Aula 00. Matemática Financeira para IBGE. Matemática Financeira Professor: Guilherme Neves. Prof.

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1 Aula 00 Matemática Financeira Professor: Guilherme Neves 1

2 Aula 00 Aula Demonstrativa Matemática Financeira para IBGE Aula demonstrativa Apresentação... 3 Juros... 4 Formas de Representação da Taxa de Juros... 6 Elementos da Operação de Juros... 6 Regimes de Capitalização... 8 Capitalização Simples... 8 Capitalização Composta... 9 Juros Simples Homogeneização entre a taxa e o prazo de capitalização Taxas Proporcionais Juros Simples Ordinários (Comerciais) e Exatos Prazo, Taxa e Capital Médios Fórmula do Prazo Médio Fórmula da Taxa Média Fórmula do Capital Médio Relação das questões comentadas Gabaritos

3 Apresentação Olá, pessoal! Saiu o edital para o concurso do IBGE!! Meu nome é Guilherme Neves. Sou professor de Raciocínio Lógico, Matemática, Matemática Financeira, Estatística e Física. Posso afirmar em alto e bom tom que ensinar é a minha predileção. Comecei a dar aulas para concursos, em Recife, quando tinha apenas 17 anos (mesmo antes de começar o meu curso de Bacharelado em Matemática na UFPE). Ensino no Ponto dos Concursos desde março de Agora no início de 2016 completarei 10 anos de carreira. Atualmente moro nos Estados Unidos onde estou estudando em outro curso de graduação (Engenharia Civil na University of Central Florida). Esta é a aula demonstrativa do curso de Matemática Financeira (conhecimento específico para Analista Recursos Materiais e Logística). Vamos seguir o seguinte cronograma para cobrir todo o conteúdo do edital. Aula 00 Aula 01 Aula 02 Juros Simples Descontos Simples, Valor Nominal e Valor Atual. Juros Compostos Nesta aula, que é demonstrativa, vamos estudar os conceitos básicos envolvendo Juros Simples e resolver questões da FGV. 3

4 Introdução A Matemática Financeira é uma ciência que não se preocupa apenas com o cálculo dos juros simples e compostos. Esta é a função de um dos capítulos iniciais da matemática comercial. A Matemática Financeira é o elo entre os métodos matemáticos e os fenômenos financeiro-econômicos. É uma ciência que se preocupa com a construção de modelos gerais, representação de variáveis monetárias na linha do tempo. Matemática Financeira é a disciplina que estuda o entendimento dos modelos de aplicação, avaliação de investimentos e captação de recursos. A operação básica da matemática financeira é a operação de empréstimo. Alguém dispõe de certo capital, empresta-o por certo período de tempo. Após esse período, recebe o seu capital acrescido de uma remuneração pelo empréstimo. A essa remuneração denominamos juro. Existem diversas razões que justificam o pagamento dos juros na operação de empréstimo. O primeiro deles é o custo de oportunidade. Obviamente, quando alguém disponibiliza certa quantia para ser emprestada, deixará de investir o capital em outros projetos. Portanto, o não-uso deste capital deverá ser remunerado. Deve-se levar em consideração a perda do poder de compra na linha do tempo. Com o aumento generalizado de preços causado pela inflação, quem empresta o dinheiro quer preservar o poder de compra. O elemento que será responsável por preservar o valor do dinheiro no tempo é o juro. Os bancos em geral têm despesas administrativas e obviamente têm o interesse de repassar essas despesas para os devedores. Um aspecto de destaque é o de considerar os valores em seu momento no tempo. A valoração que fazemos de algo está diretamente associada ao momento em que ocorre. Juros O juro é o dinheiro pago pelo dinheiro emprestado. É o custo do capital de terceiros colocado à nossa disposição. 4

