2-4ac. -b ± b - 4ac x = MATEMÁTICA. fórmula de Báskara: EQUAÇÕES DO 2º GRAU

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1 EQUAÇÕES DO 2º GRAU DEFINIÇÃO É toda a equação que pode ser reduzida à forma: fórmula de Báskara: 2 b - 4ac = I) Quado > 0, maior que zero, a equação tem duas raízes reais e diferetes etre si.. ax 2 + bx + c = 0 a 0 S= -b + b 2-4ac -b - b 2-4ac ; 2a 2a Em que: II) Quado = 0, igual a zero, a equação tem duas raízes reais e iguais. x é a icógita a, b e c são costates reais deomiadas coeficietes. c é o termo idepedete RESOLUÇÃO Nas equações, é costume chamar os valores que satisfazem as equações de raízes. Resolver uma equação sigifica determiar o seu cojuto-verdade, isto é, o cojuto de suas raízes. S= -b -b ; 2a 2a III) Quado < 0, meor que zero, a equação tem duas raízes ão reais e diferetes etre si. S = φ cojuto vazio, as raízes ão são reais. OBTER AS RAÍZES PELO PRODUTO E SOMA (RELAÇÕES DE GIRARD) Para a equação do 2º grau ax 2 + bx + c = 0 Use a formula de Báskara 2 -b ± b - 4ac x = 2a Seja a equação: 1x 2 - Sx + P = 0 a = 1 e x 1 e x 2 as raízes da equação, etão podemos ter: O cojuto solução é: S= -b + b 2-4ac -b - b 2-4ac ; 2a 2a soma produto x 1 + x 2 = S x 1. x 2 = P Cosiderações Para a equação do 2º grau, quado o discrimiate da equação, radicado a TESTES 01. A razão etre a soma e o produto das raízes da equação 2x 2-7x + 3 = 0. Atualizada Jaeiro/2010 Neste curso os melhores aluos estão sedo preparados pelos melhores Professores 1

2 a) 7/3 b) 7/2 c) 3/2 d) 3/7 e) 2/7 b) 1 c) 2 d) 2,5 e) (UFRJ-NCE) A difereça etre os valores das raízes da equação 2x 2 26x + 80 = 0 pode ser igual a: a) 0; b) 2; c) 3; d) 12; e) (PUC-MG) Os valores de x que verificam a 2 equação 0,01x + 0,05x = 2,50 0,10x pertecem ao cojuto: a) { 25, 17, 10, 16} b) { 23, 14, 11, 12} c) { 17, 10, 14, 25} d) { 23, 16, 17, 21} 10. O úmero de soluções iteiras da equação x = x - 4 x x(x - 4) a) 0 b)1 c)2 d)3 e) (ACAFE-SC) Uma toreira deixa cair x gotas de água a cada 20 segudos. Sabedo-se que esse úmero x correspode à raiz positiva da equação x( x-2 ) = x, o volume de água que vaza por hora, supodo que cada gota correspode a 0,4ml, é: a) 504ml b) 540ml c) 5040ml d) 50,4ml e) 5400ml 04. x 2-8x + 7 = x 2-6x + 9 = x 2-2x + 5 = Qual o meor úmero que se deve somar a cada fator do produto de 5 x 13, para que este produto, aumete de 175 uidades? a) 7 b) 25 c) 7 d) 25 e) x x = Qual é o meor valor de "x" de modo que a divisão de 0,5 por "x" teha o mesmo resultado da adição de 0,5 com "x"? a) 0,5 b) 0, x 2 = 0 c) 1 d) (Uificado-RJ) A maior raiz da equação - 2x 2 e) 0 + 3x + 5 = 0 vale: a) -1 2 Atualizada Jaeiro/2010 Neste curso os melhores aluos estão sedo preparados pelos melhores Professores

3 GABARITO 01 A 02 C y v y V Poto de 03 A 04 1 e 7 0 x v Vazio em R 07-4 e /2 e 3/2 09 D 10 B 11 A 12 D 13 C PONTO DE MÍNIMO V( x v, y v ) O poto de míimo é poto de meor ordeada ( y v ) da fução: f( x ) = ax 2 + bx + c = 0 a > 0 Obs.: O coeficiete a de x 2 é POSITIVO. REPRESENTAÇÃO GRÁFICA y FUNÇÃO DO 2 GRAU x v VÉRTICE DE UMA PARÁBOLA 0 x Toda a fução do 2 grau tem um poto de máximo ou de míimo. y v V Poto de f( x ) = ax 2 + bx + c = 0 a 0 CÁCULO DO VÉRTICE DA FUNÇÃO DO 2 GRAU PONTO DE MÁXIMO V( x v, y v ) CÁLCULO DA ABSCISSA x v DO VÉRTICE O poto de máximo é poto de maior ordeada ( y v ) da fução: x v b = 2 a f( x ) = ax 2 + bx + c = 0 a < 0 Obs.: O coeficiete a de x 2 é NEGATIVO. Ou também, calculado a média aritmética das raízes ( x 1 e x 2 ): REPRESENTAÇÃO GRÁFICA Atualizada Jaeiro/2010 Neste curso os melhores aluos estão sedo preparados pelos melhores Professores 3

4 x v = x 1 + x 2 2 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 CÁLCULO DA ORDENADA y v DO VÉRTICE (MÁXIMO OU MÍNIMO) ( b 2-4 a c) yv = 4 a Ou também, substituido x v a fução: f ( x 2 v ) = a ( x v ) + b ( x v ) + c IMAGEM DA FUNÇÃO DO 2 GRAU Imagem 1) Se a > 0 y y v 2) Se a < 0 y y v TESTES 01. (ACAFE-SC) A fução f(x) = x 2-2x + 1 tem míimo o poto em que x vale: a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) (PUC-MG) O valor máximo da fução f(x) = - x 2 + 2x + 2 é: a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) (UEL-PR) Se x e y são as coordeadas do vértice da parábola y= 3x 2-5x + 9, etão x + y é igual a: a) 5/6 b) 31 /14 c) 83/12 d) 89/18 e) 93/ (FCC/2008-PREFEITURA/SALVADOR) Uma peça metálica, usada a mauteção dos veículos da Guarda Muicipal, ao passar por certo tratameto, sofre uma variação de temperatura, que é descrita pela fução T(t), a qual T é a temperatura em graus Celsius e t é o tempo medido em horas. Sabedo que T(t) = - 2t t + 25, sedo o itervalo do tratameto de 0 a 10 horas, para qual itervalo de tempo a temperatura é maior ou igual a 25 C? a) 0 t 10 b) 9 t 10 c) 5 t 10 d) 0 t 9 e) 6 t (UEPI-PI) O lucro mesal de uma fábrica é dado por L(x) = x x 10 ode x é a quatidade mesal de uidades fabricadas e vedidas de um certo bem, produzido por esta empresa e L é expresso em Reais (Obs.: Real uidade moetária). O maior lucro mesal possível que a empresa poderá ter é dado por: a) R$ 890,00 b) R$ 910,00 c) R$ 980,00 d) R$ 1.080,00 e) R$ 1.180, (CEFET-PR) O maior valor que y pode de assumir a expressão y= - x 2 +2x é: a) 1 4 Atualizada Jaeiro/ (EsPCEX) Um curral retagular será costruído aproveitado-se um muro pré-existete o terreo, por medida de ecoomia. Para cercar os outros três lados, serão utilizados 600 metros de tela de Neste curso os melhores aluos estão sedo preparados pelos melhores Professores

