) 3 d) 4 e) 5 Página 4 de 11

5 18. (Enem 013) As projeções para a produção de arroz no período de 01 01, em uma determinada região produtora, apontam para uma perspectiva de crescimento constante da produção anual. O quadro apresenta a quantidade de arroz, em toneladas, que será produzida nos primeiros anos desse período, de acordo com essa projeção. Ano Projeção da produção (t) 01 50, , , ,00 A quantidade total de arroz, em toneladas, que deverá ser produzida no período de 01 a 01 será de a) 497,5. b) 500,85. c) 50,87. d) 558,75. e) 563, (Upf 01) Num laboratório está sendo realizado um estudo sobre a evolução de uma população de vírus. A seguinte sequência de figuras representa os três primeiros minutos da reprodução do vírus (representado por um triângulo). Supondo que se mantém constante o ritmo de desenvolvimento da população de vírus, qual o número de vírus após uma hora? a) 140 b) 180 c) 178 d) 40 e) (Unioeste 01) Quantos múltiplos de 13 existem entre 100 e 1000? a) 65. b) 80. c) 69. d) 49. e) Página 5 de 11

6 Gabarito: Resposta da questão 1: Sejam x, x r e x r as medidas, em metros, dos lados do triângulo, com x, r 0. Aplicando o Teorema de Pitágoras, encontramos x 3r. e 5r. 3r, 4r Logo, os lados do triângulo medem Sabendo que o perímetro do triângulo mede 6,0 m, vem 1 3r 4r 5r 6 r. Portanto, a área do triângulo é igual a 3r 4r 1 6 1,5 m. Resposta da questão : an a 1 (n 1) r 3 4 (n 1) r (n 1) r 1 Logo: n 1 = 3 e r = 7 ou n 1 = 7 e r = 3 ou n 1 = 1 e r = 1 ou n 1 = 1 e r = 1 Portanto, a soma dos possíveis valores de m será dada por = 3. Resposta da questão 3: [B] As multas relacionadas formarão uma P.A. de 11 termos e de razão 500 (500, 1000, 1500,..., a 11 ). Onde, a 11 = = 5500 Calculando a soma dos 11 primeiros termos dessa P.A., temos: ( ) 11 S Página 6 de 11

7 Resposta da questão 4: Supondo que todos os comprimidos tivessem massa igual a 0mg, frascos seria igual a a massa total retirada dos (1 15) 0 (1 3 15) mg. Daí, como a diferença entre a massa dos comprimidos é de mg, número do frasco que contém os comprimidos mais pesados é segue que o Resposta da questão 5: [E] Até a 4 a linha, temos: (14) termos. Portanto, o primeiro elemento da 43ª linha será o 904º número natural ímpar. Então: a Resposta da questão 6: Considerando n a quantidade de depósitos, temos: n n Primeiro irmão: n Segundo irmão: Igualando as duas expressões, temos: n n 1 10n n 19n 0 n não convém ou n 19 Portanto, no final do período cada irmão, obteve R$190,00. Resposta da questão 7: O número de cubos que formam a base de uma torre de 100 andares é dado por Página 7 de 11

8 Resposta da questão 8: [B] O número de lugares cresce segundo uma progressão aritmética de primeiro termo igual a 10 e razão. Logo, o número total de cadeiras é Resposta da questão 9: a) O número de bloquinhos para construir as 10 primeiras linhas é igual à soma dos números naturais de 1 até 10. (110) 10 S b) O último número escrito na trigésima linha da pirâmide é igual a soma dos 30 primeiros números naturais S 30 = (1 30) c) O último número escrito na trigésima linha é 465 e o primeiro é = 436. Calculando agora a soma dos 30 termos da P.A. (436, 437, 438,..., 464, 465) Resposta da questão 10: a) Sabendo que a média anual de crimes é igual a 30, segue que foram cometidos crimes entre 006 e 010. Além disso, como temos: a1 a5 a1 a a 30 3 a r 30 r 10. a 40, b) Sejam e, a e r, respectivamente, o número de estelionatos, o número de assassinatos e o número de roubos cometidos em 010. Sabemos que r e a. Do item (a), podemos concluir que o número de crimes cometidos em 010 é a 3r Portanto, e e a r 10 e e 10 e 4. c) Dos itens anteriores, podemos concluir que o número total de crimes cometidos entre 007 e 010 foi de Portanto, o número médio de crimes cometidos entre 007 e 011 é dado por Página 8 de 11

9 Resposta da questão 11: [B] MMC(3,4) = 1 Múltiplos de 1 são múltiplos de 3 e de 4 ao mesmo tempo. Múltiplos de 1 entre 50 e 100 (60, 7,..., 84, 96). Utilizando a fórmula do termo geral da P.A., temos: 96 = 60 + (n 1) 36 n 1 1 n 13 n 4 Resposta da questão 1: = (em que n é o número de múltiplos de 1 entre 50 e 100) Determinando o total de bolas na última caixa: a n = = 60 (termo geral da P.A.) Determinando agora o total n de bolas: n 630 Portanto, estão corretas as afirmações [01], [0] e [08]. Resposta da questão 13: Como a razão da progressão aritmética é 0,05 m, segue que a altura do reservatório em relação à represa é dada por 49 0,05 0, ,5 96,5 m. Resposta da questão 14: [D] O terceiro termo da P.A. será dado por: a 3 = +.4 = 10 O quinto termo da P.A. será dado por: a 5 = = 18 5 A soma dos cinco primeiros termos será dada por: S Logo, a média M pedida será dada por: , M Página 9 de 11

10 Resposta da questão 15: [D] O primeiro termo da progressão aritmética é dado por a1 S Desse modo, o segundo termo da progressão é tal que a S a ( 7) Portanto, a razão da progressão aritmética é Resposta da questão 16: Admitindo n como o número de mulheres, temos: 5 n r a a1 3 ( 7) 10. homens. Se a primeira mulher convidar 7 homens, a segundo mulher convidar 8 homens e assim por diante, a mulher n convidará 5 n homens. Temos então uma P.A de razão 1 e primeiro termo 7. 5 n 7 (n1) 1 n 46 n 3. Então, na reunião havia 3 mulheres e homens. Resposta da questão 17: Seja (a, a 5, a 10, a 15, ) a progressão aritmética cujo primeiro termo calcular. Como S4 4, segue que 4a 30 4 a 3. (a) queremos Resposta da questão 18: [D] Como 51,50 50,5 5,75 51, ,75 1,5, podemos concluir que a sequência é uma progressão aritmética de primeiro termo e 50,5; 51,50; 5,75; 54,00; a 50,5 razão r 1,5. Portanto, queremos calcular a soma dos 10 primeiros termos dessa progressão aritmética, ou seja, a1 9r S ,5 9 1, , Página 10 de 11

11 Resposta da questão 19: A população de vírus desenvolve-se segundo a progressão aritmética 1, 4, 7,. Portanto, o número de vírus após uma hora é 1 (60 1) Resposta da questão 0: Os múltiplos de 13 entre 100 e 1000 formam a P.A. de razão 13 a: (104, 6, 39,..., 988) Admitindo que n é o número de termos da P.A., temos: n n n 1 13 n 1 68 n 69 Página 11 de 11