Métodos Quantitativos Aplicados a Gestão

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1 Métodos Quantitativos Aplicados a Gestão

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3 Introdução a Matemática Financeira Responsável pelo Conteúdo: Prof. Carlos Henrique de Jesus Costa Prof. Douglas Mandaji

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5 Unidade Introdução a Matemática Financeira Nesta unidade, trabalharemos os seguintes tópicos: Introdução Juros Simples Diagrama de Fluxo de Caixa Juros Compostos Operações com Taxas Descontos Séries de Pagamentos ou Rendas Renda Imediata ou Postecipada Renda Antecipada (Com Entrada) Renda Diferida ou Série Uniforme de Pagamentos Diferida (Com Prazo de Carência) Introdução Muitos de nós crescemos lendo as histórias do Tio Patinhas, criação de Walt Disney, desenhista norte-americano. Nelas, nos acostumamos a ver Tio Patinhas curtindo sua fortuna, guardada a sete chaves em seu cofre. No mundo real, no entanto, poucas pessoas estão dispostas a agir como Tio Patinhas. Longe disso, quem tem dinheiro disponível nem pensa em guardá-lo consigo. Procura alguma maneira de entregá-lo de forma a obter mais dinheiro, seja na aquisição de bens, seja no mercado financeiro, ou, simplesmente, emprestando-o a terceiros. Tudo isso é feito a partir de um princípio básico: quem empresta dinheiro a alguém espera recebê-lo, depois de certo tempo, acrescido de uma quantia adicional cobrada a título de aluguel do dinheiro. Juros ( J ) É a remuneração obtida a partir do capital de terceiros. Esta remuneração pode ocorrer a partir de dois pontos de vista: de quem paga: nesse caso, o juro pode ser chamado de despesa financeira, custo prejuízo, etc. de quem recebe: podemos entender como sendo rendimento, receita financeira, ganho, etc. 5

6 Unidade: Introdução a Matemática Financeira Regimes de Capitalização É o processo de formação do juro. Os regimes de capitalização que normalmente são utilizados em Matemática Financeira são SIMPLES e COMPOSTO ou LINEAR e EXPONENCIAL, respectivamente. Juros Simples É o sistema de capitalização linear. O regime de juros será simples quando o percentual de juros incidir apenas sobre o valor do capital inicial, ou seja, sobre os juros gerados, a cada período, não incidirão novos juros. Capital ( C ) ou Valor Presente ( VP ) ou Present Value ( PV ) ou Principal ( P ) É qualquer valor expresso em dinheiro e disponível em uma determinada data. O capital que dá início a uma dada operação financeira é chamado capital inicial. Também conhecido como: Principal, Valor Atual, Investimento Inicial, Valor Presente ou Valor Aplicado. Em língua inglesa, usa-se Presente Value, indicado nas calculadoras financeiras (HP 12C) pela tecla PV. Taxa ( i ) É o coeficiente obtido da relação dos juros (J) com o capital (C), que pode ser representado em forma percentual ou unitária. A termologia i vem do inglês interest, que significa juro. A taxa de juro costuma apresentar-se, principalmente, de duas maneiras. Forma porcentual: representa o juro de 100 unidades do capital, no período tomado como unidade de tempo. São Exemplos: i = 30% am. (lê-se: 30 por cento ao mês) i = 0,5% ad. (lê-se: meio por cento ao dia) Forma unitária ou centesimal: representa o juro de 1 unidade do capital, no período tomado como unidade de tempo. São Exemplos: i = 0,30 am. i = 0,005 ad. Cálculo do Juro Simples O juro simples é diretamente proporcional ao capital inicial e ao tempo de aplicação, sendo a taxa de juro por período o fator de proporcionalidade: 6

7 Temos: C capital inicial ou PV Present Value J juro simples n tempo de aplicação i taxa de juro unitária Fórmula: J = C.i.n ou J = PV.i.n Obs: Essa fórmula só pode ser aplicada se o prazo de aplicação n é expresso na mesma unidade de tempo a que se refere à taxa i considerada. Exemplos: 1) Tomou-se emprestada a importância de R$ 1.200,00, pelo prazo de 2 anos, à taxa de 30% ao ano. Qual será o valor do juro simples a ser pago? Dados: C ou PV = R$ 1.200,00 n = 2 anos i = 30% ou 0,30 a.a. J =? Fórmula J = C.i.n J = 1200 x 30% x 2 J = 1200 x 0,30 x 2 J = 720,00 2) Aplicou-se a importância de R$ 3.000,00, pelo prazo de 3 meses, à taxa de 1,2% ao mês. Qual o valor do juro simples a receber? Dados: C ou PV = R$ 3.000,00 n = 3 meses i = 1,2% ou 0,012 a.m. J =? Fórmula J = C.i.n J = 3000 x 1,2% x 3 J = 3000 x 0,012 x 3 J = 108,00 7

