Professor Silvio Quintino de Mello

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1 FACULDADES INTEGRADAS DE TAQUARA FACULDADES DE TAQUARA MATEMÁTICA FINANCEIRA MÓDULO I Professor Silvio Quintino de Mello

2 SUMÁRIO MATEMÁTICA FINANCEIRA..... Capital (C)....2 Juros (j)....3 Taxa de juros (i)....4 Tempo (n)....5 Montante (M)....6 Juro Ordinário....7 Juro Exato....8 Regulamentação das operações de Aplicações e Empréstimos....9 Regimes de Capitalização....0 Diagrama de Fluxo de Caixa... 2 JUROS SIMPLES Fórmulas Derivadas Montante (M) Juros Simples pela HP-2C: INT... 3 JUROS COMPOSTOS Montante (M) Capital (C) Juros Compostos (j c ) Taxa de Juros Compostos (i) Tempo (n) Juros Compostos pela HP-2C... 4 DESCONTO Desconto Simples Desconto Racional Simples ou Desconto por Dentro (Dd) Desconto Comercial Simples ou Desconto por Fora (Df) Relação entre taxa de desconto (d) e taxa de juros (i) Desconto Composto Valor do Desconto Composto (DC) Taxa de Desconto Composto (d) Tempo (n) Taxas Equivalentes

3 5 TAXAS DE JUROS 5. Taxa Efetiva Taxas Proporcionais Taxas Equivalentes Taxa Nominal Taxa Over Taxa Bruta e Taxa Líquida Taxa Aparente e Taxa Real... 6 EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS A JUROS COMPOSTOS... 6.Equivalência de dois Capitais Valor Presente ou Valor Atual de um Conjunto de Capitais Conjunto de Capitais Equivalentes... 7 RENDAS (ANUIDADES) Séries Uniformes de Pagamentos e de Recebimentos Classificação das Séries Uniformes Séries Uniformes Imediatas Postecipadas Cálculo do Valor Presente PV (Postecipado) Cálculo de Valor Futuro - FV (Postecipado) Séries Uniformes Imediatas Antecipadas Cálculo do Valor Presente PV (Antecipado) Cálculo de Valor Futuro - FV (Antecipado) Séries Uniformes com Parcelas Adicionais... 8 AMORTIZAÇÃO DE EMPRÉSTIMOS Sistema de Amortizações Constantes SAC Sistema de Amortização Francês ou Sistema PRICE Cálculo do Saldo Devedor no Sistema PRICE Sistema PRICE pela HP-2C Sistema de Amortização Americano SAA... 9 ANÁLISE DE INVESTIMENTO Análise do Fluxo de Caixa Valor Presente Líquido (NPV) Taxa Interna de Retorno (IRR) Equivalência de Fluxos de Caixa

4 . MATEMÁTICA FINANCEIRA A Matemática Financeira é uma ferramenta útil na análise de algumas alternativas de investimentos ou financiamentos de bens de consumo. Consiste em empregar procedimentos matemáticos para simplificar a operação financeira a um Fluxo de Caixa.. Capital (C) O Capital é o valor aplicado através de alguma operação financeira, durante um certo tempo. Também conhecido como: Principal, Valor Atual, Valor Presente ou Valor Aplicado..2 Juros (j) Tendo em vista que o aplicador se abstém de usar o valor emprestado, e ainda, em função da perda de poder aquisitivo do dinheiro pela inflação e do risco de não pagamento, surge o conceito de juro, que pode ser definido como o custo do empréstimo para o tomador ou a remuneração pelo uso do capital para o emprestador. De uma forma simplificada, podemos dizer que juro é o aluguel pago pelo uso de um dinheiro..3 Taxa de juros (i) A taxa de juros indica qual a remuneração que será paga ao dinheiro emprestado, para um determinado período. Ela vem normalmente expressa na forma percentual, em seguida da especificação do período de tempo a que se refere. A taxa de juros pode ser expressa de duas maneiras diferentes: Taxa percentual: Exemplos: 8 % a.a. (ao ano); 0 % a.t. (ao trimestre). Taxa Unitária é a taxa percentual dividida por 00, sem o símbolo %: Exemplos: 0,5 a.m. (ao mês); 0,0 a.q. (ao quadrimestre). 4

5 Obs.: Sempre que usarmos as teclas financeiras da calculadora HP 2 C as taxas devem ser introduzidas sob a forma percentual, caso contrário, ou seja, na utilização de fórmulas matemáticas, devemos expressar as taxas na forma unitária..4 Tempo (n) Representa o período de tempo durante o qual o capital ficou rendendo juros. Deve sempre ser expresso em alguma unidade de tempo (dia, mês, trimestre, semestre, ano, etc...)..5 Montante (M) É a soma dos juros produzidos por um capital ao próprio capital. M = j + C.6 Juro ordinário É o juro calculado, tomando-se por base o tempo comercial (mês de 30 dias, ano de 360 dias, etc...)..7 Juro Exato É o juro calculado, tomando-se por base o tempo exato (fevereiro 28 ou 29 dias, março 3 dias, setembro 30 dias, etc...)..8 Regulamentação das operações de Aplicação e Empréstimos As operações de aplicação e empréstimos são geralmente realizadas por meio da intermediação de uma instituição financeira, que capta recursos de um lado e os empresta de outro. A capitalização é feita a uma taxa menor que a de empréstimo e a diferença é a remuneração da instituição. São várias as opções de aplicações (também chamadas de instrumentos) que um investidor tem a sua disposição, por exemplo, a Caderneta de Poupança, o CDB (Certificado de Depósito Bancário) e outros. Cada opção tem sua taxa em função do prazo da aplicação e dos riscos envolvidos. Da mesma forma, os 5

6 tomadores de empréstimos têm as várias opções de financiamento (instrumentos) cujas taxas variam em função dos prazos de pagamento e das garantias oferecidas. Na determinação das taxas de juros, o Governo tem uma grande influência, quer seja regulamentando o funcionamento das instituições financeiras, comprando ou vendendo títulos públicos, cobrando impostos, etc.... Os fundos de investimentos e os fundos de pensão e previdência também têm um importante papel na intermediação financeira. O dinheiro dos investidores captado pelos fundos de investimentos é utilizado para a compra de títulos públicos e privados e ações. Por meio dos ganhos oferecidos por estes papéis, o investidor é remunerado (quando um investidor aplica num fundo de investimentos ele adquire um certo número de cotas deste fundo, e a valorização da cota é decorrente da rentabilidade de seus papéis). Da mesma forma ocorre com os fundos de previdência e pensão, no qual o aplicador visa o recebimento de uma renda por ocasião de sua aposentadoria..9 Regimes de Capitalização Quando um capital é aplicado por vários períodos, a uma certa taxa por período, o montante poderá crescer de acordo com duas convenções, chamadas regimes de capitalização. Temos o regime de capitalização simples ou juros simples e o regime de capitalização composta ou juros compostos. a) Regime de Capitalização Simples ou Juros Simples Neste regime o juro gerado em cada período é constante e igual ao produto do capital pela taxa. Nesta modalidade os juros são pagos somente no final da operação. Exemplo: Um capital de R$.000,00 foi aplicado durante 3 anos à taxa de 0 % a.a., em regime de juros simples (anos) Portanto, somente o capital aplicado é que rende juros, e o montante após 3 anos foi de R$.300,00. 6

