P rua PQ Q rua QR. 2 km 4 km. 3 km. av. SR. rua SQ. rua TP. 3 km. rua TS

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1 Resolução das atividades complementares Matemática M1 Geometria Plana 1 (UFF-RJ) O circuito triangular de uma corrida está esquematizado na figura a seguir: P rua PQ Q rua QR km km R T rua TP 3 km rua TS 3 km rua SQ S av. SR s ruas TP e SQ são paralelas. Partindo de S, cada corredor deve percorrer o circuito passando, sucessivamente, por R, Q, P, T, retornando, finalmente, a S. ssinale a opção que indica o perímetro do circuito: a), km c) 0,0 km e),0 km b) 19, km d), km Usando o teorema de Tales, temos: P Q km km R 3 km 3 km S T QR PQ = SR TS Æ TP SQ = PQ 1 QR Æ QR SR Æ SR 6 km 3 TP 1 3 Æ TP, km O perímetro do circuito é igual a: SR 1 QR 1 PQ 1 TP 1 TS , , km

2 (Fuvest-SP) Em uma fotografia aérea em trecho retilíneo de uma estrada que mede 1, km aparece medindo cm. a) alcule, em quilômetros, o comprimento que corresponde a 1 cm na mesma fotografia., km b) Uma área de 1 cm dessa fotografia corresponde a quantos quilômetros quadrados do real? 6, km c) Se, nessa fotografia, uma área queimada aparece com 9 cm, qual é, em quilômetros quadrados, a área real da superfície queimada? 6, km a) km cm 1, 1 1,, km c) cm km 1 6, 9 9 6, 6, km b) 1 cm, km (1 cm) (, km) 1 cm 6, km 3 (FGV-SP) Observe as figuras seguintes. Figura 1 Figura Figura 3 figura 1 foi ampliada para a figura, e esta também foi ampliada para a figura 3. O fator de ampliação da figura para a figura 3 é: a) 7 b) 3 c) 3 d) e) 7 6 Seja a medida do lado da malha quadriculada da figura, e admitamos que a medida do lado da malha quadriculada da figura 3 é. ssim,, 3 e, portanto, o fator de ampliação da figura para a figura 3 é: '' = 3 3

3 (Unicamp-SP) Uma rampa de inclinação constante, como a que dá acesso ao Palácio do Planalto em rasília, tem m de altura na sua parte mais alta. Uma pessoa, tendo começado a subi-la, nota que após caminhar 1,3 m sobre a rampa está a 1, m de altura em relação ao solo. alcule quantos metros a pessoa ainda deve caminhar para atingir o ponto mais alto da rampa. 0, m 1,3 m E 1, m m 1, = 1,3 1,3 + 1, 3 1, 3 1 1, 3, 8 1, 3 0, m (UFPE) Na ilustração ao lado, o ponto P está no interior do triângulo, e por P são traçadas paralelas aos lados, e que interceptam esses lados nos pontos, E, F, G, H e I. Se é eqüilátero de lado 100, E e FG, qual a medida de HI? 30 H G a figura, obtemos: I P E F 60 G H 60 I P 60 F E Os triângulos, EP, FGP e HIP são todos semelhantes. Portanto: E 1 FG HI E 1 PF PI (E + E + ) aí, vem: 100 HI HI 100 HJ

4 6 (UFE) Na figura são dados 1 cm e 6 cm. omo o,, determine a medida, em centímetros, do segmento. 18 cm ( 1 6) cm (Fatec-SP) Na figura abaio, o triângulo é retângulo e isósceles, e o retângulo nele inscrito tem lados que medem cm e cm. O perímetro do triângulo MN é: a) 8 cm b) 1 cm c) (8 1 ) cm d) 8 1 ) cm e) ( 1 ) cm M N MN P (medidas dos lados opostos de um retângulo) nmn,n ˆMN > Â (retos) ˆ (comum) Então o triângulo MN é retângulo isósceles. M MN (N) (M) 1 (MN) (N) 1 (N) 3 [ N Perímetro do nmn: 1 1 ( 1 ) cm 8 (UFPE) figura representa um rio cujas margens são retas paralelas. 10 cm 3 cm 8 cm Qual é o número inteiro mais próimo da largura do rio, quando esta é medida em metros? 6 m ,6 m Número inteiro mais próimo 6 m