8 Unidade: Introdução a Matemática Financeira Taxas Proporcionais: Duas taxas são proporcionais quando seus valores formam uma proporção com os tempos a elas referidos, reduzidos à mesma unidade. Exemplos: 1) Calcule a taxa mensal proporcional a 30% ao ano. Lembrando que 1 ano = 12 meses, é só dividir 30 (taxa anual) por 12 meses para obter a taxa mensal. i = 30% : 12 i = 2,5% a.m. 2) Calcule a taxa mensal proporcional a 0,08% ao dia. Lembrando que 1 mês = 30 dias, é só multiplicar 0,08 (taxa ao dia) por 30 dias para obter a taxa mensal. i = 0,08% x 30 i = 2,4% a.m. Taxas Equivalentes: Duas taxas são equivalentes quando, aplicadas a um mesmo capital, durante o mesmo período, produzem o mesmo juro. Em regime de juro simples, duas taxas proporcionais são equivalentes. Exemplos: 1) Um capital de R$ 2.400,00 é aplicado durante 10 meses, à taxa de 25% ao ano. Determine o juro simples obtido. Como o tempo é dado em meses e a taxa é dada ao ano, antes de aplicarmos a fórmula de juro simples devemos determinar a taxa mensal equivalente ou taxa mensal proporcional em relação à taxa dada: i = 25% : 12 Logo: i = 2, % ao mês J = C.i.n J = x 2,0833% x 10 J = 499,99 ou J = 500,00 (arredondando) 8

9 2) Calcule o juro correspondente a um capital de R$ ,00 aplicado durante 2 anos, 4 meses e 10 dias, à taxa de 36% ao ano. Neste caso o tempo foi dividido em anos, meses e dias, a primeira coisa a ser feita é a obtenção do número de dias correspondentes, lembrando que: Tempo: Taxa : Juros: 1 ano = 360 dias e 1 mês = 30 dias 2 anos, 4 meses e 10 dias = (2 x x ) = 850 dias 36% ao ano, é só dividir por 360 dias para obter a taxa ao dia. i = 36% : 360 i = 0,1% ao dia. J = C.i.n J = x 0,1% x 850 J = ,00 Juro Exato e Juro Comercial: Quando falamos em juro exato, estamos, na verdade, nos referindo aos dias do calendário, ou seja, devemos considerar a quantidade de dias existentes em cada mês. Como, por exemplo: janeiro (31 dias), fevereiro (28 ou 29 dias). Desta forma, um ano pode ter 365 dias ou 366 dias, se o ano for bissexto. No caso de juro comercial, é aquele que se obtém contando-se o número de dias pelo critério do prazo comercial, isto é, consideram-se todos os meses com 30 dias. Desta forma, um ano tem 360 dias. A técnica mais usada é a do cálculo do juro simples comercial para o número exato de dias; é a que proporciona o juro máximo em qualquer transação. Um ano é bissexto quando o seu número é divisível por 4. Por exemplo: 1948,1956,1992, etc. Os anos cujos números terminam em 00 são bissexto de 4 em 4 séculos. O ano 2000 foi bissexto, então o próximo ano terminado em 00 que será bissexto é Determinação do número exato de dias entre duas datas: Podemos obter o número exato de dias entre duas datas de várias maneiras, a seguir alguns exemplos: 1º) Pela contagem direta dos dias em um calendário, lembrando que apenas um dos dias extremos deve ser incluído. 9

10 Unidade: Introdução a Matemática Financeira 2º) Considerando o número exato de dias de cada mês, lembrando que: Janeiro, Março, Maio, Julho, Agosto, Outubro e Dezembro 31 dias; Abril, Junho, Setembro e Novembro 30 dias; Fevereiro 28 dias ou 29 dias (anos bissextos). Podemos, por exemplo, determinar o número exato de dias de 11 de março a 18 de maio do mesmo ano do seguinte modo: 11 de março a 11 de abril - 31 dias 11 de abril a 11 de maio - 30 dias 11 de maio a 18 de maio = 7 dias Total = 68 dias 3º) O mesmo cálculo utilizando a calculadora financeira HP-12C. Vamos incluir um ano qualquer, por exemplo, 2005, então teremos: Data Inicial: 11/03/2005 e Data Final: 18/05/2005 f 6 - acrescentando 6 casas decimais (após a vírgula) g [ D.MY ] - introduzindo a função data (Brasil) [ ENTER ] - entrando com a primeira data g [ DYS ] - entrando com a segunda data e calculando a variação 68, dias. 4º) Usando a tecla [ DATE ] na calculadora financeira HP-12C: Calcule a data de vencimento, de uma fatura com prazo de vencimento de 90 dias, cuja emissão ocorreu no dia 27/09/2004. f 6 - acrescentando 6 casas decimais g [ D.MY ] - introduzindo a função data [ ENTER ] - entrando com a primeira data 90 g [ DATE ] - entrando com a quantidade de dias e calculando a data de vencimento data do vencimento da fatura. Exemplos: 1) Uma prestação no valor de R$ ,00 venceu em 01/02/2003 sendo quitada em 15/03/2003, com a taxa de 48% ao ano. Determine os juros exato e comercial pagos nesta operação. 10