7 b) Regime de Capitalização Composta ou Juros Compostos Neste caso, o juro do º período se agrega ao capital dando o montante M. O juro do 2º período se agrega a M dando o montante M 2. O juro do 3º período se agrega a M 2 dando o montante M 3. Exemplo: Um capital de R$.000,00 foi aplicado durante 3 anos à taxa de 0 % a.a., em regime de juros compostos (anos) Portanto, o juro que é gerado em cada período se agrega ao montante do início do período e esta soma passa a render juro no período seguinte e o montante após 3 anos foi de R$.33,00..0 Diagrama de Fluxo de Caixa Um diagrama de fluxo de caixa é, simplesmente, a representação gráfica de uma situação financeira. Neste gráfico é representado o conjunto de todas as entradas e saídas de dinheiro ao longo de um determinado tempo, seja de uma empresa, de uma pessoa, de um investimento, de um empréstimo, etc.... forma: Um diagrama de fluxo de caixa, na maioria das vezes, é representado da seguinte Uma reta horizontal onde são colocados, em escala, os períodos de tempo onde houve ou haverá movimentação financeira. Flechas verticais, apontadas para baixo e com sinal negativo, representando as saídas de dinheiro ou pagamentos. Flechas verticais, apontadas para cima e com sinal positivo, representando as entradas de dinheiro ou recebimentos. 7

8 Exemplo: Um produto custa R$ 300,00 à vista ou, se financiado, três prestações mensais de R$ 50,00 sem entrada. VENDEDOR COMPRADOR Observações.: a) A diferença entre a soma das prestações e o valor à vista do produto correspondem aos juros cobrados ou pagos pelo financiamento. b) Como podemos ver, é indiferente representarmos o fluxo de caixa sob o ponto de vista do comprador ou do vendedor pois os resultados obtidos em qualquer tipo de cálculo serão sempre os mesmos. 8

9 2. JUROS SIMPLES Juros simples ou regime de capitalização simples é o regime no qual, ao final de cada período de capitalização, os juros são calculados sempre sobre o capital inicialmente empregado. Sabemos que: Juro (j) é diretamente proporcional ao capital (C); Juro (j) é diretamente proporcional a taxa (i); Juro (j) é diretamente proporcional ao tempo (n). Então: j = C. i. n OBSERVAÇÕES IMPORTANTES: ) Na utilização da expressão acima devemos tomar o cuidado de: Utilizar sempre a taxa unitária. Utilizar sempre a mesma unidade de tempo a qual está associada à taxa. 2) Embora no regime de capitalização simples a taxa seja diretamente proporcional ao tempo, ou seja, % ao dia corresponde a 30% ao mês, da mesma forma 20% ao ano corresponde a 0% ao mês, convém não nos valermos desta proporcionalidade uma vez que no regime de capitalização composta ela não existe. Para deixarmos o tempo e a taxa expressos na mesma unidade é aconselhável transformar o tempo. 5 dias correspondem a: 5 30 de um mês comercial de um ano comercial de um ano exato 20 dias correspondem a: 20 de um trimestre comercial de um semestre comercial 80 9

10 8 meses correspondem a: 8 2 de um ano comercial 8 6 de um semestre comercial 240 dias 3 meses e 20 dias correspondem a: 0 30 de um mês comercial de um ano comercial 2. Fórmulas derivadas da expressão j = C. i. n j C i. n i j C.n n j C.i 2.2 Montante (M) O Montante representando a soma dos juros produzidos por um capital ao próprio capital pode ser expresso por: M = C + j como j = Cin, temos que M = C + Cin, ou seja, M C in Obs.: A calculadora HP-2C, através de suas teclas financeiras, calcula somente juros simples se a taxa for anual e o prazo fornecido em dias. É portanto, mais fácil, nos utilizarmos somente das fórmulas matemáticas. 0

11 Exemplos: a) Determine o juro produzido por um capital de R$ 900,00 aplicado a uma taxa de 20% ao trimestre, durante ano, 4 meses e 7 dias. Solução: j =? C = R$ 900,00 i = 20% a.t i = 0,2 a.t n = ano, 4 meses e 7 dias n = 497 dias n = 497 trimestres 90 j = Cin j = , j = R$ 994,00 90 b) Determine o capital que aplicado a uma taxa de 30% ao trimestre rendeu após 6 meses um juro de R$ 600,00. Solução: C =? i = 30% a.t i = 0,3 a.t n = 6 meses n = 2 trimestres j = R$ 600,00 j = Cin 600 = C. 0, = 0,6 C C = R$.000,00 c) Determine o capital que aplicado a uma taxa de juros simples de 20% ao semestre produziu um montante de R$.500,00, após 8 meses. Solução: C =? i = 20% a.s i = 0,2 a.s M = R$.500,00 n = 8 meses n = 8 semestres 6 M C in 500 = C 0,2. 8 C = , C = R$.84,2

12 Exercícios: ) Um capital de R$ 7.000,00 é aplicado a juros simples, durante ano e meio, à taxa de 8% a.s. Determine: a) os juros; b) o montante.. 2) Qual o capital que rende juros simples de R$ 3.000,00 no prazo de 5 meses, se a taxa for de 2% a.m? 3) Uma aplicação financeira tem prazo de 5 meses, rende juros simples à taxa de 22% a.a e paga imposto de renda igual a 20% do juro. Sabendo-se que o imposto pago é no resgate, pergunta-se: a) Qual o montante líquido de uma aplicação de R$ 8.000,00? b) Qual o capital que deve ser aplicado para dar um montante líquido de R$ 9.500,00? 2

13 Exercícios Complementares: ) Qual o montante de uma aplicação de $6.000,00 a juros simples, durante 5 meses, à taxa de 80% a.a.? Resposta: $2.333,33 2) Um capital de $.000,00 foi aplicado por 2 meses, a juros simples e à taxa de 42% a.a.. Qual o montante? Resposta: $.070,00 3) Bruno aplicou $30.000,00 a juros simples, pelo prazo de 6 meses, e recebeu $9.000,00 de juros. Qual a taxa mensal da aplicação? Resposta: 5% a.m. 3

14 4) Numa aplicação de $3.000,00 a juros simples e à taxa de 0% a.a., o montante recebido foi de $4.800,00. Determine o prazo da aplicação. Resposta: 6 anos 5) Paula aplicou uma certa quantia a juros simples à taxa de,8% a.m., pelo prazo de 4 meses. Obtenha o juro auferido nessa aplicação sabendo-se que o montante recebido foi de $5.360,00. Resposta: $360,00 6) Mara aplicou $800,00 a juros simples e à taxa de 2% a.a.. Se ela recebeu $384,00 de juros, obtenha o prazo da aplicação. Resposta: 4 anos 4

15 7) Uma geladeira é vendida à vista por $.500,00 ou então à prazo com $450,00 de entrada mais uma parcela de $.200,00 após 4 meses. Qual a taxa mensal de juros simples do financiamento? Resposta: 3,57% a.m. 8) Um vestido de noiva é vendido à vista por $2.400,00 ou então à prazo com 20% de entrada mais uma parcela de $2.50,00 dois meses após a compra. Qual a taxa mensal de juros simples do financiamento? Resposta: 5,99% a.m. 5

