Congruência de triângulos. 1. Seus lados são ordenadamente congruentes aos lados do outro e

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1 Programa Olímpico de Treinamento urso de Geometria - Nível 2 Prof. Rodrigo Pinheiro ula 2 ongruência de triângulos efinição: Um triângulo é congruente a outro se, e somente se, é possível estabelecer uma correspondência entre seus vértices de modo que: 1. Seus lados são ordenadamente congruentes aos lados do outro e 2. Seus ângulos são ordenadamente congruentes aos ângulos do outro. c a m n b p E Notação: E = = = E e a = n b = p c = m Teorema 1. ois lados de um triângulo são congruentes se,e somente se os ângulos opostos a estes lados são congruentes. emonstração.

2 POT Geometria - Nível 2 - ula 1 - Prof. Rodrigo Pinheiro ( ) Seja um triângulo com = e o ponto médio do lado. Observe que, pelo caso LLL, portanto =. ( ) Seja um triângulo com = e o pé da altura relativa a. omo = = 90 e =, temos então que = pois a soma dos ângulos internos de um triângulo interno é sempre 180. oncluímos assim que pelo caso L, consequentemente, =. Teorema 2. Em todo triângulo isósceles, a altura, mediana e bissetrizes relativas à base são coincidentes. emonstração. Seja um triângulo com = e o ponto médio do lado. Observe que, pelo caso LLL, portanto = e =, por definição temos então que também é bissetria. omo + = 180 e =, então = = 90, concluindo assim que também é altura. Teorema 3. Seja um polígono convexo, demonstre que se dois lados opostos são iguais e paralelos, então é um paralelogramo. emonstração. Suponhamos que = e \\. Pela propriedade de paralelismo, temos que: =, concluindo assim que. aí, tiramos que =, pela propriedade de paralelismo podemos concluir que \\, isto é, é um paralelogramo. Problema 1. ado um triângulo, onde =. Tomam-se dois pontos e N em e, respectivamente. emonstre que se = N, então = N. Solução. 2

3 POT Geometria - Nível 2 - ula 1 - Prof. Rodrigo Pinheiro N ado que o triângulo é isósceles, temos que: = N, portanto concluímos que N, daí tiramos que = N. Problema 2. ostre que se um triângulo possui duas altura iguais, então o triângulo é isósceles. Solução. Seja um triângulo onde as alturas e E têm o mesmo comprimento. Pelo caso especial decongruência temos que E, portanto E =, isto é, isósceles. E Problema 3. emonstre que se duas retas e são duas retas tangentes a um circunferência de centro O /nos pontos e, respectivamente, então = e O = O. Solução. 3

4 POT Geometria - Nível 2 - ula 1 - Prof. Rodrigo Pinheiro O Observe que O = O e O pertence ao dois triângulos O e O, então pelo caso especial de congruência O O, assim = e O = O. Problema 4. (Teorema de pitot) ostre que um quadrilátero pode ser circunscrito a uma circunferência se, e somente se, a soma de dois lados opostos for igual à soma dos outros dois lados. Solução. ( ) Suponha que o quadrilátero seja circunscrito a uma circunferência, e os pontos de tangência da circunferência com os lados sejam E,, G, H, como mostra a figura abaixo. E O G H Pelo problema anterior, vemos que: H = E; E = ; = G; G = H. Portanto, E + E + G + G = + + +H + H, isto implica dizer que: + = +. ( ) Suponha que seja um quadrilátero tal que + = + e não seja circunscritível. 4

