Teorema de Ceva [ ACD] [ CPD] = [ APB] . Assim, BD FB = K C K A

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1 Polos Olímpicos de Treinamento urso de Geometria - Nível 3 Prof. ícero Thiago ula 7 Teorema de eva Teorema 1. Sejam D, E e F pontos sobre os lados, e, respectivamente, do triângulo. Os segmentos D, E e F intersectam - se em um ponto P se, e somente se, D D E E F F = 1. Demonstração. F P E D Defina = [], = [P], = [P] e = [P]. Temos que D D = [ D] [ D] = [ PD] [ PD] = [ D] [ PD] [ D] [ PD] = [ P] [ P] =. De maneiraanáloga, E E = e F F =. ssim, D D E E F F = = 1. Sejam D, E e F pontos sobre os lados, e tais que D D E E F F = 1 mas D, E e F não são concorrentes. Seja F 1 sobre tal que D, E e F 1 são

2 POT Geometria - Nível 3 - ula 7 - Prof. ícero Thiago concorrentes em P. ssim, D D E E F 1 F 1 = 1. Dessa forma, F F = F 1 F 1 F = F 1. F 1 F P E D Exercícios resolvidos 1. Prove que as medianas de um triângulo são concorrentes em um ponto que se chama baricentro. Sejam M, N e R os pontos médios de, e, respectivamente. Então ou seja, N, M e R são concorrentes. M M N N R R = 1, 2. Prove que as bissetrizes internas de um triângulo são concorrentes em um ponto que se chama incentro. Sejam X, Y e Z os pés das bissetrizes relativas aos lados, e, respectivamente. Pelo teorema das bissetrizes internas temos que ou seja, X, Y e Z são concorrentes. Y Y X X Z Z = = 1, 3. Prove que as alturas de um triângulo são concorrentes em um ponto que se chama ortocentro. 2

3 POT Geometria - Nível 3 - ula 7 - Prof. ícero Thiago N H M L M L N H Sejam L, M e N as alturas do triângulo. É fácil ver que Multiplicando (I), (II) e (III) temos que ou seja, as alturas são concorrentes. N M N M = (I) L N L N = (II) M L M L = (III). N M L N M L = = 1, 4. Seja DEF um hexágono convexo tal que cada uma das diagonais D, E e F dividem o hexágono em duas regiões de áreas iguais. Prove que D, E e F são concorrentes. 3

4 POT Geometria - Nível 3 - ula 7 - Prof. ícero Thiago Y F E Z X D Sejam X a intersecção de D e E, Y a intersecção de E e F e Z é a intersecção de e E. Denotaremos por [MNP] a área do triângulo MNP, e seja a área do hexágono DEF. É fácil ver que X XE = [X] [XE] = [DX] [DEX] = [X]+[DX] [XE]+[DEX] = [D] [DE] = 2 []. 2 [EF] De maneira análoga, e Portanto, EY Y = Z Z = 2 [DE] 2 [] 2 [FE]. 2 [DE] X XE EY Y Z Z = 2 [] 2 [EF] 4 2 [DE] 2 [] 2 [FE] = 1. 2 [DE]

5 POT Geometria - Nível 3 - ula 7 - Prof. ícero Thiago Pela recíproca do teorema de eva no triângulo E temos que X, Y e EZ são concorrentes e, com isso, D, E e F são concorrentes. 5. Seja um triângulo e seja D uma altura, com D em. Sejam E e F pontos sobre e, respectivamente, tais que D, E e F são concorrentes. Então a medida dos ângulos ED = FD são iguais. Q P r F E D Seja r uma reta que passa por e é paralela. Sejam Q e P as intersecções de DE e DF com r, respectivamente. É fácil ver que FD FP assim D F = P F P = D F F (1) e ED EQ, ou seja, D E = Q D E Q = E E. (2) Por outro lado, pelo teorema de eva, aplicado ao triângulo de cevianas concorrentes D, E e F, F F D D E E = 1 D F F = D E E. Da última igualdade e de (1) e (2), temos que P = Q, ou seja, o triângulo DQP é isósceles e, com isso, a altura D será bissetriz do ângulo QDP, então DE = DF. 5

6 POT Geometria - Nível 3 - ula 7 - Prof. ícero Thiago 6. Seja um triângulo e sejam P e Q pontos sobre os lados e, respectivamente, tais que PQ. Prove que P, Q e a mediana M, com M em, são concorrentes. omo PQ, então P P = Q Q P P Q Q = 1 (I). omo M é um mediana então M = M, assim Multiplicando (I) e (II), temos M M = 1 (II). P P Q Q M M = 1. Pela recíproca do teorema de eva temos que M, Q e P são concorrentes. P Q M Exercícios propostos 1. Sejam D, E e F os pontos de contato da circunferência inscrita com os lados, e, respectivamente, do triângulo. Prove que D, E e F são concorrentes em um ponto que se chama Ponto de Gergonne. 6

7 POT Geometria - Nível 3 - ula 7 - Prof. ícero Thiago 2. Sejam l e l 1 duas retas paralelas dadas no plano. Usando apenas régua encontre o ponto médio do segmento que está na reta l. 3. Seja P um ponto no interior de um triângulo acutângulo e sejam D, E e F os pontos de intersecção das retas P, P e P com os lados, e, respectivamente. Determine P de maneira que a área do triângulo DEF seja máxima. 4. (oréia) Seja um triângulo com, seja V a intersecção da bissetriz do ângulo com e seja D pé da altura relativa ao vértice. Se E e F são as intersecções dos círculos circunscritos aos triângulos V D com e, respectivamente, mostre que D, E e F são concorrentes. 5. Seja P um ponto no interior de um triângulo. s bissetrizes de P, P e P intersectam, e em X, Y e Z, respectivamente. Prove que X, Y e Z são concorrentes. Sugestões/Soluções 2. Use o exercício resolvido 6. ibliografia 1. dvanced Euclidean Geometry lfred Posamentier 2. Geometric Transformations III I. M. Yaglom 3. Methods of Problem Solving, ook 3 J Tabov, EM olev e PJ Taylor 4. III Olimpiada Nacional Escolar de Matemática 2006 Jorge Tipe, John uya, laudio Espinoza e Sergio Vera. 7