16 9) Durante quanto tempo um capital deve ser aplicado a juros simples e à taxa de 8% a.a. para que duplique? Resposta: 2,5 anos 0) Um capital aplicado à taxa de juros simples de 8% a.m. triplica em que prazo? Resposta: 25 meses ) Um determinado capital, aplicado a juros simples durante 6 meses, rendeu determinado juro. Em que prazo deveríamos aplicar o quádruplo deste capital, para dar o mesmo juro, sabendo-se que a taxa é a mesma? Resposta: 4 meses 6

17 2) Dois capitais, um de $ ,00 e outro de $ ,00, foram aplicados numa mesma data, a juros simples, sendo o primeiro à taxa de 68% a.a. e o segundo à de 20% a.a.. Qual o prazo para que os montantes se igualem? Resposta: 4 meses 3) Dois capitais, o primeiro igual a $.00,00 e o segundo igual a $500,00, estiveram aplicados a juros simples durante 3 meses. Qual a taxa de aplicação do primeiro se o segundo, aplicado à taxa de 0% a.m., rendeu $246,00 menos que o primeiro? Resposta: 2% a.m. 7

18 4) Cleide aplicou metade de seu capital a juros simples e à taxa de 30% a.a., durante um ano; o restante foi dividido em duas partes iguais, aplicadas por um ano, sendo a primeira à taxa de 28% a.a. e a segunda à 32% a.a.. Determinar a taxa anual de juros simples a que todo o capital de Cleide deveria ser aplicado por um ano para que o juro obtido seja igual à soma dos juros das três aplicações mencionadas. Resposta: 30% a.a. 5) Um fazendeiro possui um estoque de.000 sacas de café e, na expectativa de alta de preço do produto, recusa a oferta de compra desse estoque à razão de $3.000,00 por saca. Três meses mais tarde, forçado pelas circunstâncias, vende o estoque por $2.400,00 a saca. Sabendo-se que a taxa de juros de mercado é de 5% a.m., calcule o prejuízo real do fazendeiro na data de venda da mercadoria, utilizando o regime de capitalização simples. Resposta: $ ,00 8

19 6) Um produtor de milho, possuidor de um estoque de sacas, na expectativa de alta do preço do produto, recusa a oferta de compra desse estoque à razão de $5,00 por saca. Seis meses mais tarde, vende o estoque por $2,00 a saca. Sabendo-se que a taxa de juros simples de mercado é de 2% a.m., calcule o lucro (ou prejuízo) real do produtor, utilizando o regime de juros simples. Resposta: Lucro de $02.000,00 7) Um capital ficou depositado durante 0 meses à taxa de 8% a.m. no regime de juros simples. Findo esse prazo, o montante auferido foi aplicado durante 5 meses a juros simples à taxa de 0% a.m.. Calcule o valor do capital inicial aplicado, sabendo-se que o montante final recebido foi de $ ,00. Resposta: $ ,00 9

20 8) Uma aplicação financeira tem prazo de 3 meses, rende juros simples à taxa de,8% a.m., porém o investidor deve pagar no ato do resgate um imposto de renda igual a 20% do valor do juro auferido. a) Qual o montante líquido (montante após o pagamento do imposto de renda) de uma aplicação de $4.000,00? Resposta: $4.72,80 b) Qual o capital que deve ser aplicado para dar um montante líquido de $3.600,00? Resposta: $3.450,92 9) Uma aplicação financeira tem prazo de 4 meses, rende juros simples à taxa de 22% a.a., porém o investidor deve pagar no ato do resgate um imposto de renda igual a 20% do valor do juro auferido. a) Qual o montante líquido (montante após o pagamento do imposto de renda) de uma aplicação de $2.000,00? Resposta: $2.704,00 b) Qual o capital que deve ser aplicado para dar um montante líquido de $.500,00? Resposta: $0.862,72 20

21 20) Dividir $.200,00 em duas partes, de forma que a primeira, aplicada a juros simples à taxa 8% a.m. durante dois meses, renda o mesmo juro que a segunda, aplicada a 0% a.m. durante 3 meses. Resposta: $782,6 e $47,39 2) Bruno, dispondo de $3.000,00, resolveu aplicá-los em dois bancos. No primeiro, aplicou uma parte a juros simples à taxa de 8% a.m. por 6 meses e, no segundo, aplicou o restante também a juros simples por 8 meses à taxa de 0% a.m.. Determine o quanto foi aplicado em cada banco sabendo-se que o total dos juros auferidos foi de $.824,00. Resposta: $.800,00 e $.200,00 2

22 2.3 Juros Simples pela HP-2C: (INT) Tem uma utilização extremamente limitada. Resolve problemas de juros e montantes, em regime de capitalização simples, quando são informados o valor do capital, a taxa anual de juros (ano de 360 dias) e o prazo em dias. Exemplo: Calcular o valor dos juros e do montante de um capital de R$ ,00 aplicado a uma taxa de 50% ao ano, por 28 dias. TECLAS VISOR SIGNIFICADO (CHS) (PV) ,00 Introduz o valor do capital 50 (i) 50,00 Introduz a taxa anual 28 (n) 28,00 Introduz o prazo (f) (i) 8.666,67 Calcula os juros (+) ,67 Calcula o montante 22

23 3. JUROS COMPOSTOS Juros compostos ou regime de capitalização composta ocorre quando os juros gerados em cada período se agregam ao montante do início do período, passando este novo montante a produzir juros no período seguinte. 3. Montante (M) Consideremos um capital C, uma taxa de juros i e calculemos o montante obtido a juros compostos, após n períodos de tempo (expresso na unidade de tempo da taxa) MONTANTES C M M 2...M n n PERÍODOS DE CAPITALIZAÇÃO Montante após o º período: M = C + j j = C. i. M = C + Ci M = C( + i) () Montante após o 2º período: M 2 = M + j 2 j 2 = M. i. M 2 = M + M i M 2 = M ( + i) (2) Substituindo o valor de M de () em (2) temos que: M 2 = C( + i). ( +i) 2 M 2 C i por: É fácil perceber, por generalização, que após n períodos, o montante será dado M n C i n ou simplesmente: M C i n 23

24 Capital (C) n i C M n i M C 3.3 Juro Composto (j c ) i C j C i C j C M j j C M n c n c c c 3.4 Taxa de Juro Composto (i) C M i i C M i C M i C M n n n n 3.5 Tempo (n) i ln C M ln n ou i log C M log n i n.log C M log i C M i C M n n Exemplos: a) Qual o capital que, aplicado a juros compostos, à taxa de 2,5% a.m produz um montante de R$ 3.500,00, após um ano? Solução: C =? i = 0,025 a.m

25 M = R$ 3.500,00 n = ano n = 2 meses M 3500 C C = R$ 2.602,45 C 2 n i 0,025 b) Um capital de R$ 5.520,00, aplicado a juros compostos, após 4 meses, gerou um montante de R$ 6.000,00. Calcule a taxa mensal de juros da operação. Solução: i =? Exercícios: C = R$ 5.520,00 M = R$ 6.000,00 n = 4 meses n 4 M 6000 i i i = 0,02 i = 2,% a.m C 5520 ) Um capital de R$ 6.000,00 foi aplicado a juros compostos durante 3 meses, à taxa de 2% a.m. Pergunta-se: a) Qual o montante? b) Qual o total dos juros auferidos? 2) Durante quanto tempo um capital de R$.000,00 deve ser aplicado a juros compostos, à taxa de 0% a.a para dar um montante de R$.60,5? 25

