Polos Olímpicos de Treinamento. Aula 6. Curso de Geometria - Nível 2. Quadriláteros Notáveis. Prof. Cícero Thiago

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1 Polos Olímpicos de Treinamento urso de Geometria - Nível 2 Prof. ícero Thiago ula 6 Quadriláteros Notáveis 1. Paralelogramo: Um quadrilátero convexo é dito um paralelogramo quando possuir lados opostos paralelos. Teorema 1. Um quadrilátero convexo é paralelogramo se, e somente se: a) Ângulos opostos são iguais; b) Lados opostos são iguais; c) iagonais cortam - se em seus pontos médios; emonstração. (a) E Suponhamos inicialmente que é um paralelogramo e seja E um ponto no prolongamento do lado. É fácil perceber que = E, pois são ângulos correspondentes de retas paralelas. Por outro lado E =, pois são ângulos alternos internos. Portanto, =. om o mesmo raciocínio podemos provar que =. Reciprocamente, sejaumquadriláteroconvexotalque = e =. Sabemos que = 360 e com isso + = 180 e + = 180. Por outro lado, + E = 180 oncluímos então, que = E e, com isso,. om o mesmo raciocínio podemos provar que. E com isso é um paralelogramo. (b)

2 POT Geometria - Nível 2 - ula 6 - Prof. ícero Thiago Seja um paralelogramo. É fácil perceber, que =, pois são ângulos alternos internos. a mesma forma, =. om isso,, pelo caso.l.. Portanto, = e =. Reciprocamente, seja um quadrilátero convexo tal que = e =. É fácil perceber que,, pelo caso L.L.L. Portanto, =. e maneira similar, podemos provar que =. Usando o fato provado no item (a), podemos concluir que é um paralelogramo. (c) M Seja um paralelogramo e seja M o ponto de encontro de suas diagonais. Já sabemos, pelos itens anteriores, que os ângulos e lados opostos são iguais. Por outro lado, =, poissão ângulos alternos internos. Pelomesmomotivo = e com isso M M, pelo caso.l.. Portanto, M = M e M = M. Reciprocamente, seja um quadrilátero convexo tal que suas diagonais se intersectam em seus pontos médios, ou seja, M = M e M = M. É fácil perceber, que M = M, pois são ângulos opostos pelo vértice. Então, M M, pelo caso L..L. Portanto, =. e maneira similar, podemos provar, que =. Usando agora, o que foi provado no item (b), concluímos que é um paralelogramo. 2. Trapézio: Um quadrilátero convexo é trapézio se, e somente se, possui dois lados paralelos. Um trapézio será dito isósceles se os lados não paralelos forem iguais e será dito retângulo se um dos ângulos da base for reto. Teorema 2. Os ângulos de cada base de um trapézio isósceles são congruentes e as diagonais também são congruentes. emonstração. Sejam E e F alturas do trapézio. omo e são paralelos então E = F. Se = então E F pelo caso especial para 2

3 POT Geometria - Nível 2 - ula 6 - Prof. ícero Thiago triângulos retângulos cateto - hipotenusa. om isso, =. Temos também que pelo caso L..L, portanto =. E F 3. Losango: Paralelogramo com todos os lados iguais. Teorema 3. s diagonais do losango são perpendiculares. emonstração. omo o losango é um paralelogramo então as diagonais cortam - se em seus ponyos médios, ou seja, M = M e M = M. om isso, M M, pelo caso L.L.L, portanto M = M. omo M + M = 180, então M = M = 90. M 4. Retângulo: Paralelogramo com quatro ângulos retos. Teorema 4. diagonais de um retângulo são iguais. 3

4 POT Geometria - Nível 2 - ula 6 - Prof. ícero Thiago emonstração. É fácil ver que pelo caso L..L. Portanto, =. 5. Quadrado: Retângulo com os quatro lados iguais. Exercícios Resolvidos 1. Se dois segmentos são iguais e paralelos, então suas extremidades são os vértices de um paralelogramo. Solução. M Sejam e os segmentos iguais e paralelos. Vamos então construir os segmentos e, que se intersectam em M. É fácil perceber que =, pois são ângulos alternos internos. Pelo mesmo motivo, =. Portanto, M M, pelo caso.l.. Usando o resultado provado no item (c) do teorema (1), provamos que é um paralelogramo. 2. Mostre que se por um ponto na base de um triângulo isósceles traçamos retas paralelas aos lados congruentes, então se forma um paralelogramo cujo perímetro é igual a soma dos comprimentos dos lados congruentes. Solução. Seja um ponto da base do triângulo isósceles e sejam E e F os segmentos paralelos aos lados iguais. É fácil ver que F E é um paralelogramo pois E e F. Portanto, F = E, E = F e os triângulos E e F são isósceles assim E = E e F = F. É fácil perceber que o triângulo 4

