Polos Olímpicos de Treinamento. Aula 7. Curso de Geometria - Nível 2. Ângulos na circunferência. Prof. Cícero Thiago

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1 Polos límpicos de Treinamento urso de Geometria - Nível 2 Prof. ícero Thiago ula 7 Ângulos na circunferência efinição 1: ânguloinscrito relativo aumacircunferência éumânguloquetem ovértice na circunferência e os lados são secantes a ela. P ssim, P é o ângulo inscrito e é o ângulo central que é igual à medida do arco, que não contém P, determinado na circunferência pelos pontos e. Teorema 1. Um ângulo inscrito é metade do ângulo central correspondente. emonstração. prova será dividida em três casos. 1 caso: triângulo é isósceles e, com isso, =. Então, = + = 2 (propriedade do ângulo externo).

2 PT Geometria - Nível 2 - ula 7 - Prof. ícero Thiago 2 2 caso: Pelo 1 caso temos que = 2 e = 2. Portanto, = caso: Pelo 1 caso temos que E = 2 E, então 2+2θ = 2 (+) θ =. Portanto, = 2. 2

3 PT Geometria - Nível 2 - ula 7 - Prof. ícero Thiago 2 2θ E efinição 2: izemos que uma reta é tangente a uma circunferência se essa reta intersecta a circunferência em um único ponto. Teorema 2. Toda reta perpendicular a um raio na sua extremidade da circunferência é tangente à circunferência. emonstração. r Suponha que r mas r não é tangente à circunferência, e seja o segundo ponto de interseção. Isso é um absurdo pois o triâgulo seria isósceles, pois = (raio da circunferência), com os ângulos da base iguais a 90. Portanto, r é tangente à circunferência. Teorema 3. Toda tangente a uma circunferência é perpendicular ao raio no ponto de tangência. emonstração. 3

4 PT Geometria - Nível 2 - ula 7 - Prof. ícero Thiago r Seja o ponto de tangencia. Qualquer ponto de r está a uma distância maior do que do centro. om isso, é a menor distância de para a reta r. Portanto, r. efinição 3: Um ângulo de segmento relativo a uma circunferência é um ângulo que tem o vértice na circunferência, um lado secante e outro lado tangente à circunferência. θ t ângulo θ da figura é um ângulo de segmento. Teorema 4. Um ângulo de segmento é a metade do ângulo central correspondente. emonstração. alculandoasomadosângulos internos notriângulo temos 2+2 = = 90. Mas, θ+ = 90. Portanto, θ =. 4

5 PT Geometria - Nível 2 - ula 7 - Prof. ícero Thiago θ 2 t efinição 4: hamaremos de ângulo excêntrico interior qualquer ângulo formado por duas cordas de uma circunferência. Na figura abaixo, temos que E é um ângulo excêntrico + interior que satisfaz E =, pois E = + = 2 E + E = + + = E efinição 5: hamaremos de ângulo excêntrico exterior o ângulo formado por duas secantes a uma circunferência traçadas por um ponto no exterior. Na figura abaixo, P é um ângulo excêntrico exterior que satisfaz P =, pois 2 P = P = =

6 PT Geometria - Nível 2 - ula 7 - Prof. ícero Thiago P Exercícios Resolvidos 1. (M) triângulo está inscrito na circunferência S e <. reta que contém e é perpendicular a encontra S em P (P ). ponto X situa-se sobre o segmento e a reta X intersecta S em Q (Q ). Mostre que X = X se, e somente se, PQ é um diâmetro de S. Solução. Vamos dividir o problema em duas partes: (a) X = X PQ é um diâmetro de S. Seja =. ssim, temos que Q = (já que X = X) e P = = 90. bserve que os ângulos P = P. ssim, vemos que P = P = 90 PQ = 90 + = 90 PQ é diâmetro. Q 90 X 90 P 6

7 PT Geometria - Nível 2 - ula 7 - Prof. ícero Thiago (b) PQ é um diâmetro de S X = X. Se =, P = P = 90. Mas PQ é diâmetro, ou seja, PQ = Q = 90 Q = X é isósceles X = X. 2. Sobreumcírculo dediâmetro sãoescolhidos os pontos, ee em umsemiplano determinado por e F no outro semiplano, tais que Ā = = E = 20 e F = 60. Seja M a intersecção de e E. Prove que FM = FE. Solução. M E F Seja o centro da circunferência. Vamos provar que os triângulos MF e EF são congruentes. omo F = 60 então o triângulo F é equilátero e F = F. lém disso, E = E = e E = E = 60, ou seja, M EM M = M M = M M = 80. omo E = M+ E = +60 = = 80 então o trapézio ME éisóscelese, comisso, M = E. Finalmente, MF = = 140 = EF. Isto prova que os triângulos M F e EF são congruentes. Portanto, FM = FE. 3. Sejam dois círculos 1 e 2, com 2 tangente interno a 1 no ponto P. Seja s uma reta tangente a 2 em um ponto, e que corta 1 em e. Mostre que P é bissetriz do ângulo P. Solução. 7