26 3.6 Juros Compostos pela HP-2C: Na HP-2C, os problemas de juros compostos envolvem as teclas financeiras (n), (i), (PV) e (FV). A unidade de tempo utilizada para o período deve ser a mesma da taxa de juros. Exemplo: Um capital de R$ ,00 foi aplicado a uma taxa de 5% a.m. Determine os juros e o montante no final de 6 meses. TECLAS VISOR SIGNIFICADO (CHS) (PV) ,00 Introduz o valor do capital 5 (i) 5,00 Introduz a taxa 6 (n) 6,00 Introduz o prazo (FV) ,38 Calcula o montante Para apurar o valor dos juros compostos basta operar FV PV, aproveitando os dados já armazenados na calculadora. TECLAS VISOR SIGNIFICADO (RCL) (FV) ,38 Chama o FV (RCL) (PV) ,00 Chama o PV (+) ,38 Calcula os juros Observações: ) Na solução de problemas de juros compostos através da HP-2C, devemos introduzir o valor de (PV) negativo a fim de alcançarmos um resultado (FV) positivo. A calculadora está programada para realizar cálculos financeiros baseado no fluxo de caixa, ou seja, com (PV) e (FV) de sinais contrários. 2) A calculadora HP-2C trabalha também com período n fracionário, simplificando a solução de muitos problemas no mercado financeiro. Para isso, você deverá adequar a máquina pressionando a seqüência de teclas a seguir: 26

27 (STO) (EEX). Note que aparecerá no visor a letra C, anunciando que a máquina está pronta para efetuar cálculos de juros compostos com períodos inteiros e fracionários. É aconselhável que você conserve a sua calculadora com a indicação C no visor. Exemplo: A empresa J. Alves Ltda. formalizou uma operação de capital de giro de R$ ,00, pelo prazo de 75 dias, a uma taxa de 26% a.m. Determine o montante a pagar no vencimento, considerando que os juros são capitalizados no final de cada mês. A fim de compatibilizar as unidades de n e i, vamos transformar 75 dias em meses. 75 n n 2,5 meses 30 TECLAS VISOR SIGNIFICADO (CHS) (PV) ,00 Introduz o valor do capital 26 (i) 26,00 Introduz a taxa 2,5 (n) 2,50 Introduz o prazo (FV) ,26 Calcula o montante Se a letra C não estivesse no visor, a HP calcularia, no período fracionário (5dias), juros simples e, no período inteiro, juros compostos, resultando em R$ ,40, o que não é verdadeiro. Considerando o exemplo anterior, com os mesmos dados do problema, vamos calcular o prazo n na HP-2C: TECLAS VISOR SIGNIFICADO (CHS) (PV) ,00 Introduz o valor do capital 26 (i) 26,00 Introduz a taxa 42566,26 (FV) ,26 Introduz o montante (n) 3,00 Calcula o prazo 27

28 O resultado acima revela uma limitação da HP-2C: o cálculo do prazo por intermédio da tecla (n) é sempre um número inteiro. A resposta correta é n = 2,5, porém a calculadora arredonda-o para o inteiro imediatamente superior (3,00). Contudo, se necessitar, use a fórmula: FV 42566,26 ln ln PV ln,78 n n n n = 2,5 meses ln i ln( 0,26) ln,26 Exercícios Complementares: ) Qual o montante de uma aplicação de $50.000,00 a juros compostos, pelo prazo de 6 meses, à taxa de 2% a.m.? Resposta: $56.308,2 2) Obtenha o montante das aplicações abaixo, considerando o regime de juros compostos: Capital Taxa Prazo a) $80.000,00 36% a.a. 2 anos b) $65.000,00 3% a.m. ano c) $35.000,00 7% a.t. ano e meio Resposta: a)$47.968,00 b)$92.674,46 c)$52.525,56 28

29 3) Um capital de $7.000,00 foi aplicado a juros compostos, durante um ano e meio, à taxa de 2,5% a.m.. Calcule os juros auferidos no período. Resposta: $3.97,6 4) Uma pessoa aplica hoje $4.000,00 e aplicará $2.000,00 daqui a 3 meses num fundo que rende juros compostos à taxa de 2,6% a.m.. Qual seu montante daqui a 6 meses? Resposta: $7.626,54 5) Qual capital que, aplicado a juros compostos, durante 9 anos, à taxa de 0% a.a. produz um montante de $75.000,00? Resposta: $74.27,08 29

30 6) Um capital de $3.000,00 foi aplicado a juros compostos, durante 0 meses, gerando um montante de $3.500,00. Qual a taxa mensal? Resposta:,55% a.m. 7) Um capital foi aplicado a juros compostos, durante 0 meses, rendendo um juro igual ao capital aplicado. Qual a taxa mensal desta aplicação? Resposta: 7,8% a.m. 8) Um capital foi aplicado a juros compostos, durante 9 meses, rendendo um montante igual ao triplo do capital aplicado. Qual a taxa trimestral da aplicação? Resposta: 44,22% a.t. 30

31 9) Um fogão é vendido à vista por $600,00, ou então à prazo, sendo 20% do preço à vista como entrada, mais uma parcela de $550,00 dois meses após a compra. Qual a taxa mensal de juros compostos do financiamento? Resposta: 7,04% a.m. 0) Durante quanto tempo um capital de $5.000,00 deve ser aplicado a juros compostos, à taxa de,8% a.m., para gerar um montante de $5.767,00? Resposta: 8 meses 3

32 ) Durante quanto tempo um capital deve ser aplicado a juros compostos, à taxa de 2,2% a.m. para que duplique? Resposta: 3,85 meses 2) Alberto aplicou $6.000,00 a juros compostos, durante um ano, à taxa de 24% a.a.. a) Qual o montante? Resposta: $7.440,00 b) Qual a taxa mensal de juros da aplicação? Resposta:,8% a.m. c) Qual a taxa semestral de juros da aplicação? Resposta:,36% a.s. 32

33 3) Gisele aplicou $6.000,00 a juros compostos, sendo uma parte no banco A, à taxa de 2% a.m., e outra no banco B, à taxa de,5% a.m.. O prazo das duas aplicações foi de 6 meses Calcule quanto foi aplicado em cada banco, sabendo-se que os montantes resultantes foram iguais. Resposta: $2.955,78 e $3.044,22 4) Aplique hoje $55.000,00 e receba após 6 meses $60.000,00. Qual a taxa mensal de rendimento desta aplicação, considerando o regime de juros compostos? Resposta:,46% a.m. 33

34 5) Milena adquiriu um aparelho de som há 6 meses por $800,00. Estando o aparelho em ótimo estado de conservação e desejando vendê-lo com um retorno de 2% a.m. sobre o capital aplicado na compra, calcule o preço de venda considerando o regime de juros compostos. Resposta: $900,93 6) Uma empresa vende um componente eletrônico por $200,00 a unidade, sendo o pagamento feito 2 meses após a compra. Para pagamento à vista, o preço é $92,00. Qual a taxa mensal de juros compostos do financiamento? Resposta: 2,06% a.m. 7) Uma pessoa colocou 2/5 do seu capital a 2% ao mês e o restante, a 3% ao mês. Ao final de 8 meses retirou o montante de $3.855,7. Qual foi o capital aplicado? Resposta: $20.000,00 34