5 9 (Fuvest-SP) No triângulo acutângulo, a base mede cm e a altura relativa a essa base também mede cm. MNPQ é um retângulo cujos vértices M e N pertencem ao lado, P pertence ao lado e Q ao lado. O perímetro desse retângulo, em centímetros, é: a) b) 8 c) 1 d) 1 e) 16 S n 16 h 8 Q M N P Na figura, temos: M N b(h ) 1 b M? l 1 b? l 1 N? l 1 bh bl 16 M? l 1 bl 1 N? l 1 bh 16 l(m 1 b 1 N) 1 bh 16 Pela figura, M 1 b 1 N. l 1 b 16 (:) l 1 b 8 O perímetro é 8. h Q P a b M N &*** ***( 10 (IME-SP) ois irmãos, curiosos para saber a que altura do chão conseguiam empinar sua pipa, resolveram mandá-la ao ar presa em duas linhas. Eles fizeram esta eperiência num momento em que o Sol projetava uma sombra perfeitamente vertical sobre eles. ada um dos irmãos ficou segurando uma das linhas, ambas supostamente esticadas. Eles observaram que suas posições estavam alinhadas com a sombra da pipa, estando a sombra da pipa entre os dois. E mediram metros de distância entre um dos irmãos e a sombra da pipa, e 78 metros de distância entre os dois. a) Faça um esboço da situação descrita, destacando as posições dos irmãos, da pipa e sua sombra. b) Supondo que as duas linhas formavam um ângulo reto no nó preso à pipa, calcule a que altura estava a pipa. 36 m (pipa) a) o enunciado esboçamos a figura, cotada em metros, em que os pontos,, e representam, respectivamente, a pipa, um irmão, o outro irmão e a sombra da pipa: (irmão) (sombra) (irmão) b) o enunciado e do item anterior temos a figura: as relações métricas no triângulo retângulo, a medida pedida é tal que (), ou seja, 36 m.

6 11 (Fatec-SP) O ponto pertence à reta r, contida no plano a. reta s, perpendicular a a, o intercepta no ponto. O ponto pertence a s e dista cm de. Se a projeção ortogonal de em r mede cm e o ponto dista 6 cm de r, então a distância de a, em centímetros, é igual a: a) 9 b) 9 c) 7 d) e) 3 s r s No triângulo retângulo, temos: () (6 cm) 1 ( cm) () 61 cm 6 No triângulo retângulo, temos: () () 1 () () 61 cm 1 ( cm) 9 cm r 1 (Unicamp-SP) Entre todos os triângulos cujos lados têm como medidas números inteiros e perímetro igual a cm, apenas um deles é eqüilátero e apenas um deles é retângulo. Sabe-se que um dos catetos do triângulo retângulo mede 8 cm. a) alcule a área do triângulo eqüilátero cm b) Encontre o raio da circunferência circunscrita ao triângulo retângulo. cm a) Sendo S a área, em centímetros quadrados, e l a medida, em centímetros, de cada lado do único triângulo eqüilátero cujo perímetro é igual a centímetros, tem-se: 1 o ) 3 l l R o ) S 3 R R ssim: S 8 3 S 16 3 b) Sendo R a medida, em centímetros, do raio da circunferência circunscrita ao triângulo retângulo de perímetro igual a centímetros em que um dos catetos mede 8 centímetros e outro naturalmente mede 16 R centímetros, de acordo com o Teorema de Pitágoras, tem-se: (R) 8 1 (16 R) R R 1 R 6R 30 R

