Vamos começar a última parte de nosso curso: Matemática Financeira.

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1 Aula 14 - Questões Comentadas e Resolvidas Juros Simples. Montante e juros. Descontos Simples. Equivalência Simples de Capital. Taxa real e taxa efetiva. Taxas equivalentes. Capitais equivalentes. Descontos: Desconto racional simples e desconto comercial simples. Vamos começar a última parte de nosso curso: Matemática Financeira. (Analista de Correios-Contador-Correios-2011-Cespe) Uma promissória no valor de R$ ,00, com vencimento em dois meses, foi descontada em um banco que pratica a taxa de desconto simples por fora de 10% ao mês. 1. Como o detentor da promissória deveria pagar R$ ,00 ao final dos dois meses, é correto afirmar que o banco cobrou do cliente uma taxa de juros compostos mensais superior a 11,5%. A banca foi específica: Juros Simples Vamos aos conceitos: Juros Simples: no regime de capitalização por juros simples a remuneração recebida incide somente sobre o capital inicial aplicado (C). C = capital inicial aplicado (principal) i = taxa de juros t = tempo de aplicação J = juros simples recebidos = valor ganho com a aplicação M = montante = valor resgatado ao final do período de aplicação do capital C, ou seja, é o valor do capital inicial aplicado (C) somado aos juros recebidos (J). J = C. i. t M = C + J = C + C. i. t = C.(1 + i. t) Descontos Simples: Primeiramente, precisamos entender o que é um desconto. Desconto é a diferença entre o valor nominal (valor do título) e o valor atual (valor de resgate do título), ou seja, são os juros pagos em virtude de não ter respeitado o prazo de resgate de determinado título. 1

2 Outros conceitos importantes: Valor Nominal ou Valor de Face ou Valor Futuro ou Valor do Título (N): valor do título na data do vencimento. Valor Atual ou Valor Descontado ou Valor do Resgate ou Valor Presente ou Valor Resgatado (A D ): valor do título na data do resgate. Desconto Comercial ou por Fora (D c ): O desconto comercial ou por fora corresponde aos juros calculados sobre o valor nominal. D c = N. i D. t = N A D A D = N D c = N N.i D. t = N. (1 i D. t) Onde, D c = desconto comercial i D = taxa de desconto comercial (juros simples) t = período restante até o vencimento do título N = valor nominal A D = valor atual - Quanto maior o prazo entre a data do vencimento do título e a data do resgate, menor será o valor atual do referido título (maior o desconto). - Quanto menor o prazo entre a data do vencimento do título e a data do resgate, maior será o valor atual do referido título (menor o desconto). Exemplo: Suponha que um cheque de valor nominal R$ 120,00, com prazo de dois meses, foi descontado comercialmente em uma instituição financeira, com taxa mensal simples de 10%. Qual o valor do cheque hoje? Valor Nominal (N) = Taxa de Desconto Comercial (i D ) = 10% ao mês = 100 Período (t) = 2 meses A D = N. (1 i D. t) = 120 x (1 0,10 x 2) = 120 x 0,80 = 96 = 0,10 ao mês Taxa efetiva ou Taxa Implícita da Operação (i ef ): corresponde à taxa que deve ser aplicada ao valor atual para obter o valor nominal. i ef > i D N = A D. (1 + i ef. t) No exemplo anterior, teríamos: 120 = 96.(1 + i ef x 2) 1 + i ef x 2 = x i ef = 1,25 i ef = 12,5% ao mês. 2

3 Desconto Racional, Matemático ou por Dentro (D r ): O desconto racional, matemático ou por dentro é o desconto que determina um valor atual (A d ) que, corrigido nas condições de mercado, resulta em um montante igual ao valor nominal. Portanto, a taxa de desconto racional será igual à taxa efetiva de desconto. D r = N - A d N N = A d.(1 + i d. t) A d = (1 +i. t ) d N D r = N - (1 + i. t ) d = N.(1 + id. t) N (1 + i. t) d D r = D r = N+ N. id. t N (1 + id. t) N. id. t (1 +i. t) d ou D r = N A d = A d.(1 + i d. t) - A d = A d + A d. i d. t A d = A d. i d. t No caso do desconto racional ou por dentro, a taxa de desconto é igual a taxa efetiva i d = i ef Exemplo: Suponha que um cheque de valor nominal R$ 120,00, com prazo de dois meses, foi descontado racionalmente em uma instituição financeira, com taxa mensal simples de 10%. Qual o valor do cheque hoje? Valor Nominal (N) = 120 Taxa de Desconto Comercial (i D ) = 10% ao mês = 10/100 = 0,10 ao mês Período (t) = 2 meses N = A d. (1 + i d. t) 120 = A d x (1 + 0,10 x 2) A d = 120 1, 2 = 100 Atenção! Nas mesmas condições: Desconto Comercial > Desconto Racional 3

4 Relação entre o Desconto Comercial e o Desconto Racional: D (Desconto Comercial) > D r (desconto racional) D c = N. i. t D r = N. i. t (1 +i. t) D D r = c (1 + i. t ) D c = D r.(1 + i. t) D D c r = (1 + i. t) Exemplo: O quociente entre os descontos comercial e racional é de 1,10, nas mesmas condições de aplicação. Qual será o prazo de antecipação se a taxa de juros simples for de 5% ao mês? Taxa de Juros Simples (i) = 5% ao mês = 5/100 = 0,05 ao mês Dc D c = 1,10 x D r D r 1 + 0,05 x t = 1,10 0,05 x t = 0,10 0,10 t = 0,05 t = 2 meses = (1 + i. t) = 1,10 Nota: A fórmula abaixo, para cálculo do valor nominal a partir dos descontos comercial e racional, também pode ser útil na hora da prova: D c = N. i. t i. t = D r = N. i. t (1 + i. t) (II) D c N (I) 4

5 Substituindo (I) em (II): D r = D r = Dc N. N Dc (1 + ) N Dc Dc (1 + ) N D c D r. (1 + N ) = D c D D r + D r. c N = D c D D r. c N = D c D r N. (D c D r ) = D c. D r Dc. Dr N (Valor Nominal) = D D c r Exemplo: Determinado título foi descontado 4 meses antes do seu vencimento, considerando uma determinada taxa de juros simples. Caso fosse utilizado o desconto comercial, o valor a ser descontado seria de R$ 100,00. Caso fosse utilizado o desconto racional, o valor a ser descontado seria de R$ 80,00. Calcule o valor nominal do título. Repare que aqui você poderia ficar em dúvida, pois não foi fornecida a taxa de juros e nem o valor atual. Mas, não há necessidade. Vejamos: Desconto Comercial (D c ) = R$ 100,00 Desconto Racional (D r ) = R$ 80,00 N (Valor Nominal) = Vamos à resolução do item. Dc. Dr = = = 400 D D c r Promissória de Valor Nominal (N) = R$ ,00 Vencimento em dois meses = Período (t) = 2 meses Descontada em um banco Taxa de desconto simples por fora (i d ) = 10% ao mês (repare que a banca 10 especificou que o desconto é por fora) = = 0,10 ao mês

