ESCOLA SECUNDÁRIA COM 3º CICLO D. DINIS 12º ANO DE ESCOLARIDADE DE MATEMÁTICA A TESTE TIPO EXAME Nº2

Transcrição

1 º ANO DE ESCOLARIDADE DE MATEMÁTICA A TESTE TIPO EXAME Nº Utilize apenas caneta ou esferográfica de tinta indelével azul ou preta, excepto nas respostas que impliquem a elaboração de construções, desenhos ou outras representações, que podem ser primeiramente elaboradas a lápis, sendo, a seguir, passadas a tinta. Utilize a régua, o compasso, o esquadro, o transferidor e a calculadora gráfica sempre que necessário. Não é permitido o uso de corrector. Em caso de engano, deve riscar, de forma inequívoca, aquilo que pretende que não seja classificado. Escreva de forma legível a numeração dos grupos e/ou dos itens, bem como as respectivas respostas. Para cada item, apresente apenas uma resposta. Se escrever mais do que uma resposta a um mesmo item, apenas é classificada a resposta apresentada em primeiro lugar. Para responder aos itens de escolha múltipla, escreva, na folha de respostas, o número do item; a letra identificativa da alternativa correcta. Não apresente cálculos, nem justificações. Nos itens de resposta aberta com cotação igual ou superior a pontos e que impliquem a produção de um texto, o domínio da comunicação escrita em língua portuguesa representa cerca de 0% da cotação. O formulário está na página e as cotações na página 7 Professora: Rosa Canelas

2 º ANO DE ESCOLARIDADE DE MATEMÁTICA A TESTE TIPO EXAME Nº Professora: Rosa Canelas

3 º ANO DE ESCOLARIDADE DE MATEMÁTICA A TESTE TIPO EXAME Nº GRUPO I Os oito itens deste grupo são de escolha múltipla. Em cada um deles, são indicadas quatro alternativas de resposta, das quais só uma está correcta. Se apresentar mais do que uma alternativa, a resposta será classificada com zero pontos, o mesmo acontecendo se a letra transcrita for ilegível.. Escolhidos ao acaso dois dos vértices do octaedro, a probabilidade de serem extremos de uma das arestas é: (A) 7% (B) 80% (C) 0% (D) 0%. Seja Ω o conjunto de resultados de uma experiência aleatória E. Sejam A e B dois acontecimentos ( A Ωe B Ω ) Sabe-se que: P( A) = 0,, PB ( ) 0,8 Qual é o valor de P( A B)? = e ( ) P A B = 0,6 (A) 0, (B) 0, (C) 0, (D) 0. Considere a linha do Triângulo de Pascal em que o segundo elemento é. Escolhem-se, ao acaso, dois elementos dessa linha. Qual é a probabilidade de estes dois elementos serem iguais? 9 (A) C (B) 6 C (C) C 8 (D) 6 C 4. Considere as funções f e g de domínio +, tais que f( x) = log x e g( x) 9 = log x. Qual das seguintes igualdades se verifica para todo o x? (A) g( x) = f( x) (B) g( x) = f( x) (C) g( x) = f( x) (D) g( x) = ( f( x) ) + Professora: Rosa Canelas

4 º ANO DE ESCOLARIDADE DE MATEMÁTICA A TESTE TIPO EXAME Nº. A função derivada de uma função f, de domínio, é definida por f ( x) = x. Qual das seguintes representações gráficas pode corresponder à função f? (A) (B) (C) (D) 6. A ampulheta da figura começou a esvaziar (a parte superior) no instante t = 0. Qual das funções pode representar a altura do liquido no recipiente de baixo em função do tempo? (A) (B) (C) (D) Professora: Rosa Canelas