7 13 (Mackenzie-SP) figura abaio representa uma estrutura de construção chamada tesoura de telhado. Sua inclinação é tal que, a cada metro deslocado na horizontal, há um deslocamento de 0 cm na vertical. Se o comprimento da viga é m, das alternativas abaio, a que melhor aproima o valor do comprimento da viga, em metros, é: a), b) 6,7 c),8 d),9 e) 6, o enunciado, temos a figura ao lado, cotada em m: inda, do enunciado, a medida é tal que: 0,? [ plicando o teorema de Pitágoras ao triângulo retângulo, temos: () () 1 () [ () 1 [ 9 [, &***** *****( 1 (Unicamp-SP) Sejam,, e os vértices de um quadrado cujos lados medem 10 cm cada um. Suponha que a circunferência passe pelos pontos e, que formam o lado do quadrado, e seja tangente, no ponto M, ao lado oposto. a) alcule a área do triângulo cujos vértices são, e M. 0 cm b) alcule o raio da circunferência. 6, cm M a) onsideremos a figura ao lado, que mostra o quadrado e a circunferência de centro O e raio R. Observe que OM ª, pois a circunferência é tangente ao lado no ponto M. R R O 10 R omo M pertence ao lado, cuja distância a é 10 cm, a altura do triângulo M relativa ao lado mede 10 cm. 10 ssim, a sua área é cm. b) No triângulo retângulo ON, temos: ON MN OM 10 R O R N 10 cm N Usando o teorema de Pitágoras, vem: R (10 R) 1 R 100 0R 1 R 1 R 6, cm

8 1 (UFS) Na figura abaio, as circunferências de centros e têm raios 9 cm e 6 cm, respectivamente, e a distância entre os centros é cm. reta t é uma tangente interior às circunferências nos pontos e. alcule, em centímetros, a medida do segmento. 0 cm E t () (F) 1 (F) , cm 9 6 F E 6 t s // t 16 (Fuvest-SP) No jogo de bocha, disputado num terreno plano, o objetivo é conseguir lançar uma bola de raio 8 o mais próimo possível de uma bola menor, de raio. Num lançamento, um jogador conseguiu fazer com que as duas bolas ficassem encostadas, conforme ilustra a figura abaio. distância entre os pontos e, em que as bolas tocam o chão, é: a) 8 b) 6 c) 8 d) 3 e) 6 3 No triângulo retângulo OPO : P O 8 O 8

9 17 (Un-F) Em um triângulo retângulo, um dos catetos mede 16 metros. etermine, em metros, a medida da hipotenusa, sabendo que a medida desta ecede a medida do outro cateto em 8 metros. 0 m ( 1 8) m (UFPE) Na ilustração abaio, a circunferência passa pelos vértices e do quadrado e é tangente ao lado. Se o quadrado tem lado 1, indique o diâmetro da circunferência. 1 a figura, temos: r (1 r) 1 6 r 1 r 1 r 1 36 r 180 r 7, Portanto, d r d 1 O r 1 r 6 M 19 Por um ponto de uma circunferência, traça-se o segmento H perpendicular a um diâmetro, conforme a figura abaio. Se o ponto H determina no diâmetro segmentos de cm e 9 cm, calcule a medida do segmento H, a medida y da corda e a medida z da corda. 6 cm; y 13 cm; z 3 13 cm? cm y H O z y? 13 y y 13 cm z 9? 13 z 117 z 3 13 cm y H 9 z

