Quadriláteros Inscritíveis. Um quadrilátero é dito inscritível se, e somente se, existe uma circunferência que passa pelos seus quatro vértices.

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1 Programa Olímpico de Treinamento urso de Geometria - Nível 3 Prof. Rodrigo ula 1 Quadriláteros Inscritíveis Um quadrilátero é dito inscritível se, e somente se, existe uma circunferência que passa pelos seus quatro vértices. Teorema 1. Um quadrilátero é inscritível se, e somente se, tiver a soma de dois ângulos opostos iguais a 180. emonstração. ( ) Seja um quadrilátero inscritível em uma circunferência de centro O. O omo Pela propriedade de ângulo central, temos que: = + = 360, temos então que: 2 e =. 2 + = 180 ( )Seja umquadriláteroonde + = 180. Esuponhaque não é inscritível. onstruímos a circunferência circunscrita ao triângulo, e definimos o ponto E a interseção da reta com a circunferência (ver figura). Observe que este ponto pode ser exterior ou interior (mostrado na figura) à circunferência. omo E é um quadrilátero inscritível, já demonstramos que + E = 180, concluímos que E =. Mas isso é um absurdo, pois em um triângulo o ângulo externo tem que ser sempre maior que os outros dois não adjacentes a ele, o que não acontece no E.

2 POT Geometria - Nível 2 - ula 1 - Prof. Onofre ampos/rodrigo O E Problema 1. Seja um triângulo retângulo em e a bissetriz interna de. perpendicular a por encontra em E. Mostre que =E. Solução. No quadrilátero E, observe que E + E = 180. Logo, E é inscritível, de modo que E = E = 45. Então o triângulo E é isósceles e, portanto, = E. E O Teorema 2. Um quadrilátero é inscritível se, e somente se, o ângulo que uma diagonal forma com um lado for igual ao ângulo que a outra diagonal forma com o lado oposto. emonstração. igamos =. ssuma que a circunferência passa pelos pontos,, e não contém. Perceba que pode estar no interiro da circunferência ou no exterior, faremos a solução para o caso em que ele está na regiâo interna, o outro caso é análogo. Então, supondo que pertence à região interior da circunferência, tomamos E como sendo a interseção da reta com a circunferência. Pela propriedade de ângulo inscrito,temos E = E,maspelacondição =,temosque = E, então pertence à circunferência. 2

3 POT Geometria - Nível 2 - ula 1 - Prof. Onofre ampos/rodrigo E Problema 2. (Extraído de [1]) s alturas e E do triângulo se encontram no ortocentro H. Os pontos médios de e H são X e Y, respectivamente. Prove que XY é perpendicular a E. Solução. E X Y H Observe que os quadriláteros HE e E são inscritíveis pois, H + HE = = 180 e = E. omo em um triângulo retângulo, o ponto médio da hipotenusa é seu circuncentro, então X e Y são os circuncentros das circunferências circunscritas aos quadriláteros E e HE, respectivamente. Portanto X = XE e Y = YE XY XEY (caso LLL), isto implica dizer que o triângulo EX é isósceles e XY é bissetriz em relação à base, então também é altura e portanto XY é perpendicular a E. Problema 3. (Extraído de [1])Seja um triângulo tal que = 60 o. ado um ponto sobre, sejam O 1 e O 2 os circuncentros dos triângulos e, respectivamente, M a interseção de O 1 e O 2 e N o circuncírculo de O 1 O 2. Mostre que, ao 3

4 POT Geometria - Nível 2 - ula 1 - Prof. Onofre ampos/rodrigo variar, MN passa por um ponto fixo. Solução. Seja ω o circuncírculo do triângulo. firmamos que M ω. e fato, M = 180 M M = (90 O 1 )+(90 O 2 ) = + =. Isso garante também que os pontos M, O 1, N e O 2 são concíclicos, pois O 1 MO 2 +O 1 NO 2 = M +2 O 1 O 2 = M +2(180 O 1 O 2 ) = M +2(180 O 1 O 2 ) = M +2 M = 180. Mas então MN é a bissetriz do ângulo M, uma vez que MN = O 1 MN = O 1 O 2 N = 30 e MN = O 2 MN = O 2 O 1 N = 30. ssim, MN passa pelo ponto médio do arco da circunferência ω. M O 2 O 1 N Problema 4. (Extraído de[1]) Mostre que todo triângulo acutângulo possui um ponto P em seu interior tal que os pés das perpendiculares baixadas de P aos lados de são os vértices de um triângulo equilátero. Solução. 4

5 POT Geometria - Nível 2 - ula 1 - Prof. Onofre ampos/rodrigo F P E Sejam, E, F os pés das perpendiculares baixadas de P aos lados,,, respectivamente. Vamos encontrar condições necessárias e suficientes para que o triângulo EF seja equilátero. Necessidade. Suponha EF equilátero. Temos P = + P+ P = + PF + PE = + PF + PE = +60, onde na penúltima passagem utilizamos que os quadriláteros P F e EP são cíclicos. e maneira análoga, temos P = +60 e P = +60 e portanto P é a interseção de três circunferências (especificamente, três arcos capazes), que se intersectam em um ponto, pois ( +60 )+( +60 )+( +60 ) = 360. Suficiência. Seja P a interseção dos três arcos capazes descritos acima. Pelas mesmas razões, temos Isso conclui a prova. FE = FP + EP = FP + EP = P = 60. 5

