Segmento de reta GEOMETRIA PLANA

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1 GEOMETRIA PLANA Noções primitivas Os elementos primitivos da geometria são o ponto, a reta e o plano, cujas definições são impossíveis de serem enunciadas, pois só se tem uma noção intuitiva do que sejam. Segmento de reta Dados dois pontos distintos P e Q, a reunião do conjunto desses dois pontos com o conjunto dos pontos que estão entre eles e alinhados com os mesmos, denomina-se segmento de reta. Dois segmentos são congruentes quando têm a mesma medida. O ponto médio de um segmento é o ponto que o divide em dois segmentos iguais. A reta r acima pode ser representada assim: Ponto, reta e plano, não têm dimensões. Representa-se um ponto por uma letra maiúscula do nosso alfabeto, uma reta por uma letra minúscula e um plano por uma letra do alfabeto grego. Dois pontos distintos determinam uma única reta. Numa reta existem infinitos pontos. Num plano há infinitos pontos. Três pontos determinam um único plano que passa por eles. Se uma reta tem dois pontos distintos num plano, então a reta está contida nesse plano. Duas retas contidas num mesmo plano são ditas coplanares, caso pertençam a planos distintos, são denominadas reversas. Duas retas r e s, contidas num mesmo plano, podem ser concorrentes, se têm um único ponto em comum; paralelas, se: Semi-reta Dados dois pontos distintos P e Q, a reunião do segmento de reta PQ, com o conjunto dos pontos X tais que Q está entre P e X é a semi-reta PQ. Duas semi-retas são opostas se estão na mesma reta, têm mesma origem e sentidos contrários. Ângulo É uma região do plano limitada por duas semiretas de mesma origem. Na figura abaixo temos o ângulo de lados e vértice A, cuja representação é: BAC, BÂC ou Â, que representa o ângulo convexo, salvo menção contrária. não têm ponto em comum ou Ângulos consecutivos Dois ângulos que têm o mesmo vértice e um lado comum. se são coincidentes (iguais) quando têm todos os pontos em comum. 1

2 Ângulos adjacentes Dois ângulos consecutivos que não têm pontos internos comuns. Unidades de medida de um ângulo Ângulos opostos pelo vértice (o.p.v.) Dois ângulos α e β são o.p.v. se os lados de α são as semi-retas opostas dos lados de β. Ângulo suplementar adjacente Dado o ângulo AÔB, as semi-retas opostas AO e OC determinam um ângulo BÔC que se chama ângulo suplementar adjacente de AÔB. Um ângulo pode ser medido em graus, cujos submúltiplos são o minuto e o segundo, em grados (gr) ou radianos (rad), este último será definido posteriormente. Ao dividirmos um ângulo reto em 90 partes iguais, cada uma dessas mede um grau (1º). Se dividirmos um grau em 60 partes, cada uma dessas partes medirá um minuto (1 ) e se dividirmos um minuto em 60 partes, cada uma dessas partes será um segundo (1 ). Se dividirmos um ângulo reto em 100 partes iguais, cada uma dessas partes será um grado. 1º = 60 1 = 60 1º = º = 100gr Ângulos complementares São dois ângulos cuja soma é igual a 90º. Ex: O complemento de 30º é O complemento de 15º é O complemento de x é Ângulos suplementares São dois ângulos cuja soma é igual a 180º. Ângulo reto Ângulo igual ao seu suplementar adjacente. Ex: O suplemento de 135º é O suplemento de 150º é O suplemento de x é Ângulos replementares São dois ângulos cuja soma é igual a 360º. Ex: O replemento de 300º é O replemento de 180º é O replemento de x é Ângulo raso Ângulo formado por dois retos adjacentes. Ângulos explementares São dois ângulos cujo módulo da diferença é igual a 180º. Ex: 60º e 240º são explementares. Bissetriz e um ângulo Ângulo agudo Ângulo menor que um reto. É uma semi-reta interna ao ângulo, com origem no vértice do ângulo e que o divide em dois ângulos congruentes. Ângulo obtuso Ângulo maior que um reto e menor que um raso. 2