11 Dados: PV ou Capital = R$ ,00 i = 48% ao ano Vencimento da prestação: 01/02/2003 Data do pagamento: 15/03/2003 Juro Exato e Juro Comercial =? Cálculo do prazo de atraso em dias na calculadora financeira HP-12C: f 6 g [ D.MY ] [ ENTER ] g [ DYS ] 42 dias a) Juro Exato = x 0,48 x 42 = R$ 800, b) Juro Exato = x 0,48 x 42 = R$ 812, ) A que taxa mensal deve estar aplicada a quantia de R$ ,00 para que, em 3 meses e 10 dias, renda um juro de R$ ,00? Dados: PV ou Capital = R$ ,00 J = R$ ,00 n = 3 meses e 10 dias = 3 x = 100 dias i =? J = C.i.n = i i = i = 0,00167 ao dia Obs.: Como o exercício está pedindo a taxa mensal, devemos multiplicar o resultado por 30 dias: i = 0,00167 x 30 dias = 0,05 ao mês ou 5% ao mês 11

12 Unidade: Introdução a Matemática Financeira 3) A que taxa foi empregado o capital de R$ ,00, que, no prazo de 2 anos, rendeu R$ 8.400,00 de juro? Dados: PV ou Capital = R$ ,00 J = R$ 8.400,00 n = 2 anos i =? J = C.i.n = i i = i = 0,35 ao ano ou 35% a.a. Diagrama de Fluxo de Caixa Definimos fluxo de caixa como sendo a movimentação de recursos financeiros (entradas e saídas de caixa) ao longo de um período de tempo. Na verdade, estamos nos referindo à entrada e saída de dinheiro. É importante ressaltar que o conceito caixa (financeiro) não pode ser confundido com o conceito de competência (contábil). Utilizamos o fluxo de caixa para demonstrar graficamente as transações financeiras em um período de tempo. O tempo é representado por uma linha horizontal dividida pelo número de períodos relevantes para análise. As entradas ou recebimentos são representados por setas verticais apontadas para cima, e as saídas ou pagamentos são representados por setas verticais apontadas para baixo. Esquema gráfico simplificado: 12

13 Esquema gráfico detalhado: Lembrando... PV se refere ao Valor Presente ou Capital Inicial, que significa o valor que eu tenho na data focal 0 (zero). FV se refere ao Valor Futuro ou Montante, após juros, entradas e saídas, será igual ao valor que terei no final do fluxo. PMT se refere as Prestações ou Recebimentos e/ou Pagamentos, que significa as entradas e saídas durante o fluxo. Juros Compostos Juro composto é conhecido popularmente como juros sobre juros. Mas, na verdade, o correto é afirmar que os juros incidem em cada período financeiro, a partir do segundo, é calculado sobre o montante relativo ao período anterior. O regime de juros compostos é o mais comum no sistema financeiro e, portanto, o mais útil para cálculos de problemas do dia-a-dia. Os juros gerados a cada período são incorporados ao principal para o cálculo dos juros do período seguinte. Matematicamente, o cálculo a juros compostos é conhecido por cálculo exponencial de juros. Observe a demonstração a seguir do regime de capitalização composta para uma aplicação financeira de R$ 1.000,00 por um período de 3 meses a uma taxa de 10% ao mês. n Capital Aplicado 1 R$ 1.000,00 2 R$ 1.100,00 3 R$ 1.200,00 Juros de cada período R$ 1.000,00 x 10% = R$ 100,00 R$ 1.100,00 x 10% = R$ 110,00 R$ 1.210,00 x 10% = R$ 121,00 Valor acumulado (Montante) R$ 1.000,00 + R$ 100,00 = R$ 1.100,00 R$ 1.100,00 + R$ 110,00 = R$ 1.210,00 R$ 1.210,00 + R$ 121,00 = R$ 1.331,00 13

14 Unidade: Introdução a Matemática Financeira Diagrama de Fluxo de Caixa para o Regime de Capitalização Composta Cálculo do Montante ou Valor Futuro (FV) A tabela acima permite concluir que o montante no regime de juro composto é maior que no regime de juro simples (a partir do segundo período). Para encontrarmos o montante (M) ou valor futuro (FV) de uma operação comercial ou financeira, vamos considerar um capital (C) ou valor presente (PV), uma taxa (i) e calculemos o montante (M) ou valor futuro (FV) obtido a juros compostos, após (n) períodos de tempo. Valor futuro após período 1: FV 1 = PV + PV x i = PV. (1 + i) Valor futuro após período 2: FV 2 = FV 1 + FV 1 x i = PV.(1 + i).(1 + i) = PV.(1 + i) 2 Valor futuro após período 3: FV 3 = FV 2 + FV 2 x i = FV 2.(1 + i) = PV.(1 + i) 2.(1 + i) = PV.(1 + i)3 Valor futuro após período n: Para um período n é possível perceber que: FV n = PV.(1 + i) n Assim teremos: FV = PV.(1 + i) n ou M = C.(1 + i) n Observação: Nas calculadoras financeiras é possível calcular diretamente uma das variáveis da fórmula FV = PV.(1 + i) n, para tanto é preciso que sejam conhecidas três das variáveis para que seja calculada a quarta variável. Na calculadora financeira HP-12C, por exemplo, temos as seguintes teclas para cálculo de juros compostos: representa o capital (do inglês Present Value) representa o montante (do inglês Future Value) representa taxa (do inglês interest) representa o número de períodos 14