5 Alguém que dispõe de um capital C (denominado principal, capital inicial, valor atual), empresta-o a outrem por certo período de tempo, e após esse período recebe o seu capital de volta. Esse capital ao ser devolvido deverá ser remunerado. Essa remuneração é chamada de juro. Ao emprestarmos uma quantia em dinheiro, por determinado período de tempo, costumamos cobrar o juro, de tal modo que, no fim do prazo estipulado, disponhamos não só da quantia emprestada, como também de um acréscimo que compense a não-utilização do capital financeiro, por nossa parte, durante o período em que foi emprestado. A soma capital + juros é chamada de montante e será representada por M. Montante = Capital + Juros M = C + J Os juros são fixados através de uma taxa percentual que sempre se refere a uma unidade de tempo: dia, mês, bimestre, trimestre, semestre, ano,.... Utilizamos, usualmente, a letra i para denotar a taxa de juros. A letra i é a inicial da palavra inglesa interest, que significa juros. O elemento que faz a equivalência dos valores ao longo do tempo é o juro, que representa a remuneração do capital. Exemplo: i = 24% ao ano = 24% a. a. i = 6% ao trimestre = 6% a. t. i = 3,5% ao dia = 3,5% a. d. Veremos ao longo deste curso, que não é permitido em Matemática Financeira operar com quantias em épocas diferentes. O objetivo da Matemática Financeira é permitir a comparação de valores em diversas datas de pagamento ou recebimento e o elemento chave para a comparação destes valores é a taxa de juros. Imagine que o Banco Agi Ota cobra uma taxa de 6% ao mês no uso do cheque especial. E em determinado mês, Alberto precisou pegar emprestado do banco R$ ,00. Que valor ele deve depositar na sua conta daqui a um mês para saldar a dívida? 5

6 Vimos anteriormente que ao pegar alguma quantia emprestada, além de devolver o principal, deve-se remunerar o capital. E quanto será a remuneração? Quem responderá essa pergunta é a taxa de juros. Se a taxa de juros é de 6% ao mês e a quantia emprestada é de R$ ,00, então para saldar a dívida deve-se pagar os R$ ,00 e mais os juros cobrados pelo banco. O juro que deverá ser pago daqui a um mês será 6% de R$ ,00. Ou seja, j = 6% de = = 900 reais 100 O valor total que Alberto deve depositar na sua conta para saldar a dívida é igual a = reais. Formas de Representação da Taxa de Juros É importante observar que no cálculo anterior, a taxa de juros 6% foi transformada em fração decimal para permitir a operação. Assim, as taxas de juros terão duas representações: i) Sob a forma de porcentagem (taxa percentual): 6% ao ano = 6% a.a. ii) Sob a forma de fração decimal (taxa unitária): = 0,06 A representação em percentagem é a comumente utilizada; entretanto, todos os cálculos e desenvolvimentos de fórmulas serão feitos através da notação em fração decimal. Elementos da Operação de Juros Na situação descrita acima, podemos perceber os principais elementos de uma operação de juros. Imagine que o Banco Agi Ota cobra uma taxa de 6% ao mês no uso do cheque especial. E em determinado mês, Alberto precisou pegar 6

7 emprestado do banco R$ ,00. Que valor Alberto deve depositar na sua conta daqui a um mês para saldar a dívida? Capital (C) Pode ser chamado de principal, capital inicial, valor presente, valor atual, montante inicial, valor de aquisição, valor à vista. No nosso exemplo, é o dinheiro que Alberto pegou emprestado do banco. Temos então, no nosso problema, que o capital é igual a R$ ,00. C = , 00 Juros (J) Também chamado de rendimento. Quando uma pessoa empresta a outra um valor monetário, durante certo tempo, é cobrado um valor pelo uso do dinheiro. Esse valor é denominado juro. Pelos cálculos que fizemos na página anterior: J = 900, 00 Taxa de juros (i) A taxa de juros representa os juros numa certa unidade de tempo. A taxa obrigatoriamente deverá explicitar a unidade de tempo. Por exemplo, se Alberto vai ao banco tomar um empréstimo e o gerente diz: - Ok! O seu empréstimo foi liberado! E a taxa de juros que nós cobramos é de apenas 8%. Ora, a informação desse gerente está incompleta. Pois se os juros forem de 8% ao ano... Ótimo! E se essa taxa de juros for ao dia? PÉSSIMO! Portanto, perceba que a indicação da unidade da taxa de juros é FUNDAMENTAL. Tempo (n) Quando falamos em tempo, leia-se NÚMERO DE PERÍODOS. No nosso exemplo, se Alberto ficasse devendo ao banco por 3 meses, o número de períodos seria igual a 3. Agora, imagine a seguinte situação. Toma-se um empréstimo com a taxa de 7,5% a.b. (ao bimestre). Se Alberto demorar 6 meses para efetuar o pagamento da dívida, o seu n, ou seja, o seu tempo não será igual a 6. O seu tempo será igual a 3!!! Pois a taxa é bimestral, e em um período de 6 meses temos 3 bimestres. No nosso caso, a taxa era mensal e Alberto usou o cheque especial durante apenas um mês. Montante (M) Pode ser chamado de montante, montante final, valor futuro. É o valor de resgate. Obviamente o montante é maior do que o capital inicial. O montante é, em suma, o capital mais os juros. 7