5 arame. Para que a área do curral seja a maior possível, a razão etre as suas meor e maior dimesões será: a) 0,25 b) 0,50 c) 0,75 d) 1,00 e) 1,25 08 Um artesão produz lembraças que vede a turistas por x reais cada uma. Com esse preço, ele sabe, por experiêcia, que seu lucro mesal é obtido da expressão L(x) = 400(15 x)(x 3). Determie, em reais, o preço pelo qual ele deverá veder cada lembraça para obter o maior lucro mesal possível, está compreedido o itervalo 9 x (Uifor-CE) Cosidere dois úmeros reais tais que a soma de um deles com o triplo do outro é igual a 48. O valor máximo que se pode obter para o produto desses úmeros é: a) 186 b) 192 c) 224 d) 236 e) (FCC/2008-PREFEITURA/SALVADOR) Durate um treiameto da guarda muicipal, uma bola foi laçada verticalmete para cima a partir do solo. A relação etre a altura h da bola em relação ao solo (em metros) e o tempo t (em segudos) respeita a equação h(t) = 5t t. Depois de quatos segudos, cotados a partir do laçameto, a bola retora ao solo? a) 3,5 b) 3,0 c) 2,5 d) 2,0 e) 1,5 09. (UFF-RJ) Um fazedeiro pretede destiar um terreo retagular à platação de mudas. Para limitar o terreo, deverá esteder 1000 m de tela ao logo de três de seus lados, o quarto lado coicidirá com um muro reto. Nestas codições calcule, em metros quadrados, a maior área possível de ser limitada Em uma partida de vôlei, um jogador deu um saque em que a bola atigiu uma altura h em metros, um tempo t, em segudos, de acordo com a relação h(t) = -t² + 8t. a) Em que istate a bola atigiu a altura máxima? [Nota]: observem o vértice b) De quatos metros foi a altura máxima alcaçada pela bola? 11. (FGV-SP) O lucro mesal de uma empresa é dado por L = - x x - 5, ode x é a quatidade mesal vedida. Qual o lucro mesal máximo possível? GABARITO 01 B 02 B 03 A 04 E 05 D 06 A 07 B 08 Correta e B Atualizada Jaeiro/2010 Neste curso os melhores aluos estão sedo preparados pelos melhores Professores 5

6 13 D A costate 2, obtida pela difereça, coforme mostra quadro, defie a seqüêcia como uma progressão aritmética (PA) de razão. SEQUÊNCIAS E SUCESSÕES PROGRESSÃO ARITMÉTICA (PA) FÓRMULA GERAL DA RAZÃO ( r ) DEFINIÇÃO: Uma seqüêcia (a 1, a 2, a 3, a 4, a 5,..., a ) de úmeros reais, com a 1 =primeiro termo, a 2 =segudo termo, a 3 =terceiro termo, assim sucessivamete até o último termo a, é uma progressão aritmética (PA), se a difereça etre um termo qualquer a partir do segudo, pelo seu atecessor imediato, produzir um resultado (resto) costate real, deomiado razão ( r ) da progressão. r = a +1 - a Para todo o pertecete aos aturais positivos CLASSIFICAÇÃO DE UMA PROGRESSÃO ARITMÉTICA r = a 2 - a 1 r = a 3 - a 2 Seja r a razão de uma progressão aritmética (PA), temos que: r = a 4 - a r = a - a -1 1 PA estritamete crescete r > 0 2 PA estritamete decrescete r < 0 3 PA costate r = 0 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS TERMO GERAL DE UMA PROGRESSÃO ARITMÉTICA (PA) 01. Verificar se a seqüêcia (2, 4, 6, 8, 10) é uma progressão aritmética (PA) de razão 2. Resolução r = a 2 - a 1 = 4 2 = 2 r = a 3 - a 2 = 6 4 = 2 r = a 4 - a 3 = 8 6 = 2 r = a 5 - a 4 = 10 8 = 2 A defiição de progressão aritmética (PA), sugere que: a 2 = a 1 + 1r a 3 = a 1 + 2r a 4 = a 1 + 3r a 5 = a 1 + 4r a 6 = a 1 + 5r 6 Atualizada Jaeiro/2010 Neste curso os melhores aluos estão sedo preparados pelos melhores Professores

7 e assim sucessivamete Geeralizado para termo de ordem ( = ao úmero de termos da progressão), temos a fórmula geral: Forma simplificada para a represetação de uma progressão aritmética com três termos em duas variáveis. ( x - r, x, x + r ) a = a 1 + ( - 1 ).r SOMA DOS TERMOS DE UMA PROGRESSÃO ARITMÉTICA Podemos ter um termo de ordem relacioado com qualquer outro termo atecessor de ordem k. Neste caso a fórmula do termo geral abragete, é: a = a k + ( - k ).r Sedo (a 1, a 2, a 3, a 4, a 5,..., a ) uma progressão aritmética e S a soma desses termos, S = a 1 + a 2 + a 3 + a 4 +a a. Segue a fórmula para o somatório de qualquer progressão aritmética. Por exemplo: é igual ao úmero de termos somados. 01. Na seqüêcia (10, 6, 2,...), calcular o décimo termos. (a 1 + a ) S = 2 a é o último termo. Resolução: a = a 1 + ( -1 )r a 10 = a 1 + (10-1)r a 10 = (-4) a 10 = a 10 = -26 r=a 2 -a 1 =6-10 = -4 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 1. Calcular a soma dos 20 primeiros termos de progressão aritmética (2, 5, 8,...). Resolução: PROGRESSÃO ARITMÉTICA COM TRÊS TERMOS I) Dados para cálculo da soma: a 1 =2, =20 e a 20 ão foi forecido, deverá ser calculado, veja item II. II) Pela fórmula do termo geral, Atualizada Jaeiro/2010 Neste curso os melhores aluos estão sedo preparados pelos melhores Professores 7

8 a = a 1 + ( -1 )r a 20 = a 1 + ( 20-1 )r a 20 = x3 a 20 = a 20 = 59 r=a 2 -a 1 =5-2=3 (...)A carga a ser processada as refiarias da Petrobras o Brasil e o exterior deverá passar dos atuais 2 milhões de barris por dia para 2,5 milhões em 2012 (...). Notícia publicada em 07 maio Dispoível em: II) A soma dos 20 primeiros termos, S 20. (a 1 + a ) S = 2 (2 + 59) S 20 = 20 2 S 20 = S 20 = 610 Se, de 2008 a 2012, a carga processada diariamete pelas refiarias da Petrobras aumetar, aualmete, em progressão aritmética, quatos milhões de barris diários serão produzidos em 2011? a) 2,100 b) 2,125 c) 2,200 d) 2,250 e) 2, (PUC-MG) Acompahado o desevolvimeto de uma população de vírus, certo biólogo motou a seguite tabela, que apreseta o úmero de vírus ao fial de cada um dos 5 primeiros miutos: TESTES 1. Complete as seqüêcias a seguir, matedo a formação lógica. a) ( 2, 4, 6, 8,...,...,...,... ) b) ( 35, 30, 25, 20,...,...,...,... ) Supodo-se que o ritmo de crescimeto dessa população teha cotiuado a obedecer a essa mesma lei, etão o biólogo cocluiu que a etapa correspodete a 50 miutos a população, era: a) 87 b) 90 c) 197 d) 200 c) ( 8, 8, 8, 8,...,...,...,... ) 4. (CESGRANRIO) Quatos úmeros múltiplos de 7 ou de 11 há etre 1 e 1000? a) (CESGRANRIO-PETROBRAS-2008) Modelo de Gestão do abastecimeto está preparado para a expasão da Petrobras b) 142 c) Atualizada Jaeiro/2010 Neste curso os melhores aluos estão sedo preparados pelos melhores Professores