3 Exercício 01 Calcule x em cada uma das figuras: a) b) Exercício 05 Dê o somatório das afirmativas corretas: (01) Dois ângulos consecutivos são adjacentes (02) Dois ângulos adjacentes são consecutivos (04) Dois ângulos opostos pelo vértice são consecutivos (08) Dois ângulos suplementares são adjacentes (16) Dois ângulos complementares podem ser consecutivos (32) O suplemento de um ângulo agudo é um ângulo obtuso (64) Os ângulos de medidas 10º, 30º e 50º são complementares c) Exercício 06 (UFRJ) Sendo y e 3x 45º dois ângulos suplementares e sabendo que 20º < x 35º, assinale a metade do maior valor inteiro que y pode assumir: A) 60 B) 80 C) 81 D) 160 E) 162 Exercício 02 (UNIFOR) Às 12h, um matemático telefonou para seu filho e disse: Encontre-me em casa antes das 13h, quando os ponteiros do relógio estiverem alinhados em sentidos opostos. Dos horários abaixo, o que mais se aproxima do horário desse encontro é: A) 12h30min B) 12h31min20s C) 12h32min8s D) 12h32min43s E) 1233min30s Ângulos nas paralelas Exercício 03 (UECE) O ângulo igual a 5/4 do seu suplemento mede: A) 100º B) 144º C) 36º D) 80º Na figura acima, temos duas retas paralelas r e s cortadas por uma transversal t, formando oito ângulos. A região situada entre as paralelas é denominada região interna e a região situada acima de r ou abaixo de s é denominada região externa. Exercício 04 (UFES) O triplo do complemento de um ângulo é igual à terça parte do suplemento desse ângulo. Esse ângulo mede: A) 157º 30 B) 56º 15 C) 315º D) 78º 45 E) 112º 30 3 São ângulos congruentes (têm mesma medida): Ângulos correspondentes: {, }; {, }; {, }; {, } Ângulos o.p.v.: {, }; {, }; {, }; {, } Ângulos alternos internos: {, }; {, } Ângulos alternos externos: {, }; {, } São ângulos suplementares (somam 180º): Ângulos adjacentes: {, }; {, }; {, }; {, } Ângulos colaterais internos: {, } e {, } Ângulos colaterais externos: {, } e {, }

4 Exercício 07 Calcule x em cada caso, sabendo que as retas r e s são paralelas: Olha o teorema! Em todo triângulo, a soma das medidas dos ângulos interno é igual a 180º Demonstração Olha o teorema! A medida de um ângulo externo de um triângulo é igual à soma dos ângulos internos não adjacentes a esse ângulo Demonstração Exercício 08 (FUVEST) Na figura, as retas r e s são paralelas, o ângulo 1 mede 45º e o ângulo 2 mede 55º. A medida, em graus, do ângulo 3 é: A) 50 B) 50 C) 60 D) 80 E) 100 TRIÂNGULOS Triângulo é um polígono convexo de três lados. Exercício 09 (UEFS) Na figura a seguir, o valor de a é, em graus: A) 73º B) 29º C) 62º D) 45º E) n.d.a. Exercício 10 (UFC) Calcule α. Na figura acima, temos: Vértices: A, B e C Lados: Ângulos internos: 4

5 Condição de existência de um triângulo Num triângulo, a medida de cada lado deve ser maior que o módulo da diferença e menor que a soma das medidas dos outros dois. II. Quanto aos lados a) Triângulo escaleno é aquele onde as medidas dos lados são todas distintas. AB BC CA AB b) Triângulo isósceles é aquele que possui dois lados congruentes. Classificação dos triângulos I. Quanto aos ângulos AB = AC (lados congruentes) BC é a base a) Triângulo retângulo é aquele que possui um ângulo interno reto. Num triângulo isósceles, os ângulos da base são congruentes ( ) c) Triângulo eqüilátero é aquele cujos lados são todos congruentes. O lado maior do triângulo retângulo (o oposto ao ângulo reto) é denominado hipotenusa e os outros dois lados são denominados catetos. b) Triângulo acutângulo é aquele em que todos os ângulos internos são agudos. Exemplo: AB = BC = CA Todo triângulo eqüilátero é também eqüiângulo, ou seja, tem todos os ângulos congruentes. Natureza de um triângulo Se a é o maior lado de um triângulo ABC e: a 2 = b 2 + c 2, então ABC é retângulo. a 2 < b 2 + c 2, então ABC é acutângulo. c) Triângulo obtusângulo é aquele que possui um ângulo interno obtuso. Exemplo: a 2 > b 2 + c 2, então ABC é obtusângulo Exercício 11 Some as alternativas verdadeiras: (01) Todo triângulo isósceles é eqüilátero. (02) Todo triângulo eqüilátero é isósceles. (04) Um triângulo escaleno é obtusângulo. (08) Existe triângulo eqüilátero e retângulo. (16) Existe triângulo obtusângulo e eqüilátero. (32) Existe triângulo retângulo e isósceles. (64) Um triângulo retângulo pode ser escaleno. 5