8 M = C + J As operações de empréstimo são feitas geralmente por intermédio de um banco que, de um lado, capta dinheiro de interessados em aplicar seus recursos e, de outro, empresta esse dinheiro aos tomadores interessados no empréstimo. Regimes de Capitalização Denominamos regimes de capitalização aos diferentes processos como os juros são gerados e agregados ao capital aplicado. Os juros são normalmente classificados em simples ou compostos, dependendo do processo de cálculo utilizado. Ou seja, se um capital for aplicado a certa taxa por período, por vários intervalos ou períodos de tempo, o valor do montante pode ser calculado segundo duas convenções de cálculo, chamadas de regimes de capitalização: capitalização simples (juros simples) e capitalização composta (juros compostos). A definição e a fórmula que demos para MONTANTE, independe do processo de capitalização. Ou seja, não interessa se o regime adotado é o simples ou o composto, sempre teremos: M = C + J Vejamos dois exemplos para entender os esses dois tipos de capitalização. Capitalização Simples De acordo com esse regime, os juros gerados em cada período são sempre os mesmos. Nessa hipótese, os juros pagos de cada período são calculados sempre em função do capital inicial empregado. Vejamos um exemplo numérico visando a fixação desse conceito. Guilherme aplicou R$ ,00 a juros simples durante 5 anos à taxa de 20% a.a. Vamos calcular os juros gerados em cada período e o montante após o período de aplicação. Como a própria leitura da taxa indica: 20% ao ano (vinte por cento ao ano). Cada ano, de juros, receberei 20%. 20% de quem? Do capital aplicado R$ 8

9 10.000,00. A taxa de juros, no regime simples, sempre incide sobre o capital inicial. Os juros gerados no primeiro ano são 20 Os juros gerados no segundo ano são 20 Os juros gerados no terceiro ano são 20 Os juros gerados no quarto ano são 20 Os juros gerados no quinto ano são = = = = = Na CAPITALIZAÇÃO SIMPLES os juros gerados em cada período são sempre os mesmos, ou seja, a taxa incide apenas sobre o capital inicial. Dessa forma, o montante após os 5 anos vale R$ ,00 (capital aplicado) mais 5 vezes R$ 2.000,00 (juros). Conclusão: o montante é igual a R$ ,00 (lembre-se que o montante é o capital inicial mais o juro). Capitalização Composta No regime de capitalização composta, o juro gerado em cada período agrega-se ao capital, e essa soma passa a render juros para o próximo período. Daí que surge a expressão juros sobre juros. Imagine a seguinte situação: Guilherme aplicou R$ ,00 a juros compostos durante 5 anos à taxa de 20% a.a. Vamos calcular os juros gerados em cada período e o montante após o período de cada aplicação. Os juros gerados no primeiro ano são primeiro ano é = Os juros gerados no segundo ano são 20 segundo ano é = Os juros gerados no terceiro ano são terceiro ano é = = e o montante após o = e o montante após o = e o montante após o 9

10 Os juros gerados no quarto ano são quarto ano é = Os juros gerados no quinto ano são quinto ano é ,20 = , = e o montante após o = 4.147,20 e o montante após o Observação: Se a operação de juros for efetuada em apenas um período, o montante será igual nos dois regimes. No nosso exemplo, se parássemos a aplicação no primeiro mês, teríamos um montante de R$ ,00 nos dois regimes de capitalização. Observe ainda que o dinheiro cresce mais rapidamente a juros compostos do que a juros simples. Juros Simples Como vimos anteriormente, juros simples são aqueles calculados sempre sobre o capital inicial, sem incorporar à sua base de cálculo os juros auferidos nos períodos anteriores. Ou seja, os juros não são capitalizados. Vejamos outro exemplo para entendermos bem a fórmula de juros simples. Imagine que você aplique R$ 5.000,00 à taxa de juros simples de 3% ao mês. Então, ao final do primeiro mês de aplicação, o juro produzido será: 3% de = = Ou seja, para calcular o juro produzido no primeiro mês, basta multiplicar a taxa de juros pelo capital inicial. Como, sob o regime de capitalização simples, os juros produzidos em cada período são sempre iguais, podemos concluir que, se esse capital fosse aplicado por 10 meses, produziria juros de: 150 x 10 = A partir desse exemplo, é fácil compreender a fórmula para o cálculo do juro simples. 10

