III.2 Se os segmentos A B e A B são congruentes ao segmento AB então os segmentos A B e A B também são congruentes.

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1 1 Grupo III xiomas de ongruência onsidere o conjunto SEG de todos segmentos e o conjunto NG de todos os ângulos. Vamos admitir a existência de duas relações binárias, uma em SEG (e portanto, entre segmentos) e outra em NG (entre os ângulos). mbas serão denominadas de congruência.ssim temos uma relação de congruência entre segmentos e outra entre ângulos. Também a ambas, destinamos o símbolo, pois não haverá dúvida no momento que as usarmos. ssim, B D lê-se o segmento B é congruente ao segmento D. Por outro lado,. (O, OB) (O, O B ) lê-se o ângulo de vértice em O e lados O e OB é congruente ao ângulo de vértice em O e de lados O e O B. Os axiomas que veremos agora, revelam as propriedades necessárias para se comparar segmentos entre si e ângulos entre si. omo exceção temos o axioma III.5 cuja função é integrar as duas relações binárias. omo pano de fundo estão embutidos os movimentos rígidos no plano. III.1 Se, B são dois pontos sobre uma reta r e é um ponto da mesma reta, ou de outra reta, existe, de um lado prefixado de sobre uma reta r, um ponto B e um só, tal que o segmento B seja congruente com o segmento B. relação B B lê-se: B côngruo com B. Para cada segmento B se exige que B B B r r B III.2 Se os segmentos B e B são congruentes ao segmento B então os segmentos B e B também são congruentes. Nota: relação de congruência é reflexiva pois repetindo B B e B B teremos B B. relação também é simétrica, pois de B B e B B temos B B. Isto mostra que a relação entre segmentos é de equivalência. III.3 Sejam B e B dois segmentos sobre uma reta r, sem pontos interiores comuns e sejam ainda B e B dois segmentos que também não possuem pontos interiores comuns. Se B B e B B então. III.4 Sejam dados um ângulo <(h, k) e uma reta r. Fixemos um dos semiplanos determinado por r. Seja h uma semi-reta da reta r com origem no ponto O. Então existe uma única semi-reta k tal que <(h, k) <(h, k ) e além disso, todos os pontos interiores de <(h, k ) se encontram no lado prefixado com respeito a r.

2 2 relação de congruência de ângulos é de equivalência. h k k h r III.5 Sejam, B e três pontos não colineares e, B e três pontos distintos, também não colineares. Se B B, e <B <B então <B < B e <B < B. Definição Dizemos que dois triângulos B e B são congruentes se existem as seguintes relações de congruências : B B,, B B e, B B, Teorema- (LL) Se B B, e então B B Demonstração: Temos, pelo axioma III.5 as congruências de ângulos B B e. Resta mostrar a congruência B B. Suponha que o lado B não seja congruente ao lado B. Por III.1, existe na semi-reta B um ponto D tal que B B D. s semi-retas e D são diferentes. Podemos aplicar III.5 aos triângulos B e B D pois B B, B B D e B B D, concluindo que D B B B. Isto contradiz a unicidade do ângulo em B, por III.4. B B B Triângulo Isósceles. Definição: Denominamos Isósceles, um triângulo que possui dois lados congruentes. O terceiro lado é denominado base com respeito aos outros dois. Se os três lados de um triângulo são congruentes, o triângulo é dito eqüilátero. Todo lado de um triângulo eqüilátero é base do triângulo isósceles correspondente. Proposição: Os ângulos da base de um triângulo isósceles são congruentes. Demonstração: ompare um triângulo isósceles B de base B com si próprio mudando a enumeração para B e aplicando a congruência LL, notando que a congruência é medida em valor absoluto, o que significa que se h e k são semiretas de mesma origem então (h, k) (k, h). Nota: Faremos uso de noções ligadas ao perpendicularismo, mas a existência e a unicidade de uma perpendicular por um ponto exterior a uma reta só será garantida com o uso do teorema do ângulo externo.