6 Congruência de triângulos Um triângulo ABC é congruente a outro DEF ( ABC DEF) se, e somente se é possível estabelecer uma correspondência entre seus vértices de modo que os lados do ABC sejam ordenadamente congruentes aos lados do DEF, assim como seus ângulos internos. Baricentro - é o ponto de encontro das medianas de um triângulo. Propriedade Ortocentro - é o ponto de encontro das alturas de um triângulo. Há condições mínimas para que dois triângulos sejam congruentes e tais condições são denominados casos ou critérios de congruência. Os casos de congruência são L.A.L., A.L.A., L.L.L. e L.A.A o. Ceviana de um triângulo É um segmento que tem uma extremidade em um vértice e outra na *reta suporte do lado oposto. As principais cevianas são a mediana, a bissetriz e a altura. Mediana é qualquer segmento com uma extremidade em um dos vértices e outra no ponto médio do lado oposto a esse vértice. Bissetriz é o segmento da bissetriz interna do ângulo, com uma extremidade no vértice e outra no lado oposto a esse vértice. Incentro - é o ponto de encontro das bissetrizes de um triângulo. O incentro também é o centro da circunferência inscrita no triângulo. Circuncentro é ponto de encontro das *mediatrizes dos lados de um triângulo. O circuncentro é também o centro da circunferência circunscrita ao triângulo. Altura é um segmento perpendicular a um dos lados ou ao seu prolongamento, cujas extremidades são: uma na reta suporte do lado e outra no vértice oposto a essa reta. Pontos notáveis de um triângulo *Mediatriz é qualquer reta que seja perpendicular a um dos lados de um triângulo e que contenha o seu ponto médio. 6

7 Veja as cevianas num só triângulo: Exercício 13 Na figura AB = AC, calcule α. Todo triângulo possui três medianas, três bissetrizes internas e três alturas. A altura pode ser um segmento externo ao triângulo ou até mesmo um dos lados desse triângulo. O ortocentro e o circuncentro podem se situar no exterior do triângulo Cada ponto de uma mediatriz é eqüidistante dos extremos do seu segmento o qual ela é perpendicular no ponto médio. Num triângulo isósceles, a mediana coincide com a altura e com a bissetriz relativa à base e, têm como reta suporte, a mediatriz. Num triângulo eqüilátero, a mediana relativa a qualquer lado, coincide com a altura e com a bissetriz, assim o baricentro coincide com o incentro, com o ortocentro e com o circuncentro. A mediana relativa à hipotenusa de um triângulo retângulo é igual à metade da hipotenusa. Exercício 14 Na figura, e o perímetro do triângulo AMN vale 30cm. Sabendo que BC = 10cm, calcule, em cm, o perímetro do triângulo ABC. Exercício 15 Na figura, sendo AB = AC, AE = AD, calcule a medida do ângulo, dado BÂD = 52º. Exercício 12 (UFES) O triângulo ABC da figura é isósceles com base. Sabendo que, o valor do ângulo interno no vértice A é: Exercício 16 Na figura abaixo, ABCD é retângulo e M é ponto médio de CD. Se o triângulo AMB é eqüilátero e AB = 15cm, então calcule a medida, em cm, de. 7