10 0 Observe o triângulo retângulo mostrado na figura. etermine os valores de, y e z cm; y 6 cm; z 13 cm y z 9 cm cm y 9? y 36 y 6 cm z y 1 z z z 13 cm ( ) y 9 cm cm z cm 1 (UFPel-RS) Um carrossel circular, localizado em determinado parque, possui, em seu interior, outro carrossel circular concêntrico. O raio de cada um é, respectivamente, m e 3 m. Sabendo que os dois brinquedos possuem o mesmo ponto de embarque, considerando uma pessoa embarcando em cada um desses brinquedos e, ainda, que um deles completa uma volta em 0 segundos e o outro, em 0 segundos, responda às perguntas abaio: a) Em quanto tempo as pessoas que embarcaram juntas estarão novamente juntas no ponto de embarque? 3min 0s b) No momento em que estiverem novamente juntas, no ponto de embarque, que distância terá percorrido cada pessoa? 1,6 m e 9, m a) Se um deles completa uma volta em 0 segundos e o outro, em 0 segundos, as pessoas estarão novamente juntas no ponto de embarque no instante igual a: m.m.c (0,0) 00 s ou 3min 0s b) Em 00 s, o número de voltas dadas pelos carrocéis é: 00 s 0 s voltas 00 s 0 s voltas ssim, temos: d 1 1? π? 0π 0? 3,1 1,6 m d? π? 3 30π 30? 3,1 9, m Na figura ao lado, a corda mede 8 cm e a corda mede 6 cm. Sendo um diâmetro dessa circunferência, qual é o comprimento da circunferência? 31, cm O () () 1 () () cm r cm πr? 3,1? 31, cm 10

11 3 Um satélite artificial gira ao redor da Terra a uma altura de 600 km. Qual será o comprimento do percurso de um giro completo do satélite, supondo que sua órbita seja eatamente circular e no plano equatorial? ados: raio da Terra km e π 3, km 600 km r π? r? 3,1? R km 3 81,8 3 8 km Uma pessoa se encontra na margem de um lago circular de raio igual a 100 m e deseja ir até o ponto diametralmente oposto, na outra margem do lago. Suponha que essa pessoa consiga nadar a 1 km/h e andar a km/h. onsiderando que velocidade distância, qual o caminho que essa pessoa deve escolher (por terra tempo ou por água) de modo que gaste o menor tempo possível? caminho por terra Vamos estudar as duas situações: Nadando: ndando: l r 00 m 0, km πr 3,1? 100 V distância 1 0, 31 m 0,31 km tempo t t 0, hora ou 1 minutos t 0,31 0,17 t 0,17 h ou t 9, min eve escolher o caminho por terra. F r 100 I (UFG) eseja-se marcar nas trajetórias circulares concêntricas, representadas na figura ao lado, os pontos e, de modo que dois móveis linha de origem α partindo, respectivamente, dos pontos e, no sentido horário, mantendo-se na mesma trajetória, percorram distâncias iguais até a linha de origem. onsiderando que o ponto deverá ser marcado sobre a linha de origem a 8 m do centro e o ponto a 10 m do centro, o valor do ângulo α, em graus, será igual a: a) 30 b) 36 c) d) 60 e) 7 O móvel que parte de dá uma volta completa na circunferência. ssim, percorre: 1 = πr 1 = π8 = 16πm O móvel deverá percorrer 16πm. ssim: = πr 1 volta 0πm, 16πm aí, vem: volta y 1 volta 360 O ângulo α é igual a: α = = 7 1 0π 16π = volta 1 y y = origem 8 α 10 movimento

12 6 Um heágono regular tem lados medindo 8 cm. alcule a diferença entre o comprimento da circunferência circunscrita e o perímetro desse heágono. (Use π 3,1.), cm l l r 8 cm p 6l p 6? 8 r πr? 3,1? 8 p 8 cm 0, cm p, cm 7 O apótema de um heágono regular mede 6 3 cm. Nessas condições, determine a medida do seu lado. 1 cm m 6 3 cm l r m r l 1 cm 8 ado um triângulo eqüilátero, cujo lado mede 6 cm, calcule: a) o raio da circunferência circunscrita; 3 cm b) a medida do apótema. 3 cm a) l r 3 6 r 3 r 3 cm b) m r m 3 cm 9 alcule a razão entre a medida do lado de um heágono regular e a do lado de um quadrado inscritos na mesma circunferência de raio r. Heágono regular: l r Quadrado: l r ' r r 1 ' 30 Uma circunferência tem 1 cm de raio. alcule a medida do lado do quadrado e do triângulo eqüilátero inscritos nessa circunferência. 1 cm; 1 3 cm r 1 cm Quadrado: l 1 r l 1 1 cm Triângulo eqüilátero: l r 3 l 1 3 cm 1