8 PT Geometria - Nível 2 - ula 7 - Prof. ícero Thiago r P Seja r a reta tangente às duas circunferências em P. Seja o ponto de intersecção de r com o prolongamento. Temos que P = P = P 2 P = P = P +P. Mas P é ângulo externo do triângulo P P = P + P. Portanto, P = P. 4. Seja o centro da circunferência circunscrita ao triângulo acutângulo e seja a projeção de sobre. Prove que =. Solução. 8

9 PT Geometria - Nível 2 - ula 7 - Prof. ícero Thiago E Seja E um diâmetro. lém disso, = E. Portanto, = E. 5. (Itália) Um triângulo acutângulo está inscrito em um círculo de centro. Seja a intersecção da bissetriz de com e suponha que a perpendicular a por, corta a reta em um ponto P interior a. Mostre que = P. Solução. 9

10 PT Geometria - Nível 2 - ula 7 - Prof. ícero Thiago P E F Usando o resultado obtido no problema 4 temos que F = EP. omo é bissetriz do ângulo, então F = E. om isso, F E, pelo caso.l.., assim F = E. esse modo, EP F, pelo caso.l.. Finalmente, = P. 6. (Irã) Em um triângulo a bissetriz do ângulo intersecta o lado no ponto. Seja Γ um círculo tangente a no ponto e que passa pelo ponto. Se M é o segundo ponto de intersecção de com Γ e se M intersecta o círculo em P, mostre que P é uma mediana do triângulo. Solução. 10

11 PT Geometria - Nível 2 - ula 7 - Prof. ícero Thiago M P N omo é tangente àcircunferência Γ, temos que NP = MP = P =. lém disso, MP = M = =. Sendo assim, NP N, então NP N = N N N2 = NP N. Temos também que NP N, então PN N = N N N2 = NP N. Portanto, N 2 = N 2 N = N. Exercícios propostos 1. Na figura, a reta t é tangente ao círculo e paralela ao segmento E. Se = 6, E = 5 e E = 7, o valor da medida do segmento é: 11

12 PT Geometria - Nível 2 - ula 7 - Prof. ícero Thiago t E (a) 3,5 (b) 4 (c) 4,5 (d) 5 (e) 5,5 2. São dadas duas circunferências secantes, com pontos de intersecção e. Traça - se por uma secante à duas circunferências, que intersecta uma delas em E e a outra em F. Mostre que o ângulo EF é constante. 3. s extremidades de uma corda ST, com comprimento constante, são movidos ao longo de um semicírculo com diâmetro. Seja M o ponto médio de ST e P o pé da perpendicular de S sobre. Prove que a medida do ângulo SPM independe da posição de ST. 4. É dado um triângulo. Sejam o centro da circunferência circunscrita ao triângulo, I o centro da circunferência inscrita no triângulo, a intersecção da reta I com a circunferência circunscrita. Prove que = = I. 5. Se os lados e de um triângulo são diâmetros de duas circunferências, prove que o outro ponto comum às circunferências está em. 6. Sejam 1 e 2 duas circunferência tangentes exteriores em T. Sejam e pontos de 1 tais que a reta é tangente a 2 em P. Prove que TP é bissetriz externa 12

13 PT Geometria - Nível 2 - ula 7 - Prof. ícero Thiago do triângulo T. 7. NafiguraabaixosejaT opontodetangenciadascircunferências. Proveque MTP = QTN. T M P Q N Sugestões/Soluções 1. = 4. Use ângulo de segmento para concluir que E. 2. Use que em uma circunferência, a medida do ângulo inscrito é metade da medida do ângulo central que subtende o mesmo arco

14 PT Geometria - Nível 2 - ula 7 - Prof. ícero Thiago S M T P S 1 Seja acircunferência dediâmetro. SejaS 1 o simétrico des com relação a. É fácil ver que P é o ponto médio de SS 1 e seja M o ponto médio de ST. Temos que PM S 1 T. Então SPM = SS 1 T = 1 2 ST. Por outro lado, ST só depende do comprimento de ST. Portanto, segue o resultado. 4. Use ângulo externo e ângulos inscritos. 5. Use que todo ângulo inscrito em uma semicircunferência mede Use ângulos de segmento. 7. Use ângulos inscritos. ibliografia 1. Fundamentos de Matemática Elementar, vol.9. svaldo olce e José Nicolau Pompeo. 2. Geometría - Una visión de la planimetría. Lumbreras. 14

15 PT Geometria - Nível 2 - ula 7 - Prof. ícero Thiago 3. hallenging Problems in Geometry lfred S. Posamentier e harles T. Salkind 4. Problems and Solutions in Euclidean Geometry M. N. ref e William Wernick 5. Geometría Radmila ulajich Manfrino e José ntonio Gómez rtega uadernos de limpiadas de Matemáticas 6. Tópicos de Matemática Elementar, vol. 2 Geometria Euclidiana Plana ntonio aminha Muniz Neto SM 15