8 Exercício 17 Calcule x na figura abaixo, sabendo que M é ponto médio de e  = 70º. A) 130º D) 70º B) 110º E) 50º C) 100º 03. (UECE) Considere 5 semi-retas, todas partindo do mesmo ponto P num certo plano, formando 5 ângulos contíguos que cobrem todo o plano, cujas medidas são proporcionais aos números 2, 3, 4, 5 e 6. Determine a diferença entre o maior e o menor ângulo. Exercício 18 Na figura abaixo, DE = 2.AC e r // s. Se o ângulo mede β e o ângulo mede α, podemos afirmar que A) 22º D) 72º B) 34º C) 56º 04. (UNEB) A) β = 2α C) β = 3α D) β = 4α E) β = 5α Na figura, AB = BC, DE = BE e CF = CE. Se o ângulo  mede 50º, então a medida, em graus, do ângulo DÊF é 01) 90 04) ) 95 06) ) 100 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 05. (UCSal) Se na figura seguinte r e s são paralelas, então α + β é igual a A) 2º B) 58º C) 120º D) 122º E) 182º 01. (UNIFOR) A medida em graus de um ângulo  é igual ao triplo de seu complemento. O Ângulo  mede: A) 90º D) 48º 30 B) 67º 30 E) 45º C) 60º 06. (UFPE) Na figura abaixo determine o ângulo que é oposto ao lado de menor comprimento. 02. (UNIFOR) Na figura abaixo têm-se as retas r e s, paralelas entre si, e os ângulos assinalados, em graus. Nessas condições, α + β é igual a: 8

9 07. (UFMG) Observe a figura. Nela,, é bissetriz de ; é bissetriz de e a medida do ângulo é: A) 20 B) 30 C) 40 D) 50 E) 60 é 140º. A medida do ângulo DÊC, em graus, 08. Na figura abaixo, temos um triângulo retângulo em A, AE = 5, AD = 4, CD e BE são bissetrizes. Determine o valor de GH. 12. (FUVEST) Na figura, AB = BD = CD. Então: A) y = 3x B) y = 2x C) x + y = 180º D) x = y E) 3x = 2y GABARITO - PROPOSTOS 01 B 05 E 09 A 02 C B 03 D 07 C 11 C A Semelhança de triângulos Dois triângulos são semelhantes, se os ângulos internos de um, são congruentes aos correspondentes do outro e seus lados homólogos são proporcionais. 09. (UFPE) Na figura abaixo, BC, AC são bissetrizes dos ângulos DBE, DAB, respectivamente. Se o angulo ACB mede 21º 30, qual a medida em graus do ângulo ADB? A) 43 B) 41 C) 40 D) 44 E) Num triângulo retângulo ABC a altura forma com a mediana um ângulo de 22º. Calcule B C. A) 11º B) 22º C) 30º D) 34º E) 56º r é denominado razão de semelhança dos triângulos, e também é a razão entre dois elementos lineares homólogos. Se r = 1, os triângulos são congruentes. Toda reta paralela a um dos lados de um triângulo determina um outro triângulo semelhante ao primeiro. 11. (UFPE) No triângulo ABC, o ângulo A mede 110º. Qual a medida do ângulo agudo formado pelas retas que fornecem as alturas relativas aos vértices B e C? A) 60º B) 80º C) 70º D) 75º E) 65º 9 Há condições mínimas para que dois triângulos sejam semelhantes e tais condições são denominadas casos ou critérios de semelhança. Os casos de semelhança são A.A., L.A.L., L.L.L.

10 Base média de um triângulo Se um segmento tem extremidade nos pontos médios de dois lados de um triângulo, então ele é paralelo ao terceiro lado e mede a metade da medida do terceiro lado. Exercício 21 Seja o ABC da figura, onde BC = 4cm, AC = 6cm e AB = 8cm. Calcular 3.CD. Exercício 22 (MACK-SP) O triângulo ABC da figura é eqüilátero. AM = MB = 5 e CD = 6. O valor de AE é: Se um segmento paralelo a um dos lados de um triângulo tem uma extremidade no ponto médio de um lado e a outra extremidade no terceiro lado, então esta extremidade é o ponto médio do terceiro lado. A) 76/11 B) 77/11 C) 78/11 D) 79/11 E) 80/11 Exercício 19 (UFRN) Considerando-se as informações contidas no triângulo PQR (figura abaixo), pode-se concluir que a altura desse triângulo mede: Obs.: Todas as medidas referem-se a uma mesma unidade de comprimento. A) 5 B) 4 C) 3 D) 2 Exercício 20 (UFPE - adaptada) Na figura seguinte, os triângulos ABC e A B C são simétricos em relação à reta r, todos num mesmo plano. Assinale a afirmativa correta: C B A A ' r Exercício 23 (UFC) Sejam ABC um triângulo retângulo em A, sua altura, relativa ao lado e a altura do triângulo ABD, relativa ao lado. Se AC = 9cm e DE = 4cm, calcule, em centímetros, o valor de. C B ' A) Os triângulos ABC e A B C não são semelhantes. B) Os triângulos ABC e A B C são congruentes. C) Os triângulos ABC e A B C têm áreas diferentes. D) O ângulo A tem medida diferente da do ângulo A. E) A medida do lado AB é maior que a medida do lado A B. 10