13 31 (UFU-MG) Sejam um triângulo eqüilátero inscrito numa circunferência de raio r e E o diâmetro dessa circunferência. s medidas dos lados do triângulo E, em função de r, são: a) r, 3 r e r b) r, 3r e r c) r, 3r e r d) r, 3 r e r e) r, 3r e r E r, E r r r 1 l l r 3r l l 3 r r 3 s medidas dos lados do triângulo são: r, 3 r e r. r O E 3 uas polias de raios iguais a, cm são ligadas por uma correia de comprimento igual a cm. Qual a distância entre os centros das duas polias? 1,1 cm r, cm πr? 3,1?, 13,816 d 1 13,816 d 1,1 cm 33 Encontre a área de um retângulo, sabendo que a diagonal mede 10 m e o perímetro é igual a 8 m. 8 m y r 1 r S y 10 1 y 8 1 y 1 (I) 1 y 10 (II) Elevando (I) ao quadrado, temos: ( 1 y) 1 1 y 1 y 196 (III) Substituindo (II) em (III): 10 1 y 196 y 8 m Portanto, S 8 m 3 (esgranrio-rj) Numa cozinha de 3 m de comprimento, m de largura e,80 m de altura, as portas e janelas ocupam uma área de m. Para azulejar as quatro paredes, o pedreiro aconselha a compra de 10% a mais de metragem a ladrilhar. alcule a metragem de ladrilhos que se deve comprar. 6,0 m 3 S T área total,80 S T S 1 1 S S T? 3?,80 1??,80 S T 16,8 1 11, S T m Metragem de ladrilhos 1? 10% (1 1 0,10) 6,0 m 13

14 3 (UFG) Um quarto possui 7 m de comprimento, m de largura e 3 m de altura, tendo uma porta de 1 m por m e uma janela quadrada de 1 m de lado. eseja-se pintar as quatro paredes internas e o teto do quarto, ecetuando-se a janela, a porta e o chão. a) Qual a área a ser pintada? 10 m b) Se um litro de tinta é suficiente para pintar 3 m, quantos litros de tinta serão gastos nessa pintura? 3,66 l m 3 m a) S T? 3? 1? 3? 7 1 7? 1? 1? 1 S T S T 10 m b) ada litro de tinta cobre 3 m. Para pintar 10 m, temos 10 3 b) Qual será a área de cada um dos quadrados formados? 6 cm e 16 cm a) 8 8 < (não convém) cm 16 cm 10 Æ l 3,66 l (Unicamp-SP) Um fio de 8 cm de comprimento é cortado em duas partes, para formar dois quadrados, de modo que a área de um deles seja quatro vezes a área do outro. a) Qual deve ser o comprimento de cada uma das partes do fio? 3 cm e 16 cm b) l S 1 8 S 1 6 cm l 16 S S 16 cm 37 O mapa de um loteamento foi desenhado de forma que cada cm do mapa representam 300 m da realidade. No mapa, a chácara de meu tio é um retângulo de lados 1, cm e, cm. Qual é a área, em metros quadrados, dessa chácara? m med. no desenho (em cm) med. no real (em m) 300 1, b, h 300 1, b b m 300, h h 360 m Área b? h m 1

15 38 Um engenheiro fez a planta de um apartamento, e cada cm do desenho corresponde a, m reais. Sabendo que as áreas de dois polígonos semelhantes são proporcionais aos quadrados das medidas de dois lados correspondentes quaisquer, determine: a) a escala utilizada na planta; 1 : 0 b) a razão entre as áreas do apartamento na planta e no real; 1 : 00 c) a área real, em metros quadrados, de uma sala que tem 60 cm no desenho da planta. 1 m cm, m a) 1 cm, 0, m ou 0 cm 1 Escala 1 : 0 c) S 00? S, em que S 60 cm Logo: S 00? 60 S cm ou 1 m b) S' S Razão 1 : (UFSar-SP) Folha de S. Paulo, na sua edição de 11/10/000, revela que o buraco que se abre na camada de ozônio sobre a ntártida a cada primavera no Hemisfério Sul formou-se mais cedo neste ano. É o maior buraco já monitorado por satélites, com o tamanho recorde de (,8) 10 7 km. Em números aproimados, a área de (,8) 10 7 km equivale à área de um quadrado cujo lado mede: a) (,338) 10 km c) (,338) 10 km e) (,338) 10 6 km b) (,338) 10 3 km d) (,338) 10 km l,8? 10 7 km l 8,? 10 6 km l 8,? 10 3 km l,338? 10 3 km 0 (Mackenzie-SP) O triângulo da figura foi dividido em duas partes de mesma área pelo segmento E, que é paralelo a. razão E vale: a) b) 3 c) d) e) 3 E n ne S S E E E 1

