Polos Olímpicos de Treinamento. Aula 10. Curso de Geometria - Nível 2. Potência de ponto. Prof. Cícero Thiago

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1 olos límpicos de Treinamento Curso de Geometria - Nível 2 rof. Cícero Thiago ula 10 otência de ponto 1. Definição Seja Γ uma circunferência de centro e raio R. Seja um ponto que está a uma distância d de, vamos definir a potência do ponto em relação à circunferência Γ por ot Γ = d 2 R 2. É fácil ver que se é um ponto no exterior de Γ então a potência será positiva, se é um ponto sobre a circunferência então sua potência será zero e se é um ponto no interior da circunferência então sua potência será negativa. Teorema 1. Seja um ponto e Γ uma circunferência. Se uma reta que passa por intersecta a circunferência nos pontos e, então o produto é constante. Demonstração. 1 caso: é um ponto no exterior. m M m R

2 Seja M a mediatriz de. Então = (M m) (M +m) = M 2 m 2 = M 2 +M 2 (M 2 +m 2 ) = 2 R 2 = ot Γ. Vamos analisar também o caso em que pelo ponto é traçada uma tangente a Γ. T R Dessa forma pelo teorema de itágoras temos que 2 caso: é um ponto no interior. 2 = T 2 +R 2 T 2 = 2 R 2 = ot Γ. 2

3 m m M R Seja M a mediatriz de. Então = (m M) (m+m) = m 2 M 2 = m 2 +M 2 (M 2 +M 2 ) = R 2 2 = ot Γ. roblema 1. Dois círculos Γ 1 e Γ 2 intersectam - se em e Q. Uma reta passando por intersecta Γ 1 e Γ 2 novamente em e, respectivamente, se X é o ponto médio de e a reta que passa por Q e X intersecta Γ 1 e Γ 2 novamente em Y e Z, respectivamente. rove que X é o ponto médio de YZ. Solução. ot X Γ 2 = X X = XZ XQ, Então, ot X Γ 1 = X X = XY XQ. X X X X = XZ XQ XY XQ XY = XZ. 3

4 Γ 1 Y Γ 2 X Z 1 2 Q roblema 2. (CM) Duas tangentes e são traçadas a um círculo de um ponto externo. Uma corda C é construída paralela a e uma secante C é desenhada intersectando o círculo em E. Se K é o ponto de interseção de com o prolongamento de E, prove que K = K. Solução. Temos que KC = EC pois C e EC = E pois é tangente ao círculo. Então KE K assim K K = KE K K2 = KE K. Usando a potência de K com relação à circunferência temos ortanto, K = K. K 2 = KE K. 4

5 α α E α C K roblema 3. Seja CD um quadrilátero inscrito em um semicírculo s de diâmetro. s retas C e D se intersectam em E e as retas D e C em F. reta EF intersecta o semicírculo s em G e a reta em H. rove que E é o ponto médio do segmento GH se, e somente se, G é o ponto médio do segmento FH. Solução. Como C e D são alturas do triângulo F então E é o ortocentro desse triângulo. ssim, FE é perpendicular a. s triângulos HE e HF são semelhantes, temos que HE H = H HF. Então, HE HF = H H = HG2 e a equivalência é clara. 5

6 F D G C E H roblema 4. Seja C uma semicircunferência de centro e diâmetro e D é o ponto médio do arco. Sobre a reta D toma - se o ponto E, do mesmo lado de D com relação a, tal que E = D. Se E corta a semicircunferência em F e é o ponto de tal que F é perpendicular a. rove que = 3. Solução. Sem perda de generalidade faça = = 1. Logo, D = 1, E = D = 2 e E = 3. Utilizando a potência de E com relação à circunferência de diâmetro temos EF E = E 2 R 2 = E 2 1. ssim, EF 3 = ( 2) 2 1 EF = lém disso, F E então 3 3 e F = ortanto, = F E = 2 3. = = 1 3 = 3. 6

7 E D F Exercícios propostos 1. Em um triângulo C, a bissetriz do ângulo e a mediana relativa a C intersectam este lado em pontos distintos e M, respectivamente. círculo circunscrito ao triângulo M intersecta os lados e C em E e F, respectivamente. rove que E = CF. 2. Seja D a bissetriz do ângulo do triângulo C. Se o círculo circunscrito ao triângulo DC intersecta em E e o círculo circunscrito ao triângulo D intersecta C em F, prove que E = CF. 3. Um triângulo acutângulo C está inscrito numa circunferência de centro. s alturas do triângulo são D, E e CF. reta EF intersecta a circunferência em e Q. (a) rove que é perpendicular a Q. 7

8 (b) Se M é o ponto médio de C, prove que 2 = 2D.M. 4. Seja C um ponto sobre o semicírculo de diâmetro e seja D o ponto médio do arco C. Se E é a projeção de D sobre C e F é a interseção de E com o semicírculo, prove que F bissecta o segmento DE. 5. Seja um ponto no interior de um círculo tal que existem três cordas que passam por e tem o mesmo comprimento. rove que é o centro do círculo. 6. Sejam Γ 1 e Γ 2 círculos concêntricos, com Γ 2 no interior de Γ 1. artindo de um ponto pertencente a Γ 1, é desenhada uma tangente à Γ 2 ( Γ 2 ). Seja C o segundo ponto de interseção de com Γ 1, e D o ponto médio de. Um reta passando por intersecta Γ 2 em E e F de tal maneira que as mediatrizes de DE e CF se intersectam em um ponto M sobre C. Determine a razão M MC. ibliografia 1. roblemas de las olimpiadas matematicas del Cono Sur (I a a IV a ) Fauring - Wagner - Wykowski - Gutierrez - edraza - Moreira 2. limpíadas Cearenses de Matemática - Ensino Fundamental Emanuel Carneiro, Francisco ntônio M. de aiva e nofre Campos 3. otência de um ponto em relação a uma circunferência Eduardo Wagner Revista do professor de matemática - Número Mathematical lympiad Challenges Titu ndreescu e Razvan Gelca 8