11 Teorema de Tales Sejam duas transversais a um feixe de retas paralelas. A razão entre quaisquer dois segmentos determinados por uma das transversais nas paralelas é igual à razão entre os segmentos correspondentes da outra. Teorema da bissetriz externa Se a bissetriz de um ângulo externo de um triângulo, intercepta a reta que contém o lado oposto, Exercício 25 (CESGRANRIO) No triângulo ABC da figura, é a bissetriz do ângulo interno em C. Se AD = 3cm, DB = 2cm e AC = 4cm, então o lado mede: A) 3cm Exercício 24 (UCSal) Na figura a seguir,onde r//s//t, a medida do segmento x é: A) 3/5 B) 5/3 C) 7 D) 9 E) 15 E) 4cm Teorema da bissetriz interna Uma bissetriz interna de um triângulo divide o lado oposto em segmentos (aditivos) proporcionais aos lados adjacentes. Exercício 26 (UEPI) Os lados de um triângulo medem, respectivamente, 4cm, 5cm e 6cm. Calcular de quantos centímetros é preciso prolongar o lado maior, para que ele encontre a bissetriz do ângulo externo oposto. A) 08 B) 12 C) 18 D) 24 E) 28 11

12 Polígonos Dados n pontos distintos de um mesmo plano (V 1, V 2,..., V n ) com (n 3), onde três pontos consecutivos nunca são colineares, chama-se polígono à reunião dos segmentos consecutivos. Elementos No polígono convexo ABCDEF da figura, temos: Note que no polígono convexo, qualquer reta determinada por dois segmentos consecutivos deixa todos os demais (n 2) vértices num mesmo semi-plano, o que não ocorre no polígono côncavo. Vértices: A, B, C, D, E e F. Lados: São os segmentos AB, BC, CD, DE, EF e FA. Diagonais: Quaisquer segmentos que ligam dois vértices não consecutivos. Ex:. Sobre polígonos convexos de n lados (n 3), temos: S i = (n 2).180º S e = 360º a i + a e = 180º Superfície poligonal É a reunião do polígono com o seu interior. em que : d é o número de diagonais; S i é a soma das medidas dos ângulos internos; S e é a soma das medidas dos ângulo externos; a i é a medida de um ângulo interno; a e é a medida do ângulo externo adjacente a a i. Polígonos convexos regulares Denominamos um polígono de acordo com o seu número n de lados, assim se: n = 3 triângulo n = 4 quadrilátero n = 5 pentágono n = 6 hexágono n = 7 heptágono n = 8 octógono n = 9 eneágono n = 10 decágono n = 11 undecágono n = 12 dodecágono n = 15 pentadecágono n = 20 icoságono Um polígono convexo é regular se, e somente se é eqüilátero e eqüiângulo, ou seja, tem todos os lados congruentes e todos os ângulos internos congruentes. Denominamos um polígono regular da seguinte forma: n = 3 n = 4 triângulo eqüilátero quadrado Se n 5, então acrescentamos o nome regular ao nome do polígono. Ex: pentágono regular, hexágono regular, e assim por diante. Cada ângulo interno a i é dado por: e cada ângulo externo: 12

13 Exercício 27 (FATEC) Dado o triângulo ABC, abaixo indicado, construímos a poligonal L = BCB 1 C 1 B 2 C 2 B 3 C 3... O comprimento de L é II. Trapézios quadriláteros que possuem dois lados paralelos. A) 2c B) a + b + c C) 2(a + b) D) 2(a + c) Exercício 28 (UECE) Na figura estão desenhados um hexágono regular, um quadrado e um triângulo. A medida do ângulo x é: A) 45º B) 60º C) 62º 30 D) 75º Num trapézio, as bases são os lados paralelos e distância entre as bases é a altura. Um trapézio retângulo tem dois ângulos internos retos e um dos lados perpendicular às bases. Num trapézio isósceles, dois de seus lados opostos são congruentes e os ângulos das bases são iguais. Exercício 29 (IME) A soma dos ângulos internos de um polígono convexo é 1080º. Calcule o número de diagonais desse polígono. A base média de um trapézio é média aritmética entre suas bases maior e menor. Exercício 30 Um polígono regular possui 30 diagonais que não passam pelo centro. Quanto mede cada ângulo interno? A mediana de Euler é o segmento cujos extremos são os pontos de interseções das diagonais com a base média e sua medida é igual ao módulo da semi-diferença entre as bases. Quadriláteros Os quadriláteros convexos classificam-se em trapezóides, trapézios ou paralelogramos. Seus ângulos internos somam 360º. I. Trapezóides quadriláteros convexos que não possuem lados opostos paralelos. 13