35 4. DESCONTO Quando uma empresa vende um produto a prazo emite uma duplicata que lhe dará o direito de receber do comprador, na data futura, o valor combinado. Caso o vendedor necessite de dinheiro, poderá ir a um banco e efetuar um desconto da duplicata. Resumidamente, ocorre o seguinte: a empresa cede ao banco o direito do recebimento da duplicata em troca de dinheiro recebido antecipadamente. Por exemplo, consideremos que, numa certa venda, uma empresa emitiu uma duplicata de R$ 5.000,00 para vencimento dentro de 2 meses. Necessitando de dinheiro, a empresa levou a duplicata a um banco, que lhe propôs um adiantamento de R$ 4.800,00 em troca da duplicata. Dizemos neste caso que o banco propôs um desconto de R$ 200, Desconto Simples Valor Futuro (FV) ou Valor Nominal (VN) é o valor de uma dívida na data de seu vencimento. Valor Presente (PV) ou Valor Atual (VA) é o valor aplicado a juros simples numa data anterior até a data de vencimento e que proporcione um montante igual ao valor nominal. FV = PV + PV. i. n FV = PV( + i.n) FV PV i.n 4.. Desconto racional simples ou Desconto por dentro (Dd) Nesta modalidade, o valor do desconto é a diferença entre o Valor Futuro e o Valor Presente calculado a juros simples, sendo n o prazo de vencimento do título e d a taxa de desconto utilizada na operação. Dd FV - PV Dd PV( d.n) -PV Dd PV PV.d.n PV Dd PV.d.n FV PV Dd FV PV PV.d.n FV PV( d.n) FV PV dn 35

36 Exemplo: Qual o desconto por dentro de um título de R$.500,00, descontado 40 dias antes do seu vencimento, à taxa de 3% ao mês? Dd=? FV= n=40 dias n meses 30 d=0,03 a.m. 500 PV PV 442,3 40 0, Dd PV.d.n Dd 442,3.0,03. Dd R$ 57, Desconto comercial simples ou Desconto por fora (Df) Nesta modalidade, o valor do desconto é obtido multiplicando-se o valor futuro (FV) pela taxa de desconto fornecida pelo banco e pelo prazo a decorrer até o vencimento do título. O desconto comercial ou desconto por fora é chamado também de Desconto Bancário. Valor Futuro (FV): valor escrito no título; Valor Presente (PV): valor líquido do título antes do vencimento. FV > PV; Tempo (n); Taxa de desconto (d) Df FV. d.n PV FV Df PV FV -FV.d.n PV FV(- d.n) FV PV - dn Exemplo: Uma duplicata de R$ 8.000,00 foi descontada num banco 2 meses antes do vencimento, a uma taxa de desconto comercial de 2,5% a.m.. Calcule: a) O valor do desconto; Df FV. d.n Df ,025.2 Df R$900, 00 36

37 b) O valor líquido recebido pela empresa. PV FV Df PV PV R$7.00, Relação entre taxa de desconto (d) e taxa de juros simples (i) Supondo que a taxa de desconto d e a taxa de juros simples i estejam na mesma unidade de tempo e seja n o prazo de vencimento do título (expresso na mesma unidade de tempo de d e i), temos então: FV PV in FV FV( dn) in PV FV( dn) FV FV( dn).( in) FV FV( in dn din 2 ) FV FV in dn din 2 in dn din 2 in dn din 2 0 in dn din 2 0 n(i- d - din) 0 n(i - d- din) 0 n = 0 i d din i d( in) i d in i d - din = 0 d i din d i - din d i(- dn) d i dn i d i.n d i - d.n 37

38 Exemplo: Um banco deseja ganhar 30% a.a. de juros simples no desconto de títulos. Que taxa de descontos deverá praticar para 2 meses de antecipação? i 0,3 n a.a. 2 meses n 2 2 anos i d in 0,3 d 0, d 0,2857 a.a. d 28,57 a.a. Exercícios: ) Sabendo-se que para uma operação de desconto comercial 25 dias antes do vencimento, a taxa praticada foi de 3% ao mês, qual a taxa mensal de juros para o tomador? 2) Uma duplicata de R$ ,00 é descontada 4 meses antes do seu vencimento. Considerando uma taxa simples de 60% ao semestre, calcular o valor do desconto nas modalidades de desconto racional e desconto comercial. 38

39 3) Calcular o valor liberado de um título com valor nominal de R$ ,00 e com vencimento para 80 dias descontado comercialmente a uma taxa simples de desconto de 40% ao ano. Exercícios Complementares: ) Uma promissória de $20.000,00 foi descontada num banco três meses antes de seu vencimento, a uma taxa de desconto comercial de,8% a.m. a) Qual o desconto comercial? Resposta: $.080,00 b) Qual o valor atual comercial do título? Resposta: $8.920,00 c) Qual a taxa efetiva mensal de juros simples da operação? Resposta:,9% a.m. 39

40 2) Uma empresa descontou num banco um título de valor nominal igual a $90.000,00, 40 dias antes do vencimento, a uma taxa de desconto bancário de 30% a.a.. a) Qual o desconto bancário? Resposta: $3.000,00 b) Qual o valor líquido recebido pela empresa, sabendo-se que o banco cobrou uma taxa de serviço igual a % do valor nominal do título? Resposta: $86.00,00 3) Um título governamental com valor de face de $00.000,00 foi adquirido 70 dias antes do vencimento com desconto comercial simples, sendo a taxa igual a 25% a.a.. a) Qual o preço da aquisição? Resposta: $95.38,89 b) Qual a taxa efetiva de juros anual proporcionada pela aplicação? Resposta: 26,27% a.a. 40

41 4) Descontado racionalmente três meses antes de seu vencimento a uma taxa simples de 20% a.a., um título sofreu um desconto de $5.000,00. Caso o título fosse descontado comercialmente, calcular o valor do desconto. Resposta: $5.750,00 5) Um banco deseja ganhar 30% ao ano de juros simples no desconto de títulos. Que taxa de desconto deverá praticar para 2 meses de antecipação? Resposta: 28,57% a.a. 6) Uma empresa descontou uma duplicata de $2.000,00, 45 dias antes do vencimento. Sabendo-se que ela recebeu um valor líquido de $.720,00, calcule a taxa mensal de desconto comercial da operação. Resposta:,56% a.m. 4

42 7) Uma duplicata de $8.000,00 foi descontada em um banco, proporcionando um valor descontado (valor líquido) de $7.500,00. Sabendo-se que a taxa de desconto comercial utilizada foi de 2,2% a.m., obtenha o prazo de vencimento deste título. Resposta: 85 dias 8) Uma duplicata, cujo prazo até o vencimento era de 90 dias, foi descontado num banco à taxa de desconto comercial de,8% a.m.. Calcule o valor de face do título, sabendo-se que a empresa recebeu um valor líquido de $3.500,00 e que o banco cobrou uma taxa de serviço igual a % do valor nominal do título. Resposta: $3.739,32 9) Uma empresa descontou num banco uma duplicata de $5.000,00, 67 dias antes de seu vencimento, a uma taxa de desconto comercial de 3,5% a.m.. Obtenha o valor líquido recebido pela empresa, considerando que esta pagou um imposto na data de operação (imposto sobre operações financeiras) igual a 0,004% ao dia, aplicado sobre o valor nominal do título. Resposta: $3.786,30 42