6 Vamos, inicialmente, calcular o valor recebido pelo cliente do banco ao descontar a promissória (desconto por fora). D c = N. i D. t = N A D A D = N D c = N N.i D. t = N. (1 i D. t) Onde, D c = desconto comercial i D = taxa de desconto comercial (juros simples) t = período restante até o vencimento do título N = valor nominal A D = valor atual A D = N. (1 i D. t) A D = x (1 0,10 x 2) A D = x (1 0,20) A D = x 0,80 A D = Repare que, implicitamente, o item quer que calculemos a taxa de juros efetiva da operação. Lembre que no desconto comercial a taxa de desconto comercial é diferente da taxa efetiva. Para calcular a taxa efetiva temos que verificar os juros necessários para, partindo do valor atual de R$ ,00 chegar ao valor nominal de R$ ,00 em dois meses. Logo, teríamos os seguintes dados: Valor Nominal (N) = R$ ,00 Valor Atual (A) = R$ ,00 Período (t) = 2 meses Taxa de Juros Simples Mensal = i% ao mês Adotando a fórmula geral dos juros simples: N = A x (1 + i.n) = x (1 + i. 2) i = i = 1,25 2. i = 1, i = 0,25 0, 25 i = 2 i = 0,125 = 12,5% ao mês > 11,5% ao mês GABARITO: Certo 6

7 2. O detentor da promissória recebeu do banco menos de R$ 9.980,00. Calculamos, no item anterior, que o valor recebido (valor atual) pela promissória descontada no banco foi de R$ ,00, que é maior que R$ 9.980,00. GABARITO: Errado 3.(Contador Junior-Auditoria Interna-Transpetro-2011-Cesgranrio) Um aplicador realizou um investimento cujo valor de resgate é de R$ ,00. Sabendo-se que a taxa de juros simples é de 3,5% ao mês e que faltam 5 meses para o resgate, o valor da aplicação, em reais, foi de (A) ,10 (B) ,00 (C) ,00 (D) ,12 (E) ,98 Juros Simples: no regime de capitalização por juros simples a remuneração recebida incide somente sobre o capital inicial aplicado (C). C = capital inicial aplicado (principal) i = taxa de juros t = tempo de aplicação J = juros simples recebidos = valor ganho com a aplicação M = montante = valor resgatado ao final do período de aplicação do capital C, ou seja, é o valor do capital inicial aplicado (C) somado aos juros recebidos (J). J = C. i. t M = C + J = C + C. i. t = C.(1 + i. t) Montante (M) = R$ ,00 Período (n) = 5 meses Taxa de juros simples (i) = 3,5% ao mês = 0,035 ao mês M = C x (1 + i.n) = C x (1 + 0,035 x 5) = C x (1 + 0,175) = C x 1,175 C = ,175 C = R$ ,10 GABARITO: A 7

8 4.(Contador Junior-Auditoria Interna-Transpetro-2011-Cesgranrio) Uma empresa obteve um desconto de uma duplicata no valor de R$ ,00 no Banco Novidade S/A, com as seguintes condições: Prazo do título 2 meses Taxa de desconto simples cobrada pelo banco 2,5% ao mês Considerando-se exclusivamente as informações acima, o valor creditado na conta corrente da empresa, em reais, foi de (A) ,00 (B) ,00 (C) ,00 (D) ,00 (E) ,00 Juros Simples No regime de capitalização por juros simples a remuneração recebida incide somente sobre o capital inicial aplicado (C). C = capital inicial aplicado (principal) i = taxa de juros t = tempo de aplicação J = juros simples recebidos = valor ganho com a aplicação M = montante = valor resgatado ao final do período de aplicação do capital C, ou seja, é o valor do capital inicial aplicado (C) somado aos juros recebidos (J). J = C. i. t M = C + J = C + C. i. t = C.(1 + i. t) Repare que a questão não especificou se o desconto era por fora ou por dentro. Como nada foi dito, deve ser utilizado o desconto por fora, que é normalmente utilizado no desconto de duplicatas e notas promissórias. Desconto Comercial ou por Fora (utilizado no desconto de duplicatas): O desconto comercial ou por fora corresponde aos juros calculados sobre o valor nominal. D c = N. i D. t = N A D A D = N D c = N N.i D. t = N. (1 i D. t) Onde, D c = desconto comercial i D = taxa de desconto comercial (juros simples) t = período restante até o vencimento do título N = valor nominal A D = valor atual 8

9 Vamos resolver a questão: Desconto de três duplicatas = Valor Nominal (N) = R$ ,00 Prazo (t) = 2 meses Taxa de Desconto Simples (i) = 2,5% ao mês = 0,025 ao mês A D = N. (1 i. t) A D = x (1 0,025 x 2) A D = x (1 0,05) A D = x 0,95 A D = R$ ,00 GABARITO: C 5.(Analista-Contabilidade-Finep-2011-Cesgranrio) Uma aplicação de R$ ,00 resultou, em quatro meses, no montante de R$ ,92. A taxa mensal de juros simples que permitiu esse resultado foi (A) 4,14% (B) 3,20% (C) 3,18% (D) 3,10% (E) 2,88% Aplicação (A) = R$ ,00 Montante (M) = R$ ,92 Período (n) = 4 meses Taxa de juros simples = i M = A x (1 + i.n) ,92 = x (1 + i.4) , i = i = 1,128 4.i = 1, i = 0,128 0,128 i = 4 i = 0,032 = 3,20% ao mês GABARITO: B 9

10 6.(Especialista em Regulação de Serviços Públicos de Energia-Área 3- Aneel-2010-Cespe) Considerando que um capital seja investido à taxa de 10% ao ano, no regime de capitalização simples, o tempo em que o capital dobrará de valor é superior a 11 anos. Capital Investido = C 10 Taxa de Juros = 10% ao ano = 100 = 0,10 ao ano Para resolver o item, vamos determinar o tempo que o capital dobrará, considerando um regime de capitalização simples (juros simples). Portanto, se o capital investido é igual a C, o montante (dobro do capital investido) será igual a 2.C. Montante (M) = 2.C Período = n M = C x (1 + i.n) 2.C = C x (1 + 0,10.n) C 1 + 0,10.n = 2 0,10.n = 2 1 0,10.n = 1 1 n = 0, ,10.n = 2.C n = 10 anos (que é inferior a 11 anos) GABARITO: Errado (Contador-FUB-2010-Cespe) Com relação ao regime de juros simples, julgue os itens a seguir. 7. Uma aplicação de R$ 1.000,00 à taxa de 1,2% ao mês, durante 24 dias, rende juros de R$ 10,00. Juros Simples No regime de capitalização por juros simples a remuneração recebida incide somente sobre o capital inicial aplicado (C). C = capital inicial aplicado (principal) i = taxa de juros t = tempo de aplicação J = juros simples recebidos = valor ganho com a aplicação 10