16 1 (Vunesp-SP) Para ladrilhar uma sala são necessárias eatamente 00 peças iguais de cerâmica na forma de um quadrado. Sabendo-se que a área da sala é 36 m, determine: a) a área de cada peça, em metros quadrados; 0,09 m b) o perímetro de cada peça, em metros. 1, m 36 a) S S 0,09 m 00 b) l S l 0,09 l 0, 09 l 0,3 m P? l P? 0,3 P 1, m área de um triângulo pode ser calculada em função das medidas a, b, e c de seus lados. asta usar a fórmula, atribuída ao matemático grego Herão (séc. I d..): p cm S p ( p a) (p b) ( p c), em que p a + b + c. alcule a área de um triângulo cujos lados medem 7 cm, 8 cm e 9 cm. 1 cm S 1(1 7)(1 8) (1 9) S 1 cm 3 (Unicamp-SP) Um terreno tem a forma de um trapézio retângulo, conforme mostra a figura a seguir, e as seguintes dimensões: m, m, 1 m a) Se cada metro quadrado desse terreno vale R$ 0,00, qual é o valor total do terreno? R$ 000,00 b) ivida o trapézio em quatro partes de mesma área, por meio de três segmentos paralelos ao lado. Faça uma figura para ilustrar sua resposta, indicando nela as dimensões das divisões no lado. a) Área do trapézio S ( 1 1 ) S 80 m Valor do terreno: V 80? 0 V R$ 000,00 b) Trapézio dividido em quatro partes de mesma área: 10 16

17 (Unifor-E) área, em metros quadrados, de um trapézio cujas bases medem 1 m e 8 m e cujos ângulos da base medem 60 é: a) 0( 3 1 ) b) 0 3 c) 0 d) 16 e) ( 1 3 ) 8 m tg 60 h 3 h h 3 60 h m 1 m 60 S (1 1 8) S 0 3 m (UFPE) Na figura ao lado, P é o ponto médio do segmento do paralelogramo. alcule a área, em metros quadrados, do triângulo P, sabendo-se que a área do paralelogramo é 136 m. 3 m P S b? H 136 m (I) h H, S n b h S n b H (II) Substituindo (I) em (II): S n m P h b H 6 (Mackenzie-SP) Se o heágono regular da figura tem área, a área do pentágono assinalada é: a) 7 c) 6 e) 3 b) 7 3 d) 3 O heágono regular pode ser dividido em 6 triângulos de mesma área, conforme a figura a seguir. S pent 6? S he 6? 3 17

18 7 (Fuvest-SP) eseja-se construir um anel rodoviário circular em torno da cidade de São Paulo, distando aproimadamente 0 km da Praça da Sé. a) Quantos quilômetros deverá ter essa rodovia? 10 km b) Qual a densidade demográfica da região interior ao anel (em habitantes por quilômetro quadrado), supondo que lá residam 1 milhões de pessoas? (dote o valor π 3.) 10 hab./km a) πr? π? 0 0π 10 km o n de pessoas 1 10 b) d área 100 d 10 hab./km km 8 Sabendo que r 10 cm, calcule a área da região colorida de azul na figura. (dote π 3,1.) 68 cm r r r r área da região (I) é igual à área da região (II): S I S II π (r) πr II r 10 r r r r S I? 3,1? 10 S I 68 cm I 9 figura ao lado representa um heágono regular. alcule: a) a medida do seu apótema; 3 cm b) a área da região colorida de verde π cm 3 E F raio cm a) m r 3 3 m 3 cm raio cm b) S S he? S setor S he 6? 3 S he 3 cm S setor 10 π 16 π Ssetor cm π 7 3 3π S 3 S cm