5 º ANO DE ESCOLARIDADE DE MATEMÁTICA A TESTE TIPO EXAME Nº 7. Qual dos seguintes números complexos tem representação geométrica no plano complexo, pertencente à região colorida. (A) 7π cis (B) i (C) i (D) cis 6 π 8. Em, conjunto dos números complexos, considere π z = cis. O argumento positivo mínimo de w = é: z (A) π (B) π 7 (C) 8π (D) π GRUPO II Na resposta a itens deste grupo, apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos os cálculos que tiver de efectuar e todas as justificações necessárias. Atenção: quando, para um resultado, não é pedida a aproximação, apresente sempre o valor exacto.. Em, conjunto dos números complexos, seja z = + i (i designa a unidade imaginária).. z + i + 4 Sem recorrer à calculadora, determine o valor de. Apresente o resultado na i forma algébrica... Prove que, qualquer que seja o número natural n, imagem geométrica de pertence à bissectriz dos quadrantes ímpares. 4n z +. Seja f uma função, real de variável real, de domínio IR + com f( x).. Averigúe se o gráfico de f tem assímptotas verticais... Prove que f ( x) = ln x+ x. x = e estude a função quanto à monotonia e extremos. x + x.. Utilizando a segunda derivada e o Teorema de Bolzano, prove que o gráfico de f tem pelo menos um ponto de inflexão em ], [. Professora: Rosa Canelas

6 º ANO DE ESCOLARIDADE DE MATEMÁTICA A TESTE TIPO EXAME Nº.4. Indique, justificando, o contradomínio de f.. Admite-se que a concentração do fármaco Saratex, em miligramas por litro de sangue, t t horas após a administração a um doente, é dada pela expressão C( t) = t,0.. Passadas duas horas da administração do fármaco, qual é a concentração do mesmo por litro de sangue? Apresente o resultado arredondado às décimas... O conjunto solução da inequação C( t), é um intervalo fechado [a,b]. Recorrendo calculadora, determine, graficamente, valores aproximados às décimas de a e de b... A conselho médico, um doente deve tomar um outro fármaco quando a concentração de Saratex for máxima. Para isso, o médico indicou, correctamente, ao doente o intervalo de tempo entre a administração dos dois fármacos. Sabe-se que o doente tomou Saratex às 8 horas e o º medicamento às horas. Numa curta composição matemática, explique o cumprimento ou não, por parte do doente, das recomendações do médico. Ilustre com um ou mais gráficos. Na composição deve ficar claro: O momento em que a concentração é máxima; O intervalo de tempo entre a administração dos dois fármacos; A hora a que o doente devia ter tomado o segundo fármaco. 4. Sejam A e B dois acontecimentos associados a uma experiência aleatória. 4.. Mostre que se A e B forem acontecimentos independentes, tem-se P( A B) = P( A) + P( B) P( A) 4.. Admita que A e B são independentes e que P( A) = e P( A B) ( B) P A. =. Determine 6. Admita que a variável temperatura, em graus centígrados, da temperatura da água do mar em registos feitos à mesma hora e no mesmo local, tem uma distribuição normal de valor médio 8. Sabe-se que % dos registos são superiores a 0ºC. Escolhido, ao acaso, um dos registos, qual é a probabilidade de estar compreendido entre 6ºC e 8ºC? Apresente o resultado em percentagem. FIM Professora: Rosa Canelas

7 º ANO DE ESCOLARIDADE DE MATEMÁTICA A TESTE TIPO EXAME Nº COTAÇÕES GRUPO I... (8 pontos) pontos GRUPO II pontos. 0 pontos...0 pontos...0 pontos. 40 pontos...0 pontos...0 pontos...0 pontos.4..0 pontos. 4 pontos...0 pontos... pontos...0 pontos 4. 0 pontos pontos pontos. pontos TOTAL pontos Professora: Rosa Canelas