11 M = montante = valor resgatado ao final do período de aplicação do capital C, ou seja, é o valor do capital inicial aplicado (C) somado aos juros recebidos (J). J = C. i. t M = C + J = C + C. i. t = C.(1 + i. t) Dados do item: Capital Aplicado (C) = R$ 1.000,00 Taxa de juros (i) = 1,2% ao mês = 1, Período (n) = 24 dias = 0,012 ao mês Há que se ressaltar que a taxa de juros e período devem estar relacionados ao mesmo intervalo de tempo. Portanto, se a taxa de juros é mensal ( ao mês ), o período também deve aparecer na fórmula com seu valor em relação ao mês. Outra possibilidade, como o período está em dias, seria colocar a taxa de juros diária na fórmula. O importante é que as duas grandezas (período e taxa de juros) estejam referenciadas ao mesmo intervalo de tempo. Vamos, então, passar o período para mensal fazendo uma regra de três simples (quando nada for dito, considere o mês comercial, de 30 dias): 30 dias == 1 mês 24 dias == Período (calculado em relação ao mês) 30 x Período = 24 x 1 Período = Dividindo o numerador e o denominador por 6: Período (n) = 4 5 = 0,8 mês Cálculo dos juros: J = C. i. n J = x 0,012 x 0,8 J = 12 x 0,8 J = 9,6 Portanto, uma aplicação de R$ 1.000,00 à taxa de 1,2% ao mês, durante 24 dias, rende juros de R$ 9,60. GABARITO: Errado 11

12 8. Um capital de R$ ,00 aplicado durante três períodos sucessivos, à taxa de 15% ao período, gerará um juro final igual à metade desse capital. Capital Aplicado (C) = R$ ,00 Taxa de juros (i) = 15% ao período = 15 Período (n) = 3 períodos 100 = 0,15 ao período Repare que a taxa de juros e o período já estão referenciados ao mesmo intervalo de tempo, que, no caso, foi definido genericamente como período. Cálculo dos juros: J = C. i. n J = x 0,15 x 3 J = x 0,45 J = Portanto, o juro final é de R$ 4.500,00, que é menor que a metade do R $10.000,00 capital aplicado ( = R$ 5.000,00). GABARITO: Errado 2 9.(Assistente em Administração-FUB-2010-Cespe) Em determinado dia, um indivíduo fez uma aplicação de R$ 500,00 em um investimento que rende juros mensais de 10%. Nos 11 meses seguintes, sempre no dia do aniversário da aplicação, esse mesmo indivíduo fazia uma nova aplicação, de mesmo valor. Nessa situação, sabendo-se que o regime de juros foi o simples, é correto afirmar que, sem ter feito, nesse período, nenhuma retirada, o montante acumulado por esse investidor, no dia em que fez a sua última aplicação, corresponde a mais de R$ 9.000,00. Vamos interpretar o item: I - Em determinado dia, um indivíduo fez uma aplicação de R$ 500,00 em um investimento que rende juros mensais de 10%. Portanto, inicialmente (vamos considerar no momento 0 ), houve uma aplicação de R$ 500,00, que rende juros mensais de 10%. 12

13 Representando em uma linha do tempo, teríamos: II - Nos 11 meses seguintes, sempre no dia do aniversário da aplicação, esse mesmo indivíduo fazia uma nova aplicação, de mesmo valor. Portanto, nos 11 meses seguintes, sempre no mesmo dia do mês, o indivíduo aplicava o mesmo valor. Representando em uma linha do tempo, teríamos: III - Nessa situação, sabendo-se que o regime de juros foi o simples, é correto afirmar que, sem ter feito, nesse período, nenhuma retirada, o montante acumulado por esse investidor, no dia em que fez a sua última aplicação, corresponde a mais de R$ 9.000,00. O item define que é juros simples e que o investidor não nenhuma retirada no período e deseja saber o montante acumulado no dia da última aplicação. Repare que o valor aplicado no momento 0 renderá durante 11 meses. Basta conta o número de intervalos de tempo entre 0 e 11, da seguinte forma: Entre 0 e 1 = 1 intervalo de tempo Entre 1 e 2 = 1 intervalo de tempo Entre 2 e 3 = 1 intervalo de tempo Entre 3 e 4 = 1 intervalo de tempo Entre 4 e 5 = 1 intervalo de tempo Entre 5 e 6 = 1 intervalo de tempo Entre 6 e 7 = 1 intervalo de tempo Entre 7 e 8 = 1 intervalo de tempo Entre 8 e 9 = 1 intervalo de tempo Entre 9 e 10 = 1 intervalo de tempo Entre 10 e 11 = 1 intervalo de tempo Total = 11 intervalos de tempo 13

14 Seguindo o mesmo raciocínio: - o valor aplicado no momento 1 renderá durante 10 meses; - o valor aplicado no momento 2 renderá durante 9 meses; - o valor aplicado no momento 3 renderá durante 8 meses; - o valor aplicado no momento 4 renderá durante 7 meses; - o valor aplicado no momento 5 renderá durante 6 meses; - o valor aplicado no momento 6 renderá durante 5 meses; - o valor aplicado no momento 7 renderá durante 4 meses; - o valor aplicado no momento 8 renderá durante 3 meses; - o valor aplicado no momento 9 renderá durante 2 meses; - o valor aplicado no momento 10 renderá durante 1 meses; Portanto, para calcular o montante no momento da última aplicação, teríamos: I Cálculo do montante relacionado à aplicação de R$ 500,00 no momento 0 : Capital Aplicado (C 0 ) = R$ 500,00 10 Taxa de Juros (i) = 10% ao mês = 100 Período (n 0 ) = 11 meses M 0 = C 0. (1 + i. n 0 ) M 0 = 500. (1 + 0,10 x 11) M 0 = 500. (1 + 1,1) M 0 = ,1 M 0 = = 0,10 ao mês II Cálculo do montante relacionado à aplicação de R$ 500,00 no momento 1 : Capital Aplicado (C 1 ) = R$ 500,00 10 Taxa de Juros (i) = 10% ao mês = 100 Período (n 1 ) = 10 meses M 1 = C 1. (1 + i. n 1 ) M 1 = 500. (1 + 0,10 x 10) M 1 = 500. (1 + 1) M 1 = ,0 M 1 = = 0,10 ao mês 14

15 III Cálculo do montante relacionado à aplicação de R$ 500,00 no momento 2 : Capital Aplicado (C 2 ) = R$ 500,00 10 Taxa de Juros (i) = 10% ao mês = 100 Período (n 2 ) = 9 meses M 2 = C 2. (1 + i. n 1 ) M 2 = 500. (1 + 0,10 x 9) M 2 = 500. (1 + 0,90) M 2 = ,9 M 2 = 950 = 0,10 ao mês Já dá para perceber que os montantes formam uma progressão aritmética (PA) de razão -50. Portanto, teríamos os seguintes montantes: M 0 = M 1 = M 2 = 950 M 3 = 900 M 4 = 850 M 5 = 800 M 6 = 750 M 7 = 700 M 8 = 650 M 9 = 600 M 10 = 550 M 11 = 500 (não há rendimento, pois foi aplicado no momento final) Basta somar todos os montantes para obter o montante total: Montante Total = = Uma maneira mais elegante (risos) de resolver o item seria utilizar a soma dos termos da progressão aritmética (PA). Verificamos que os montantes parciais correspondem ao uma PA, certo? A soma dos termos da PA é: Soma = Onde, a 1+ a ni n 2 a 1 = primeiro termo da PA a n = último termo da PA n = número de termos da PA 15

