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1 SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS 1. Duas cidades X e Y são interligadas pela rodovia R101, que é retilínea e apresenta 300 km de extensão. A 160 km de X, à beira da R101, fica a cidade Z, por onde passa a rodovia R10, também retilínea e perpendicular à R101. Está sendo construída uma nova rodovia retilínea, a R103, que ligará X à capital do estado. A nova rodovia interceptará a R10 no ponto P, distante 10 km da cidade Z. O governo está planejando, após a conclusão da obra, construir uma estrada ligando a cidade Y até a R103. A menor extensão, em quilômetros, que esta ligação poderá ter é a) 50. b) 40. c) 5. d) 00. e) Na figura, ANM é um triângulo e ABCD é um quadrado. Calcule a área do quadrado: AM = 4 cm NA = 6 cm a),4 cm b),0 cm c) 1,6 cm d) 1,4 cm 3. Um telhado inclinado reto foi construído sobre três suportes verticais de aço, colocados nos pontos A, B e C, como mostra a figura ao lado. Os suportes nas extremidades A e C medem, respectivamente, 4 metros e 6 metros de altura. Página 1 de 13

2 A altura do suporte em B é, então, de: a) 4, metros. b) 4,5 metros. c) 5 metros. d) 5, metros. e) 5,5 metros. 4. A área do quadrado assinalado na figura é igual a a) 15 b) 0 c) 1 d) 18 e) Na figura abaixo, O é o centro de uma circunferência que tangencia o segmento BQ no ponto T. Considerando também que o segmento BA é perpendicular ao segmento AO, que M é ^ o ponto médio do segmento AO e que BM = 4.MT, determine a medida do ângulo TMO 6. Uma bola de tênis é sacada de uma altura de 1 dm, com alta velocidade inicial e passa rente à rede, a uma altura de 9 dm. Desprezando-se os efeitos do atrito da bola com o ar e do seu movimento parabólico, considere a trajetória descrita pela bola como sendo retilínea e contida num plano ortogonal à rede. Se a bola foi sacada a uma distância de 10 dm da rede, a que distância da mesma, em metros, ela atingirá o outro lado da quadra? Página de 13

3 7. Para que alguém, com o olho normal, possa distinguir um ponto separado de outro, é necessário que as imagens desses pontos, que são projetadas em sua retina, estejam separadas uma da outra a uma distância de 0,005 mm. Adotando-se um modelo muito simplificado do olho humano no qual ele possa ser considerado uma esfera cujo diâmetro médio é igual a 15 mm, a maior distância x, em metros, que dois pontos luminosos, distantes 1 mm um do outro, podem estar do observador, para que este os perceba separados, é 8. A figura abaixo representa o logotipo que será estampado em 450 camisetas de uma Olimpíada de Matemática realizada entre os alunos do Colégio Alfa. Essa figura é formada por um círculo de centro O inscrito num triângulo isósceles cuja base BC mede 4 cm e altura relativa a esse lado mede 16 cm O círculo será pintado com tinta cinza e sabe-se que é necessário, exatamente, 1 pote de tinta cinza para pintar 5400 cm. Adote π 3 Com base nesses dados, é correto afirmar que o número de potes necessários para pintar o círculo em todas as camisetas é igual a a) 9 b) 10 c) 11 d) 1 9. Na figura, o triângulo ABC é retângulo com catetos BC = 3 e AB = 4. Além disso, o ponto D pertence ao cateto AB, o ponto E pertence ao cateto BC e o ponto F pertence à hipotenusa AC, de tal forma que DECF seja um paralelogramo. Se DE = 3, então a área do paralelogramo DECF vale Página 3 de 13

4 a) 63 5 b) 1 5 c) 58 5 d) 56 5 e) As Regras Oficiais de Voleibol, aprovadas pela Federação Internacional de Voleibol (FIVB), definem que a quadra para a prática desse esporte deve ser retangular, medindo 18 m de comprimento por 9 m de largura. A rede, colocada verticalmente sobre a linha central da quadra, deve ter uma altura de,43 m para jogos profissionais masculinos. Em cada campo da quadra há uma linha de ataque, desenhada a 3 m de distância da linha central, marcando a zona de frente, conforme a figura a seguir. Durante um jogo profissional masculino, um jogador fez um ponto do seguinte modo: estando sobre a linha de ataque de seu campo, saltou verticalmente batendo na bola no ponto H, fazendo-a descrever uma trajetória retilínea, passando rente ao topo da rede, no ponto R, tocando a quadra exatamente num ponto B, pertencente à linha de fundo do campo adversário. Segundo as condições descritas, calcule a altura, AH, que o jogador alcançou para conseguir fazer o ponto. 11. Bem no topo de uma arvore de 10, metros de altura, um gavião casaca-de-couro, no ponto A da figura, observa atentamente um pequeno roedor que subiu na mesma árvore e parou preocupado no ponto B, bem abaixo do gavião, na mesma reta vertical em relação ao chão. Junto à árvore, um garoto fixa verticalmente no chão uma vareta de 14,4 centímetros de Página 4 de 13

5 comprimento e, usando uma régua, descobre que a sombra da vareta mede 36 centímetros de comprimento. Exatamente nesse instante ele vê, no chão, a sombra do gavião percorrer 16 metros em linha reta e ficar sobre a sombra do roedor, que não se havia movido de susto. Calcule e responda: Quantos metros o gavião teve de voar para capturar o roedor, se ele voa verticalmente de A para B? 1. A figura representa os triângulos retângulos PQR e STR, sendo RS 5 cm, ST 3 cm e QT 6 cm. A medida do cateto PQ, em centímetros, é a) 7,5. b) 8,. c) 8,6. d) 9,0. e) 9,. 13. Marcelo mora em um edifício que tem a forma de um bloco retangular e, no topo desse edifício, está instalada uma antena de 0 metros. Após uma aula de Matemática, cujo tema era Semelhança de Triângulos, Marcelo resolveu aplicar o que aprendeu para calcular a altura do prédio onde mora. Para isso, tomou algumas medidas e construiu o seguinte esquema: Página 5 de 13