14 Exercício 31 (UFES) Seja ABCD um trapézio retângulo. O ângulo formado pelas bissetrizes do seu ângulo reto e do ângulo consecutivo da base maior mede 92º. Os ângulos agudo e obtuso deste trapézio medem, respectivamente: A) 88º e 92º B) 86º e 94º C) 84º e 96º D) 82º e 98º E) 79º e 101º Retângulo Tem os quatro ângulos retos e as diagonais congruentes. Losango Tem todos os lados congruentes e, as diagonais perpendiculares e bissetrizes dos ângulos internos. Paralelogramos Todo e qualquer quadrilátero em que os lados opostos são paralelos é denominado paralelogramo. Quadrado Admite todas as propriedades do retângulo e do losango, ou seja, tem todos os ângulos retos, os lados congruentes, as diagonais congruentes, perpendiculares e bissetrizes dos ângulos internos. Todo paralelogramo satisfaz às seguintes propriedades: Os lados opostos são congruentes, assim como os ângulos internos opostos. Exercício 32 (CESGRANRIO) As bases MQ e NP de um trapézio medem 42cm e 112cm, respectivamente. Se o ângulo MQP é o dobro do ângulo PNM, então o lado PQ mede: Dois ângulos internos consecutivos são suplementares. Na figura acima, α + β = 180º. As diagonais interceptam-se mutuamente ao meio, ou seja, o ponto de encontro das diagonais é ponto médio das mesmas. A) 154cm B) 133cm C) 91cm D) 77cm E) 70cm Paralelogramos especiais São paralelogramos em que, além das propriedades comuns a todos os paralelogramos, apresentam outras propriedades. São eles o retângulo, o losango e o quadrado. Exercício 33 (UPE/05) No paralelogramo ABCD, o ponto M é o médio do lado. Se mede 12cm, pode-se afirmar que mede A) 6cm B) 5cm C) 4cm D) 8cm E) 7cm 14

15 Exercício 34 (FUVEST) No triângulo acutângulo ABC a base AB mede 4cm e a altura relativa a essa base também mede 4cm. MNPQ é um retângulo cujos vértices M em N pertencem ao lado AB, P pertence ao lado BC e Q ao lado AC. Qual é o perímetro, em cm, desse retângulo? Salvo contrário, se nos referimos ao arco CD falamos do arco menor CD. Corda é qualquer segmento cujas extremidades pertencem à circunferência λ. Diâmetro é qualquer corda que passe pelo centro de λ. Semi-circunferência é qualquer arco cujas extremidades são extremidades de um diâmetro. CIRCUNFERÊNCIA E CÍRCULO Circunferência é um conjunto de pontos de um plano equidistantes de um único ponto dado pertencentes ao mesmo plano. Esse ponto é denominado centro e essa distância é o raio r (r > 0) da circunferência. Dados: um plano α, um ponto O e uma distância r, λ(o, r) = {P α; OP = r} onde λ(o, r) representa a circunferência de centro O e raio r. Posições relativas de reta e circunferência Uma reta r pode ser secante, se intercepta a circunferência em dois pontos distintos, tangente, se intercepta a circunferência em um único ponto ou externa, se não intercepta a circunferência. Propriedades A reta s suporte do raio de uma circunferência é perpendicular a uma reta r secante, no ponto médio da corda determinada por essa secante. Posições relativas e ponto e circunferência se: Dado um ponto P e uma circunferência λ(o, r), P λ OP = r P é interno a λ OP < r P é externo a λ OP > r Toda reta t tangente a uma circunferência é perpendicular à reta s suporte do raio, no ponto de tangência. Elementos Arco menor CD é a reunião de todos os pontos C, D e de todos os pontos de λ, pertencentes ao interior do ângulo CÔD. Arco maior CD é a reunião de todos os pontos C, D e de todos os pontos de λ, pertencentes ao exterior do ângulo CÔD. Se uma reta é externa a uma circunferência, então a distância dessa reta ao centro da circunferência é maior que o raio. 15