3 3 Definição: Dizemos que M é ponto médio do segmento B se M B e se, além disso, M MB. Definição: onsidere um triângulo B. Uma ceviana é um segmento com extremidade num vértice e a outra extremidade sobre o lado oposto. Uma ceviana é denominada: Mediana, se uma extremidade é o ponto médio do lado oposto.. ltura se a outra extremidade for o pé da perpendicular ao lado oposto. M H B H é altura relativa ao vértice e M é a mediana relativa ao lado B. Exercícios: (1). Mostre que a mediana da base de um triângulo isósceles é também bissetriz e altura. (2). Mostre a existência da bissetriz de um ângulo. Teorema (caso L) Se nos triângulos B e B tivermos B B,. e B B então os triângulos são congruentes. Demonstração: onsidere dois triângulos B e B satisfazendo às condições do enunciado. Suponha, por absurdo que os triângulos não sejam congruentes. Por exemplo, suponha que m( ) < m(). Tome um ponto no interior do lado tal que ' '' B e observe que os triângulos B e B são congruentes pelo caso LL. Isto implica na congruência dos ângulos (B, B) (B, B) o que é absurdo, pois o ângulo (B, B) está subdividido pelo segmento B. B B B Teorema (caso LLL) Dois triângulos são congruentes se o forem os três lados respectivos. Demonstração: onsidere dois triângulos B e B com os lados correspondentes congruentes. No semiplano oposto ao ponto com respeito à reta B marque um ponto P tal que D B P ( P, B ) (B, ) e ' P o que implica ' P ' '. Seja D o ponto de interseção de P com B. Da congruência B B P, temos PB ' B, assim que PB ' B ' '.

4 4 Os triângulos P e B P são isósceles de base P. Então, (, D) (P, P ) e (PB, P ) ( P, B ). Isto implica (no caso soma do ângulo, conforme D é interno ou não ao segmento B ) que (, B ) (P, PB ) e então B B. Teorema- Todo segmento tem um único ponto médio e tal ponto é um ponto interior. Demonstração onsidere um segmento B do qual queremos determinar seu ponto médio. Seja h uma semireta de origem que forme um ângulo agudo com B. No semiplano oposto ao de h trace uma semireta k de origem B, que forme com B um ângulo congruente à (B, h ). Seja M um ponto de h e tome um ponto tal que M e seja D k tal que BD. omo os pontos e D estão em lados diferentes com respeito à reta B o segmento D interceptará o segmento B num ponto interior O, que mostraremos ser o ponto médio de do segmento B. Os triângulos B e BD são congruentes(ll); portanto B D o que implica a congruência dos triângulos D e BD e a dos ângulos D DB. Portanto os triângulos O e BDO são congruentes e O OB. M h O B k D Outras conseqüências dos Grupos de xiomas I a III. lguns Ângulos e Triângulos. Proposição Os ângulos adjacentes a dois ângulos congruentes são congruentes. Demonstração onsidere dois ângulos congruentes (h,k) (h,k ) de vértices respectivamente O e O e sejam h 1, h 1 as semi-retas que complementam respectivamente h e h. Tomemos pontos, B e sobre h, k e h 1 respectivamente e façamos análogo para obter pontos, B e sobre as semi-retas h, k e h 1 correspondentes de modo a se ter as congruências O O, BO B O e O O. Temos pelo axioma III3 e OB O B pelo axioma III5. gora, pelo caso LL de congruência de triângulos, temos B B e pelo uso seguido do caso LLL de congruência de triângulos, temos OB O B como queríamos demonstrar.