9 d) 229 e) (NC.UFPR) Em uma progressão aritmética, o 11º termo excede o 2º em 27. Sabedo-se que o 5º termo é 14, etão o 12º é: a) 33 b) 34 c) (CESGRANRIO-TRANSPETRO-2008) Uma empresa de propagada istalou dois paiéis em uma estrada, o primeiro o km 78 e o segudo o km 246. A mesma empresa pretede istalar outros 7 paiéis etre esses dois, de modo que a distâcia etre dois outdoors cosecutivos seja sempre a mesma. Qual será, em km, essa distâcia? a) 21 b) 24 c) 26 d) 28 e) 31 d) 36 e) (PUC-RS) As quatias, em reais, de cico pessoas estão em progressão aritmética. Se a seguda e a quita possuem, respectivamete, R$ 250,00 e R$ 400,00, a primeira possui: a) R$ 200,00 b) R$ 180,00 c) R$ 150,00 d) R$ 120,00 e) R$ 100,00 9. (UFF-RJ) Uma certa quatidade de latas de atum vai ser disposta em uma pilha de 30 camadas, coforme a figura abaixo. 30 camadas 7. (BACEN) A 11ª figura da seqüêcia abaixo terá: Determie a quatidade de latas da pilha. 10. (Uifor-CE) Em um restaurate, os preços de três pratos estão em progressão aritmética de razão R$ 12,00. Se o primeiro e o segudo prato custam jutos R$ 42,00, etão o segudo e terceiro prato custam jutos: a) 10 quadradihos pretos. b) 10 quadradihos bracos. c) 22 quadradihos pretos. d) 86 quadradihos bracos. e) 110 quadradihos bracos. a) R$ 54,00 b) R$ 60,00 c) R$ 66,00 Atualizada Jaeiro/2010 Neste curso os melhores aluos estão sedo preparados pelos melhores Professores 9

10 d) R$ 68,00 e) R$ 70,00 assim sucessivamete. Ao fial de 20 dias foi arrecadado um total de Kg. A quatidade de Kg arrecada o primeiro dia foi de: a) 150 Kg 11. (UFAM-AM) Durate 13 dias, um automóvel é submetido a testes de desempeho mecâico. No primeiro dia ele percorre 30 km; o segudo, 45 km; o terceiro, 60 km; e assim sucessivamete, até o último dia, quado percorre x km. Etão 10 x. a) 35 b) 30 c) 45 d) 60 e) (Mackezie-SP) A seqüêcia de úmeros reais, com 12 termos, (89, a, b, c,..., p, 45) é uma progressão aritmética cujo oitavo termo vale: a) 57 b) 59 c) 61 d) 63 e) 65 b) 200 Kg c) 250 Kg d) 300 Kg e) 350 Kg 15. Em jaeiro depositei R$ 100,00 o baco, em fevereiro, R$ 200,00, em março, R$ 300,00, e assim sucessivamete, aumetado R$ 100,00 a cada mês os depósitos, sem falhar em ehum deles. Terei depositado R$ ,00 ao fial do período de três aos, se mativer esse mesmo procedimeto. 16. (UFSM-RS) Tisiu ficou sem parceiro para jogar bolita (bola de gude); etão pegou sua coleção de bolitas e formou uma seqüêcia de T (a iicial de seu ome), coforme a figura 13. (FCC) Assiale a opção que apreseta corretamete o oitavo termo de uma PA ode a 5 = 6 e a 17 = 30. a) 10 b) 12 c) 14 d) 16 e) 18 Supodo que o guri coseguiu formar 10 T completos pode-se, seguido o mesmo padrão, afirmar que ele possuía a) mais de 300 bolitas. b) pelo meos 230 bolitas. 14. Durate uma feira agropecuária foi realizada uma campaha para arrecadar alimetos para famílias pobres. No primeiro dia foi arrecadado x Kg de alimetos, o segudo dia o dobro de Kg do que foi arrecadado o primeiro dia; o terceiro dia o triplo de Kg do que foi arrecadado o primeiro dia; e c) meos de 220 bolitas. d) exatamete 300 bolitas. e) exatamete 41 bolitas. 10 Atualizada Jaeiro/2010 Neste curso os melhores aluos estão sedo preparados pelos melhores Professores

11 17. (Fatec-SP) Um auditório foi costruído de acordo com o esquema abaixo: 15 C 16 B 17 C PROGRESSÃO GEOMÉTRICA (PG) A platéia tem 18 filas de assetos e cada fila tem 4 lugares a mais que a aterior. Se forem covidadas 800 pessoas para assistir a um eveto e todas comparecerem, a) ficarão vagos 140 lugares. b) ficarão vagos 64 lugares. c) faltarão 44 lugares. d) faltarão 120 lugares. e) ão sobrarão em faltarão lugares. GABARITO 01 a) 10, 12, 14, E 03 C 04 C 05 C 06 A 07 E 08 A b) 15, 10, 5, 0 c) 8, 8, 8, 8 DEFINIÇÃO: Uma seqüêcia (a 1, a 2, a 3, a 4, a 5,..., a ) de úmeros reais, com a 1 =primeiro termo, a 2 =segudo termo, a 3 =terceiro termo, assim sucessivamete até o último termo a, é uma progressão geométrica (PG), se a divisão etre um termo qualquer a partir do segudo, pelo seu atecessor imediato, produzir um resultado (quociete) costate real, deomiado razão ( q ) da progressão geométrica. a q = a 2 a q = a a q = a a q = a C 11 E 12 C 13 B 14 E EXERCÍCIO RESOLVIDO 01. Verificar se a seqüêcia (2, 4, 8, 16, 32) é uma progressão geométrica (PG). Atualizada Jaeiro/2010 Neste curso os melhores aluos estão sedo preparados pelos melhores Professores 11

12 Resolução a2 4 a4 16 q = = = 2 q = = = 2 a 2 a 8 1 a3 8 a5 32 q = = = 2 q = = = 2 a 4 a 16 2 A costate 2 obtida pela divisão, coforme mostra quadro, defie a seqüêcia como uma progressão geométrica (PG) de razão 2. FÓRMULA GERAL DA RAZÃO ( q ) 3 4 a 2 = a 1 x q 1 a 3 = a 1 x q 2 a 4 = a 1 x q 3 a 5 = a 1 x q 4 a 6 = a 1 x q 5 e assim sucessivamete Geeralizado para termo de ordem ( = ao úmero de termos da progressão), temos a fórmula geral: a = a 1 x q -1 a q = a -1 Para todo o pertecete aos aturais positivos Podemos ter um termo de ordem relacioado com qualquer outro termo atecessor de ordem k. Neste caso a fórmula do termo geral abragete, é: a = a k x q -k CLASSIFICAÇÃO DE UMA PROGRESSÃO GEOMÉTRICA Seja q a razão de uma progressão geométrica (PG), temos que: 1 PG estritamete crescete 2 PG estritamete decrescete a 1 > 0 e q > 1 ou a 1 < 0 e 0 < q < 1 a 1 > 0 e 0 < q < 1 ou a 1 < 0 e q > 1 3 PG costate q = 1 4 PG alterate a 1 0 e q < 0 TERMO GERAL DE UMA PROGRESSÃO GEOMÉTRICA (PG) EXERCÍCIO RESOLVIDO 01. Na seqüêcia (3, 6, 12,...), calcular o décimo termos. Resolução: a = a 1 x q -1 a 10 = a 1 x(q) 10-1 a 10 = 3 x (2) 9 a 10 = 3 x 512 a 10 = 1536 r=a 2 /a 1 =6/ 3= 2 A defiição de progressão geométrica (PG), sugere que: 12 Atualizada Jaeiro/2010 Neste curso os melhores aluos estão sedo preparados pelos melhores Professores