16 Segmentos tangentes Duas retas não-paralelas e tangentes a uma mesma circunferência nos pontos distintos A e B, interceptam-se num ponto P, tal que os segmentos são congruentes. Posições relativas de duas circunferências Se duas circunferências têm: I. Um único ponto comum, então são denominadas tangentes. Teorema de Pitot II. Dois pontos em comum, então são denominadas secantes. Se um quadrilátero convexo é *circunscrito a uma circunferência, então a soma de dois lados opostos é igual à soma dos outros dois. Se duas circunferências não têm pontos comuns, então elas podem ser externas ou uma interna à outra. * Um polígono é circunscrito a uma circunferência se todos os seus lados são tangentes a essa circunferência. Se um polígono é circunscrito a uma circunferência, então a circunferência é inscrita no polígono. Exercício 35 Calcule o valor do raio r do círculo inscrito no trapézio retângulo da figura. Círculo ou disco É a reunião a circunferência com a sua região interna. Centro, raio, corda, diâmetro e arco de um círculo são o centro, o raio, a corda, o diâmetro e o raio da circunferência referente a esse círculo. 16

17 Exercício 36 Na figura abaixo determine o perímetro do triângulo ADE, sabendo que o perímetro do triângulo ABC vale 10cm, a base mede 4cm e que o círculo está inscrito no quadrilátero BCDE. Ângulo excêntrico interior é um ângulo formado por duas cordas que se interceptam no interior da circunferência em um ponto distinto do centro. Ângulo excêntrico exterior é um ângulo cujo vértice está no exterior da circunferência e cujos lados interceptam-na. ÂNGULOS NA CIRCUNFERÊNCIA Ângulo central é um ângulo cujo vértice é o centro da circunferência. A medida do ângulo central é igual à medida do seu arco correspondente. Ângulo inscrito é um ângulo cujo vértice pertence à circunferência e os lados são secantes a ela. A medida de um ângulo inscrito é igual à metade do arco correspondente. Exercício 37 Calcule x em cada caso: Ângulo de segmento é o que tem o vértice na circunferência, um lado tangente e outro secante à circunferência. A medida de um ângulo de segmento é igual à metade do arco correspondente. 17

18 Exercício 39 Na figura, o arco mede 60º; determine a medida do arco e a medida do ângulo. e) RELAÇÕES MÉTRICAS NO CÍRCULO Se por um ponto P passam duas retas concorrentes que interceptam a circunferência nos pontos A, B, C e D, respectivamente, temos: Exercício 38 (UNEB) Em um círculo de centro O, figura acima, está inscrito o ângulo α. Se o ângulo AÔB mede 80º, então α mede 01) 30º 02) 40º 03) 45º 04) 50º 05) 60º Se por um ponto P exterior a uma circunferência, conduzimos um segmento tangente em A e outro secante em B e C, então: Se um triângulo inscrito numa semi-circunferência tem um lado igual ao diâmetro, então ele é triângulo retângulo. Exercício 40 Calcule x em cada caso: Se um quadrilátero convexo está inscrito numa circunferência, então os ângulos opostos são suplementares. 18

19 15. (UFC) Na figura abaixo, os triângulos ABC e AB C AC são semelhantes. Se = 4, então o perímetro de A' C' AB C dividido pelo perímetro de ABC é igual a: A) 1/ 8 B) 1/ 6 C) 1/ 4 D) 1/ 2 E) (UFPE) Qual o número inteiro mais próximo do comprimento do segmento AB indicado na figura? B 20 m 30 m A 30 m 40 m EXERCÍCIOS PROPOSTOS 17. (UFPE) Sejam ABC e DEF triângulos tais que AB, BC são paralelos a DE, EF respectivamente e as retas passando por B e E; A e D; C e F são concorrentes em V conforme a ilustração abaixo. Analise as sentenças seguintes: 13. (UCSal) Na figura a seguir, o valor de x é: 18. (UFPE) A figura abaixo representa um rio cujas margens são retas paralelas. A) B) C) D) E) 14. (UFPE) A figura abaixo ilustra dois terrenos planos. Suponha que os lados e são paralelos, respectivamente, a e e que A, D, F e C são pontos colineares. Qual a distância, em metros? A) 75 B) 76 C) 78 D) 79 E) 80 Qual o inteiro mais próximo da largura do rio, quando medida em metros? 19. (UNIFOR) Na figura abaixo tem-se o hexágono regular ABCDEF, no qual alguns ângulos estão assinalados, com suas medidas indicadas em graus. É correto afirmar que: 19