15 Exemplo: Calcular o montante de um capital de R$ 5.000,00, aplicado à taxa de 4% ao mês, durante 5 meses. Dados: FV =? PV = R$ 5.000,00 i = 4% ao mês n = 5 meses Fórmula FV = PV.(1 + i)n FV = (1 + 4%)5 FV = (1 + 0,04)5 FV = (1,04)5 FV = (1, ) FV = R$ 6.083,26 Solução 2: Utilizando a calculadora HP-12C: f REG limpa registros CHS PV valor do capital (negativo) 4 i valor da taxa 5 n períodos FV Aparecerá no visor o valor de: R$ Operações com Taxas Em alguns tipos de operação financeira costuma-se expressar a taxa de juro em termos anuais. No entanto, essas mesmas operações são, às vezes, realizadas em períodos de capitalização mensal, bimestral, semestral, etc. Desse fato, decorrem situações em que a taxa de juro é expressa em um período de capitalização não coincidente com o período de tempo ao qual a taxa se refere. Nesses casos, faz-se necessária a distinção entre taxa nominal e taxa efetiva. A Taxa nominal é expressa numa unidade de tempo que não coincide com o período de tempo nos quais os juros são capitalizados. Exemplos: a) 6% ao ano, com capitalização mensal. b) 2,7% ao mês, com capitalização diária. 15

16 Unidade: Introdução a Matemática Financeira A taxa nominal é usada no mercado financeiro com relativa freqüência, principalmente no exterior. Entretanto, não é usada em cálculos financeiros, pois o que de fato interessa é como os juros são efetivamente capitalizados. A Taxa efetiva é aquela que, como o próprio nome já diz, efetivamente verifica uma operação financeira, tem seu foco direcionado para medir o ganho efetivo de uma determinada aplicação. Na verdade, entendemos que as taxas são maiores ou menores dependendo do tempo e principalmente do risco em que são negociadas. Vamos observar a seguinte tabela de taxas e sua relação com o risco. Taxa ao mês Investimento ou Empréstimo 0,5% Poupança 6% Parente 14% Bolsa de Valores 50% Agiota 11% Cartão de Crédito 2% Banco Observações: Por ser um investimento dos mais seguros, oferece o menor risco e, conseqüentemente, uma menor taxa. Emprestar dinheiro a um parente representa um risco maior para receber recursos. O risco é muito alto, pois o mercado financeiro sofre ataques especulativos que podem aumentar ou diminuir a remuneração. Pedir dinheiro ao um agiota é uma opção para quem não possui dinheiro, o que, normalmente, é um mal negócio, além de ser uma operação considerada ilegal. Para as empresas Administradoras de Cartões de Crédito o consumidor oferece um risco alto, por isso, é um mal negócio pegar dinheiro emprestado ou parcelar as faturas do cartão. Nos Bancos as taxas para empréstimos devem ser negociadas e, somente, serão mais atrativas se o cliente oferecer garantias reais (carro, imóveis, promissórias, etc). Na verdade, costuma-se dizer que a melhor aplicação para quem se encontra em situação de devedor será sempre quitar suas dívidas. Taxas Equivalentes Duas taxas são consideradas equivalentes, a juros compostos, quando aplicadas a um mesmo capital (PV), por um período de tempo equivalente e geram o mesmo rendimento. No sistema de capitalização composta, ao contrário do que acontece no sistema de capitalização simples, duas taxas equivalentes não são necessariamente proporcionais entre si. Daí a necessidade de obtermos uma relação que nos permita calcular a taxa equivalente, num certo período de tempo, a uma dada taxa de juro composto. 16

17 Sejam: i a = taxa anual de juro composto i m = taxa mensal de juro composto M 1 e M 2 = Montante ou Valor Futuro Então, se i a equivalente a i m, pela definição de taxas equivalentes, temos: { M 1 = C.(1 + i a ) 1 M 2 = C.(1 + i m ) 12 M 1 = M 2 igualando os montantes; C.(1 + i a ) 1 = C.(1 + i m ) 12 cancelando os capitais; (1 + i a ) 1 = (1 + i m ) 12 i a equivalente a i m. Analogamente, podemos estabelecer as seguintes relações: (1 + i d ) 360 = (1 + i m ) 12 = (1 + i b ) 6 = (1 + i t ) 4 = (1 + i s ) 2 = (1 + i a ) 1 i d = taxa diária de juro composto i m = taxa mensal de juro composto i b = taxa bimestral de juro composto i t = taxa trimestral de juro composto i s = taxa semestral de juro composto i a = taxa anual de juro composto Exemplos: 1) Encontrar a taxa anual de juro composto, equivalente a 10% ao semestre. Dados: i s (taxa semestral) = 10% ou 0,10 a.s. i a (taxa anual) =? Resposta: 0,21 aa ou 21% aa. 17