5 POT Geometria - Nível 2 - ula 1 - Prof. Rodrigo Pinheiro x E y β y β O z z G k z+w α α x H k w I w-k Sejam O e O as bissetrizes internas dos ângulos e. Tomamos E, e H como sendo os pés das alturas de O aos lados, e, respectivamente. Pelo caso especial de congruência temos que OH OE e OE O, assim sendo, E = H = x e E = = y. efina = z e H = w. Pela hipótese, temos que: (x+y)+ = (y +z)+(x+w) = z +w omo não é tangente à circunferência pois, caso contrário, o quadrilátero seria circunscritível. Tomamos G tal que G seja tangente a circunferência e defina G = I, perceba que pelo problema anterior, temos: G = = z e GI = HI = k. essa maneira, I = w k, mas analisando o triângulo I isso é um absurdo pois I+I = e I é um triângulo. Então se a soma dos lados opostos de um quadrilátero forem iguais, então ele será circunscritível. Problema 5. São construídos exteriormente ao, os triângulos equiláteros, N, P. Prove que N = P =. Solução. N α Primeiramente, construímos somente os triângulos equiláteros e N. essa forma, temos que: = e = N e = N = 60. ssim sendo, 5

6 POT Geometria - Nível 2 - ula 1 - Prof. Rodrigo Pinheiro temos que N pelo caso LL, pois = ; = N e = N, portanto N =. nalogamente, provamos que N = = P. Problemas Propostos Problema 6. é um paralelogramo e e E são triângulos equiláteros construídos exteriormente ao paralelogramo. Prove que E também é equilátero. Problema 7. Quatro quadrados são construídos exteriormente nos lados de um paralelogramo. ostre que os centros destes quadrados também formam um quadrado Problema 8. Um hexágono convexo E está circunscrito a uma circunferência. ostre que + +E = +E +. Problema 9. Na figura, e EG são quadrados. ostre que E = G. G E Problema 10. (Rússia 1946) ados três pontos,, sobre uma reta l, são construídos triângulos equiláteros 1 e 1 em um mesmo semi-plano com respeito a l. Se, N são os pontos médios de 1, 1, respectivamente, mostre que o triângulo N é equilátero. Problema 11. (Inglaterra/95) Seja um triângulo retângulo em. s bissetrizes internas de e encontram e em P e Q, respectivamente. Sejam e N os pés das perpendiculares a partir de P e Q até, respectivamente. Encontre a medida do ângulo N Problema 12. (Polônia/92) Os segmentos e intersectam-se no ponto P de modo que P = P, P = P. Seja O o circucentro do triângulo P. Prove que as retas OP e são perpendiculares. Problema 13. Prove que se em um triângulo, a mediana é tal que é dividido na razão 1 : 2, e está sobre, com entre e, tal que = 90, então = 2. ica: Escolha P sobre tal que = P. 6

7 POT Geometria - Nível 2 - ula 1 - Prof. Rodrigo Pinheiro Problema 14. Em um quadrado, é o ponto médio de. Uma reta perpendicular a em toca em K. Prove que = K. Problema 15. ado um quadrado com E = E = 15, prove que E é equilátero. Problema 16. ado um triângulo qualquer,, E e são pontos médios dos lados, e, respectivamente. Sendo G a altura do triângulo. Prove que EG = E. Problema 17. (congruencia) No losango com = 60, tomamos pontos, H e G nos lados, e na diagonal, respectivamente, de modo que GH seja um paralelogramo. Prove que o triângulo H é equilátero. Problema 18. (congruência) Seja um paralelogramo. bissetriz de corta em e o prolongamento de em N. Se O é o circuncentro do triângulo N, mostre que,o,, são concíclicos. Problema 19. (congruencia) Sejam um triângulo, um ponto sobre o prolongamento da semi-reta a partir de tal que = e o ponto médio de. bissetriz do ângulo corta em P. ostre que P =. Problema 20. (congruencia) SejaE umpentágono com E = E, + = e E + E = 180. Prove que E = 2 E. Problema 21. (ongruencia) Sejam um triângulo de circuncírculo ω 1, O o circuncentro de e ω 2 o ex-incírculo relativo ao lado. Se,N,L são os pontos de tangência deω 2 com as retas,, e os raios deω 1 e ω 2 são iguais, mostre queo é o ortocentro do triângulo NL. 7