20 A) z = 120º B) w = 100º C) v = 80º D) y = 60º E) x = 45º 23. (UFPE) Na figura, o círculo tem raio 1, o arcos e π π medem e respectivamente (ambos orientados 6 9 no sentido anti-horário). Se α é a medida em radianos do 144 ângulo AÔB, calcule α. π B C 20. (UECE) Sejam P 1, P 2 e P 3 polígonos regulares convexos. Suponha que S 1, S 2 e S 3 sejam, respectivamente, a soma dos ângulos internos de P 1, P 2 e P 3. Se P 1, P 2 e P 3, têm respectivamente n, n + 1, n + 2 lados e S 1 + S 2 + S 3 = 3780º, então n² + n 2 é igual a: A) 40 D) 88 B) 54 C) (UEFS) A O D 24. (UFPE) Na figura, o círculo tem raio 1, o arcos e π π medem e respectivamente (ambos orientados 6 9 no sentido anti-horário). Se α é medido em radianos, calcule B C α D A Na figura, O é o centro da circunferência. Portanto, o ângulo mede A) 120º D) 150º B) 130º E) 160º C) 140º 22. (ITA) Na figura abaixo 0 é o centro da circunferência. Sabendo-se que a reta que passa por E e F é tangente a essa circunferência e que a medida dos ângulos 1, 2 e 3 são dadas respectivamente, por 49º, 18º e 34º, determinar a medida dos ângulos 4, 5, 6 e 7. Nas alternativas abaixo considere os valores dados iguais às medidas de 4, 5, 6 e 7, respectivamente. 25. (UPE) Os lados do triângulo ABC, da figura, medem AB = 20cm, AC = 10cm e BC = 15cm. Sobre o lado BC, marca-se D, de modo que BD = 3cm, e traça-se a paralela DE ao lado AB. Podemos afirmar que o perímetro do paralelogramo AEDF é: A) 30 cm B) 36 cm C) 35 cm D) 40 cm E) 38 cm 26. (UFPE) O triângulo ABC ilustrado na figura abaixo tem lados medindo AB = 7 e BC = 13. Sabendo-se que BMNO é um quadrado com todos os vértices sobre os lados do triângulo ABC, indique a soma dos dígitos da medida do lado do quadrado. A) 97º, 78º, 61º, 26º B) 102º, 79º, 58º, 23º C) 92º, 79º, 61º, 30º D) 97º, 79º, 61º, 27º E) 97º, 80º, 62º, 29º 20

21 27. (FDC) Por um ponto são conduzidas duas retas, S 1 e S 2, secantes a uma circunferência de centro O, conforme mostra a figura abaixo. RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO A medida θ do ângulo assinalado é A) 50º D) 20º B) 40º E) 10º C) 30º 28. (UCSal) Seja a circunferência de centro O representada na figura a seguir. O valor de x é: No ABC da figura acima, destacamos: a hipotenusa b cateto c cateto h altura relativa à hipotenusa m projeção do cateto b sobre a hipotenusa n projeção do cateto c sobre a hipotenusa Da semelhança entre os triângulos ABC, HAC e HBA, temos: I. a.h = b.c A) 30º D) 60º B) 40º E) 70º C) 50º 29. (FUVEST) No triângulo acutângulo ABC a base mede 4cm e a altura relativa a essa base também mede 4cm. MNPQ é um retângulo cujos vértices M e N pertencem ao lado, P pertence ao lado e Q ao lado. Qual é o perímetro, em cm, desse retângulo? II. h² = m.n III. b² = m.a IV. c² = n.a V. a² = b² + c² (Teorema de Pitágoras) Exercício 41 Demonstre que a altura h de um triângulo equilátero em função do seu lado é dada pela fórmula: 30. (UNICAP) A medida de um ângulo está para a medida do seu complemento assim como 2 está para 7. Qual a medida do ângulo, em graus? Exercício 42 Demonstre que a medida da diagonal d de um quadrado de lado é dada pela expressão: GABARITO PROPOSTOS E C C 24 v,v,v,v,v 26 D C C D B 14 D C

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