18 Unidade: Introdução a Matemática Financeira 2) O Sr.Carlos solicitou empréstimo num certo Banco e foi informado que a taxa anual de juros seria de 30% ao ano. Qual seria a taxa mensal equivalente desse juros? Dados: i a (taxa anual) = 30% ou 0,30 a.a. i m (taxa mensal) =? Resposta: A taxa mensal equivalente seria de 2,21% ao mês. Outra Fórmula para Cálculo de Taxas Equivalentes em Juros Compostos Esta fórmula é baseada no modo análogo apresentado anteriormente sobre equivalência de taxas de juros: Fórmula para cálculo de taxas equivalentes: Onde: i(eq) ic QQ QT = Taxa Equivalente; = Taxa Conhecida; = Quanto eu Quero; = Quanto eu Tenho. 18

19 Exemplos: 1) Encontrar a taxa anual de juro composto, equivalente a 10% ao semestre. Dados: i eq =? i c = 10% ou 0,1 QQ = 360 dias (período anual, transformado em dias) QT = 180 dias (período semestral, transformado em dias) Na Fórmula Resposta: 0,21 aa ou 21% aa. 2) O Sr.Carlos solicitou empréstimo num certo Banco e foi informado que a taxa anual de juros seria de 30% ao ano. Qual seria a taxa mensal equivalente desse juros? Dados: i eq =? i c = 30% ou 0,3 QQ = 30 dias (período mensal, transformado em dias) QT = 360 dias (período anual, transformado em dias) 19

20 Unidade: Introdução a Matemática Financeira Na Fórmula Resposta: A taxa mensal equivalente seria de 2,21% ao mês. Programa para Cálculo da Taxa Equivalente pela Calculadora Financeira HP-12C O professor Carlos Shimoda, em seu livro de matemática financeira para usuários do Excel, 2ª edição, publicado pela editora Atlas/SP em 1998, p.48, apresenta um programa para calcular a taxa equivalente através da calculadora HP-12C. 20

21 Siga os procedimentos abaixo para introduzir o programa na HP-12C: Obs: Mesmo após desligarmos a calculadora o programa continuará instalado. Somente será removido se seguirmos os passos de Limpeza de Programa, ou seja, para limpar o programa pressione as teclas f e PRGM. Após seguir todos os passos, testaremos a calculadora usando os exemplos anteriores: 21

22 Unidade: Introdução a Matemática Financeira Exemplos: 1) Encontrar a taxa anual de juro composto, equivalente a 10% ao semestre. Dados: i s (taxa sem) = 10% ou 0,10 a.s. i a (taxa anual) =? 180 dias (período semestral, transformado em dias) 360 dias (período anual, transformado em dias) 2) O Sr.Carlos solicitou empréstimo num certo Banco e foi informado que a taxa anual de juros seria de 30% ao ano. Qual seria a taxa mensal equivalente desse juros? Dados: i a (taxa anual) = 30% ou 0,30 a.a. i m (taxa mensal) =? 360 dias (período anual, transformado em dias) 30 dias (período mensal, transformado em dias) 22

23 Taxa Acumulada de Juros com Taxas Variáveis É utilizada em situações de correções de contratos como, por exemplo, atualização de aluguéis, saldo devedor da casa própria e contratos em geral. Matematicamente, o fator de acumulação de uma taxa positiva pode ser representado por (1 + i) e a taxa negativa por (1 i). Assim, teremos a seguinte fórmula genérica: i ac = [ (1 + i 1 ) x (1 + i 2 ) x (1 + i 3 ) x... x (1 + i n ) 1 ] x 100 Exemplos: 1) Calcular a taxa acumula de juros à seguinte seqüência de taxas: 4%, 2%, 1,5%, 3,5% e 0,8%. Na Fórmula Resposta: A taxa acumulada de juros é de 7,28% ao período. 23

24 Unidade: Introdução a Matemática Financeira Taxa Média de Juros Tem como base teórica o conceito estatístico da média geométrica. Na verdade, devemos em primeiro lugar calcular a taxa acumulada e, em seguida, a taxa média. i média = { [ (1 + i 1 ) x (1 + i 2 ) x (1 + i 3 ) x... x (1 + i n ) ] 1/n 1 } x 100 Obs: n é o número de taxas analisadas. Exemplos: 1) Calcular a taxa média de juros à seguinte seqüência de taxas: 4%, 2%, 1,5%, 3,5% e 0,8%. Na Fórmula 24 Resposta: A taxa média de juros é de 1,42% ao mês.