11 Adotaremos as seguintes notações: C Capital inicial i taxa de juros simples n tempo de aplicação J juro simples produzido durante o período de aplicação. M montante ao final da aplicação O juro produzido no primeiro período de aplicação é igual ao produto do capital inicial (C) pela taxa de juros (i), como foi feito no nosso exemplo. E, consequentemente, o juro produzido em n períodos de aplicação será: J C i n (1) E, lembrando também que o montante é a soma do capital com os juros produzidos, temos a seguinte fórmula abaixo: M C J (2) Substituindo a fórmula (1) na fórmula (2), temos então a seguinte expressão: M C C i n C 1 C Em álgebra, significa, portanto, J Colocando o C em evidência, M 1 C C i n M C (1 i n) (3) É de suma importância memorizar as três fórmulas abaixo. J C i n (1) M C J (2) M C (1 i n) (3) 11

12 E devemos estar atentos ao seguinte fato: Deve-se utilizar a taxa na forma unitária. Assim, por exemplo, se a taxa for de 30%, utilizamos = 0,30. Homogeneização entre a taxa e o prazo de capitalização A taxa de juros deverá estar explicitada na mesma unidade de tempo apresentada pelo prazo de capitalização. Ou seja, deve existir concordância entre as unidades da taxa de juros e do tempo. Assim, se a taxa for mensal, o tempo deverá ser expresso em meses; Se a taxa for bimestral, o tempo deverá ser expresso em bimestres; E assim sucessivamente. Exemplos i=3% a.m. n=150 dias. A taxa está expressa em meses e o tempo em dias. Para que haja concordância entre as unidades, deveremos escolher uma unidade comum e transformar um dos objetos. O mês comercial é de 30 dias. Portanto, para transformar o tempo de 150 dias para meses, basta dividir por 30. n = 150 dias = meses = 5 meses i=3% a.m. n= 5 meses Para efetuar a transformação da taxa, no regime de juros simples, utilizaremos o conceito de taxas proporcionais. Transformar a taxa significa encontrar uma taxa equivalente, ou seja, que para um mesmo período, os juros gerados sejam o mesmo. No regime de capitalização simples, taxas proporcionais são equivalentes. 12

13 Taxas Proporcionais Duas taxas são proporcionais quando a razão entre elas é igual à razão entre os respectivos períodos expressos na mesma unidade de tempo. A definição de taxas proporcionais não está condicionada ao regime de capitalização. Portanto, teremos taxas proporcionais tanto no regime de capitalização simples quanto no regime de capitalização composta. O fato importante é que no regime de capitalização simples as taxas proporcionais são equivalentes. Simbolicamente, dizemos que a taxa i 1 referente ao período t 1 é proporcional à taxa i 2 referente ao período t 2 se i 1 i 2 = t 1 t 2 Para exemplificar, no regime de juros simples, um capital aplicado por 1 ano (12 meses) a uma taxa de 36% ao ano produz o mesmo montante quando o mesmo capital é aplicado a uma taxa de 3% ao mês por 12 meses. Neste exemplo, dizemos que 3% ao mês é proporcional a 36% ao ano, pois como 1 ano é o mesmo que 12 meses, tem-se: 2% 24% = 1 mês 12 meses Poderíamos ter adotado a seguinte linha de raciocínio. Como 1 ano é 12 vezes maior do que o período de 1 mês, então a taxa anual proporcional é 12 vezes maior do que a taxa mensal. Exemplo: Determinar a taxa diária proporcional a 3% ao mês. Aplicando a definição de taxas proporcionais (lembre-se que o mês comercial possui 30 dias). i m 30 dias = i d 1 dia 3% i d = 30 dias 1 dia 13