16 No nosso caso concreto, temos: Primeiro Termo da PA = M 0 = Último Termo da PA = M 11 = 500 Total de Termos da PA = n = 12 (do termo 0 ao termo 11 ) Soma dos Termos = Montante Total = Montante Total = i Montante Total = 12 2 i Montante Total = x 6 M + M i n Montante Total = (que corresponde a mais de R$ 9.000,00) GABARITO: Certo 10.(Assistente Executivo em Metrologia e Qualidade Área: Administração-Inmetro-Cespe-2010) Considere que, para comprar uma televisão no valor de R$ 875,00, João aplicou R$ 800,00 em um fundo de renda fixa, cujos juros simples são de 15% ao ano. Considere, ainda, que João não tenha realizado nenhuma outra aplicação e que não tenha havido mudanças no preço da televisão. Nessa situação, para que João obtenha recursos suficientes para comprar essa televisão, o menor período que o dinheiro deve ser aplicado será de A 75% de um ano. B 7 meses e meio. C 6 meses. D 5 meses e meio. E 3 meses Vamos interpretar a questão: I - Considere que, para comprar uma televisão no valor de R$ 875,00, João aplicou R$ 800,00 em um fundo de renda fixa, cujos juros simples são de 15% ao ano. Portanto, temos que, inicialmente, João aplicou R$ 800,00 em um fundo de renda fixa, a juros simples de 15% ao ano. O objetivo de João é obter um montante de R$ 875,00 para poder comprar a televisão. 16

17 II - Considere, ainda, que João não tenha realizado nenhuma outra aplicação e que não tenha havido mudanças no preço da televisão. Nessa situação, para que João obtenha recursos suficientes para comprar essa televisão, o menor período que o dinheiro deve ser aplicado será de... Não houve mais nenhuma outra aplicação e o preço da televisão também não sofreu alteração. Precisamos calcular qual será o tempo necessário para que João consiga obter o montante de R$ 875,00 (preço da televisão). Capital Aplicado (C) = R$ 800,00 Taxa de Juros (i) = 15% ao ano = 15 Montante (M) = R$ 875,00 Período = n 100 = 0,15 ao ano Sabemos que o resultado da diferença entre o montante e o capital aplicado são os juros da operação. Como João quer obter R$ 875,00 a partir de um capital aplicado de R$ 800,00, os juros serão de: Juros = Montante Capital Aplicado Juros = Juros = 75 Além disso, sabemos que os juros são obtidos da seguinte maneira: Juros = C. i. n 75 = ,15. n 75 = 120. n n = n = 0,625 ano Lembre que a taxa de juros está referenciada ao ano. Portanto, o período obtido também estará. Como não temos resposta nas alternativas com ano, temos que fazer uma regra de três simples para obter o período em meses: 12 meses == 1 ano Período em Meses == 0,625 ano Período em Meses x 1 = 12 x 0,625 Período em Meses = 7,5 meses (7 meses e meio) GABARITO: B 17

18 11.(Assistente Executivo em Metrologia e Qualidade Área: Administração-Inmetro-Cespe-2010) Considere que um consumidor tenha contratado empréstimo de R$ 1.000,00, por 6 meses, no regime de juros simples. Considere, ainda, que o contrato preveja capitalização mensal, taxa de juros de 2% ao mês e que tanto o juro quanto o principal só sejam pagos ao fim do contrato. Nessa situação, o consumidor pagará, de juros, a quantia de A R$ 120,00. B R$ 150,00. C R$ 200,00. D R$ 220,00. E R$ 600,00. Vamos interpretar a questão: I - Considere que um consumidor tenha contratado empréstimo de R$ 1.000,00, por 6 meses, no regime de juros simples. Portanto, temos que um consumidor contratou um empréstimo de R$ 1.000,00, por 6 meses, a juros simples. Empréstimo (E) = R$ 1.000,00 Período (n) = 6 meses II - Considere, ainda, que o contrato preveja capitalização mensal, taxa de juros de 2% ao mês e que tanto o juro quanto o principal só sejam pagos ao fim do contrato. Nessa situação, o consumidor pagará, de juros, a quantia de... A taxa de juros simples é de 2% ao mês e os valores do empréstimo (principal) e dos juros somente serão pagos ao final do contrato. Taxa de Juros (i) = 2% ao mês Portanto, temos os seguintes dados para calcular os juros: Empréstimo (E) = R$ 1.000,00 Período (n) = 6 meses Taxa de Juros (i) = 2% ao mês = Juros = C. i. n Juros = ,02. 6 Juros = ,12 Juros = 120 GABARITO: A = 0,02 ao mês 18

19 12.(Assistente Executivo em Metrologia e Qualidade Área: Administração-Inmetro-Cespe-2010) Considerando-se que uma dívida de valor nominal de R$ ,00 deva ser paga 4 meses antes de seu vencimento, a uma taxa de desconto racional simples de 30% ao ano, é correto afirmar que o desconto racional obtido será A inferior a R$ 800. B superior a R$ 800 e inferior a R$ 860. C superior a R$ 860 e inferior a R$ 920. D superior a R$ 920 e inferior a R$ 980. E superior a R$ 980. Vamos interpretar a questão: I - Considerando-se que uma dívida de valor nominal de R$ ,00 deva ser paga 4 meses antes de seu vencimento,... Portanto, temos um dívida de valor nominal de R$ ,00 que será paga 4 meses antes de seu vencimento. Valor Nominal da Dívida (N) = R$ ,00 Período (t) = 4 meses II -...a uma taxa de desconto racional simples de 30% ao ano, é correto afirmar que o desconto racional obtido será... Para o pagamento da dívida antes do prazo, foi utilizado um desconto racional simples a uma taxa de 30% ao ano. Taxa de Juros (i) = 30% ao ano Como o período está em meses, vamos passar a taxa de juros para período mensal também: 30% == 1 ano = 12 meses Taxa de Juros Mensal == 1 mês Taxa de Juros Mensal x 12 = 30% x 1 Taxa de Juros Mensal = 30% 12 = 2,5% ao mês = 2,5 100 = 0,025 ao mês 19

20 Finalmente, vamos relembrar o conceito de desconto racional: Desconto Racional, Matemático ou por Dentro (D r ): O desconto racional, matemático ou por dentro é o desconto que determina um valor atual (A d ) que, corrigido nas condições de mercado, resulta em um montante igual ao valor nominal. Portanto, a taxa de desconto racional será igual à taxa efetiva de desconto. D r = N - A d N N = A d.(1 + i d. t) A d = (1 +i. t ) d Voltando à questão, vamos calcular o valor a ser pago com desconto: Valor Nominal da Dívida (N) = R$ ,00 Período (t) = 4 meses Taxa de Juros Mensal (i d ) = 0,025 ao mês N A d = (1 +id. t ) A d = (1+ 0,025 4) A d = (1+ 0,1) A d = 1,1 A d = 9.090,91 Portanto, o desconto racional será de: D r = N A d D r = ,91 D r = 909,09 GABARITO: C (Polícia Militar-ES-2010-Cespe) Considerando que um investidor tenha aplicado R$ ,00 a juros simples mensais e, ao final de um ano, tenha obtido o montante de R$ ,00, julgue os itens que se seguem. 13. O montante dessa aplicação ao final de um semestre foi inferior a R$ ,