25 Descontos A operação desconto pode ser descrita como o custo financeiro do dinheiro pago em função da antecipação de recurso, ou seja, em outras palavras, podemos dizer que desconto é o abatimento feito no valor nominal de uma dívida, quando ela é negociada antes do seu vencimento. Podemos classificar os tipos de descontos como Simples (método linear) e Composto (método exponencial). Vamos resumir a operação de desconto através do seguinte esquema: Desconto Racional Simples ou Por Dentro No Brasil, o desconto racional simples não é muito praticado, por um motivo muito simples: esta modalidade é desfavorável para aquele que possui os recursos financeiros e terá de conceder um desconto em função de uma negociação. Esta modalidade será sempre mais interessante para quem solicita o desconto, mas como na maioria dos casos quem tem a posse dos recursos financeiros normalmente determina a metodologia de cálculo da operação, portanto, torna-se uma prática pouco usada. Porém, é importante conhecer esta metodologia para poder compará-la com as demais. Para entendê-la melhor, vamos aplicar as seguintes fórmulas: Onde: DRS = Desconto Racional Simples Valor Nominal (VN): é também chamado de valor de face, é o valor do título apontado na data do vencimento. Valor Líquido (VL): é o valor que foi negociado antes do vencimento ou simplesmente o valor recebido após a operação de desconto. O valor líquido (VL) também pode ser encontrado através da seguinte fórmula: Onde: id = Taxa de Desconto nd = Prazo de Desconto 25

26 Unidade: Introdução a Matemática Financeira O Desconto Racional (DR) pode também ser encontrado diretamente pela seguinte fórmula: Exemplo: Um título de valor nominal de R$ ,00 é descontado 2 meses antes do seu vencimento, à taxa de juros simples de 2,5% ao mês. Qual o desconto racional? Dados: VN = R$ ,00 nd = 2 meses id = 2,5% ao mês ou 0,025 ao mês DRS =? 1º) Resolução: Algébrica DRS = x 0,025 x 2 (1 + 0,025 x 2) DRS = ,05 DRS = R$ 1.190,48 VL = ,48 VL = ,52 2º) Resolução: Calculadora Financeira HP 12C 26

27 Desconto Bancário ou Comercial ou Por Fora Podemos definir o Desconto Bancário (DBS), ou Desconto Comercial (DCS), ou simplesmente desconto por fora, como o valor obtido pelo cálculo do juro simples sobre o valor nominal de um determinado compromisso antes do seu vencimento. Esta modalidade de desconto é muito usada nas operações comerciais e principalmente nas operações bancárias, tendo em vista que para as instituições financeiras este tipo de operação é muito mais interessante do ponto de vista financeiro que a operação de Desconto Racional Simples. Vamos expressar esta situação através da seguinte fórmula: Onde: DBS = Desconto Bancário Simples VN = Valor Nominal id = Taxa de Desconto nd = Prazo de Desconto VL = Valor Líquido Obs.: Na verdade, a fórmula DBS = VN x id x nd, tem sua origem na fórmula do juros simples, J = PV x i x n. Exemplo: Um título de valor nominal de R$ ,00 é descontado 2 meses antes do seu vencimento, à taxa de juros simples de 2,5% ao mês. Qual o desconto bancário? Dados: VN = R$ ,00 nd = 2 meses id = 2,5% ao mês ou 0,025 ao mês DBS =? 1º) Resolução: Algébrica DBS = x 0,025 x 2 DBS = 1250 DBS = R$ 1.250,00 VL = ,00 VL = ,00 27

28 Unidade: Introdução a Matemática Financeira 2º) Resolução: Calculadora Financeira HP 12C Desconto Racional Composto O Desconto composto é aquele em que a taxa de desconto incide sobre o montante (M), valor futuro (VF) ou valor nominal (VN). Considere um título de valor nominal (VN), com vencimento em um período (n), e um valor líquido (VL) que produz um Valor Futuro (VF) igual a VN quando aplicado por (n) períodos a uma taxa de desconto composto (id) por período. Vamos verificar: Vimos nos itens anteriores que, conceitualmente, o Desconto (D) é igual ao valor nominal (VN) menos o valor líquido (VL), ou seja, D = VN VL. Este mesmo conceito também será aplicado a todas as metodologias de cálculos do desconto composto. Onde: DRC = Desconto Racional Composto VN = Valor Nominal id = Taxa de Desconto nd = Prazo de Desconto VL = Valor Líquido 28 Exemplo: Determinar o desconto racional composto de um título de valor nominal de R$ 5.000,00, considerando uma taxa de juros compostos de 3,5% ao mês, sendo descontado 3 meses antes do seu vencimento. Dados: VN = R$ 5.000,00 nd = 3 meses id = 3,5% ao mês ou 0,035 ao mês DRC =? VL =?

29 1º) Resolução: Algébrica VL = (1 + 0,035)³ VL = (1,035)³ VL = ,10872 VL = R$ 4.509,71 DRC = 5.000, ,71 DRC = R$ 490,29 2º) Resolução: Calculadora Financeira HP 12C Desconto Composto (Bancário ou Comercial) A partir do valor nominal, poderemos determinar o valor líquido, com base no conceito do cálculo por fora. Onde: DBC = Desconto Bancário Composto VN = Valor Nominal id = Taxa de Desconto nd = Prazo de Desconto VL = Valor Líquido Exemplo: Determinar o desconto composto bancário de um título de valor nominal de R$ 5.000,00, considerando uma taxa de juros compostos de 3,5% ao mês, sendo descontado 3 meses antes do seu vencimento. 29