8 º ANO DE ESCOLARIDADE DE MATEMÁTICA A TESTE TIPO EXAME Nº Proposta de resolução Grupo I. (B) Escolhidos ao acaso dois dos vértices do octaedro, a probabilidade de serem extremos de uma das arestas é = 0,8 logo 80%.. (C) Seja Ω o conjunto de resultados de uma experiência aleatória E. Sejam A e B dois acontecimentos ( A Ωe B Ω ) A B Sabe-se que: P( A) = 0,, PB ( ) 0,8 O valor de P( A B) = 0, P A B = 0,6 = e ( ) A B 0, 0, A B 0,6. (D) Considere a linha do Triângulo de Pascal em que o segundo elemento é. Escolhem-se, ao acaso, dois elementos dessa linha. 8 A probabilidade de estes dois elementos serem iguais é 6 por a linha ter 6 elementos C iguais dois a dois donde o número de casos favoráveis ser (C) Considere as funções f e g de domínio + f x log x g x = log x., tais que ( ) = e ( ) 9 Das seguintes igualdades a que se verifica para todo o x é obtida assim: ( ) y y y y log9 x x 9 x x y log x y log x = = = = = =. Logo g( x) = f( x). (B) A função derivada de uma função f, de domínio, é definida por f ( x) = x. Qual das seguintes representações gráficas pode corresponder à função f? + x + f x ( ) f( x ) M Professora: Rosa Canelas

9 º ANO DE ESCOLARIDADE DE MATEMÁTICA A TESTE TIPO EXAME Nº 6. (C) A ampulheta da figura começou a esvaziar (a parte superior) no instante t = 0. A função que pode representar a altura do liquido no recipiente de baixo em função do tempo é: No início a altura aumenta muito lentamente e a velocidade com que aumenta é progressivamente maior pelo que a função termina a aumentar rapidamente. 7. (B) Dos seguintes números complexos o que tem representação geométrica no plano complexo, pertencente à região colorida é i pois tem argumento aproximadamente igual a º >º e módulo 6 [,] (A) 7π cis não pertence porque 7 π π π π = e > 4 (C) i não pertence porque tem argumento aproximadamente igual a º < º. (D) cis 6 π não pertence porque está no º quadrante 8. (D) Em, conjunto dos números complexos, considere π π z = cis = cis π+. O argumento positivo mínimo de 7π π w = = cis cis z = é π GrupoII. Em, conjunto dos números complexos, seja z = + i (i designa a unidade imaginária).. Sem recorrer à calculadora, determinemos o valor de ( + ) i z + i + 4 i z i 4 i i 4 = = = + i, resultado na forma algébrica. i i 4+.. Provemos que, qualquer que seja o número natural n, imagem geométrica de z 4n+ pertence à bissectriz dos quadrantes ímpares.. Professora: Rosa Canelas

10 º ANO DE ESCOLARIDADE DE MATEMÁTICA A TESTE TIPO EXAME Nº π Ora z i cis 4 z = cis 4n+ = cis π n n+ 4n+ + π π 4n = + = logo ( ) ( ) ( ) π π O argumento destes complexos são se n par e π + se n ímpar pelo que em 4 4 qualquer das situações estão sobre a bissectriz dos quadrantes ímpares que é uma recta que passa na origem e tem inclinação 4 π.. Seja f uma função, real de variável real, de domínio IR + com f( x).. Averiguemos se o gráfico de f tem assímptotas verticais: = ln x+ x. lim ln x + + = + x 0 x A recta de equação x = 0 é a única assímptota vertical do gráfico de f porque f é uma função contínua em IR + por ser a composta de duas funções contínuas em IR +... Provemos que f ( x) ( ) x = x + x x x x x x f x = ln x+ = = = = x x + x + x( x + ) x + x x x Estude a função quanto à monotonia e extremos: Zeros de ( ) x f x =,x > 0 x + x x Os zeros da derivada são = 0, x > 0 ( x = x = ) x > 0 x = x + x Estudo do sinal da derivada para concluir sobre a monotonia da função: x 0 + ( x) f f( x ) m f é decrescente em ] 0, [ e crescente em ], + [ e tem um mínimo quando x = que vale m= f( ) = ln( + ) = ln Professora: Rosa Canelas