5 POT Geometria - Nível 2 - ula 6 - Prof. ícero Thiago e o paralelogramo FE possuem o mesmo perímetro. F E α α α α 3. (OM) Sejam e as bases de um trapézio tal que a base menor é igual à soma dos lados não paralelos do trapézio. Se E é um ponto de e E é a bissetriz do ângulo, mostre que E é também bissetriz do ângulo. Solução. omo então E = E e, com isso, = E. omo = + então E =. ssim, E = E. Mas então E = E. α E β α α ββ 4. (one Sul) Sejam, e três pontos (não colineares) e E( ) um ponto qualquer que não pertence à reta. onstrua paralelogramos (nesta ordem) e EF (também nesta ordem). emonstre que E F. Solução. e EF são paralelogramos de diagonais, e, F E respectivamente. omo as diagonais de um paralelogramo se cortam em seus pontos 5

6 POT Geometria - Nível 2 - ula 6 - Prof. ícero Thiago médios e é uma diagonal comum, o ponto médio de é o ponto médio de e de FE. Logo EF é um quadrilátero cujas diagonais e FE cortam - se em seus pontos médios. Portanto EF é um paralelogramo e E F. E F 5. (Torneio das idades) Em um quadrado, K é um ponto do lado e a bissetriz do K intersecta o lado no ponto M. Prove que o comprimento do segmento K é igual à soma dos comprimentos dos segmentos M e K. Solução. Seja L o ponto no prolongamento de tal que L = M. omo = e L = 90 = M então L M. ssim, L = M e LK = M. Por outro lado KL = L+ K = M + K = MK + K = M = M. a última igualdade acontece porque e são paralelos. Segue que KL = LK e, portanto, K = KL = K +L = K +M. 6

7 POT Geometria - Nível 2 - ula 6 - Prof. ícero Thiago M K L 6. (Torneio das idades) é um paralelogramo. Um ponto M é escolhido sobre o lado tal que M = MO, onde O é o ponto de interseção das diagonais do paralelogramo. Prove que M = M. Solução. Seja N o interseção de MO e. Temos que M = MN então MN é um trapézio isósceles. Por simetria, M = N então MN é um paralelogramo. om isso, M = N = M e, portanto, M = M. M O N Exercícios Propostos 7

8 POT Geometria - Nível 2 - ula 6 - Prof. ícero Thiago 1. No quadrado consideram - se as diagonais e. Seja P um ponto qualquer pertencente a um dos lados. emonstrar que a soma das distâncias de P às duas diagonais é constante. 2. (Maio) Num paralelogramo, é a diagonal maior. o fazer coincidir com mediante uma dobra se forma um pentágono regular. alcular as medidas dos ângulos que forma a diagonal com cada um dos lados do paralelogramo. 3. (Maio) No retângulo de lados,, e, seja P um ponto do lado tal que P = 90. perpendicular a P traçada por corta P em M e a perpendicular a P traçada por corta P em N. emonstre que o centro do retângulo está no segmento MN. 4. Sejam e triângulo com o lado comum. O triângulo tem = 90 e = 2. O triângulo tem = 90 e =. O segmento corta o segmento em O. alcule a medida de O sabendo que = (OM) O trapézio tem bases e. O lado mede x e o lado mede 2x. soma dos ângulos e é 120. etermine o ângulo. 6. No quadrilátero convexo, sejam E e F os pontos médios dos lados e, respectivamente. Os segmentos E e F se cortam em O. emonstre que se as retas O e O dividem o lado em três partes iguais então é um paralelogramo. 7. Seja EF um hexágono tal que seus lados opostos são respectivamente paralelos, ou seja, E, EF e F. Se = E, demonstre que = EF e = F. 8. Seja um paralelogramo tal que M é o ponto médio de. Seja T a projeção de sobre M. Prove que T =. T M 8