14 Em toda proporção, o produto dos meios é igual ao produto dos extremos. i d 30 = 3% 1 i d = 3% 30 = 0,1% ao dia Poderíamos ter adotado a seguinte linha de raciocínio. Como 1 dia é 30 vezes menor do que o período de 1 mês, então a taxa diária proporcional é 30 vezes menor. i d = i m 30 = 3% = 0,1% ao dia 30 Juros Simples Ordinários (Comerciais) e Exatos Na prática, usualmente, é adotado o juro simples ordinário (utiliza o ano comercial com 360 dias e meses com 30 dias). O juro simples exato (utiliza o ano civil com 365 dias) somente é usado quando para isso for expresso explicitamente na operação. Os juros são considerados ordinários ou comerciais quando utilizam o ano comercial para estabelecer a homogeneidade entre a taxa e o tempo. Logo, em juros ordinários, consideramos que todos os meses têm 30 dias e o ano tem 360 dias. Juros exatos são aqueles em que se utiliza o calendário civil para verificarmos a quantidade de dias entre duas datas. Logo, quando o mês tem 31 dias deveremos considerar o total e não 30 dias. Para facilitar o cálculo de juros nestas modalidades, é fundamental efetuarmos o cálculo com taxa anual e o tempo expresso em dias. Para calcular a taxa equivalente diária devemos dividir a taxa anual pelo número total de dias do ano comercial (360 dias) ou ano exato (365 ou 366 dias). Devemos ficar atentos ao fato de o ano ser ou não bissexto no caso de juros exatos. Podemos criar dois processos mnemônicos para saber quais anos são bissextos ou não. Para começar, os anos bissextos obrigatoriamente são pares. Um ano é dito bissexto se for múltiplo de 4, exceto os que são múltiplos de 100, a não ser que sejam múltiplos de 400. Dica: Para verificar se um número é divisível por 4 basta dividir os últimos dois dígitos do número por

15 Assim, 1998 não é divisível por 4 e, portanto, não é bissexto. Uma maneira mais lúdica de memorizar é o seguinte: Os anos pares ou são anos de Olimpíada ou são anos de Copa do Mundo. Os anos bissextos são os anos de Olimpíadas!!! Como em 1998 houve a Copa do Mundo da França, o ano não foi bissexto. Vamos agora começar a resolver as questões. Se eu tivesse que apostar em uma questão de juros simples, ela seria igual a primeira questão que vamos fazer. Esta mesma questão cai em provas da FGV desde (FUNARTE 2014/FGV) Uma televisão pode ser comprada em certa loja por R$ 860,00 à vista ou em duas parcelas de R$ 460,00, uma no ato da compra e a outra 30 dias depois. A taxa de juros ao mês que a loja está cobrando é de: a) 8% b) 10% c) 12% d) 15% e) 18% Resolução Esta é uma questão muito fácil de juros simples. A dificuldade que as pessoas têm é em saber qual é o capital e qual é o juro da operação. Vejamos o que diz o enunciado. A televisão custa R$ 860,00 à vista. O indivíduo dará uma entrada de R$ 460,00. Ora, se a televisão custa R$ 860,00 e a pessoa dá uma entrada de R$ 460,00, quanto esta pessoa ficou devendo para a loja? Quatrocentos reais!! A situação é a seguinte: a pessoa está devendo 400 reais. A loja faz a proposta para que ele pague R$ 460,00 daqui a um mês. Assim, o capital que foi emprestado pela loja é de R$ 400,00. E o juro? O juro é de R$ 60,00. O prazo é de um mês. Vamos jogar estes dados na fórmula de juros simples. J = C i n 60 = 400 i

16 i = Para transformar esta taxa em porcentagem, devemos multiplicá-la por 100%. Letra D i = % = 15% 400 Vamos fazer as questões que caíram na FGV desde 2001 e que são idênticas a esta. Há uma grande probabilidade de cair uma igual na sua prova. 02. (Vestibular FGV 2001) Um vidro de perfume é vendido à vista por R$48,00 ou a prazo, em dois pagamentos de R$25,00 cada um, o primeiro no ato da compra e o outro um mês depois. A taxa mensal de juros do financiamento é aproximadamente igual a: A) 6,7% B) 7,7% C) 8,7% D) 9,7% E) 10,7% Resolução O valor à vista é de R$ 48,00. Se o indivíduo dá uma entrada de R$ 25,00, então ficou devendo R$ 23,00. Mas o pagamento feito um mês depois foi de R$ 25,00. Assim, o juro cobrado foi de R$ 2,00. Observe que a taxa de juros só incide no valor devido e não sobre o valor já pago. J = C i n 2 = 23 i 1 i = 2 0,0869 8,7% 23 Letra C 03. (BESC 2004/FGV) Um artigo é vendido, à vista, por R$ 150,00 ou em dois pagamentos de R$ 80,00 cada um: o primeiro, no ato da compra e o segundo, um mês após a compra. Os que optam pelo pagamento parcelado pagam juros mensais de taxa aproximadamente igual a: 16