21 Com as informações dadas no enunciado para a resolução dos itens, vamos calcular a taxa de juros simples: Capital Aplicado (C) = R$ ,00 Taxa de Juros Simples Mensal = i Período = 12 meses (repare que o enunciado fala em ao final de um ano ) Montante (M) = R$ ,00 M = C. (1 + i. n) = (1 + i. 12) 1 + i. 12 = i. 12 = 1,6 i. 12 = 1, i = 0,6 i = 0,6 12 i = 0,05 ao mês = 5% ao mês Voltando ao item, se considerarmos essa taxa de juros obtida, qual seria o montante obtido ao final de seis meses (um semestre): Capital Aplicado (C) = R$ ,00 Taxa de Juros Simples (i) = 0,05 ao mês Período = 6 meses Montante = M M = C. (1 + i. n) M = (1 + 0,05. 6) M = (1 + 0,3) M = ,3 M = Portanto, o montante dessa aplicação ao final de um semestre foi superior a R$ ,00. GABARITO: Errado 14. A taxa mensal de juros dessa aplicação foi superior a 4,5%. Calculado no item anterior: i = 0,05 ao mês = 5% ao mês Portanto, a taxa mensal de juros dessa aplicação foi superior a 4,5%. GABARITO: Certo 21

22 15.(Fiscal de Rendas-ISS/RJ-2010-Esaf) Um título sofre um desconto simples por fora de R$ 2.500,00 quatro meses antes do seu vencimento a uma taxa de desconto de 2,5% ao mês. Qual é o valor mais próximo do valor nominal do título? a) R$ ,00 b) R$ ,00 c) R$ ,00 d) R$ ,00 e) R$ ,00 Repare que a questão definiu: Desconto simples por fora. Vamos relembrar: Desconto Comercial ou por Fora (D c ): O desconto comercial ou por fora corresponde aos juros calculados sobre o valor nominal. D c = N. i D. t = N A D A D = N D c = N N.i D. t = N. (1 i D. t) Onde, D c = desconto comercial i D = taxa de desconto comercial (juros simples) t = período restante até o vencimento do título N = valor nominal A D = valor atual D c = R$ 2.500,00 Período (t) = 4 meses 2,5 Taxa de Desconto Comercial (i D ) = 2,5% ao mês = 100 Cálculo do valor nominal do título: = 0,025 ao mês D c = N. i D. t = N. 0, = N. 0, N = 0,1 N = GABARITO: B 22

23 16.(Inspetor/Analista do Mercado de Capitais-CVM-2010-Esaf- Adaptada) Qual o valor mais próximo do montante que atinge uma dívida de R$ 2.000,00, quatro meses e meio depois, a uma taxa de juros simples de 1,5% ao mês? a) R$ 2.115,00 b) R$ 2.092,00 c) R$ 2.090,00 d) R$ 2.105,00 e) R$ 2.135,00 Dívida (D) = R$ 2.000,00 Período (n) = 4 meses e meio = 4,5 meses 1, 5 Taxa de Juros Simples (i) = 1,5% ao mês = = 0,015 ao mês 100 Cálculo do montante da dívida após quatro meses e meio: M = D. (1 + i. n) M = x (1 + 0,015 x 4,5) M = x (1 + 0,0675) M = x 1,0675 M = GABARITO: E 17.(Inspetor/Analista do Mercado de Capitais-CVM-2010-Esaf) Um investidor fez uma aplicação em um título com rentabilidade pós-fixada por um prazo de três meses a uma taxa de juros simples de 18% ao ano. O índice de correção a ser aplicado ao montante passou de 80, no início, a 83,2, no fim do prazo. Qual o valor mais próximo da rentabilidade total do título nesse prazo? a) 8,5% b) 7,7% c) 8% d) 7,844% e) 8,68% Vamos interpretar a questão: I - Um investidor fez uma aplicação em um título com rentabilidade pós-fixada por um prazo de três meses a uma taxa de juros simples de 18% ao ano. 23

24 Portanto, temos uma aplicação por um período de três meses e uma taxa de juros simples de 18% ao ano. Capital Aplicado = C Período (n) = 3 meses Taxa de Juros Simples (i) = 18% ao ano A taxa de juros mensal equivalente seria: 18% == 1 ano = 12 meses Taxa de Juros Mensal == 1 mês Taxa de Juros Mensal x 12 = 18% x 1 Taxa de Juros Mensal = 18% 12 Taxa de Juros Mensal = 1,5% ao mês = 0,015 ao mês Como a aplicação foi por três meses, o rendimento seria: Rendimento da Aplicação = 0,015 x 3 meses = 0,045 ou 4,5% II - O índice de correção a ser aplicado ao montante passou de 80, no início, a 83,2, no fim do prazo. De acordo com a questão, houve uma correção do montante aplicado e o índice passou de 80 para 83,2. Portanto, o índice de correção, em percentual, foi de: Índice de Correção = 83,2 80 3, = = 0,04 = 4% III - Qual o valor mais próximo da rentabilidade total do título nesse prazo? A rentabilidade total será o resultado da multiplicação do rendimento da aplicação pelo índice de correção: Rentabilidade Total = (1 + Rendimento). (1 + Correção) 1 Rentabilidade Total = (1 + 0,045) x (1 + 0,04) 1 Rentabilidade Total = 1,045 x 1,04 1 Rentabilidade Total = 1, Rentabilidade Total = 0,0868 = 8,68% GABARITO: E 24

25 18.(AFT-Esaf-2010) Um título sofre um desconto simples por dentro de R$ ,00 cinco meses antes do seu vencimento a uma taxa de desconto de 4% ao mês. Qual o valor mais próximo do valor nominal do título? a) R$ ,00. b) R$ ,00. c) R$ ,00. d) R$ ,00. e) R$ ,00. Desconto Racional ou por Dentro: D r = N - A d N = A d.(1 + i d. t) Valor Atual = A d Desconto Racional (D r ) = R$ ,00 Período (t) = 5 meses Taxa de Juros (i) = 4% ao mês D r = = N A d (I) N = A d x (1-5 x 0,04) N (II) A d = 1, 20 Substituindo (II) em (I): N = N 1, = = = 6 N 1, 20. N N 1, 20 0, 20. N (dividindo o numerador e o denominador por 0,20) 1, 20 N = 6 x N = GABARITO: A 25

26 19.(Administrador-DNOCS-Min. Da Integração Social-2010-FCC) Raul pretende comprar um microcomputador em uma loja em que o preço de tabela é R$ 2 000,00. O vendedor lhe fez duas propostas de pagamento: uma, à vista, com desconto de X% sobre o preço de tabela; outra, em duas parcelas de R$ 1 000,00, sendo a primeira no ato da compra e a segunda 1 mês após a compra. Mesmo dispondo do dinheiro para a compra à vista, Raul pensou na opção da compra a prazo, que lhe permitiria aplicar a diferença entre o preço à vista e o valor da primeira parcela, a uma taxa de 10% ao mês. Nessas condições, o menor número inteiro X, que tornaria a proposta de compra à vista mais vantajosa, é (A) 5 (B) 8 (C) 10 (D) 12 (E) 15 Repare que nesta questão não houve definição se a taxa de juros é simples ou composta. Contudo, o regime de capitalização não influenciará no resultado da questão, tendo em vista que o período em análise é de apenas 1 mês (uma parcela à vista e outra 30 dias após). Veja: Juros Simples: M = C. (1 + i. t) Juros Compostos: M = C. (1 + i) t Onde, M = Montante C = Capital Aplicado i = Taxa de juros t = Período Se o período é igual a 1, temos: Juros Simples: M = C. (1 + i. 1) = C. (1 + i) Juros Compostos: M = C. (1 + i) 1 = C. (1 + i) Portanto, as equações serão iguais independentemente do regime de capitalização. Resumindo, se o período informado for unitário em relação à taxa de juros, os valores dos cálculos utilizando juros compostos ou juros simples serão iguais. Exemplos: Taxa de Juros = X% ao mês e Período = 1 mês Taxa de Juros = X% ao trimestre e Período = 1 trimestre Taxa de Juros = X% ao ano e Período = 1 ano 26