43 0) Uma duplicata de $ descontada racionalmente 60 dias antes do vencimento teve um desconto de $989. Qual seria o valor do desconto se a duplicata fosse descontada comercialmente? Resposta: $.006,20 ) Sabendo-se que para uma operação de desconto comercial, a 25 dias do vencimento, a taxa praticada foi de 3% ao mês, qual o custo mensal real para o tomador? Resposta: 3,08% a.m. 2) Para pagar uma dívida de $ ,00 uma empresa juntou um cheque de $ ,00 à importância líquida proveniente do desconto comercial de uma duplicata de $ ,00, três meses antes do vencimento. Determine a taxa mensal de desconto comercial utilizada. Resposta: 6,5% a.m. 43

44 3) Um banco oferece empréstimos pessoais mediante o preenchimento de uma promissória pelo cliente com prazo de vencimento igual ao prazo pedido para pagamento. Em seguida, o banco desconta a promissória a uma taxa de desconto comercial de 4% a.m. e entrega ao cliente o valor líquido. Se uma pessoa precisar hoje de $7.000,00, para pagamento daqui a 3 meses, qual o valor da promissória que ele deverá assinar? Resposta: $7.954,55 4) Um banco realiza operações de desconto de duplicatas utilizando uma taxa de desconto comercial de 3% a.m.. Qual a taxa efetiva de juros simples mensal, se os prazos de vencimento forem: a) um mês; Resposta: 3,09% a.m. b) dois meses: Resposta: 3,9% a.m. c) cinco meses. Resposta: 3,53% a.m. 5) Uma Nota Promissória com valor nominal de $2.500,00, paga em 25 dias antes do seu vencimento, teve uma redução comercial de $50,00. Qual a taxa de desconto empregada? Resposta: 28,8% a.a. 44

45 6) Qual o prazo de antecipação do resgate tal que o desconto racional seja igual a três quartos do desconto comercial, considerando-se uma taxa de 40% ao ano em ambos os descontos? Resposta: 0 meses 7) Uma empresa, necessitando de capital de giro, decide descontar uma duplicata 2 meses antes do vencimento. Tal operação pode ser feita num banco A ou num banco B. O banco A utiliza uma taxa de desconto comercial de 2,5% a.m. mais uma taxa de serviço igual a 0,8% do valor do título; o banco B utiliza uma taxa de desconto comercial de 3,% a.m. sem taxa de serviço. Qual banco a empresa deverá escolher? Resposta: Banco A 45

46 8) Se um banco deseja ganhar a taxa efetiva mensal de juros simples de 3% a.m. em operações de desconto de duplicatas, que taxa mensal de desconto comercial deverá cobrar, se os prazos de vencimento forem: a)um mês; Resposta: 2,9% a.m. b)três meses. Resposta: 2,75% a.m. 9) A diferença entre o valor atual racional e o valor atual comercial é de $89,7, sendo o prazo de antecipação de 90 dias e a taxa de 36% ao ano. Qual o valor nominal do título? Resposta: $2.000,00 20) Para promissórias com prazo de vencimento de 2 meses, qual a taxa mensal de desconto comercial que proporciona uma taxa efetiva de juros de 6% no período? Resposta: 2,83% a.m. 46

47 2) Se um banco deseja ganhar uma taxa efetiva mensal de juros simples igual a 3% a.m. em operações de desconto de duplicatas, indique a taxa mensal de desconto comercial que deverá ser utilizada, se os prazos de vencimento forem: a) mês; Resposta: 2,9% a.m. b)3 meses; Resposta: 2,75% a.m. c)25 dias. Resposta: 2,93% a.m. 22) Uma determinada loja efetua suas vendas dando ao cliente três meses de prazo para pagamento. Se o cliente optar pelo pagamento à vista, receberá um desconto de 0% sobre o valor nominal da compra. Qual taxa efetiva de juros no período está sendo cobrada pela loja? (Nesse tipo de situação, isto é, desconto para pagamento à vista, a taxa de desconto utilizada é a taxa do período, neste caso, nos três meses). Resposta:,% a.p. 23) Um desconto de 20% para pagamento à vista, de um produto cujo preço é dado para pagamento em 4 meses, corresponde a que taxa efetiva de juros no período? Resposta: 25% a.p. 47

48 4.2 Desconto Composto A idéia de desconto composto guarda analogia com a de desconto simples. Existem duas modalidades de desconto composto, o racional e o comercial. Contrariamente ao que ocorre no caso do desconto simples aqui o desconto racional é muito mais usado que o comercial. Por esta razão, vamos nos restringir ao desconto racional. Desconto racional ou desconto por dentro é a diferença entre o valor futuro e o valor presente de um documento financeiro. Valor Futuro (FV) ou Valor Nominal (VN) É o valor de face do documento. Para calcularmos o Valor Futuro usaremos a fórmula do Montante Composto. n M C.(.i) onde M = Valor Futuro C = Valor Presente i = d (taxa de desconto) n = período de antecipação Logo: FV PV.( d) n Valor Presente (PV) ou Valor Atual (VA) É o valor do resgate, valor líquido, valor presente de um título resgatado ou descontado antes do seu vencimento. FV PV.( d) n FV PV ( d) n 48

49 4.2. Valor do Desconto Composto: DC É a diferença entre o Valor Futuro e o Valor Presente, cujo compromisso foi saldado antes do vencimento. DC FV PV FV DC FV ( d) n DC FV. - ( d) n Taxa de Desconto Composto (d) FV PV( d) n FV PV ( d) n FV PV n ( d).n n FV PV n d FV d PV n Tempo (n) FV PV( d) n FV PV ( d) n FV log log( d) PV n FV log n.log( d) PV FV log. PV n log. ou FV ln. PV n d ln. d 49

50 4.2.4 Taxas Equivalentes Dizemos que duas taxas são equivalentes a juros compostos quando, aplicadas num mesmo capital e durante o mesmo prazo, produzem montantes iguais. Assim, se " i " e " i 2 " forem as taxas e " n " e " n 2 " o referido prazo expresso na mesma unidade das respectivas taxas, então deveremos ter: C.( i n n 2 ) C.( i2 ) n n2 e, portanto, ( i ) ( i 2 ) Exemplificando: Em juros compostos, qual a taxa anual equivalente a 2% a.m.? Resolução: Chamamos " i " a taxa procurada e " i 2 " a taxa conhecida e adotando um prazo padrão de ano teremos então: i n i 2 n? (taxa anual) 2 ano 2% a.m. 2meses i 2 0,02 a..m. ( i ) n ( i 2 ) n 2 ( i ) ( 0,02) 2 i,02 2 i,2682 i 0,2682 i 26,82% a.a. Exemplo: Qual o valor de resgate de um título de R$ 6.504,40 vencível daqui a 9 meses, à taxa efetiva de desconto racional composto de 46,4% a.a. capitalizável trimestralmente? Resolução: FV 6.504,40 n 9 meses d 0,464 a.a. PV? n 3 trimestres 50

51 d n? (a.t.) 4 trim. d n 2 2 0,464 a.a. ano ( d ) n ( d ) n2 2 ( d ) 4 ( 0,464) ( d ).4 4 (,464) 4 d, d, d 0, a.t. PV FV d n 6504,4 PV 3 ( 0,) PV R$ 2.400,00 Exercícios: ) Em juros compostos, qual a taxa trimestral equivalente a 5% a.a.? 2) Um título de valor nominal de R$ ,00 foi descontado dois meses antes do vencimento a taxa de desconto composto de 5% a.m. Qual o valor do desconto? 5