13 PROGRESSÃO GEOMÉTRICA COM TRÊS TERMOS Forma simplificada para a represetação de uma progressão geométrica com três termos em duas variáveis. a = a 1 x q -1 a 10 = a 1 x q 10-1 a 10 = 1 x (2) 9 a 10 = 1 x 512 a 10 = 512 r=a 2 /a 1 =2-1=2 ( x q, x, x q ) II) A soma dos 10 primeiros termos, S 20. SOMA DOS TERMOS DE UMA PROGRESSÃO GEOMÉTRICA FINITA Sedo (a 1, a 2, a 3, a 4, a 5,..., a ) uma progressão geométrica e S a soma desses termos, S = a 1 + a 2 + a 3 + a 4 +a a. Segue a fórmula para o somatório de qualquer progressão geométrica fiita. S = S = a 1(q - 1) q (2-1) (1024-1) S = 2-1 S = a 1(q - 1) q - 1 é igual ao úmero de termos somados. a é o último termo S = 1 S = 1023 SOMA DOS TERMOS DE UMA PROGRESSÃO GEOMÉTRICA INFINITA EXERCÍCIO RESOLVIDO 01. Calcular a soma dos 10 primeiros termos de progressão geométrica ( 1, 2, 4,...). Sedo (a 1, a 2, a 3, a 4, a 5,..., a ) uma progressão geométrica de razão 1<q<1e S a soma desses termos, S = a 1 + a 2 + a 3 + a 4 +a , temos uma forma simplificada para o somatório de qualquer seqüêcia ifiita em PG, dada pela fórmula: Resolução: S a 1 = 1- q = símbolo que represeta o ifiito I) Dados para cálculo da soma: a 1 =1, =10 e a 10 ão foi forecido, deverá ser calculado, veja item II. II) Pela fórmula do termo geral, Atualizada Jaeiro/2010 Neste curso os melhores aluos estão sedo preparados pelos melhores Professores 13

14 EXERCÍCIO RESOLVIDO a) ( 2, 4, 8, 16,...,...,...,... ) 01. Calcular a soma dos termos da progressão geométrica ( 1, 1/2, 1/4,...). Resolução: b) ( 729, 243, 81, 27,...,...,...,... ) I) Dados para cálculo da soma: a 1 =1, = e a razão ão foi forecida, deverá ser calculado, veja item II. II) Pela fórmula do termo geral, c) ( 3, 3, 3, 3,...,...,...,... ) q = = x1= II) A soma dos ifiitos ( ) termos, S, é: d) ( 2, -4, 8, -16,...,...,...,... ) S a 1 = 1- q 1 S = S = 1 2. (CESGRANRIO-TRANSPETRO-2008) Atualmete, Marcelo tem 12 aos e as idades de Pedro, Joaa e Marcelo, em aos, formam, essa ordem, uma progressão geométrica de razão 2. Qual será a idade de Joaa quado Pedro estiver com 5 aos? 2 S = 2 TESTES 1. Complete as seqüêcias a seguir, matedo a formação lógica. a) 6 b) 8 c) 10 d) 12 e) (UEPB-PB) Durate os sete dias destiados às iscrições de um cocurso, o úmero de cadidatos cresceu em progressão geométrica do primeiro ao 14 Atualizada Jaeiro/2010 Neste curso os melhores aluos estão sedo preparados pelos melhores Professores

15 sétimo dia. Sabedo que o 1º dia se iscreveram 2 cadidatos e o sétimo dia 1.458, cocluímos que o total de cadidatos iscritos para o referido cocurso foi de: a) b) c) d) e) (BB) Numa PG, o quarto termo é 20% do terceiro termo. Sabedo-se que a 1 = 2.000, o valor de a 5 é: a) 20/3 b) 18/7 c) 16/5 d) 14/5 e) 12/7 5. (CESGRANRIO-ANP-2008) Quado três úmeros represetam termos cosecutivos de uma progressão geométrica, o termo do meio correspode à média geométrica dos outros dois. Se a seqüêcia (x-1; x + 2; 2x- 4) é uma progressão geométrica crescete, o maior termo dessa progressão é igual a d) 6 e 9 e) 9/2 e 3 7. (UDESC-SC) Três úmeros formam uma progressão aritmética de razão r = 7. Subtraido-se uma uidade do primeiro termo, vite uidades do segudo termo e trita e uma uidades do terceiro termo, a seqüêcia resultate é uma progressão geométrica de razão: a) 3 b) 1 c) 3 1 d) 3 d) e) Recreações matemáticas já apareciam o papiro de Ahmes (1650 a.c.). Aos fragmetos do problema 79 deste papiro associa-se a posterior versão da poesia ifatil: Quado ia a S to Ives, ecotrei um homem com sete mulheres, cada mulher tiha sete sacos, cada saco tiha sete gatos, a) 9 b) 10 c) 12 d) 15 e) (UF-MG) Os úmeros 3, a e b são, essa ordem, termos cosecutivos de uma progressão aritmética cuja razão é positiva. Por sua vez, os úmeros reais a, b e 8 são, essa ordem termos de uma progressão geométrica. Determiado a e b, obtemos respectivamete: a) 9/2 e 6 b) 9 e 3 cada gato tiha sete gatihos. Gatihos, gatos, sacos e mulheres, quatos iam a S to Ives? (Do livro História da matemática Carl Boyer) A resposta correta a esta questão é: a) b) c) 3 e 9 4 c) ( )7 Atualizada Jaeiro/2010 Neste curso os melhores aluos estão sedo preparados pelos melhores Professores 15

16 4 d) ( )7 e) (UFPR) Três pessoas se reuiram o dia 1º de jaeiro de 2004 para iiciar uma ação de volutariado juto a orgaizações de proteção ao meio ambiete. Em fevereiro, cada uma daquelas pessoas tiha coseguido a adesão de um ovo volutário. Observaram que tiham começado a aplicar uma boa estratégia para aumetar o grupo de volutários e decidiram o seguite: a cada mês, cada volutário traria um ovo volutário para participar do grupo e, sempre que alguém desistisse, seria substituído. Assim, o total de volutários o mês de jaeiro de 2005, já icluídos os ovos participates do mês, será de: âgulo. A medida do meor desses quatro âgulos, em graus, é: a) 18 b) 26 c) 22 d) 20 e) (ACAFE-SC) O vazameto em um taque de água provocou a perda de 2 litros de água o primeiro dia. Como o orifício resposável pela perda ia aumetado, o dia seguite o vazameto foi o dobro do dia aterior. Se essa perda foi dobrado a cada dia, o úmero total de litros de água perdidos, até o 10 0 dia, foi de: a) 2046 b) 1024 c) 1023 d) 2048 e) 512 a) 3x2 12 b) c) 3x2 11 d) 2 12 e) Uma idústria produziu uidades de certo produto um período de 5 aos. Supodo que a produção teha dobrado a cada ao, o úmero de uidades produzidas os dois primeiros aos, foi de: a) 7400 b) 7200 c) 4800 d) O fiaciameto de um carro foi feito os seguites moldes. Sem etrada e a primeira mesalidade de R$ 1,00, o segudo mês R$ 2,00, o terceiro mês R$ 4,00, e assim por diate até um total de 12 prestações. Qual é o custo fial do carro. GABARITO 01 a) 32, 64, 128, B 03 C 04 C 05 A 06 E 07 E b) 9, 3, 1, 1/3 c) 3, 3, 3, 3 d) 32, -64, 128, E 09 A 12. (UEPB-PB) Os âgulos iteros de um quadrilátero formam uma P.G. de modo que o último âgulo é quatro vezes maior que o segudo 10 B 16 Atualizada Jaeiro/2010 Neste curso os melhores aluos estão sedo preparados pelos melhores Professores

17 A 12 E MATEMÁTICA FINANCEIRA 2. TAXA DEFINIÇÃO Taxa é uma razão usada como um valor comparativo, tedo como referêcia um todo previamete cocebido. A taxa represeta uma razão que iforma: I) Parte de uma gradeza. II) Comparação etre duas ou mais gradezas de mesma espécie. III) Acréscimo ou decréscimo em uma gradeza para outra gradeza. Em matemática fiaceira, é muito comum forecer a taxa em termos percetuais. 3. TAXA PERCENTUAL DEFINIÇÃO É uma razão cetesimal do tipo 100 (ou %), sedo um úmero real que idica o úmero de uidades cosideradas das 100 partes iguais que o todo foi dividido. QUADRO EXEMPLIFICANDO AS FORMAS USADAS DE TAXAS Notação com o símbolo de % Notação por fração Notação em uitário decimal 30% 150% 2% 1,5% 30 0, , , ,5 15 = 0, Atualizada Jaeiro/2010 Neste curso os melhores aluos estão sedo preparados pelos melhores Professores 17