27 Vamos à resolução da questão: Microcomputador = R$ 2.000,00 Duas Propostas: I à vista, com X% de desconto sobre o preço de tabela. II duas parcelas de R$ 1.000,00 (uma à vista e outra 1 mês após a compra). Raul dispõe do dinheiro para comprar à vista. Se for adotada a opção a prazo, Raul poderá aplicar os R$ 1.000,00 da segunda parcela, durante o mês, a uma taxa de 10% ao mês. A questão pede o valor do menor desconto X de modo que a proposta de compra à vista seja mais vantajosa. Vamos fazer a linha do tempo para visualizar melhor a questão: PV 0 1 Parcela 1 Parcela 2 Na opção a prazo, Raul paga R$ 1.000,00 no ato e os outros R$ 1.000,00 serão aplicados a uma taxa de 10% ao mês. Deste modo teríamos: Parcela 1 = R$ 1.000,00 Parcela 2 = R$ 1.000,00 Na aplicação de R$ 1.000,00 a uma taxa de 10% ao mês, no momento 1 teríamos: Capital Aplicado (C) = R$ 1.000,00 Taxa de Juros (i) = 10% ao mês = 10 Período (t) = 1 mês Montante (M) =? M = C. (1 + i.t) M = x (1 + 0,10 x 1) M = x 1,10 M = ao mês = 0,10 ao mês 27

28 Ou seja, no momento 1, Raul pagaria os R$ 1.000,00 e ainda sobraria R$ 100,00 (rendimento da aplicação). Com isso, para o pagamento à vista ser mais vantajoso, o desconto deve ser maior que R$ 100,00 (valor que sobrou na opção do parcelamento em duas vezes). Preço à Vista (PV) = Preço de Tabela Desconto à Vista Desconto à Vista = X% x Preço de Tabela Desconto à Vista = X% x Para que o desconto à vista seja maior que R$ 100,00, teríamos: Desconto à Vista = X% x > 100 X% > X% > 0,05 X% > 5% GABARITO: A 20.(Administrador-DNOCS-Min. Da Integração Social-2010-FCC) Um capital é aplicado durante 8 meses a uma taxa de juros simples de 1,5% ao mês, resultando em um montante no valor de R$ ,00 no final do período. Caso este mesmo capital tivesse sido aplicado, sob o mesmo regime de capitalização, durante 1 ano a uma taxa de 2% ao mês, o valor do montante, no final do ano, seria de (A) R$ ,00. (B) R$ ,00. (C) R$ ,00. (D) R$ ,00. (E) R$ ,00. A questão definiu: Juros Simples M = C. (1 + i. n) I Cálculo do Capital Aplicado: Capital Aplicado = C Período (n) = 8 meses 1, 5 Taxa de Juros Simples (i) = 1,5% ao mês = 100 Montante (M) = R$ ,00 ao mês = 0,015 ao mês 28

29 M = C. (1 + i. n) = C x (1 + 0,015 x 8) = C x (1 + 0,12) = C x 1,12 C = ,12 C = R$ ,00 II Cálculo do Montante utilizando o mesmo capital aplicado na segunda aplicação: Capital Aplicado (C) = R$ ,00 Período (n) = 1 ano = 12 meses Taxa de Juros Simples (i) = 2% ao mês = Montante = M ao mês = 0,02 ao mês M = C. (1 + i. t) M = x (1 + 0,02 x 12) M = x (1 + 0,24) M = x 1,24 M = R$ ,00 GABARITO: B 21.(Administrador-DNOCS-Min. Da Integração Social-2010-FCC) Dois títulos de valores nominais iguais foram descontados, em um banco, da seguinte maneira: Primeiro título: descontado 45 dias antes de seu vencimento, a uma taxa de desconto de 2% ao mês, segundo uma operação de desconto racional simples, apresentando um valor atual de R$ ,00. Segundo título: descontado 60 dias antes de seu vencimento, a uma taxa de desconto de 1,5% ao mês, segundo uma operação de desconto comercial simples. Utilizando a convenção do mês comercial, tem-se que a soma dos valores dos descontos correspondentes é igual a (A) R$ 1.260,00. (B) R$ 1.268,80. (C) R$ 1.272,60. (D) R$ 1.276,40. (E) R$ 1.278,

30 A questão definiu: Juros Simples M =C. (1 + i. n) Além disso, deve-se adotar a convenção do mês comercial, ou seja, todos os meses terão 30 dias e o ano terá 360 dias. Primeiro título: descontado 45 dias antes de seu vencimento, a uma taxa de desconto de 2% ao mês, segundo uma operação de desconto racional simples, apresentando um valor atual de R$ ,00. Desconto Racional, Matemático ou por Dentro (D r ): O desconto racional, matemático ou por dentro é o desconto que determina um valor atual (A d ) que, corrigido nas condições de mercado, resulta em um montante igual ao valor nominal. Portanto, a taxa de desconto racional será igual à taxa efetiva de desconto. D r = N - A d N N = A d.(1 + i d. t) A d = (1 +id. t ) N. id. t D r = (1 +i. t) d Taxa de Desconto (i d ) = 2% mês = Valor Atual (A d ) = R$ ,00 2 ao mês = 0,02 ao mês 100 Como a taxa de desconto simples informada é mensal, para o cálculo do período, também será utilizada a base mensal. Fazendo a regra de três abaixo: 30 dias === 1 mês 45 dias === Período (t) 45 x 1 = 30 x Período (t) Período (n) = Período = 1,5 mês Cálculo do Desconto Racional: Valor Nominal (N) = A d.(1 + i d. t) = x (1 + 0,02 x 1,5) Valor Nominal (N) = x (1 + 0,03) Valor Nominal (N) = x 1,03 Valor Nominal (N) = R$ ,

31 D r = N A d D r = D r = R$ 630,00 A questão informa que os valores nominais dos dois títulos são iguais. Portanto, para os cálculos do segundo título, precisaremos do valor nominal calculado acima. Segundo título: descontado 60 dias antes de seu vencimento, a uma taxa de desconto de 1,5% ao mês, segundo uma operação de desconto comercial simples. Desconto Comercial ou por Fora (D c ): O desconto comercial ou por fora corresponde aos juros calculados sobre o valor nominal. D c = N. i D. t = N A D A D = N D c = N N.i D. t = N. (1 i D. t) Onde, D c = desconto comercial i D = taxa de desconto comercial (juros simples) t = período restante até o vencimento do título N = valor nominal A D = valor atual Valor Nominal (N) = R$ ,00 1, 5 Taxa de Desconto (i d ) = 1,5% mês = 100 Valor Atual (A d ) = R$ ,00 ao mês = 0,015 ao mês Como a taxa de desconto simples informada é mensal, para o cálculo do período, também será utilizada a base mensal. Fazendo a regra de três abaixo: 30 dias === 1 mês 60 dias === Período (t) 60 x 1 = 30 x Período (t) Período (t) = Período = 2 meses Cálculo do Desconto Comercial: D c = N. i D. t D c = x 0,015 x 2 D c = x 0,03 D C = R$ 648,