19 0 alcule a área do segmento circular da figura ao lado. 3,7 cm Use π 3,1 e 3 1,73. S seg. circular S setor S n S setor αr α π 3 e R 6 cm S setor π 3 6 S n 1 b? h S n 1? 6? 3 b 6 cm h 6 3 h 3 3 cm 3 S n 9 3 cm 60 6 cm S setor 6π cm S seg. circular 6π 9 3 S seg. circular 3,7 cm 1 (UFRN) ois círculos são concêntricos, e o primeiro, de área 100π m, possui uma corda de 16 m tangenciando o segundo. área do segundo círculo é: a) 8π m c) π m e) 6π m b) 36π m d) 6π m S π 36π S 36π m 8 10 (Mackenzie-SP) Na figura, é um quadrado e o arco P tem centro em. Se a área assinalada mede π, o perímetro do quadrado é igual a: 8 a) b) c) d) e) 8 P P 1 1 S π π 8 π π 8 8 π π ( π) π 1 1 Perímetro do quadrado: P 19

20 3 (FGV-SP) O menor número possível de lajotas que deve ser usado para recobrir um piso retangular de,60 m por 7,0 m, com lajotas quadradas, sem partir nenhuma delas, é: a) 1008 b) 70 c) d) 63 e) 3 lém de ser divisor de 60 cm e de 70 cm, o número que representa a medida, em cm, do lado de cada lajota quadrada, deve ser o maior possível. ssim, o lado será l mdc(60, 70) 80. O piso retangular comportará, portanto, no mínimo, ? 9 63 lajotas. (ENEM) Um pátio de grandes dimensões vai ser revestido por pastilhas quadradas brancas e pretas, segundo o padrão representado abaio, que vai ser repetido em toda a etensão do pátio. s pastilhas de cor branca custam R$ 8,00 por metro quadrado e as de cor preta, R$ 10,00. O custo por metro quadrado do revestimento será: a) R$ 8,0 b) R$ 8,0 c) R$ 8,60 d) R$ 8,80 e) R$ 9,00 Num quadrado de 10 pastilhas 10 pastilhas, no padrão representado na figura, temos: 0 pastilhas pretas e 80 pastilhas brancas. ssim, a razão entre o número de pastilhas pretas e o número de pastilhas brancas, respectivamente, é 1 :. Logo, o custo por metro quadrado revestido será: 1 R$ 10,00 1 R$ 8,00 R$ 8,0. 0

21 (UFPE) ada quadrado pequeno ilustrado na figura tem lado. Qual é a área do polígono E? 6 área do polígono E é igual à área do quadrado maior menos três vezes a área do triângulo E. ssim: 10? 10 3? E 6 (Unicamp-SP) s transmissões de determinada emissora de rádio são feitas por meio de quatro antenas situadas nos pontos (0, 0), (100, 0), (60, 0) e (0, 0), sendo o quilômetro a unidade de comprimento. esprezando a altura das antenas e supondo que o alcance máimo de cada antena é 0 km, pergunta-se: a) O ponto médio do segmento recebe as transmissões dessa emissora? Justifique sua resposta apresentando os cálculos necessários. Não recebe, pois M 0 km. 0 km. b) Qual a área da região limitada pelo quadrilátero que não é alcançada pelas transmissões da referida emissora? 00(8 π) km (Ø, 0) (60, 0) M (80, 0) (Ø, Ø) (100, Ø) a) Sendo M ponto médio de, tem-se: M M ( ) 1( 0 0) 0 0 omo a distância do ponto M às antenas mais próimas, situadas em e, é maior que o raio de alcance da emissora, o ponto M não recebe as transmissões. b) área S do quadrilátero que não é alcançada pelos transmissores é a área do trapézio menos a área dos quatro setores circulares, hachurados na figura, que equivalem à área de um círculo de raio 0 km. ssim, S = ( ) 0 π? 0 = 00(8 π) km. 1