30 Unidade: Introdução a Matemática Financeira Dados: VN = R$ 5.000,00 nd = 3 meses id = 3,5% ao mês ou 0,035 ao mês DBC =? VL =? 1º) Resolução: Algébrica VL = (1-0,035)³ VL = (0,965)³ VL = , VL = R$ 4.493,16 DBC = 5.000, ,16 DBC = R$ 506,84 2º) Resolução: Calculadora Financeira HP 12C Séries de Pagamentos ou Rendas Chamamos de rendas ou séries de pagamentos os capitais que dispomos periodicamente para algum fim. Pagar uma prestação, aplicar na poupança ou fazer algum investimento são os exemplos mais comuns de rendas. 30

31 Classificação: Termos da renda: sucessão de depósitos ou de prestações. Período da renda: intervalo de tempo que decorre entre os vencimentos de dois termos consecutivos. Rendas certas ou anuidades: ocorrem quando o número de termos, seus vencimentos e seus respectivos valores podem ser prefixados (você conhece as parcelas). Exemplo: Compra de bens a prazo. Rendas aleatórias: ocorrem quando pelo menos um dos elementos não pode ser previamente determinado. Exemplo: Pagamento de um seguro de vida (o número de termos é indeterminado). Quanto à data do vencimento do primeiro termo, uma renda uniforme pode ser: Imediata ou Postecipada: ocorre quando o vencimento do primeiro termo se dá no fim do primeiro período a contar da data zero, isto é, da data da assinatura do contrato. Assim, o vencimento do último termo ocorre no fim do período n. Exemplo: Compra de um bem a prazo, em prestações mensais, pagando a primeira prestação um mês após a assinatura do contrato. (30/60/90...) Antecipada: ocorre quando o vencimento do primeiro termo se dá na data zero. O vencimento do último termo ocorre no início do período n. Exemplo: Depósito mensal de uma mesma quantia em caderneta de poupança, durante um prazo determinado. (0/30/60/...) Diferida: ocorre quando o vencimento do primeiro termo se dá no fim de um determinado número de períodos, a contar da data zero. O vencimento do último termo ocorre no fim de c + n períodos. Exemplo: compra de um bem a prazo, em prestações mensais, pagando a primeira prestação no fim de um determinado número de meses. Observação: A série uniforme é a série de pagamentos mais comum na prática. Resumindo, as séries de pagamentos uniformes podem ser: IMEDIATA ou POSTECIPADA (Sem Entrada, 0 + n, END), ANTECIPADA (Com Entrada, 1 + n, BEGIN) ou DIFERIDA (Com Carência, c + n). 31

32 Unidade: Introdução a Matemática Financeira Teclas 1 e Funções Financeiras na Calculadora HP12C, que utilizaremos nos próximos exemplos: OBS: Para efetuarmos cálculos de uma prestação ou financiamento com entrada na HP-12C, será necessário introduzir no display da calculadora a função BEGIN, que é facilmente obtida através da sequência de teclas g [BEG], ou seja, BEGIN = pagamento no início do período. Renda Imediata ou Postecipada (SEM ENTRADA 0/30/60/... FUNÇÃO END NA HP-12C) 1 As termologias (teclas na HP-12-C) usadas acima vêm do inglês: i Interest que significa Taxa ou Juro; PV Present Value que significa Valor Presente ou Capital Inicial; FV Future Value que significa Valor Futuro ou Montante; n Number que significa Número de Períodos; CHS Change Sign que significa Mudar o Sinal servindo para introduzir ou tirar um sinal negativo de um número; PMT Payment que significa Pagamento ou Recebimento; END que significa Fim servindo para cálculos de séries de pagamentos Postecipados ( 0 + n ) e BEG Begin que significa Começar servindo para cálculos de séries de pagamentos Antecipados ( 1 + n ). 32

33 Algumas fórmulas para o cálculo algébrico: Exemplo 1: Um automóvel custa à vista o valor de R$ ,00 (PV), e pode ser financiado em 72 (n) parcelas mensais iguais, sem entrada, com a taxa de 2,1% (i) ao mês. Determinar o valor das prestações (PMT). Dados: Renda Imediata ou Postecipada (END): sem entrada PV = R$ ,00 n = 72 meses i = 2,1% ao mês ou 0,021 ao mês PMT =? 33

34 Unidade: Introdução a Matemática Financeira 1º) Resolução: Calculadora Financeira HP 12C f [REG] CHS PV entrando com o valor à vista do carro negativo 72 n entrando com o prazo de financiamento 2,1 i entrando com a taxa de financiamento PMT calculando o montante final (depósitos + juros) R$ 1.233,94 2º) Resolução: Algébrica (Fórmula) Exemplo 2: Uma pessoa deposita em uma financeira, no fim de cada mês, durante 5 (n) meses, a quantia de R$ 100,00 (PMT). Calcule o montante (FV) da renda, sabendo que essa financeira paga juros compostos de 2% (i) ao mês, capitalizados mensalmente. Dados: Renda Imediata (END): no fim de cada mês PMT = R$ 100,00 n = 5 meses i = 2% ao mês ou 0,02 ao mês FV =? 34