52 3) O desconto racional composto de um título de R$ ,00 foi de R$ 7.903,00. Sendo a taxa de desconto de 5% a.m., qual o prazo de antecipação? Exercícios Complementares: ) Um título de valor nominal de $50.000,00 foi descontado três meses antes do vencimento à taxa de 5% a.m.. Qual o valor líquido do título pelo desconto racional composto? Resposta: $43.9,88 2) Na venda de uma Letra de Câmbio (LC), 25 dias antes do resgate, o comprador, desejando um ganho de 05,30% a.a., oferece $ ,00 ao credor da letra. Qual o valor dessa LC? Resposta: $ ,88 52

53 3) Na venda de uma Letra de Câmbio, 36 dias antes do resgate, o comprador, desejando um ganho de 43,30% a.a., ofereceu $30.500,00 ao credor da letra. Qual o valor dessa LC na data do resgate? Resposta: $3.67,28 4) O valor do desconto racional composto de uma nota promissória que vence em três anos é de $0.500,00. A taxa de desconto utilizada na operação é de 20% a.a. com capitalização trimestral. Qual o valor nominal da nota promissória? Resposta: $24.923,08 5) O desconto racional composto de um título cujo valor nominal é de $ ,00 foi de $44.58,22. Sendo de 4% a.m. a taxa de desconto cobrada, qual o prazo de antecipação do resgate? Resposta: 5 meses 53

54 6) O desconto racional composto de um título de $50.000,00 foi de $2.698,22. Sendo a taxa de desconto mensal cobrada de 5%, calcule o prazo de antecipação. Resposta: 6 meses 7) O valor nominal de um compromisso é de cinco vezes o desconto racional, caso a antecipação seja de dez meses. O valor de resgate desse título é de $25.000,00. Qual o seu valor nominal? Resposta: $56.250,00 54

55 8) O valor nominal de um compromisso é de seis vezes o desconto racional, caso a antecipação seja de oito anos. Sendo o valor de resgate do título de $ ,00, determine: a) A taxa de desconto anual. Resposta: 2,3% a.a. b) O valor nominal. Resposta: $ ,00 9) Marcelo propõe a um amigo a venda de um título por $20.563,28. Esse amigo diz que só se interessará pela compra se puder ganhar 20% a.m.. Sendo o valor do título $ ,00, qual deve ser o prazo de antecipação? Resposta: 4 meses 55

56 0) Um banco de investimento deseja realizar um empréstimo para uma determinada empresa, que deverá liquidá-lo no final do sétimo mês por $ ,00. Qual o valor que deve ser abatido no ato da contratação se a empresa deseja limitar esse pagamento final em $ ,00? O banco opera em regime de desconto composto à taxa de 4% a.m.. Resposta: $3.987,67 ) Uma empresa contraiu um empréstimo no regime de juros compostos, à taxa de 2% a. m. para ser liquidado em dois pagamentos. A primeira parcela será de $ ,00 e deverá ser paga no final do quarto mês. A segunda parcela será de ,00 e deverá ser paga no final do oitavo mês. Esse empréstimo poderia ser liquidado com um único pagamento de $ ,60. Em que prazo deve ser efetuado tal pagamento para que a taxa de 2% a.m. não se altere? Resposta: 0 meses 56

57 5 TAXAS DE JUROS Uma parte bastante complexa dentro da Matemática Financeira refere-se ao estudo das taxas de juros. Isso porque é muito comum a ocorrência de contratos escritos onde são usadas apenas taxas referenciais em que a capitalização não ocorre na periodicidade indicada pela taxa. Vamos, então, conceituar cada tipo de taxa utilizada no dia a dia das operações financeiras. 5. Taxa Efetiva Uma taxa de juros é efetiva quando coincide com o período de capitalização do investimento. Por exemplo: 0% ao mês com capitalização mensal;,5% ao dia com capitalização diária. Tendo em vista a coincidência nas unidades de medida dos tempos das taxas de juros e dos períodos de capitalização, costuma-se dizer simplesmente: 0% ao mês e,5% ao dia. 5.2 Taxas Proporcionais Duas ou mais taxas são ditas proporcionais quando, ao serem aplicadas sobre o mesmo capital durante o mesmo período, produzem o mesmo montante no regime de juros simples. Ao falar nisto, devemos lembrar que uma das características é a linearidade e, conseqüentemente, a validade da regra de três simples. Exemplos: 36% ao ano e 3% ao mês; 36% ao ano e 9% ao trimestre; 36% ao ano e 2% ao quadrimestre; 36% ao ano e 8% ao semestre. As taxas proporcionais podem ser assim relacionadas: i a..a. 2.i a.s. 3.i a.q. 4.i a.t. 2.i a.m i a.d. 57

58 5.3 Taxas Equivalentes Duas ou mais taxas são equivalentes se, quando aplicadas sobre o mesmo capital durante o mesmo período, produzem o mesmo montante no regime de juros compostos Assim, se " i " e " i 2 " forem as taxas e " n " e " n 2 " o referido prazo expresso na mesma unidade das respectivas taxas, então deveremos ter: C.( i n n 2 ) C.( i2 ) n n2 e, portanto, ( i ) ( i 2 ) Exemplificando: Em juros compostos, qual a taxa anual equivalente a 2% a.m.? Resolução: Chamamos " i " a taxa procurada e " i 2 " a taxa conhecida e adotando um prazo padrão de ano teremos então: i n i 2 n? (taxa anual) 2 ano 2% a.m. 2meses i 2 0,02 a.m. ( i ) n ( i ) n2 2 ( i ) ( 0,02) 2 i,02 2 i,2682 i 0,2682 i 26,82% a.a. Podemos calcular a taxa equivalente também através da seguinte expressão: i eq i p q onde: " i eq " é a taxa equivalente; i é a taxa fornecida; p é o período desejado em dias que se refere a taxa procurada (equivalente); q é o período fornecido em dias que se refere a taxa fornecida. 58

59 59

60 Exemplos: a) Calcule a taxa mensal equivalente a 43% a.a.. No programa da HP-2C, só usaremos as teclas: (i) Taxa conhecida; (PV) Período desconhecido; (FV) Período conhecido. Então teremos: i = 43% a.a. PV = mês FV = ano = 2 meses TECLAS VISOR SIGNIFICADO 43 (i) 43,00 Insere a taxa conhecida em i. 2 (FV) 2,00 Insere o período da taxa conhecida em FV. (PV),00 Insere o período da taxa desconhecida em PV. (R/S) Running Roda o programa. 4,60 Calcula a taxa equivalente ao mês. b) Determine a taxa diária equivalente a 25% a.t.. i = 25% a.t. PV = dia FV = trimestre = 90 dias TECLAS VISOR SIGNIFICADO 25 (i) 25,00 Insere a taxa conhecida em i. 90 (FV) 90,00 Insere o período da taxa conhecida em FV. (PV),00 Insere o período da taxa desconhecida em PV. (R/S) Running Roda o programa. 0,25 Calcula a taxa equivalente ao dia. 60