17 a) 14,29% b) 13,33% c) 9,86% d) 7,14% e) 6,67% Resolução O valor à vista é de R$ 150,00. Se o indivíduo dá uma entrada de R$ 80,00, então ficou devendo R$ 70,00. Mas o pagamento feito um mês depois foi de R$ 80,00. Assim, o juro cobrado foi de R$ 10,00. J = C i n 10 = 70 i 1 i = 10 0, ,29% 70 Letra A 04. (SEFAZ-MS 2006/FGV) Um artigo custa, à vista, R$ 200,00 e pode ser comprado a prazo com uma entrada de R$ 100,00 e um pagamento de R$ 120,00 um mês após a compra. Os que compram a prazo pagam juros mensais de taxa: a) 5% b) 10% c) 20% d) 25% e) 30% Resolução O valor à vista é de R$ 200,00. Se o indivíduo dá uma entrada de R$ 100,00, então ficou devendo R$ 100,00. Mas o pagamento feito um mês depois foi de R$ 120,00. Assim, o juro cobrado foi de R$ 20,00. J = C i n 20 = 100 i 1 i = = 20% Letra C 17

18 05. (Auditor da Receita Estadual/AP 2010/FGV) Em certa loja, um artigo pode ser comprado por R$ 172,00 à vista ou em duas prestações de R$ 92,00, uma no ato da compra e outra 30 dias depois. A taxa de juros (embutida) que a loja está cobrando nesta operação é de: (A) 15% (B) 13% (C) 11% (D) 9% (E) 7% Resolução O artigo custa R$ 172,00. Como o indivíduo deu uma entrada de R$ 92,00, então ele ficou devendo = 80 reais. Simplificando a conversa: Há uma dívida de 80 reais (capital inicial) a ser paga em 30 dias (1 mês). O valor pago em um mês foi de R$ 92,00. Portanto, o cliente pagou R$ 12,00 de juros em um mês. C = 80 reais n = 1 mês J = 12 reais Vamos aplicar a fórmula de juros simples. J = C i n 12 = 80 i 1 Letra A 80 i = 12 i = 12 = 0,15 = 15% (SEFAZ-RJ 2009/FGV) O valor a ser pago por um empréstimo de R$ 4.500,00, a uma taxa de juros simples de 0,5% ao dia, ao final de 78 dias é de: a) R$ 6.255,00 b) R$ 5.500,00 c) R$ 6.500,00 d) R$ 4.855,00 e) R$ 4.675,00 Resolução 18

19 Temos todas as informações necessárias para o cálculo dos juros simples: o capital, a taxa e o tempo. Além disso, a taxa e o tempo já conformidade em relação à unidade. Lembremos a fórmula de juros simples: J = C i n Temos que o capital é igual a R$ 4.500,00, a taxa é igual a 0,5% = 0,5/100 = 0,005 ao dia e o tempo é igual a 78 dias. J = , J = O valor a ser pago é o montante (capital + juros). Letra A M = C + J M = M = (SEFAZ-RJ 2008/FGV) Um capital é aplicado durante 120 dias a uma taxa de juros simples ordinários de 15% ao ano, produzindo um montante de R$ 8.400,00. Nestas condições, o capital aplicado, desprezando os centavos é: a) R$ 6.500,00 b) R$ 7.850,00 c) R$ 8.017,00 d) R$ 8.820,00 e) R$ 8.000,00 Resolução As unidades de tempo de referência do período de aplicação e da taxa devem ser iguais, porém a taxa de juros e o período de aplicação não estão expressos na mesma unidade. Devemos traçar a nossa estratégia: escolher uma unidade comum para a taxa e para o período de capitalização. Lembre-se que juro ordinário é um sinônimo de juro comercial. Desta forma, consideramos que cada mês tem 30 dias e o ano possui 360 (12 x 30) dias. 19