18 100% 2000% TAXA NOMINAL E TAXA EFETIVA, EM JUROS SIMPLES Se for iformada a taxa omial (i omial ), geralmete em termos auais, para determiar da taxa efetiva, usamos a coversão proporcioal. A uidade de tempo que desejamos será o da forma de capitalização iformada, período de aexação dos juros. Se a capitalização for mesal, covertemos proporcioalmete para mês, Se a capitalização for bimestral, covertemos proporcioalmete para bimestre, Se a capitalização for semestral, covertemos proporcioalmete para semestre, e assim por diate, usado as relações abaixo. 1 i aa = 2 i as = 3 i aq = 4 i = 6 i = 12 i am = 360 i at ab ad A resultate dessa coversão é a taxa efetiva. É a taxa que será usada a fórmula. 11. TAXA EQUIVALENTE À JUROS SIMPLES Para obter qualquer equivalêcia em relação à taxa efetiva, usamos a coversão proporcioal, repetição do estágio aterior. 1 i aa = 2 i as = 3 i aq = 4 i = 6 i = 12 i am = 360 i at ab ad Duas taxas expressas em uidades de tempo diferetes são equivaletes, se aplicadas a mesmo capital e prazo, produzirem motates iguais. 14. REGIME DE CAPITALIZAÇÃO SIMPLES OU JUROS SIMPLES DEFINIÇÃO No regime de juros simples de taxa i, um capital C trasforma-se, em períodos com umidade de tempo igual ao da taxa, em um motate M. O gráfico da evolução do diheiro o tempo determia uma liha gráfica de comportameto liear como a figura que segue. 18 Atualizada Jaeiro/2010 Neste curso os melhores aluos estão sedo preparados pelos melhores Professores

19 Motate ou Capital ou M Valor C presete i ao período = taxa Períodos (mesma uidade 15. ESTUDO ANALITICO 1. É uma fução do 1º grau, y = ax + b. 2. Evolui em progressão aritmética de razão r = C.i. 3. É crescete se a taxa for positiva e decrescete se a taxa for egativa. 4. Formas de apresetação da taxa Notação com o símbolo de % Notação por fração Notação em uitário decimal 30% 30 0, Para ser usada as fórmulas, a taxa deve estar a otação fracioária ou uitária decimal 5. A taxa ormalmete é represetada pela letra i, pode estar a otação com o símbolo %, a forma fracioária ou a forma uitária decimal. Para uso as fórmulas é idispesável que esteja a otação umeral uitário decimal ou fracioária. Para i ad = taxa ao dia, a uidade de tempo do período deve estar ao dia. Para i am = taxa ao mês, a uidade de tempo do período deve estar ao mês. Para i ab = taxa ao bimestre, a uidade de tempo do período deve estar ao bimestre. Para i at = taxa ao trimestre, a uidade de tempo do período deve estar ao trimestre. Para i aq = taxa ao quadrimestre, a uidade de tempo do período deve estar quadrimestre. Para i as = taxa ao semestre, a uidade de tempo do período deve estar ao semestre. Para i aa = taxa ao ao, a uidade de tempo do período deve estar ao ao. Ao comercial tem 360 dias. Atualizada Jaeiro/2010 Neste curso os melhores aluos estão sedo preparados pelos melhores Professores 19

20 Ao civil tem 365 ão bissexto dias. Deomiado de tempo exato. Ao civil tem 366 bissexto dias. Deomiado de tempo exato. 6. Gráfico 7. Evolução do diheiro o tempo a juros compostos C1 C2 C3 C4 C5 C6 L1 Capital Taxa Juro = C.i. Motate = C + J C evideciado L2 0 C L3 1 C 0 i J 1 = C 0.i.1 M 1 = C 0 + C 0.i.1 M 1 = C 0 ( 1 + i.1) L4 2 C 0 i J 2 = C 0.i.2 M 2 = C 0 + C 0.i.2 M 2 = C 0 ( 1 + i.2) L5 3 C 0 i J 3 = C 0.i.3 M 3 = C 0 + C 0.i.3 M 3 = C 0 ( 1 + i.3) L C 0 i J = C 0.i. M = C 0 + C 0.i. M = C 0 ( 1 + i.) 8. Na liha L, a geeralização permite costruir as fuções Na liha com colua C4, obtemos a fórmula dos juros J= C i 9. Na liha L com colua C6, obtemos a fórmula do motate M= C ( 1+ i ) 20 Atualizada Jaeiro/2010 Neste curso os melhores aluos estão sedo preparados pelos melhores Professores

21 Tabela exemplo: Capital C = R$ 10,00, taxa i = 10% ao mês e prazo = 5 meses C J M 0 10, , , , , , , , , , ,00 Obs.: O motate cresce em progressão aritmética de razão r = Fórmulas derivadas de M = C ( 1+ i ) e J = C i 0 0 Para calcular C, cohecedo-se M, i e Para calcular i, cohecedo-se M, C e Para calcular, cohecedo-se M, C e i M C= (1+ i ) J i= C J = C i 11. O movimeto do diheiro para equivalêcia de capitais Para obter o valor futuro (motate), basta multiplicar o valor atual (capital) pelo fator ( 1 + i. ) Para obter o valor atual (capital), basta dividir o valor futuro (motate) pelo fator ( 1 + i. ) TESTES 1. (FUNRIO) O valor de R$ ,00, aplicado a juros simples, o período de 3 aos à taxa de 5% a. a., produzirá um redimeto de: a) R$ 2.700,00 b) R$ 2.800,00 Atualizada Jaeiro/2010 Neste curso os melhores aluos estão sedo preparados pelos melhores Professores 21

22 c) R$ 3.000,00 d) R$ 3.100,00 e) R$ 3.300,00 Resposta: A 2. (ESAF-TTN) Qual é o capital que dimiuído dos seus juros simples de 18 meses, à taxa de 6% a.a. reduz-se a R$ 8.736,00? a) R$ 9.706,66 b) R$ 9.600,00 c) R$ ,48 d) R$ 9.522,24 e) R$ 9.800,00 Resposta: B 3. (FCC-PMSP) Marcos tomou emprestados R$ 6.000,00 para pagar após 4 meses, à taxa de juros simples de 3,0 % ao mês. Após os 4 meses, Marcos deverá pagar, só de juros, uma quatia, em reais, de a) 180 b) 240 c) 360 d) 600 e) 720 Resposta : E 4. (FCC-PBGAS) Um capital de R$ ,00 foi aplicado o mercado fiaceiro à taxa de juros simples de 12% a.a. durate quatro quadrimestres cosecutivos. O valor total dos juros recebidos pelo ivestidor o vecimeto da aplicação foi de a) R$ 800,00 b) R$ 2.400,00 c) R$ 3.200,00 d) R$ 4.800,00 e) R$ 9.600,00 Resposta: C 5. (ESAF-TTN) Carlos aplicou 1/4 de seu capital a juros simples comerciais de 18% a.a., pelo prazo de 1 ao, e o restate do diheiro a uma taxa de 24% a.a., pelo mesmo prazo e regime de capitalização. Sabedo-se que uma das aplicações redeu R$ 594,00 de juros, mais do que a outra, o capital iicial era de R$ a) 4.200,00 22 Atualizada Jaeiro/2010 Neste curso os melhores aluos estão sedo preparados pelos melhores Professores