22 7 (IT-SP) onsidere um losango cujo perímetro mede 100 cm e cuja maior diagonal mede 0 cm. alcule a área, em cm, do círculo inscrito nesse losango. 1π No triângulo retângulo O, temos: (O) 1 (O) () (O) 1 0 = O 1 o enunciado, temos a figura ao lado cotada em cm: T r 0 O 0 inda, ()? (OT) = (O)? (O)? r 1? 0 r 1 Logo, a área pedida é igual a: π? 1, ou seja, 1π. 0 O: centro do círculo inscrito no losango ; r: medida do raio desse círculo. 8 (UFL-MG) Uma das faces de uma medalha circular tem o desenho ao lado. região amarela é de ouro e a cinzenta é de prata. Sabendo que os contornos das áreas amarelas são semicírculos, calcule as áreas das superfícies de ouro e de prata. ouro: 1,7p cm e prata:,9p cm parte amarela corresponde à área de um círculo de raio 1, cm menos a área de um círculo de raio 0,7 cm. ssim, temos: 1 πr πr 1 1 π (1, 0,7 ) 1 π (1,96 0,9) 1 1,7π cm 1, cm 1, cm 1, cm parte cinzenta tem área igual a: πr π, 3 1 1,7π,9π cm

23 9 (Fuvest-SP) Na figura abaio,, e são colineares e o valor da abscissa m do ponto é positivo. Sabendo-se que a área do triângulo retângulo é, determine o valor de m. 1 y (, 0) (m, 0) (0, 1) o enunciado, temos a figura: y 0 1 m plicando-se o teorema de Pitágoras no triângulo retângulo O: = O + O = 1 + = Os triângulos e O são semelhantes. ssim, sendo S 1 e S, respectivamente, as áreas desses triângulos, temos: S1 m m S 1 1 m 1 3

24 60 (FGV-SP) seguir, estão representadas as quatro primeiras figuras de uma seqüência infinita, em que cada quadrado tem 10 cm de lado. Figura 1 Figura Figura 3 Figura a) hame de n o número de ordem e de a área da superfície pintada de cinza de uma figura qualquer dessa seqüência. etermine uma função, por meio de uma equação, que descreva como a área da parte cinza dessas figuras varia com seu número de ordem na seqüência. (n) 0, com n N* b) onstrua um gráfico cartesiano da função obtida na parte a. a) Sendo (1); (); (3);...; (n) as áreas, em centímetros quadrados, da 1 a, a, 3 a... n a figuras, respectivamente, temos: 1) (1) ) () ( ) 0 3) (3) ssim: (n) n , pois n 10 b) O gráfico da função (n) = 0, com n N*, é: 0 (n) 1 3 n

25 61 (UFRJ) No toldo da barraca de seu ntônio, decorado com polígonos coloridos, destaca-se um dodecágono cujos vértices são obtidos a partir de quadrados construídos em torno de um heágono regular, conforme mostra o desenho abaio. a) emonstre que o dodecágono EFGHIJKL é um polígono regular. I H G F b) Tomando o quadrado de lado como unidade de área, calcule a área desse dodecágono. ( ) unidades J K L E a) a figura, temos: H G a F P E a a 60 Portanto, o triângulo FPG é eqüilátero. omo todos os lados do dodecágono são congruentes a um lado de cada quadrado, o dodecágono é eqüilátero. Sendo assim, cada ângulo interno do dodecágono medirá , ou seja, o dodecágono é eqüiângulo; logo, esse polígono é regular. b) área dodecágono 1 3 área triângulo área quadrado área triângulo λ 3 área quadrado λ unidades λ 3 área dodecágono 1 1 6λ 3λ 3 1 6λ λ ( ) ( ) unidades