20 Ora, se o ano comercial possui 360 dias, então os 120 dias do problema representam: = 1 3 do ano Agora temos homogeneidade entre as unidades. A taxa de juros é igual a 15% = 0,15 ao ano e o tempo de aplicação é igual a 1/3 do ano. Lembremos a fórmula do montante simples: M = C (1 + i n) O montante fornecido é igual a R$ 8.400, = C (1 + 0, ) = C (1 + 0,05) = C 1,05 C = ,05 = Desta forma, o capital aplicado é igual a R$ 8.000,00. Letra E 08. (SEFAZ-RJ 2008/FGV) A taxa de juros simples de 0,05% ao dia equivale à taxa semestral de: a) 15,00% b) 1,50% c) 18,00% d) 9,00% e) 12,00% Resolução No regime de capitalização simples as taxas proporcionais são equivalentes. Duas taxas são proporcionais quando a razão entre elas é igual à razão entre os respectivos períodos expressos na mesma unidade de tempo. Simbolicamente, dizemos que a taxa i 1 referente ao período t 1 é proporcional à taxa i 2 referente ao período t 2 se 20

21 i 1 i 2 = t 1 t 2 Queremos comparar a taxa diária com a taxa semestral. Lembre-se que um semestre é a metade de um ano. Como o ano comercial tem 360 dias, um semestre tem 180 dias. i d = 1 dia i s 180 dias 0,05% i s = O produto dos meios é igual ao produto dos extremos. 1 i s = 180 0,05% i s = 9% Poderíamos ter resolvido utilizando o raciocínio seguinte: como um semestre tem 180 dias, então a taxa semestral será igual a taxa diária multiplicada por 180. Letra D i s = 180 0,05% i s = 9% 09. (SEFAZ-RJ 2009/FGV) Um montante inicial foi aplicado a uma taxa de juros simples de 5% ao mês durante 2 meses e depois reaplicado a uma taxa de juros simples de 10% ao mês durante 2 meses, resultando em R$ ,00. O valor do montante inicial era de: a) R$ ,00 b) R$ ,00 c) R$ ,00 d) R$ ,00 e) R$ ,00 Resolução Têm-se duas aplicações a juros simples sucessivas. Digamos que o capital inicial aplicado seja igual a C. Desta forma, aplicando C reais durante 2 meses a uma taxa de 5% ao mês, o montante será igual a: 21

22 M 1 = C (1 + i 1 n 1 ) M 1 = C (1 + 0,05 2) M 1 = C 1,1 Este montante M 1 será o capital de uma nova aplicação. Aplicaremos M 1 reais durante dois meses a uma taxa de 10% ao mês. O novo montante será igual a: M 2 = M 1 (1 + i 2 n 2 ) M 2 = C 1,1 (1 + 0,10 2) M 2 = C 1,1 1,2 M 2 = 1,32 C O montante final é igual a R$ ,00. Portanto: O capital inicial é de R$ ,00. Letra E 1,32 C = C = ,32 = Prazo, Taxa e Capital Médios Apesar de este tópico não estar presente explicitamente no edital da FGV, esta banca já colocou este assunto em provas mesmo sem explicitá-lo no edital (como aconteceu no concurso SEFAZ-RJ 2008). Vejamos alguns exemplos numéricos para um bom entendimento dos conceitos deste tópico para em seguida apresentarmos as fórmulas de prazo, taxa e capital médio. Prazo Médio Imagine a seguinte situação: João fez 2 empréstimos, a juros simples, de um mesmo credor. O primeiro foi de R$ 4.000,00 a uma taxa de 10% ao mês durante 4 meses. O segundo foi de R$ 2.000,00 a uma taxa de 5% ao mês durante 8 meses. O credor e João decidem substituir os prazos de vencimento dos dois empréstimos por um único prazo, de forma que não haja prejuízo para o credor nem para o devedor João. Qual é esse prazo? 22