9 POT Geometria - Nível 2 - ula 6 - Prof. ícero Thiago 9. Prove que o segmento que liga os pontos médios dos lados opostos de um quadrilátero convexo passa pelo ponto médio do segmento que liga os pontos médios das diagonais. 10. Seja um paralelogramo. Pelo vértice é traçada uma reta r e sejam E, F e G as projeções de, e sobre r, respectivamente. Prove que se r estiver no exterior do paralelogramo, então F = E + G e, se r estiver no interior, então F = E G. 11. Sobre os lados e do triângulo são construídos no exterior triângulos isósceles semelhantes e. Prove que é um paralelogramo. 12. Os lados,, e de um quadrilátero são divididos pelos pelos E, F, G e H da seguinte forma: Prove que EFGH é um paralelogramo. E E = F F = G G = H H. 13. Seja P 1 P 2 P 3 P 4 P 5 um pentágono convexo. Seja Q i o ponto de interseção dos segmentos que unem os pontos médios dos lados opostos do quadrilátero P i+1 P i+2 P i+3 P i+4 onde P k+5 = P k, k N e i {1,2,3,4,5}. Prove que os pentágonos P 1 P 2 P 3 P 4 P 5 e Q 1 Q 2 Q 3 Q 4 Q 5 são semelhantes. Sugestões 2. Seja O o ponto de interseção das diagonais de um paralelogramo. Seja EF um segmento que passa por O com extremidades E e F sobre os lados e, respectivamente. Então, EO = EF. 3. Useofatoqueasdiagonaisdeumparalelogramocortam-seemseuspontosmédios. 8. Trace P T, com P em T. 9. Use base média. 11. Use semelhança de triângulos. 12. Use Teorema de Tales. 9

10 POT Geometria - Nível 2 - ula 6 - Prof. ícero Thiago 13. Os pontos médios dos lados de um quadrilátero são vértices de um paralelogramo. ibliografia 1. Problemas 18 - Olimpíada Matemática rgentina Patrícia Fauring e Flora Gutierrez 2. Problemas 19 - Olimpíada Matemática rgentina Patrícia Fauring e Flora Gutierrez 3. Problemas 20 - Olimpíada Matemática rgentina Patrícia Fauring e Flora Gutierrez 4. Olimpíadas de Mayo - I a VIII Patrícia Fauring, Flora Gutierrez, arlos osch e María Gaspar 5. Olimpíadas de Mayo - IX a XVI Patrícia Fauring, Flora Gutierrez, arlos osch e María Gaspar 6. International Mathematics Tournament of Towns M Storozhev MT 7. oleção Elementos da Matemática, vol. 2 - Geometria Plana Marcelo Rufino de Oliveira e Márcio Rodrigo da Rocha Pinheiro 8. hallenging Problems in Geometry lfred S. Posamentier e harles T. Salkind 9. Problems and Solutions in Euclidean Geometry M. N. ref e William Wernick 10. Geometría Radmila ulajich Manfrino e José ntonio Gómez Ortega uadernos de Olimpiadas de Matemáticas 10

11 POT Geometria - Nível 2 - ula 6 - Prof. ícero Thiago 11. Tópicos de Matemática Elementar, vol. 2 Geometria Euclidiana Plana ntonio aminha Muniz Neto SM 12. Episodes in Nineteenth and Twentieth Euclidean Geometry Ross Honsberger M 13. Problems in Plane and Solid Geometry, vol. 1 - Plane Geometry Viktor Prasolov 14. dvanced Euclidean Geometry lfred Posamentier 15. Lessons in Geometry I. Plane Geometry Jacques Hadamard MS 16. Hadamard s Plane Geometry Reader s ompanion Mark Saul MS 17. Olimpíadas earenses de Matemática, Ensino Fundamental, Emanuel arneiro, Francisco ntônio M. de Paiva e Onofre ampos 18. Problemas de las Olimpiadas Matematicas del ono Sur (I a IV) Fauring - Wagner - Wykowski - Gutierrez - Pedraza - Moreira 19. Explorations in Geometry ruce Shawyer World Scientific 20. Treinamento one Sul, vol.2. runo Holanda, ícero Magalhães, Samuel arbosa e Yuri Lima. 11

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