35 1º) Resolução: Calculadora Financeira HP 12C f [REG] 100 CHS PMT entrando com o valor da quantia mensal negativo 5 n prazo da aplicação 2 i taxa da aplicação FV calculando o montante final (depósitos + juros) R$ 520,40 2º) Resolução: Algébrica (Fórmula) Renda Antecipada (Com Entrada) As séries uniformes de pagamentos antecipadas são aquelas em que o primeiro pagamento ocorre na data focal 0 (zero). Este tipo de sistema de pagamento é também chamado de sistema de pagamento com entrada (1+ n), ou seja, a renda antecipada ocorre quando o vencimento do primeiro termo se dá na data zero e o vencimento do último termo ocorre no início do período n. Esquemas de Fluxo de Caixa: a) Do ponto de vista de quem vai receber os pagamentos: Onde: PMT = pagamentos ou prestação 35

36 Unidade: Introdução a Matemática Financeira b) Do ponto de vista de quem vai fazer os pagamentos: Onde: PMT = pagamentos ou prestação Algumas fórmulas (cálculo algébrico): Exemplo 3: Um automóvel que custa à vista R$ ,00 (PV) pode ser financiado em 36 (n) pagamentos iguais; com o primeiro pagamento no ato da compra, sabendo-se que a taxa de financiamento é de 1,99% (i) ao mês, calcule o valor da prestação mensal deste financiamento (PMT). Dados: Renda Imediata (BEGIN): com o primeiro pagamento no ato da compra PV = R$ ,00 n = 36 meses i = 1,99% ao mês ou 0,0199 ao mês PMT =? 1º) Resolução: Calculadora Financeira HP 12C f [REG] g 7 [BEGIN] cálculo de prestações com entrada CHS PMT entrando com o valor da quantia mensal negativo 36 n 1,99 i PMT calculando o valor da parcela R$ 683,62 36

37 2º) Resolução: Algébrica (Fórmula) Renda Diferida ou Série Uniforme de Pagamentos Diferida (Com Prazo de Carência) São aquelas em que os períodos ou intervalos de tempo entre as prestações (PMT) ocorrem pelo menos a partir do 2º período, ou seja, se considerarmos um período qualquer como sendo (n), o período seguinte será (n+1), o próximo será (n+2) e assim sucessivamente. Podemos dizer também que são aquelas em que o primeiro termo é exigível a partir de certo período de carência. Observe o diagrama de fluxo de caixa. Algumas fórmulas (cálculo algébrico): 37

38 Unidade: Introdução a Matemática Financeira Exemplo 4: Uma mercadoria encontra-se em promoção e é comercializada em 5 (n) prestações iguais de R$ 150,00 (PMT); a loja está oferecendo ainda uma carência de 3 (c) meses para o primeiro pagamento. Determine o valor à vista (PV) desta mercadoria, sabendo-se que a taxa de juros praticada pela loja é de 3% (i) ao mês. Dados: Renda Diferida (BEGIN): a loja está oferecendo ainda uma carência PMT = 150,00 n = 5 meses c = 3 meses 3 meses usar o modo [BEGIN] na HP12C i = 3% ao mês PV =? 3 1 = 2 meses usar o modo [END] na HP12C 1º) Resolução: Calculadora Financeira HP 12C MODO [BEGIN] UTILIZANDO CARÊNCIA = 3 MESES : f [REG] - Limpar Registros g 7 BEGIN - Série de Pagamento Antecipada 150 PMT - Entrando com o Valor da Parcela 5 n - Prazo 3 i - Juros P V 707,56-1º Valor Presente da Mercadoria CHS FV - 1º Valor da Mercadoria Vira Valor Futuro 0 PMT - Valor da Parcela da Carência 3 n - Período de Carência para o Modo [BEGIN] PV 647,52 - Valor à Vista da Mercadoria MODO [END] UTILIZANDO CARÊNCIA 3 MESES 1 MÊS = 2 MESES: f [REG] - Limpar Registros g 8 END - Série de Pagamento Postecipada 150 PMT - Entrando com o Valor da Parcela 5 n - Prazo 3 i - Juros P V 686,96-1º Valor Presente da Mercadoria CHS FV - 1º Valor da Mercadoria Vira Valor Futuro 0 PMT - Valor da Parcela da Carência 2 n - Período de Carência para o Modo [END] PV 647,52 - Valor à Vista da Mercadoria 38

39 2º) Resolução: Algébrica (Fórmula) 39

40 Unidade: Introdução a Matemática Financeira Material Complementar BRANCO, A.C.C., Matemática Financeira Aplicada: Método Algébrico, HP- 12C, Microsoft Excel. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, VERAS, L.L., Matemática Financeira: Uso de Calculadoras Financeiras Aplicações ao Mercado Financeiro. 4. ed. São Paulo: Atlas,

41 Referências GIMENEZ, C.M., Matemática Financeira com HP12C e Excel, São Paulo, PEARSON, SAMANEZ, C.P., Matemática Financeira, 4ª Edição, São Paulo, PEARSON, SCIPIONE, J.T., Matemática Financeira, São Paulo, PEARSON,

42 Unidade: Introdução a Matemática Financeira Anotações 42

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