23 b) 4.800,00 c) 4.900,00 d) 4.600,00 e) 4.400,00 Resposta: E 6. (ESAF-TTN) Três capitais são colocados a juros simples: o primeiro a 25% a.a., durate 4 aos; o segudo a 24% a.a., durate 3 aos e 6 meses e o terceiro a 20% a.a., durate 2 aos e quatro meses. Jutos rederam um juro de R$ ,80. Sabedo que o segudo capital é o dobro do primeiro e que o terceiro é o triplo do segudo, o valor do terceiro capital é de: a) R$ ,00 b) R$ ,00 c) R$ ,00 d) R$ ,00 e) R$ 5.035,00 Resposta: A 7. (FGV-SP) Atôio ivestiu a quatia recebida de heraça em três aplicações distitas: 35% do total recebido em um fudo de reda fixa; 40% do valor herdado em um fudo cambial e o restate da heraça em ações. No fial de um ao as aplicações rederam, de juro, um total de R$ ,00. Determie a quatia herdada por Atôio, sabedo que os redimetos auais foram de 30%, 20% e 40%, respectivamete, o fudo de reda fixa, o fudo cambial e as ações. Resposta : R$ , (FCC-PBGAS) Um capital de R$ ,00 foi aplicado durate 8 meses o regime de capitalização simples e gerou o motate de R$ ,00 a data de vecimeto. A taxa de juros semestral correspodete a essa aplicação foi de a) 36% b) 30% c) 24% d) 18% e) 3% Resposta: D 9. (ESAF-TTN) Quato se deve aplicar a 12% ao mês, para que se obteha os mesmos juros simples que os produzidos por Cr$ ,00 emprestados a 15% ao mês, durate o mesmo período? a) Cr$ ,00 b) Cr$ ,00 Atualizada Jaeiro/2010 Neste curso os melhores aluos estão sedo preparados pelos melhores Professores 23

24 c) Cr$ ,00 d) Cr$ ,00 e) Cr$ ,00 Resposta: E 10. (FCC-TRF) Um capital de R$ 5 500,00 foi aplicado a juro simples e ao fial de 1 ao e 8 meses foi retirado o motate de R$ 7 040,00. A taxa mesal dessa aplicação era de a) 1,8% b) 1,7% c) 1,6% d) 1,5% e) 1,4% Resposta: E 11. Uma geladeira é vedida à vista por $ 1 000,00 ou em duas parcelas, sedo a primeira como uma etrada de $ 200,00 e a seguda, dois meses após, o valor de $ 880,00. Qual a taxa mesal de juros simples utilizada? a) 6% b) 5% c) 4% d) 3% e) 2% Resposta: B 12. (FCC-TCE-MG) O capital de R$ ,00 permaeceu aplicado em uma istituição fiaceira durate 1 ao e 3 meses. Se a taxa de juros adotada foi de 12% a.a., os juros simples desse período correspoderam a a) R$ 3.750,00 b) R$ 3.550,00 c) R$ 3.250,00 d) R$ 3.150,00 e) R$ 2.950,00 Resposta: A 13. (AFRF-ESAF) Um capital o valor de 50, aplicado a juros simples a uma taxa de 3,6% ao mês, atige, em 20 dias, um motate de: a) 51 b) 51,2 24 Atualizada Jaeiro/2010 Neste curso os melhores aluos estão sedo preparados pelos melhores Professores

25 c) 52 d) 53,6 e) 68 Resposta: B 14. (FUNRIO) O capital de R$ ,00, aplicado à taxa de 30 % a.a. pelo prazo de cico aos, com capitalização simples, produzirá o motate de: a) R$ ,00 b) R$ ,00 c) R$ ,00 d) R$ ,00 e) R$ ,00 Resposta: E 15. (FCC-TRT) Uma pessoa aplicou 2 de C reais à taxa mesal de 1,5% e, após 3 meses da data desta 3 aplicação, aplicou o restate à taxa mesal de 2%. Cosiderado que as duas aplicações foram feitas em um regime simples de capitalização e que, decorridos 18 meses da primeira, os motates de ambas totalizavam R$ ,00, etão o valor de C era a) R$ ,00 b) R$ ,00 c) R$ ,00 d) R$ ,00 e) R$ ,00 Resposta: E (CESPE-BANESE) Cosidere um título de valor omial igual a R$ 1.000,00, cujo vecimeto ocorrerá daqui a 12 meses. Se a taxa de juros simples, o mercado é de 150% a.a., julgue os ites seguites, o cotexto de juros simples. 16. (CESPE-BANESE) A taxa mesal de juros simples equivalete à taxa aual dada é 12,5% a.m. Resposta : Correta 17. (FGV-SP) Um capital C foi aplicado a juros simples durate 10 meses, gerado um motate de R$10.000,00; esse motate, por sua vez, foi também aplicado a juros simples, durate 15 meses, à mesma taxa da aplicação aterior, gerado um motate de R$ ,00. Qual o valor de C? Resposta: R$ 8 000,00 Atualizada Jaeiro/2010 Neste curso os melhores aluos estão sedo preparados pelos melhores Professores 25

26 1. TABELAS FINANCEIRAS 1.1. TABELA 1 FATOR DE ACUMULAÇÃO DE CAPITAL (1+ i) 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10% 12% 15% 18% 1 1,0100 1,0200 1,0300 1,0400 1,0500 1,0600 1,0700 1,0800 1,0900 1,1000 1,1200 1,1500 1, ,0201 1,0404 1,0609 1,0816 1,1025 1,1236 1,1449 1,1664 1,1881 1,2100 1,2544 1,3225 1, ,0303 1,0612 1,0927 1,1249 1,1576 1,1910 1,2250 1,2597 1,2950 1,3310 1,4049 1,5209 1, ,0406 1,0824 1,1255 1,1699 1,2155 1,2625 1,3108 1,3605 1,4116 1,4641 1,5735 1,7490 1, ,0510 1,1041 1,1593 1,2167 1,2763 1,3382 1,4026 1,4693 1,5386 1,6105 1,7623 2,0114 2, ,0615 1,1262 1,1941 1,2653 1,3401 1,4185 1,5007 1,5869 1,6771 1,7716 1,9738 2,3131 2, ,0721 1,1487 1,2299 1,3159 1,4071 1,5036 1,6058 1,7138 1,8280 1,9487 2,2107 2,6600 3, ,0829 1,1717 1,2668 1,3686 1,4775 1,5938 1,7182 1,8509 1,9926 2,1436 2,4760 3,0590 3, ,0937 1,1951 1,3048 1,4233 1,5513 1,6895 1,8385 1,9990 2,1719 2,3579 2,7731 3,5179 4, ,1046 1,2190 1,3439 1,4802 1,6289 1,7908 1,9672 2,1589 2,3674 2,5937 3,1058 4,0456 5,2338 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10% 12% 15% 18% 11 1,1157 1,2434 1,3842 1,5395 1,7103 1,8983 2,1049 2,3316 2,5804 2,8531 3,4785 4,6524 6, ,1268 1,2682 1,4258 1,6010 1,7959 2,0122 2,2522 2,5182 2,8127 3,1384 3,8960 5,3503 7, ,1381 1,2936 1,4685 1,6651 1,8856 2,1329 2,4098 2,7196 3,0658 3,4523 4,3635 6,1528 8, ,1495 1,3195 1,5126 1,7317 1,9799 2,2609 2,5785 2,9372 3,3417 3,7975 4,8871 7, , ,1610 1,3459 1,5580 1,8009 2,0789 2,3966 2,7590 3,1722 3,6425 4,1772 5,4736 8, ,9737 REGIME DE CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA OU JUROS COMPOSTOS DEFINIÇÃO No regime de juros compostos de taxa i, um capital C trasforma-se, em períodos com umidade de tempo igual ao da taxa, em um motate M. O gráfico da evolução do diheiro o tempo determia uma liha gráfica de comportameto expoecial como a figura que segue. 26 Atualizada Jaeiro/2010 Neste curso os melhores aluos estão sedo preparados pelos melhores Professores