5 5 k k B B h 1 O h h 1 O h Já que dois ângulos opostos pelo vértice têm um ângulo adjacente comum, da proposição temos imediatamente o seguinte: orolário: Dois ângulos opostos pelo vértice são congruentes. Definição um ângulo é dito reto se for congruente ao seu ângulo adjacente. Mostraremos adiante uma proposição que constava dos postulados de Euclides (quarto postulado). Mas, como vemos, na reformulação da geometria por Hilbert podemos demonstrar: Proposição Todos ângulos retos são congruentes entre si. É natural aqui questionar a existência de um ângulo reto. Por isso incluímos a seguinte: Proposição: Existe um ângulo reto. Demonstração: onsidere uma semireta OR. Formemos ângulos congruentes (OR, O) e (OR, OB), em semiplanos opostos supondo ainda que O OB. O segmento B intercepta a semireta num ponto M. Se M B isto é, se os pontos forem colineares, os ângulos construídos de vértice O são retos pois serão adjacentes com O = M. Se, M e B não forem colineares, então temos OM OMB, imediatamente verificável, o que mostra que (M, MB) é reto. O M R B orolário 1: Um ponto sobre uma reta pode ser visto como o vértice comum de quatro ângulos retos consecutivos. O

6 6 orolário 2: Por um ponto fora de uma reta podemos traçar um perpendicular. (após o teorema do ângulo externo veremos que ela é única). Definição dados dois segmentos B e B, se no interior de B existe um ponto tal que B dizemos que o segmento B é maior que o segmento B. De forma análoga, existindo uma semi-reta d dentro de um ângulo (h,k) tal que (h,d) (h,k ) dizemos que o ângulo (h,k) é maior que o ângulo (h,k ). Triângulos retângulos. Teorema (congruência de triângulos retângulos) Sejam B e B dois triângulos retângulos nos vértices e. ada condição abaixo implica que os dois triângulos são congruentes: (1). B = B e ang() = ang( ) (um cateto e o ângulo oposto). (2). B = B e B = B (a hipotenusa e um cateto). (3). B = B e ang() = ang( ) (a hipotenusa e um ângulo adjacente) Demonstração (1). Suponha que dois lados correspondentes não sejam congruentes. Digamos por exemplo que >. Seja um ponto com - e. Temos a congruência B B (caso LL com respeito ao ângulo reto) donde (, B) (, B ). ssim, (, B ) (, B) < (, B). (, B ) pelo Teorema do ângulo externo e a hipótese. Logo, os dois triângulos B e B são congruentes. Finalmente, se então os dois triângulos são congruentes pelo caso LL no ângulo reto. Se < marque um ponto análogo no triângulo B. B B (2). argumentação aqui é análoga: suponha por absurdo que >, marque um ponto sobre tal que. Temos B B (caso LL com respeito ao ângulo reto) donde as hipotenusas B, B e B são congruentes e simultaneamente B < B o que é um a contradição. (3). Fica como exercicio pra o leitor.

7 7 Teorema do Ângulo Externo e suas onseqüências. Teorema (Teorema do ângulo externo) Todo ângulo externo de um triângulo é maior que cada ângulo interno não adjacente. Na figura 1 parece natural traçar uma semi-reta de origem B paralela ao lado situada no mesmo semiplano do triângulo B e dividindo o ângulo externo B. Mas isto já pressupõe válida a afirmação. Veja que na figura 2 não há tanta evidencia. (Figura 1) B B (Figura 2 ) Vamos então construir um paralelogramo com congruência de triângulo LL como abaixo. Seja M o ponto médio do lado B. Estenda M de um segmento EM M. Os triângulos M e BME são congruentes donde vale (BE, B) < (BE, B) + (BE, BD) = (BD, B). E M D B (Figura 3). Demonstração (Teorema do ângulo externo) Seja dado um triângulo B. Mostraremos a parte da afirmação correspondente ao ângulo externo do vértice e ao ângulo interno B. B O (Figura 4). Seja O, o ponto médio de B e seja um ponto da reta O tal que O O. Trace e considere os triângulos OB e O que são congruentes por construção notando que o ângulo em O são opostos pelo vértice (caso LL). Obtemos daí que BO O. oncluímos que o ângulo interno B é menor que o ângulo externo em. lgumas onseqüências do Teorema do Ângulo Externo (1). soma das medidas de quaisquer dois ângulos internos de um triângulo é menor que dois retos.