32 A questão pede a soma dos valores dos descontos: D r + D C = ,90 = R$ 1.278,90 GABARITO: E 22.(Contador-DNOCS-Min. Da Integração Social-2010-FCC) Uma pessoa aplica, na data de hoje, os seguintes capitais: I. R$ 8.000,00 a uma taxa de juros simples, durante 18 meses. II. R$ ,00 a uma taxa de juros compostos de 5% ao semestre, durante um ano. O valor do montante verificado no item II supera em R$ 865,00 o valor do montante verificado no item I. A taxa de juros simples anual referente ao item I é igual a (A) 21%. (B) 15%. (C) 18%. (D) 27%. (E) 24%. Repare que a questão trata de juros simples e de juros compostos (que serão vistos na próxima aula). Contudo, preferi resolvê-la nesta aula para que você também já vá se acostumando com o procedimento de cálculo dos juros compostos. Primeira informação importante: montante verificado no item II supera em R$ 865,00 o valor do montante verificado no item I. Montante (Juros Compostos) Montante (Juros Simples) = R$ 865,00 Vamos começar pelo II: II. R$ ,00 a uma taxa de juros compostos de 5% ao semestre, durante um ano. Juros Compostos: M = C. (1 + i) t Montante (Juros Compostos) = M JC Capital Aplicado (C) = R$ ,00 Taxa de Juros Compostos (i c ) = 5% ao semestre = Taxa de Juros Compostos (i c ) = 0,05 ao semestre ao semestre Período (t) = 1 ano = 2 semestres 32

33 M JC = C. (1 + i) t M JC = x (1 + 0,05) 2 M JC = x (1,05) 2 M JC = x 1,1025 M JC = R$ ,00 Montante (Juros Compostos) Montante (Juros Simples) = R$ 865, M JS = = M JS M JS = R$ ,00 I. R$ 8.000,00 a uma taxa de juros simples, durante 18 meses. Juros Simples: M = C. (1 + i. t) Montante (Juros Simples) = R$ ,00 Capital Aplicado (C) = R$ 8.000,00 Taxa de Juros Simples = i s Período (t) = 18 meses M JS = C. (1 + i. t) = x (1 + i s x 18) i s x 18 = i s x 18 = 1,27 i s x 18 = 1,27 1 i s x 18 = 0,27 0, 27 i s = 18 i s = 0,015 i s = 1, i s = 1,5% ao mês Como a questão pede a taxa anual: i s (anual) = 1,5% ao mês x 12 meses = 18% ao ano GABARITO: C 33

34 23.(Contador-DNOCS-Min. Da Integração Social-2010-FCC) Uma duplicata é descontada em um banco 50 dias antes de seu vencimento apresentando um valor atual igual a R$ ,00. Considere que foi utilizada uma operação de desconto comercial simples, a uma taxa de 2% ao mês, com a convenção do mês comercial. O valor nominal da duplicata é de (A) R$ ,00. (B) R$ ,00. (C) R$ ,00. (D) R$ ,00. (E) R$ ,00. A questão definiu: Juros Simples M = C.(1 + i.t) Desconto Comercial ou por Fora (D c ): corresponde aos juros calculados sobre o valor nominal. D c = N. i D. t = N A D AD A D = N D c = N N.i D. t = N. (1 i D. t) N = (1 i. t ) Valor Nominal da Duplicata = N Taxa de Desconto (i d ) = 2% mês = Valor Atual (A d ) = R$ ,00 2 ao mês = 0,02 ao mês 100 Como a taxa de desconto simples informada é mensal, para o cálculo do período, também será utilizada a base mensal. Fazendo a regra de três abaixo: 30 dias === 1 mês 50 dias === Período (t) 50 x 1 = 30 x Período (t) Período (t) = Período = 5 3 mês D Cálculo do Valor Nominal: AD N = (1 id. t ) N = 5 (1 0, 02 )

35 Para não termos que calcular uma divisão, vamos fazer o seguinte no denominador da expressão: 5 1 0,02 x , ,10 = 3 3 = 2,90 3 (multipliquei o primeiro termo por 3 e igualei tudo ao mesmo denominador) N = 2,90 3 N = (*) 2,90 (*) Um número (N) dividido por uma fração (a/b) é igual ao número (N) multiplicado pelo inverso da fração (b/a). N = ,90 N = R$ ,00 GABARITO: A 24.(Contador-DNOCS-Min. Da Integração Social-2010-FCC) Uma aplicação no valor de R$ ,00 resultou, depois de um ano, em um montante igual a R$ ,00. Se a taxa de inflação deste período foi de 5% significa que a taxa anual real referente à aplicação foi de (A) 5,6%. (B) 5,8%. (C) 6,0%. (D) 6,3%. (E) 6,5%. Repare que nesta questão não houve definição se a taxa de juros é simples ou composto. Contudo, o regime de capitalização não influenciará no resultado da questão, tendo em vista que o período em análise é de apenas 1 ano. Veja: Juros Simples: M = C. (1 + i. t) Juros Compostos: M = C. (1 + i) t Onde, M = Montante C = Capital Aplicado i = Taxa de juros t = Período 35

36 Se o período é igual a 1, temos: Juros Simples: M = C. (1 + i. 1) = C. (1 + i) Juros Compostos: M = C. (1 + i) 1 = C. (1 + i) Portanto, as equações serão iguais independentemente do regime de capitalização (isto funciona sempre que o período for igual ao período a que se refere a taxa de juros). Vamos à resolução da questão: Capital Aplicado (C) = R$ ,00 Montante (M) = R$ ,00 Período (t) = 1 ano Taxa de Juros = i M = C. (1 + i. 1) = C. (1 + i) = x (1 + i) = 1 + i 1,113 = 1 + i i = 1, ,3 i = 0,113 = 100 = 11,3% ao ano Contudo, a questão informa que a inflação do período foi de 5% ao ano e pede a taxa anual real. Vamos aos cálculos: Ganho Real = Fator de Ganho Nominal/Fator de Inflação 1 + 0,113 Ganho Real = 1+ 0,05 1,113 Ganho Real = 1, 05 Ganho Real = 1,06 Percentual = 1,06 1 = 0,06 = GABARITO: C 6 = 6% ao ano

37 (Analista Judiciário-Área Administrativa-Contabilidade-TRT/17R- Cespe-2009) Julgue os itens a seguir, acerca de tópicos de matemática financeira. 25. Se o índice de inflação no 1.º semestre de certo ano for igual a 4,7% e o do 2.º semestre for igual a 5,3%, então o índice de inflação acumulado nesse ano será superior a 10%. Vamos estudar alguns conceitos antes de resolver o item. Juros: correspondem a uma remuneração recebida pela aplicação de um capital C a uma taxa de juros i, durante determinado tempo t. Para representar os juros, podemos utilizar: Taxa Percentual: p% Taxa Unitária: 100 p Fator = 1 + p% = p Exemplo: 20 20% (Taxa Percentual) = = 0,20 (Taxa Unitária) 100 Exemplo: Por quanto devemos multiplicar X para atualizá-lo após um aumento de 56%. Valor Corrigido de X = 100%.X + 56%.X = 156%.X = 1,56.X Exemplo: Por quanto devemos multiplicar X para atualizá-lo após uma redução de 56%. Valor Corrigido de X = 100%.X - 56%.X = 44%.X = 0,44.X Para calcular os percentuais acumulados, devemos multiplicar os fatores. Exemplo: Suponha que a inflação, em determinado trimestre, foi de 5%, 6% e 7% ao mês, respectivamente. Qual a inflação acumulada nesse trimestre? Considere um valor inicial de % x 100 = 105 (primeiro mês) % x 105 = 111,30 (segundo mês) 111,3 + 7% x 111,3 = 119,09 (terceiro mês) Fator de Inflação (mês 1) = 1 + 5% = 1,