27 Motate ou M Capital ou Valor C presete i ao período = taxa Períodos (mesma uidade 17. ESTUDO ANALITICO 1. É uma fução do expoecial, y = a.(b) x. 2. Evolui em progressão geométrica de razão q = ( 1 + i ) 3. É crescete se a taxa for positiva e decrescete se a taxa for egativa. 4. Formas de apresetação da taxa Notação com o símbolo de % Notação por fração Notação em uitário decimal 30% 30 0, Para ser usada as fórmulas, a taxa deve estar a otação fracioária ou uitária decimal 5. A taxa ormalmete é represetada pela letra i, pode estar a otação com o símbolo %, a forma fracioária ou a forma uitária decimal. Para uso as fórmulas é idispesável que esteja a otação umeral uitário decimal ou fracioária. Para i ad = taxa ao dia, a uidade de tempo do período deve estar ao dia. Para i am = taxa ao mês, a uidade de tempo do período deve estar ao mês. Para i ab = taxa ao bimestre, a uidade de tempo do período deve estar ao bimestre. Para i at = taxa ao trimestre, a uidade de tempo do período deve estar ao trimestre. Para i aq = taxa ao quadrimestre, a uidade de tempo do período deve estar quadrimestre. Para i as = taxa ao semestre, a uidade de tempo do período deve estar ao semestre. Para i aa = taxa ao ao, a uidade de tempo do período deve estar ao ao. Ao comercial tem 360 dias. Atualizada Jaeiro/2010 Neste curso os melhores aluos estão sedo preparados pelos melhores Professores 27

28 Ao civil tem 365 ão bissexto dias. Deomiado de tempo exato. Ao civil tem 366 bissexto dias. Deomiado de tempo exato. 6.Gráfico 7. Evolução do diheiro o tempo a juros compostos C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 L1 Capital Taxa Juro Motate = C + J C evideciado M para C L L3 1 C 0 i J 1 = C 0.i M 1 = C 0 + C 0.i M 1 = C 0 (1 + i) - L4 2 C 1 i J 2 = C 1.i M 2 = C 1 + C 1.i M 2 = C 1 (1 + i) M 1 = C 1 L5 3 C 2 i J 3 = C 2.i M 3 = C 2 + C 2.i M 3 = C 2 (1 + i) M 2 = C L C -1 i J = C -1.i M = C -1 + C -1.i M = C -1 (1 + i) M -1 = C Das igualdades costruídas a tabela acima, podemos relacioar M, i e, com o capital iicial C 0, como segue: M 2 = C 1 (1 + i) M 2 = C 0 (1 + i)(1 + i) M 2 = C 0 (1 + i) 2 M 3 = C 2 (1 + i) M 3 = C 0 (1 + i)(1 + i) (1 + i) M 3 = C 0 (1 + i) Atualizada Jaeiro/2010 Neste curso os melhores aluos estão sedo preparados pelos melhores Professores

29 . M = C -1 (1 + i) M = C 0 (1 + i)(1 + i) (1 + i) (1 + i) M = C 0 (1 + i) Fórmula do motate M = C ( 1+ 0 i ) 9. Cálculo do total de juros o tempo. Como J = M - C 0 J = C 0 (1 + i) - C 0 J = C 0 ((1 + i) 1) J = C 0 (( 1+ i ) 1) Tabela exemplo: Capital C = R$ 10,00, taxa i = 10% ao mês e prazo = 5 meses C J M ,00 11, ,10 12, ,21 13, ,31 14, ,46 16,10 Obs.: O motate cresce em progressão geométrica de razão q = 1, Fórmulas derivadas de M = C ( 1+ 0 i ) Atualizada Jaeiro/2010 Neste curso os melhores aluos estão sedo preparados pelos melhores Professores 29

30 M Para calcular C, cohecedo-se M, i e C= (1+ i) M Para calcular i, cohecedo-se M, C e i= 1 C Para calcular, cohecedo-se M, C e i, ou com o uso logm logc da tabela 1 de fator (1+i) =. log(1+ i) 11. O movimeto do diheiro para equivalêcia de capitais Para obter o valor futuro (motate), basta multiplicar o valor atual (capital) pelo fator ( 1 + i ) Para obter o valor atual (capital), basta dividir o valor futuro (motate) pelo fator ( 1 + i ) TESTES 1. (FCC-MP-RS) Se uma dívida, cotraída a juros compostos e a uma taxa fixa, aumetou 125% em 2 aos, a taxa aual de juros cobrada foi de a) 25% b) 27,5% c) 45% d) 47,5% e) 50% Resposta: E 2. (FCC-TRF) Um capital de R$ 400,00 foi aplicado a juros simples por 3 meses, à taxa de 36% ao ao. O motate obtido essa aplicação foi aplicado a juros compostos, à taxa de 3% ao mês, por um bimestre. O total de juros obtido essas duas aplicações foi a) R$ 149, 09 b) R$ 125,10 c) R$ 65,24 d) R$ 62,55 e) R$ 62,16 Resposta: D 3. (FGV-SP) No regime de juros compostos, a taxa de juro aual que produz um motate 44% superior ao capital iicial, o prazo de aplicação de 2 aos, com capitalização aual. 30 Atualizada Jaeiro/2010 Neste curso os melhores aluos estão sedo preparados pelos melhores Professores

31 é: a) 20% b) 21,5% c) 21% d) 20,5% e) 22% Resposta: A 4. (FCC-TRT) Para que ao fial de 2 aos de aplicação um regime de capitalização composta, um capital de R$ ,00 produza o motate de R$ ,50, a taxa aual da aplicação deverá ser de a) 25% b) 22,5% c) 22% d) 20% e) 18,5% Resposta: E 5. (FCC-PBGAS) João dos Satos fez uma aplicação de R$ ,00 uma istituição fiaceira por dois aos, com capitalização composta aual. Sabedo que a taxa composta de juros aual da aplicação correspodeu a 10%, o motate resgatado pelo ivestidor o vecimeto da aplicação foi de a) R$ ,00 b) R$ ,00 c) R$ ,00 d) R$ ,00 e) R$ ,00 Resposta: B 6. O motate gerado por um capital de R$ ,00, o fim de 5 aos, com juros de 40% a.a. capitalizados trimestralmete é de: Cosidere que (1+10%) 20 =6,7275. a) R$ ,84 b) R$ ,84 c) R$ ,84 d) R$ ,84 e)r$ ,84 Atualizada Jaeiro/2010 Neste curso os melhores aluos estão sedo preparados pelos melhores Professores 31

32 Resposta: A 7. Calcular o valor presete ou capital mais próximo de uma aplicação de R$ ,25, efetuada pelo prazo de 6 meses a uma taxa de 1,85 ao mês. Cosidere que: 1, ,116 Resposta: R$ ,43 8. Determiar o prazo de uma aplicação de R$ ,00 a juros compostos se desejo obter um motate de R$ ,50, a uma taxa de 15% a.m. capitalizada mesalmete. a) 5 meses b) 6 meses c) 7 meses d) 8 meses e) 4 meses Resposta: A 9. O capital R$ ,00 foi aplicado a juros compostos, com capitalização mesal, durate 4 meses. Ao fial do prazo o motate será igual a R$ ,00. Qual a taxa da aplicação? a) 9% a.m. b) 8% a.m. c) 7% a.m. d) 6% a.m. e) 5% a.m. Resposta: E 10. Um capital de R$ 40,00, aplicado sob o regime de juros compostos, após 20 meses, foi resgatado por R$ 120,00. Qual a taxa de juro implícita essa trasação? 20 Cosidere: 3 1,0565 Resposta: 5,65% 11. Determiar o valor de um ivestimeto que foi realizado pelo regime de juros compostos, com uma taxa de 2,8% ao mês, produzido um motate de R$ 2.500,00 ao fial de 25 meses. Cosidere: (1,028) 25 =2 Resposta: R$ 1 250,00 32 Atualizada Jaeiro/2010 Neste curso os melhores aluos estão sedo preparados pelos melhores Professores