8 8 (2). Todo triângulo possui pelo menos dois ângulos internos agudos. (3). Duas retas distintas perpendiculares a uma terceira não se interceptam. (4). Por um ponto fora de uma reta passa uma e uma só reta perpendicular (5). Se dois lados de um triângulo não são congruentes então seus ângulos opostos não são iguais e ao maior ângulo opõe-se o maior lado. (6). Se dois ângulos de um triângulo não são congruentes então os lados que se opõem a estes ângulos tem medidas distintas e ao maior lado opõe-se o maior ângulo (7). Em todo triângulo, a soma dos comprimentos de dois lados é maior do que o comprimento do terceiro lado. (8). Sejam a, b, c três números reais positivos. Então podemos construir um triângulo cujos lados medem a, b e c se, e só se a - b < c < a + b Note que se c = 1, a = 2 e b = 7 temos c < a + b e a < c + b mas a desigualdade b < a + c não ocorre. Demonstração s afirmações (1) a (4) são imediatas. Para a afirmação (5), considere a figura abaixo onde supomos que < B. B B. Seja B o ponto da semi-reta tal que B B. O triângulo BB é isósceles com ângulos da base em B e B o que dá B B = BB < B. Mas o ângulo B B é externo ao triângulo BB logo B B > B notando que B é oposto ao lado B e que B é oposto ao lado. (7). Suponha que O maior lado do triângulo B é B. Marque o ponto D sobre a semi-reta B tal que D assim que D = B =. onsidere o triângulo DB. omo o ponto é interior ao segmento BD temos BD > D = BD que é oposto ao lado B. Logo BD > B (que é o maior lado do triângulo dado). D B

9 9 Teorema (Lambert 1766) Suponha que um plano satisfaça aos grupos I, II e III dos axiomas da geometria. Então a soma dos ângulos internos de um triângulo é menor ou igual a dois retos. Demonstração Faremos a prova por absurdo. Suponha que um triângulo B contradiz o teorema, assim que a soma de seus ângulos internos é π+δ=a + b + c =(x+y) + b + c, onde δ é um valor real positivo. Suponha que a é o menor ângulo interno do triângulo B. Na figura abaixo seja D o ponto médio de B e DE 1 D. x E 1 c D x y b c B Figura 5 Os triângulos D e E 1 DB são congruentes. Portanto, D DBE 1 e o ângulo BE 1 mede b+c. ssim, o triângulo BE 1 tem a mesma soma de ângulos (internos) π+δ. Temos x a/ 2 ou y a/2. Digamos que x satisfaz tal condição. Senão for o caso, consideramos os triângulos congruentes DB e E 1 D o que nos dá E 1 = b+c no E 1. Ponhamos x 1 = x e consideremos agora o triangulo BE 1. Suponhamos agora que ocorre na medida x do vértice E 1 um fato análogo ao do vértice quando das nossas construções. onsideremos que x se subdivide em medidas x 1 e y 1 e que se tenha x 1 x/2. pós n+1 etapas, obtemos um ângulo x n onde x n a / 2 n+1 < δ. Esta desigualdade nos leva a uma contradição, pois, neste n-ésimo triângulo de ângulos digamos u, v, x n deveríamos ter mantido u + v + x n = π+δ o que implica u + v π contrariando o resultado (1) da lista das onseqüências do Ângulo Externo acima. Definição: Duas retas que não se interceptam serão denominadas paralelas. ntes de apresentarmos o axioma das paralelas, mostraremos um resultado sobre paralelas que decorre do teorema do ângulo externo. Proposição: Se uma reta intercepta duas outras formando ângulos alternos internos congruentes, as duas retas são paralelas. Demonstração: Seja t uma transversal que forma ângulos congruentes com r e s. onsidere os pontos de interseção e B. B Se as retas se interceptam num ponto, teríamos um triângulo B onde um ângulo externo em é congruente a um ângulo interno.