38 Fator de Inflação (mês 2) = 1 + 6% = 1,06 Fator de Inflação (mês 3) = 1 + 7% = 1,07 Ou, calculamos os percentuais acumulados = 1,05 x 1,06 x 1,07 = 1,1909 Índice de inflação no período = 1, = 0,1909 = 19,09% Valor Corrigido = 100 x 1,1909 = 119,09 Exemplo: Suponha que a inflação, em determinado bimestre, foi de 40%. Se, no primeiro mês, a inflação foi de 25%, qual foi a inflação do segundo mês? Considere um valor inicial de 100. Valor Corrigido Total no Bimestre = % x 100 = 140 Valor Corrigido no Primeiro Mês = % x 100 = 125 Deve-se, então, calcular o percentual de aumento de 125 para 140: Percentual = = = 0,12= 12% Conferindo: Valor Corrigido no Segundo Mês = x 12% = 140 Ou Primeiro Mês 25% Fator (Mês 1) = % = 1,25 Segundo Mês Fator (Mês 2) = f 1, 40 1,25 x f = 1,40 f = = 1,12 Percentual = 1,12 1 = 12% 1, 25 Vamos à resolução do item: Índice de Inflação do Primeiro Semestre = 4,7% = 4,7 100 = 0,047 Índice de Inflação do Segundo Semestre = 5,3% = 5,3 100 = 0,053 Índice de Inflação Acumulado = (1 + 0,047) x (1 + 0,053) 1 Índice de Inflação Acumulado = 1,047 x 1,053 1 Índice de Inflação Acumulado = 1, Índice de Inflação Acumulado = 0,1025 Índice de Inflação Acumulado = 10,25% (superior a 10%) GABARITO: Certo 38

39 26. Se, ontem, um produto custava X reais e hoje o preço esse produto sofreu um aumento de 60%, então, para comprá-lo hoje pelo mesmo preço de ontem X, será preciso que esse produto sofra um desconto superior a 40%. I - Ontem, o produto custava X reais II Hoje, o produto sofreu um aumento de 60%. Portanto, seu novo preço será: Novo Preço = X + 60%. X = X + 0,60. X = 1,60. X III Para que o produto retorne ao preço de ontem, o desconto será de: Novo Preço Desconto = Preço de Ontem 1,60. X Desconto = X Desconto = 1,60. X X Desconto = 0,60.X Cálculo do percentual de desconto em relação ao preço de hoje (1,60.X): X 1, 60. X Percentual de Desconto = 0,60. = 0,375 = 37,5% Portanto, para comprá-lo hoje pelo mesmo preço de ontem X, será preciso que esse produto sofra um desconto inferior a 40%. GABARITO: Errado 27. Se, do capital X, 40% forem investidos em um fundo de ações e o restante, em um fundo DI, e se, após um mês, as cotas desses fundos se valorizarem 15% e 2%, respectivamente, então a rentabilidade do capital X nesse mês será superior a 7%. Capital = X I - 40% de X foram investidos em um fundo de ações com rendimento de 15% após um mês. Capital Investido em Ações = 40%.X = 0,40.X Montante Após Um Mês = Capital Investido + Rendimento Montante Após Um Mês = 0,40.X + 15%.0,40.X Montante Após Um Mês = 0,40.X + 0,15. 0,40.X Montante Após Um Mês = 0,40.X + 0,06.X Montante Após Um Mês = 0,46.X 39

40 O restante foi aplicado em um fundo DI = X 40%.X = X 0,40.X = 0,60.X II - 60% de X (0,60.X) foram investidos em um fundo DI com rendimento de 2% após um mês. Capital Investido em Ações = 60%.X = 0,60.X Montante Após Um Mês = Capital Investido + Rendimento Montante Após Um Mês = 0,60.X + 2%.0,60.X Montante Após Um Mês = 0,60.X + 0,02. 0,60.X Montante Após Um Mês = 0,60.X + 0,012.X Montante Após Um Mês = 0,612.X III Cálculo do rendimento total após um mês Montante Total Após Um Mês = 0,46.X + 0,612X Montante Total Após Um Mês = (0,46 + 0,612).X Montante Total Após Um Mês = 1,072.X Rendimento Total = Montante Total Capital Aplicado Rendimento Total = 1,072.X X Rendimento Total = 0,072.X = 7,2%.X (que é superior a 7%) GABARITO: Certo 28. Considerando que o Comitê de Política Monetária do Banco Central do Brasil reduza a taxa básica de juros para 11,25% ao ano e que a inflação seja projetada em 4,5% ao ano para 2009, é correto afirmar que a taxa real de juros no Brasil ficará acima de 6,4% ao ano. A taxa real de juros é calculada da seguinte maneira: Taxa Real de Juros = [(1 + Taxa Básica de Juros)/(1 + Taxa de Inflação)] 1 11,25 Taxa Básica de Juros = 11,25% ao ano = 100 = 0,1125 4,5 Taxa de Inflação Projetada = 4,5% ao ano = 100 = 0, ,1125 Taxa Real de Juros = ,045 Taxa Real de Juros = 1, , 045 Taxa Real de Juros = 1, Taxa Real de Juros = 0,0646 = 6,46% (acima de 6,4%) GABARITO: Certo 40

41 29.(ATRFB-2009-Esaf) Em um determinado período de tempo, o valor do dólar americano passou de R$ 2,50 no início para R$ 2,00 no fim do período. Assim, com relação a esse período, pode-se afirmar que: a) O dólar se desvalorizou 25% em relação ao real. b) O real se valorizou 20% em relação ao dólar. c) O real se valorizou 25% em relação ao dólar. d) O real se desvalorizou 20% em relação ao dólar. e) O real se desvalorizou 25% em relação ao dólar. 1 Início do Período 1 dólar = 2,50 reais 1 real = 2,50 1 Final do Período 1 dólar = 2,00 reais 1 real = = 0,50 dólar 2,00 = 0,40 dólar Para calcular a valorização do real, temos que utilizar a cotação do real em dólar no início e no final do período: Valorização do Real = 0,50 0, 40 0,10 1 = = = 25% 0, 40 0,40 4 Para calcular a desvalorização do dólar, temos que utilizar a cotação do dólar em real no início e no final do período: Desvalorização do Dólar = GABARITO: C 2,50 2,00 0,50 1 = = = 20% 2,50 2, (Analista em Planejamento, Orçamento e Finanças Públicas- Sefaz/SP-2009-Esaf) Um capital unitário aplicado a juros gerou um montante de 1,1 ao fim de 2 meses e 15 dias. Qual a taxa de juros simples anual de aplicação deste capital? a) 48% b) 10% c) 4% d) 54% e) 60% 41