6 O segmento AC é perpendicular aos segmentos BF e CE ; o segmento AB representa a antena; o segmento BC representa a altura do prédio; ponto D pertence ao segmento CE ; o ponto F pertence ao segmento AE ; o ponto B pertence ao segmento AC ; os segmentos BC e FD são congruentes; a medida do segmento BF é 1 m; a medida do segmento DE é 36 m. Assim, Marcelo determinou que a altura do prédio é, em metros, a) 45. b) 50. c) 60. d) 65. e) No triângulo equilátero ABC, os pontos M e N são respectivamente pontos médios dos lados AB e AC. O segmento MNmede 6 cm. A área do triângulo ABC mede: a) 18 3 cm b) c) d) e) 4 cm 30 cm 30 3 cm 36 3 cm 15. A rampa de um hospital tem na sua parte mais elevada uma altura de, metros. Um paciente ao caminhar sobre a rampa percebe que se deslocou 3, metros e alcançou uma altura de 0,8 metro. A distância em metros que o paciente ainda deve caminhar para atingir o ponto mais alto da rampa é a) 1,16 metros. b) 3,0 metros. c) 5,4 metros. d) 5,6 metros. e) 7,04 metros. Página 6 de 13

7 Gabarito: Resposta da questão 1: [E] Determinando o valor de k no triângulo XZP: K = K = 00 km. ΔXZP Δ XDY d d 360 d 180km Resposta da questão : [A] ΔMBC ΔMAN 4 x x 1 4x 4 6x 10x 4 x Portanto, x =,4. Resposta da questão 3: [D] Página 7 de 13

8 Traçando DF AC, temos que os triângulos DHE e DGF são semelhantes por AAA. Se HE x 1 0 x, vem: x 1, m. Assim, a altura do suporte em B é: 4 x 4 1, 5, m. Resposta da questão 4: [A] 3 x Δ1 ~ Δ x 15 x 5 Logo, a área do Quadrado é 15 unid Resposta da questão 5: Os triângulos MTO e MAB são semelhantes, logo: k a a 4k a 4k a k. Página 8 de 13

9 Logo, no triângulo MTO, temos: k 1 o cosα α 60. k Resposta da questão 6: Considere a figura abaixo. Os triângulos retângulos ABC e DEC são semelhantes por AA. Portanto, sabendo que AB 1dm, DE 9dm e BE 10dm, vem AB BC 1 10 EC 9 DE EC EC 7 EC EC EC 90 dm 9 m. Resposta da questão 7: [C] 1 x 15 x x 3000mm 3m 0, ,005 Resposta da questão 8: [A] AC 16 1 AC 0 R 16 R ΔAOD ~ Δ ACM R Área que será pintada. A = A 450. π.r cm Número de potes = Página 9 de 13

10 Resposta da questão 9: [A] (AC) = AC = 5 DBE ~ ABC x 4 y x = 1, e y = 0,9 A base do paralelogramo será 3 0,9 =,1 e sua altura será x = 1, Logo sua área será A =,1. 1, = Resposta da questão 10: Como AC PD, pelo Teorema de Tales segue que AP CD AP PB DB PB Os triângulos HAB e RPB são semelhantes. Portanto, HA AB HA AP PB HA 4 RP PB RP PB,43 3 HA 3,4 m. Resposta da questão 11: Cálculo da medida da sombra da árvore. Página 10 de 13

11 10, x 14,4 36 x 5,5m Aplicando teorema de Tales, temos: d 16 d 6,4m 10, 55 Resposta da questão 1: [A] Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo RST, temos: z 3 5 z 4. ΔRST ~ Δ RPQ, logo: 3 4 x 6 4 4x 30 x 7,5 Página 11 de 13

12 Portanto, PQ = 7,5 cm. Resposta da questão 13: [C] Considerando x a altura do prédio, temos: ΔABF ~ ΔACE x x 4 x 60 m Resposta da questão 14: [E] AMN ~ ABC logo, BC =.6 = Área do ABC = = 36 3 cm 4 Resposta da questão 15: [D] 3, 3, x 0,8, 0,8(3, x),.3, x 5,6m Página 1 de 13

13 Resumo das questões selecionadas nesta atividade Data de elaboração: 7/03/01 às : Nome do arquivo: Click - semelhança de triângulos Legenda: Q/Prova = número da questão na prova Q/DB = número da questão no banco de dados do SuperPro Q/prova Q/DB Matéria Fonte Tipo Matemática... Insper/01... Múltipla escolha Matemática... Eewb/ Múltipla escolha Matemática... Ufpr/ Múltipla escolha Matemática... Mackenzie/ Múltipla escolha Matemática... G1 - ccampos/ Analítica Matemática... Unesp/ Analítica Matemática... Unesp/ Analítica Matemática... G1 - epcar (Cpcar)/ Múltipla escolha Matemática... Fuvest/ Múltipla escolha Matemática... Ufg/ Analítica Matemática... Fgv/ Analítica Matemática... G1 - cps/ Múltipla escolha Matemática... G1 - cps/ Múltipla escolha Matemática... Unemat/ Múltipla escolha Matemática... Enem/ Múltipla escolha Página 13 de 13

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