ÂNGULOS. Ângulos no círculo

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1 ÂNGULOS Ângulos no círculo

2 A circunferência:. Diâmetro Semicircunferên cia Diâmetro - é o segmento de recta que une 2 pontos da circunferência passando pelo centro. Raio - é o segmento de recta que une o centro a qualquer ponto da circunferência. Corda - é o segmento de recta que une 2 pontos da circunferência sem intersectar o centro. Arco de circunferência - é uma qualquer porção da circunferência. Semicircunferência - é a porção da circunferência limitada pelo centro. Clique com o rato para iniciar a apresentação

3 Circunferência E B C r F D A O ponto C é o centro da circunferência r O segmento de reta [CA] é um raio da circunferência r Raio da circunferência segmento de reta cujos pontos extremos são o centro da circunferência e um ponto qualquer da circunferência O segmento de reta [BD] é um diâmetro da circunferência r O segmento de reta [EF] é uma corda da circunferência r Corda da circunferência - segmento de reta cujos pontos extremos são dois pontos da circunferência. Diâmetro da circunferência - segmento de reta cujos pontos extremos são dois pontos da circunferência e contém o seu centro.

4 Segmento circular

5 Sector circular

6 a b As circunferências a e b são concêntricas, isto é, têm o mesmo centro. Coroa circular

7 CONCEITOS BÁSICOS: (1) CIRCUNFERÊNCIA: conjunto de pontos do plano que distam igualmente de um ponto fixo desse plano. (2) CÍRCULO: é a reunião da circunferência com sua região interior. (3) RAIO: segmento que vai do centro a qualquer ponto da circunferência. (4) CORDA: segmento que une dois pontos distintos da circunferência. (5) DIÂMETRO: corda que passa pelo centro da circunferência. (6) ARCO: qualquer uma das partes da circunferência que fica dividida por dois de seus pontos distintos.

8 EXEMPLO: F AB : diâmetro OF : raio A E O B ED : corda (segmento) ED : arco (linha curva). D A circunferência é toda a linha curva. O círculo é a circunferência e a região branca. ARCO

9 OBSERVAÇÕES: (1) O diâmetro é maior do que qualquer corda que não contenha o centro. (2) A medida do diâmetro é o dobro da medida do raio. (3) Dois pontos distintos de uma circunferência determinam dois arcos. Ao nos referirmos, por exemplo, ao arco AB, estamos considerando o maior deles. Para nos referirmos ao outro podemos utilizar um ponto auxiliar ( ex.: arco AMB). (4) Todo raio perpendicular a uma corda passa pelo seu ponto médio. (5) Todo triângulo com um vértice no centro e os outros dois na circunferência é isósceles.

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11 EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO Observe a figura e responda quais das sentenças seguintes são verdadeiras: a) D circunferência b) E circunferência C c) A círculo d) O círculo e) AO é raio f) OB é diâmetro g) EF é raio h) CD é corda A F E O D B

12 ÂNGULO CENTRAL Ângulo central de uma circunferência é aquele cujo vértice é o centro dessa circunferência. O A B AÔB é um ângulo central. AXIOMA: A medida de um ângulo central é igual à medida do arco de circunferência compreendido entre seus lados. Pesquise: o que é um AXIOMA?

13 ÂNGULO INSCRITO NUMA CIRCUNFERÊNCIA A Ângulo inscrito é aquele que tem o vértice na circunferência e os lados são secantes a essa circunferência. AÔB é um ângulo inscrito. TEOREMA: O C B A medida de um ângulo inscrito é igual à metade da medida do ângulo central associado. O ângulo central associado a AÔB é ACB. ^

14 EXEMPLO 1: A O x 88º B AÔB mede 44º.

15 EXEMPLO 2: O 45º A 90º O arco AB mede 90º (seu comprimento corresponde a ¼ do comprimento da circunferência), logo, o ângulo inscrito AÔB mede 45º ( a metade de 90º). B

16 EXEMPLO 3: A O arco OB mede 120º. Assim, o arco AB mede 180º - 120º = 60º. ( ( O C B Então, o ângulo inscrito AÔB tem por medida 30º, pois mede a metade da medida do arco. 120º

17 ÂNGULO INSCRITO NUMA SEMICIRCUNFERÊNCIA B Como o arco AC mede 180º, temos que o ângulo inscrito ABC ^ mede a metade, ou seja, 90º. A O C TEOREMA: Todo ângulo inscrito numa semicircunferência é reto. E todo triângulo, em que um lado coincide com o diâmetro, inscrito em uma semicircunferência, é retângulo.

18 ÂNGULO DE SEGMENTO É um ângulo com vértice na circunferência; um lado é tangente a essa circunferência e o outro é secante. TEOREMA: B O A A medida do ângulo de segmento é igual à metade da medida do ângulo central associado. C med(abc) ^ = ½ med(ab) (

19 EXEMPLO 1: C A x BÂC é um ângulo de segmento. Então BÂC mede ½(360º - 160º) =100º. B 160º

20 EXEMPLO 2: ( Qual a medida de um ângulo inscrito no arco OA? O A 115º x = 65º O arco correspondente ao ângulo considerado mede 230º. ( Então, o arco OA mede 130º e todos os ângulos inscritos nesse arco têm por medida 65º.

21 ÂNGULO EXCÊNTRICO INTERIOR É um ângulo cujo vértice é interno ao círculo. C A x O B D TEOREMA: A medida de um ângulo cujo vértice é interno ao círculo é igual à semi-soma dos arcos compreendidos entre os lados do ângulo sobre a circunferência. DEMONSTRAÇÃO DO TEOREMA ( ( X = ½{med(AC) + med(bd)}

22 EXEMPLO 1: 90º x x = ½ (90º + 70º) x = ½ (160º) x = 80º 70º

23 EXEMPLO 2: A 40º C Vamos tomar o ângulo adjacente suplementar de 140º, ou seja, 40º. 140º Então : D x B x 40º 40º 2 x 40º 80º x 40º

24 ÂNGULO EXCÊNTRICO EXTERIOR É um ângulo cujo vértice é externo ao círculo. C TEOREMA: O A B D Sua medida é igual à semi-diferença das medidas dos arcos compreendidos pelos lados do ângulo sobre a circunferência. med(côd) = ½{med(CD) - med(ab)} DEMONSTRAÇÃO DO TEOREMA

25 EXEMPLO 1: x 20º 70º 70º 20º x 2 50º x 2 x 25º

26 x 25º EXEMPLO 2: 20º Chamemoso maior arco entreos lados de y. y - 25º Assim, 20º 2 y 25º 40º y Cálculo de x: y x x 25º 180º x 180º 25º y 90º 65º

27 EXERCICIO

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