10 10 B O xioma Euclidiano das Paralelas. Mostramos na figura abaixo uma nomenclatura para retas transversais. Pares como δ e δ, e, são correspondentes. Os pares e δ, β e γ são colaterais internos. Ângulos como e γ são alternos internos. δ γ β δ γ β Postulado das Paralelas de Euclides: Se uma transversal a duas outras retas forma um par de ângulos colaterais internos que somam menos de dois retos, as retas se interceptam do lado onde isto ocorre. Na figura abaixo, se + β < dois retos, as retas r e s se interceptam num ponto tal que B é um triângulo onde dois ângulos internos nos vértices e B têm medidas respectivamente iguais a e β. B β r t s Postulado de Playfair: Por um ponto fora de uma reta só se pode traçar uma paralela a esta reta.. P Teorema: s sentenças acima são equivalentes: Demonstração: r

11 11 Euclides Playfair Suponha por absurdo que existem duas retas paralelas à uma reta r, passando pelo ponto P e seja P a projeção de P sobre a reta r. No máximo uma das duas retas p ou q é perpendicular a PP no ponto P. Se a reta q não é perpendicular, então existe uma ângulo agudo entre uma semireta de q de origem P e PP. soma deste ângulo e um reto é menor que dois retos. Por Euclides, as retas q r se interceptam, contrariando a hipótese de que elas são paralelas. P p q r P Playfair Euclides. perpendicular em P é paralela a r. ssim, se uma reta forma colaterais internos em P com a perpendicular PP ela não é paralela. lém disso, o lado da interseção ocorre onde o ângulo é agudo, senão teríamos um triângulos com dois ângulos internos somando mais de dois retos. gora considere uma transversal t a duas retas r e s. Se a soma dos ângulos colaterais internos formados é menor que dois retos, isto é, se + β < dois retos, então, supondo que é agudo, o ângulo γ = (PP, semireta de r de origem P) é agudo, donde r intercepta s num ponto como na figura. P γ B β r t P s onseqüências do axioma das paralelas: ntes de enunciarmos uma lista de resultados decorrentes do axioma das paralelas, chamamos a atenção do leitor sobre releitura de um axioma. Por exemplo, outro modo de ver o postulado de Euclides é dizer que: Se uma transversal corta duas paralelas,os ângulos alternos internos são iguais. (1). soma dos ângulos internos de um triângulo é dois retos. (2). Um ângulo externo vale a soma dos dois internos não adjacentes. (3). Se r é paralela a s, uma transversal forma ângulos alternos internos congruentes e ângulos colaterais internos suplementares. (4). Existe um retângulo. Todo quadrilátero tem soma interna igual a quatro retos. (5). Se uma transversal corta uma paralela também cortará a outra. (6). Existem triângulos semelhantes que não são congruentes.

12 12 (7). Duas paralelas são eqüidistantes. lgumas demonstrações. (1). soma dos ângulos internos de um triângulo é dois retos. Demonstração Faremos duas demonstrações. Primeira: Seja M o ponto médio de no triângulo B. Prolongue BM de um segmento ongruente ME. Usando a demonstração do teorema do ângulo externo, sabemos da congruência MB ME. S retas B e E são paralelas pois temos a congruência (B, M) (M, E). ssim, se F é um ponto de B com B F, teremos: dois retos = (B, M) + (M, E) + (E, F) = (B, ) + (B, ) + (B, B = soma dos ângulos internos do triângulo B. M E B F Segunda: onsidere um triângulo B e pelo vértice trace a única paralela ao lado B. E F B Tome agora dois pontos E e F sobre a paralela de forma que E--F. Temos (E, B) ângulo, (B, ) = ângulo e (F, ) ângulo. De acordo com o item (1) acima podemos classificar os triângulos pelos seus ângulos. Definição: Um triângulo é dito: Obtusângulo, se possui um ângulo obtuso (ele é único) cutângulo se seus ângulos internos são agudos. lguns lugares geométricos. Determine o lugar geométrico dos pontos: L1. Eqüidistantes de dois pontos dados. L2 Equidistantes de duas retas dadas. L3. Eqüidistantes de três pontos dados. L4. Eqüidistantes de três retas dadas.