6 POT Geometria - Nível 2 - ula 1 - Prof. Onofre ampos/rodrigo Problema 5. (Extraído de [1])Sejam um triângulo de circuncírculo ω e incentro I. Se M é o ponto médio do arco menor de ω, Prove que: Solução. M = MI = M. I Temos M MI = M + I = M + I e = + 2 MI = I + I = + 2 de modo que M = MI. nalogamente, M = MI. Problema 6. (Extraído de [1]) Seja um triângulo com todos os seus ângulos agudos, de alturas, E e F (com em, E em e F em ). Seja M o ponto médio do segmento. circunferência circunscrita ao triângulo EF corta a reta M em e X. reta M corta a reta F em Y. Seja Z o ponto de encontro entre as retas e X. emonstrar que as retas YZ e são paralelas. Solução. Note inicialmente que FHE é inscritível, pois EH = FH = 90 o. aí, XH = 90 o., 6

7 POT Geometria - Nível 2 - ula 1 - Prof. Onofre ampos/rodrigo Seja o ponto sobre a semi-reta M tal que M = M. O quadrilátero é um paralelogramo, donde H = + H = +(90 ) = 90 = XH, ou seja, o quadrilátero HX é inscritível. Mas H também é inscritível, já que H + = (180 )+ = 180. essa forma, os pontos,h,x, são concíclicos, donde XM = X = X = M (1) Seja T a interseção entre as retas e XH. Note que H é também o ortocentro do triângulo TY, uma vez que TX Y e YF T. aí, H TY = TY. Se mostrarmos que Z TY, o problema estará terminado. Seja então Z interseção entre e TY. Vamos mostrar que Z = Z. Ora, como HZ Y = HXY = 90, o quadrilátero HXYZ é inscritível e portanto as relações (1) e (2), segue que XZ Y = XHY = FX = M. (2) XZ Y = XM, ou seja, que os pontos,z e X são colineares. Mas então como queríamos. Z X = Z = Z = Z, 7

8 POT Geometria - Nível 2 - ula 1 - Prof. Onofre ampos/rodrigo E T F H Z Y X M 8

9 POT Geometria - Nível 2 - ula 1 - Prof. Onofre ampos/rodrigo Problemas Propostos Problema 7. Seja P o centro do quadrado construído externamente sobre a hipotenusa do triângulo retângulo. Prove que P bissecta o ângulo. Problema 8. (IME-97) Quatro retas se interceptam formando quatro triângulos conforme figura abaixo. Prove que os círculos circunscritos aos quatro triângulos possuem um ponto em comum. Problema 9. (IME-93) Seja um quadrilátero convexo inscrito num círculo e seja I o ponto de intersecção de suas diagonais. s projeções ortogonais de I sobre os lados,, e são, respectivamente, M, N, P e Q. Prove que o quadrilátero MNPQ é circuscritível a um círculo com centro em I. Problema 10. No triângulo, = 90. Seja O o seu circuncentro e H a altura relativa ao lado. Sabendo que H = 10, calcule OH. Problema 11. Num triângulo, = 100, =. Um ponto é escolhido sobre o lado de tal modo que =. Prove que + =. Problema 12. Sobre os lados, e do triângulo, respectivamente, escolhemos M, N e P quaisquer. Mostre que as circunferências circunscritas aos triângulos MP, NM e PN concorrem em um ponto O comum às três circunferências. Problema 13. Sejam E e F pontos sobre os lados e, respectivamente, do quadrado tais que E = F. Se EF = 27, determine a soma F + E. Problema 14. (Leningrado) No quadrilátero, =. Sejam M e N os pontos médios dos lados e, respectivamente e P o ponto de encontro das mediatrizes de e. Prove que P também está sobre a mediatriz de MN. Problema 15. Seja um triângulo tal que = 60. Mostre que o circuncentro, ortocentro, incentro de, ex-incentro de relativo ao lado e os pontos, são concíclicos. 9

10 Problema 16. (São Petersburgo 1996) Seja um triângulo tal que = 60. Seja também O um ponto no interior de para o qual O = O = 120. Se, E são os pontos médios dos lados,, prove que,, E, O são concíclicos. Problema 17. (Teste one Sul rasil 2005) Seja P um ponto do arco menor da circunferência circunscrita ao quadrado. Os segmentos e P se intersectam em Q e e P em R. Mostre que QR é a bissetriz do ângulo PQ. Problema 18. (IMO 2002) Sejam S uma circunferência de centro O, um diâmetro de S, um ponto sobre S tal que O < 120 e o ponto médio do arco que não contém. Se a reta paralela a passando por O intersecta em I e a mediatriz de O intersecta S em E e F, prove que I é o incentro do triângulo EF. Problema 19. (Irlanda 1997) ado um ponto M interior ao triângulo equilátero, sejam, E e F os pés das perpendiculares traçadas de M aos lados, e, respectivamente. Encontre o lugar geométrico dos pontos M para os quais FE = 90. Problema 20. (Rússia 1999) No triângulo de circuncírculo ω, pontos e E são escolhidos sobre o segmento de modo que = e E = E, com E entre e. Se F é o ponto médio do arco de ω, mostre que os pontos,, E, F são concíclicos. Problema 21. Seja um triângulo de circuncentro O e ortocentro H tal que = 60 e >. SejamtambémE, F asalturasrelativasaoslados,, respectivamente, e M, N pontos sobre os segmentos H, HF, respectivamente, tais que M = N. etermine o valor da expressão HM +HN HO Problema 22. Num triângulo, tomamos pontos X, Y sobre os lados,, respectivamente. Se Y e X se intersectam em Z e Y = Y e = Z, mostre que os pontos, X, Z, Y são concíclicos. Referências [1] S.. Feitosa,. Holanda, Y. Lima and. T. Magalhães, Treinamento one Sul Fortaleza, Ed. Realce, [2] fined, Geometría, Una visión de la planimetría. Lima, Ed. Lumbreras, 2005.