33 12. Um capital de R$ ,00 é aplicado durate um ao e três meses à taxa de 2% am. Quais os juros gerados o período? 15 Dado: (1,02) = 1,3458 Resposta: R$ , (AFRF-ESAF) Uma empresa obteve um fiaciameto de $10.000,00 à taxa de 120% ao ao capitalizado mesalmete (juros compostos). A empresa pagou $ 6.000,00 ao fial do primeiro mês e $ 3.000,00 ao fial do segudo mês. O valor que devera ser pago ao fial do terceiro mês para liquidar o fiaciameto (juros + pricipal) é: a) $ 3.250,00 b) $ ,00 c) $ 3.050,00 d) $ 2.975,00 e) $ 2.750,00 Resposta: E 14. Um aplicado a 5% ao mês o regime de juros compostos, após 40 meses, foi resgatado por R$ 300,00. Qual o valor aproximado do capital? Cosidere: (1,05) 40 =7,04 Resposta: 42, Qual o motate gerado por um capital de R$ 500,00 durate o período de 36 meses, a taxa de 3% ao mês, o regime de juros compostos. Cosidere: (1,03) 36 =2,898 Resposta: 1 449,00 DESCONTOS Quado o portador de títulos de crédito, tais como: Duplicatas Nota Promissória Cheque Pré Datado Letras de Câmbio (papéis federais) Atualizada Jaeiro/2010 Neste curso os melhores aluos estão sedo preparados pelos melhores Professores 33

34 etc com vecimetos certos e líquidos, ecessita de caixa (diheiro), pode, mediate a trasferêcia da propriedade desses títulos, levatar fudos de que ecessita juto às istituições fiaceiras ou a um capitalista. A istituição fiaceira descota esses títulos, pagado, aturalmete pelo empate de capital, até o vecimeto, a quatia meor do que o omial do título. Essa difereça, etre o valor omial e o líquido pago ao portador, dito valor atual, é chamado de descoto. Valor Nomial N È o valor de um fluxo de caixa a data de seu vecimeto. Valor Atual A È o valor de um fluxo de caixa uma data aterior ao seu vecimeto (aterior ao valor omial). Valor Futuro M É o valor de um fluxo de caixa posterior a data presete DESCONTOS NO REGIME SIMPLES DE FORMAÇÃO LEGENDA Valor de face N = Valor omial pode estar expresso como: Valor futuro Valor do título Motate Valor atual A = Valor líquido pode estar expresso como: Valor presete Valor descotado Capital 34 Atualizada Jaeiro/2010 Neste curso os melhores aluos estão sedo preparados pelos melhores Professores

35 i d = taxa de descoto d = úmeros de uidades de tempo do descoto que falta decorrer até o vecimeto DESCONTO RACINAL SIMPLES [D RS ] POR DENTRO INFORMAÇÕES: Deomiado descoto por detro. A taxa de descoto o tempo icide sobre o valor atual (valor presete). Usa o regime simples de formação [Juros Simples ]. Tem comportameto liear. Tipo de descoto matematicamete justo [ correto ]. Utilizado em operações de descoto a curto prazo. O valor atual é igual ao valor presete a data de descoto. FORMULAS IMPORTANTES I) Relação etre N, A e D D = N A II) Cálculo do descoto racioal simples D= A i d d III) Cálculo do valor líquido. FÓRMULA OPCIONAL N A= 1+ i d d IV) Cálculo do descoto racioal simples N i d D= d 1+ i d d Atualizada Jaeiro/2010 Neste curso os melhores aluos estão sedo preparados pelos melhores Professores 35

36 DESCONTO COMERCIAL SIMPLES [D CS ] POR FORA INFORMAÇÕES: Deomiado descoto por fora. A taxa o tempo icide sobre o valor omial (N) Usa o regime simples de formação [juros simples]. Utilizado em operações de descoto à curto prazo. Tem comportameto liear. A taxa efetiva de descoto é diferete da taxa efetiva para a formação de juros o mesmo fluxo de caixa. A taxa de descoto é forecida pela istituição fiaceira. FORMULAS IMPORTANTES I) Relação etre N, A e D D = N A II) Cálculo do descoto comercial simples D = N i d d III) Cálculo do valor líquido. A= N (1 i d d ) RELAÇÃO ENTRE AS FÓRMULAS DE JUROS SIMPLES COM DESCONTOS SIMPLES E DE JUROS COMPOSTOS COM DESCONTOS COMPOSTOS PARA MEMORIZAÇÃO 36 Atualizada Jaeiro/2010 Neste curso os melhores aluos estão sedo preparados pelos melhores Professores

37 TESTES 1. (BACEN) O valor do descoto simples por fora, de um título de R$ 2 000,00, com vecimeto para 120 dias à taxa de 3% ao mês, é, em reais: a) 320,00; b) 120,00; c) 240,00; d) 340,00; e) 420,00. Resposta: C 2. (CESGRANRIO-EPE) Na operação de descoto comercial (por fora) de um título cujo valor omial é R$ 150,00, três meses ates do seu vecimeto, à taxa simples de 5% ao mês, o valor líquido recebido (valor atual), em reais, é: a) 127,50 b) 132,50 c) 135,50 d) 142,50 e) 147,50 Resposta: A 3. (AFTN-ESAF) O descoto comercial simples de um título 4 meses ates do seu vecimeto é de R$ 600,00. Cosiderado uma taxa de 5% ao mês, obteha o valor correspodete o caso de um descoto racioal simples. Resposta: R$ 500,00 Atualizada Jaeiro/2010 Neste curso os melhores aluos estão sedo preparados pelos melhores Professores 37

38 4. (AFPS-ESAF) Um título o valor omial de R$ ,00 deve sofrer um descoto comercial simples de R$ 981,00 três meses ates do seu vecimeto. Todavia uma egociação levou a troca do descoto comercial por um descoto racioal simples. Calcule o ovo descoto, cosiderado a mesma taxa de descoto mesal. a) R$ 890,00 b) R$ 900,00 c) R$ 924,96 d) R$ 981,00 e) R$ 1.090,00 Resposta: B 5. (ANALISTA DE COMÉRCIO EXTERIOR - ESAF) O descoto simples racioal de um título descotado à taxa de 24% ao ao, três meses ates de seu vecimeto, é de R$ 720,00. Calcular o valor do descoto correspodete caso fosse um descoto simples comercial. a) R$ 43,20 b) R$ 676,80 c) R$ 720,00 d) R$ 763,20 e) R$ ,00 Resposta: D 6. (AFTN-ESAF) O descoto comercial simples de um título quatro meses ates do seu vecimeto é de R$ 600,00. Cosiderado uma taxa de 5% ao mês, obteha o valor correspodete o caso de um descoto racioal simples. a) R$ 400,00 b) R$ 800,00 c) R$ 500,00 d) R$ 700,00 e) R$ 600,00 Resposta: C 7. (AFCE-ESAF) Qual o valor hoje de um título de valor omial de R$ ,00, vecível ao fim de 6 meses, a uma taxa de 40% ao ao, cosiderado um descoto simples comercial? a) R$ ,00 b) R$ ,00 38 Atualizada Jaeiro/2010 Neste curso os melhores aluos estão sedo preparados pelos melhores Professores

39 c) R$ ,00 d) R$ ,00 e) R$ ,00 Resposta: E 8. (TTN - ESAF) O valor atual racioal de um título é igual a metade de seu valor omial. Calcular a taxa de descoto, sabedo-se que o pagameto desse título foi atecipado de 5 meses. a) 200% a.a. b) 20% a.m. c) 25% a.m. d) 28% a.m. e) 220% a.a. Resposta: B 9. (TTN - ESAF) Utilizado o descoto racioal, o valor que devo pagar por um título com vecimeto daqui a 6 meses, se o seu valor omial for de R$ ,00 e eu desejo gahar 36% ao ao, é de: a) R$ ,00 b) R$ ,00 c) R$ ,00 d) R$ ,00 e) R$ ,00 Resposta: B 10. (ISS-SP) Um título de valor omial de R$ ,00 foi pago 3 meses ates do vecimeto. Se a taxa mesal de descoto racioal composto era 10%, o valor líquido desse título era: Resposta: R$ , Uma empresa deseja descotar uma ota promissória 3 meses ates de seu vecimeto. O valor omial deste título é de R$ ,00. Sedo de 4% ao mês a taxa de descoto racioal composto. Calcule o valor liquido. Resposta: ,00 Atualizada Jaeiro/2010 Neste curso os melhores aluos estão sedo preparados pelos melhores Professores 39