61 c) Aplicando a fórmula, determine em juros compostos, qual a taxa anual equivalente a 2% a.m.? i eq =? i = 0,02 am p = 360 dias q = 30 dias Obs.: È aconselhável trabalharmos com os períodos em dias, pois é comum, no mercado financeiro, períodos em dias. i eq i p q 360 0,02 i 30 eq i eq 0, 2682 i eq 26,82% a. a. 5.4 Taxa Nominal É a taxa de juros em que a unidade referencial de seu tempo não coincide com a unidade de tempo dos períodos de capitalização. A taxa nominal é sempre fornecida em termos anuais e os períodos de capitalização podem ser semestrais, quadrimestrais, trimestrais, bimestrais, mensais ou diários, Exemplos: 20% ao ano, capitalizados mensalmente; 36% ao ano, capitalizados semestralmente. A taxa nominal, antes de ser utilizada em qualquer tipo de cálculo, deve ser efetivada, isto é, deve ser calculada sempre a taxa efetiva equivalente à taxa nominal em questão, através da expressão: onde: i N é a taxa nominal; n in i n n é o número de períodos de capitalização. Exemplo: Qual a taxa efetiva anual, com capitalização mensal, cuja taxa nominal é de 6% ao ano? 6

62 i =? i N = 6% a.a. n = 2 períodos i N = 0,06 a.a. n 2 in 0,06 i - i i 0,067 i 6,7% a.a. n Taxa Over A taxa over é uma taxa nominal expressa ao mês com capitalização diária, porém válida somente para dias úteis, ou seja, sua capitalização ocorre unicamente em dia de funcionamento do mercado financeiro. Exemplo: 3% ao mês, por dia útil A taxa efetiva correspondente é expressa por: io i 30 n onde: i o é a taxa over; n é o número de dias úteis do mês. 5.6 Taxa Bruta e Taxa Líquida A taxa bruta de uma aplicação financeira é a taxa de juros obtida considerando o valor da aplicação e o valor do resgate bruto, sem levar em conta o desconto do imposto de renda sobre os juros que é retido pela instituição financeira. A taxa líquida de uma aplicação financeira é a taxa de juros obtida considerando o valor da aplicação e o valor do resgate líquido, levando em conta o desconto do imposto de renda sobre os juros que é retido pela instituição financeira. 62

63 5.7 Taxa aparente e taxa real A taxa aparente (chamada nominal nas transações financeiras e comerciais) é aquela que vigora nas operações correntes. A taxa real é aquela calculada depois de serem expurgados os efeitos inflacionários As taxas aparente e real relacionam-se da seguinte forma: ( + i) = (+ i ).(+I) r onde: i é a taxa aparente; i r é a taxa real; I é a taxa de inflação. Por exemplo, a taxa real de um empréstimo a uma taxa aparente de 20% a.m., considerando uma inflação para o mesmo período de 5%, é: ( i) ( ir ).( I),2 ( 0,2) ( ir ).( 0,5),2 ( ir ).,5 ir ir,5 i r = 0, i r = 4,3478% a.m., Exercícios Complementares: ) Calcular os montantes acumulados, no final de 3 anos, a partir de um principal de $.500, no regime de juros simples, com as seguintes taxas de juros: 2% a.a., 6% a.s. e % a.m. Resp.: $ 2.040, $ e $

64 2) Determinar as taxas semestral, mensal e diária, proporcionais à taxa de 36% a.a. Resp.: 8% a.s., 3% a.m. e 0,0% a.d. 3) Qual a taxa mensal equivalente a 0% a.a.? Resp.: 0,7974% a.m. 4) Um capital foi aplicado a 3% a.m. Qual a taxa semestral que produziria o mesmo efeito? Resp.: 9,4052% a.s. 64

65 5) Se a taxa de juros é de 2,5% para 28 dias, qual a taxa equivalente para 42 dias? Resp.: 3,7733% a.p. 6) Uma instituição cobra juros de 24% a.a., capitalizados mensalmente. Qual a taxa efetiva implícita? Qual a taxa efetiva anual equivalente? Resp.: 2% a.m., 26,8242% a.a. 7) Qual a taxa mensal equivalente à taxa de 24% a.a., capitalizada trimestralmente? Resp.:,963% a.m. 65

66 8) Qual a taxa anual, com capitalização trimestral, cuja taxa efetiva é de 20% a.a.? Resp.: 8,65% a.a., capitalizada trimestralmente 9) Uma aplicação de $ proporcionou um montante líquido de $ 0.273,26 ao final de três meses. Sabendo-se que a alíquota de IR é de 25% para este tipo de aplicação, qual a taxa bruta mensal que remunerou o investimento? Resp.:,20% a.m. 0) Um investidor aplicou $ por um período de 80 dias à taxa de 2% a.a. Se o IR incidente é de 20% para este tipo de aplicação, qual a taxa líquida mensal auferida pelo investidor? Resp.: 0,7627% a.m. 66

67 ) Se a taxa aparente é de 2% a.m. e a inflação no período de 0,85%, qual a taxa real? Resp.:,403% a.m. 2) Se a taxa de inflação é de 0,78% a.m. e no mesmo período a taxa real é de 0,5%, qual a taxa aparente resultante? Resp.:,2839% a.m. 3) A taxa aparente é de,2% a.m. Se a taxa real embutida é de 0,5% a.m., qual a taxa de inflação? Resp.: 0,6965% a.m. 67

68 4) Que taxa mensal remunerará um capital que tenha sido aplicado à taxa over de,2% a.m., sendo de 2 o número de dias úteis deste? Resp.: 0,8434% a.m. 5) Se a taxa efetiva foi de 0,8098% a.m. para um mês com 22 dias úteis, qual a taxa over considerada? Resp.:,% a.m. 68

69 6 EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS A JUROS COMPOSTOS O conceito de equivalência permite transformar formas de pagamentos ou recebimentos em outras equivalentes e, conseqüentemente, efetuar comparações entre elas. Consideremos o seguinte exemplo: um prédio é vendido por R$ ,00 à vista ou então à prazo, em 3 parcelas mensais de R$ ,00 cada uma, sem entrada. Qual a melhor alternativa para o comprador se ele pode aplicar seu dinheiro a juros compostos à taxa de 2% ao mês e tem fundos suficientes para pagar à vista? Uma forma de resolver essa questão é a seguinte: se ele pagar a prazo, após um mês de aplicação ele terá R$ ,00. Pagando R$ ,00 de prestação, sobram-lhe R$ ,00. Aplicando R$ ,00 por mais um mês, ele terá no final R$ ,00; pagando a 2ª prestação, sobram-lhe R$ ,00. Aplicando finalmente R$ ,00 por mais um mês, ele terá ao final R$ ,00, o que dá para pagar a última prestação e ainda lhe sobram R$ ,00. Vê-se que é melhor pagar a prazo. Problemas dessa natureza podem ser resolvidos desta forma. Contudo, situações em que o número de prestações seja 36, 48 ou mais, seria muito trabalhoso. Veremos a seguir formas mais simples de resolver questões desse tipo. 6. Equivalência de dois capitais Consideremos dois capitais, x e y, separados por n períodos de tempo, por exemplo, o primeiro na data 0 e o segundo na data n. Dizemos que x e y são equivalentes a uma taxa de juros compostos i, se: x( i) n y ou seja: y x ( i) n Exemplo: A uma taxa de juros compostos de 2% ao mês, R$ ,00, daqui a 3 meses equivalem quanto hoje? y