11 º ANO DE ESCOLARIDADE DE MATEMÁTICA A TESTE TIPO EXAME Nº.. Utilizando a segunda derivada e o Teorema de Bolzano, provemos que o gráfico de f tem pelo menos um ponto de inflexão em ], [. Cálculo da segunda derivada: ( x) ( ) ( )( ) ( x + x) ( x + x) ( x + x) x x + x x x + x + x x x + x + x + 4x + f = = = f é contínua em [, ] por ser o quociente entre duas funções contínuas em e o denominador não se anula em [, ]. f ( ) = 0,0 e ( ) f 0,0 Pelo teorema de Bolzano podemos concluir que f ( x) = 0 tem pelo menos uma solução num ponto onde a segunda derivada se anula e muda de sinal o que prova que o gráfico de f tem pelo menos um ponto de inflexão. lim ln x + + =+ x 0 x estudo da monotonia onde concluímos ser ln o mínimo da função..4. O contradomínio de f é [ ln,+ [ de acordo com e atendendo ao. Admite-se que a concentração do fármaco Saratex, em miligramas por litro de sangue, t t horas após a administração a um doente, é dada pela expressão C( t) = t,0.. Passadas duas horas da administração do fármaco, a concentração do mesmo por litro de 4 sangue é C( ) =,0 isto é aproximadamente,6, resultado arredondado às décimas... O conjunto solução da inequação C( t), é um intervalo fechado [a,b]. Recorrendo calculadora, determinemos, graficamente, valores aproximados às décimas de a e de b. Os valores pedidos são a, e b,.. A conselho médico, um doente deve tomar um outro fármaco quando a concentração de Saratex for máxima. Para isso, o médico indicou, correctamente, ao doente o intervalo de Professora: Rosa Canelas

12 º ANO DE ESCOLARIDADE DE MATEMÁTICA A TESTE TIPO EXAME Nº tempo entre a administração dos dois fármacos. Sabe-se que o doente tomou Saratex às 8 horas e o º medicamento às horas. Numa curta composição matemática, vamos explicar o cumprimento ou não, por parte do doente, das recomendações do médico, ilustrando com um ou mais gráficos. Na composição deve ficar claro: O momento em que a concentração é máxima; O intervalo de tempo entre a administração dos dois fármacos; A hora a que o doente devia ter tomado o segundo fármaco. Composição: Se o doente tomou o primeiro medicamento às 8 horas devia tomar o segundo às 8 h e m dado que a concentração é máxima 0 horas e minutos depois de o fármaco ser administrado. Assim o doente não cumpriu as instruções do médico, que eram que tomasse o segundo fármaco 0h e m depois de tomar o primeiro, uma vez que tomou o segundo fármaco apenas 7 horas depois de tomar o primeiro, ou seja, horas e minutos antes da hora marcada pelo médico. 4. Sejam A e B dois acontecimentos associados a uma experiência aleatória. 4.. Mostremos que se A e B forem acontecimentos independentes, tem-se P( A B) = P( A) + P( B) P( A) Dizer que A e B são acontecimentos independentes equivale a afirmar que P( A B) = P( A) P( B) Como P( A B) = P( A) + P( B) P( A B) será ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) P A B = P A + P B P A P B = P A + P B P A = P A + P B P A c.q.d. Professora: Rosa Canelas

13 º ANO DE ESCOLARIDADE DE MATEMÁTICA A TESTE TIPO EXAME Nº 4.. Admitamos que A e B são independentes e que P( A) = e P( A B) =. Determinemos 6 ( B). Aplicando a regra que acabámos e enunciar P( A B) = P( A) P( B) P A 6 = = = 6 4 concluímos ser PB ( ) PB ( ) PB ( ) Podemos agora calcular P( A B) 8+ = + = = Admitamos que a variável temperatura, em graus centígrados, da temperatura da água do mar em registos feitos à mesma hora e no mesmo local, tem uma distribuição normal de valor médio 8. Sabe-se que % dos registos são superiores a 0ºC. Escolhido, ao acaso, um dos registos, a probabilidade de estar compreendido entre 6ºC e 8ºC é igual à probabilidade de a temperatura escolhida estar entre 8º e 0º. Assim P( 6 < X < 8) = 0% % = % Professora: Rosa Canelas