23 A condição de não haver prejuízo para o credor nem para o devedor se deve ao fato de os juros pagos nas duas situações serem os mesmos. Vejamos os juros pagos nos dois empréstimos: 1º empréstimo 2º empréstimo J 1 = = J 2 = = 800 Dessa forma, João pagará R$ 1.600,00 referentes ao primeiro empréstimo e R$ 800,00 referentes ao segundo empréstimo, totalizando R$ 2.400,00 de juros. Nosso objetivo é trocar o prazo de 4 meses do primeiro empréstimo e o prazo de 8 meses do segundo empréstimo de forma que o juro total permaneça o mesmo (R$ 2.400,00). O prazo que substituirá todos os outros sem alterar o juro total é denominado prazo médio n 5 m n m = n m n m = n m = n m = 24 5 meses Devemos dividir 24 meses por 5. Ora, 24 meses dividido por 5 é igual a 4 meses e resto igual a 4 meses. Como o mês comercial possui 30 dias, os 4 meses de resto equivalem a 4 30 = 120 dias. Devemos dividir 120 dias por 5 que é igual a 24 dias. 24 meses 5 4 meses 4 meses 120 dias dias Assim, o prazo médio é igual a 4 meses e 24 dias. 23

24 Taxa Média Imagine a seguinte situação: João fez 2 empréstimos, a juros simples, de um mesmo credor. O primeiro foi de R$ 4.000,00 a uma taxa de 10% ao mês durante 4 meses. O segundo foi de R$ 2.000,00 a uma taxa de 5% ao mês durante 8 meses. O credor e João decidem substituir as taxas de juros dos dois empréstimos por uma única taxa, de forma que não haja prejuízo para o credor nem para o devedor João. Qual é essa taxa? A condição de não haver prejuízo para o credor nem para o devedor se deve ao fato de os juros pagos nas duas situações serem os mesmos. Vejamos os juros pagos nos dois empréstimos: 1º empréstimo 2º empréstimo J 1 = = J 2 = = 800 Dessa forma, João pagará R$ 1.600,00 referentes ao primeiro empréstimo e R$ 800,00 referentes ao segundo empréstimo, totalizando R$ 2.400,00 de juros. A taxa que substituirá todas as outras sem alterar o juro total é denominado taxa média i m i m 8 = i m i m = i m = i m = % = 7,5% Assim, a taxa média é de 7,5% ao mês. 24

25 Capital Médio Imagine a seguinte situação: João fez 2 empréstimos, a juros simples, de um mesmo credor. O primeiro foi de R$ 4.000,00 a uma taxa de 10% ao mês durante 4 meses. O segundo foi de R$ 2.000,00 a uma taxa de 5% ao mês durante 8 meses. O credor e João decidem substituir os capitais dos dois empréstimos por um único capital, de forma que não haja prejuízo para o credor nem para o devedor João. Qual é esse capital? A condição de não haver prejuízo para o credor nem para o devedor se deve ao fato de os juros pagos nas duas situações serem os mesmos. Vejamos os juros pagos nos dois empréstimos: 1º empréstimo J 1 = = º empréstimo J 2 = = 800 Dessa forma, João pagará R$ 1.600,00 referentes ao primeiro empréstimo e R$ 800,00 referentes ao segundo empréstimo, totalizando R$ 2.400,00 de juros. O capital que substituirá todos os outros sem alterar o juro total é denominado capital médio. C m C 5 m = ,4 C m + 0,4 C m = ,8 C m = C m = Assim, o capital médio é de R$ 3.000,

26 Fórmulas do Prazo Médio, Taxa Média e Capital Médio Neste tópico demonstraremos as fórmulas de Prazo Médio, Taxa Média e Capital Médio e em seguida resolveremos diversas questões de concursos. A demonstração será feita para um caso particular de três aplicações, mas pode ser generalizada para um número qualquer de aplicações. Fórmula do Prazo Médio Considere três capitais C 1, C 2 e C 3,, aplicados às taxas simples i 1, i 2 e i 3,, pelos prazos n 1, n 2 e n 3,. O juro total obtidos com essas três aplicações é de: J t = C 1 i 1 n 1 + C 2 i 2 n 2 + C 3 i 3 n 3 Nosso objetivo é substituir os três prazos por um único prazo n m denominado prazo médio de forma que o juro total permaneça constante. Dessa forma: J t = C 1 i 1 n m + C 2 i 2 n m + C 3 i 3 n m C 1 i 1 n m + C 2 i 2 n m + C 3 i 3 n m = C 1 i 1 n 1 + C 2 i 2 n 2 + C 3 i 3 n 3 n m (C 1 i 1 + C 2 i 2 + C 3 i 3 ) = C 1 i 1 n 1 + C 2 i 2 n 2 + C 3 i 3 n 3 n m = C 1 i 1 n 1 + C 2 i 2 n 2 + C 3 i 3 n 3 C 1 i 1 + C 2 i 2 + C 3 i 3 J 1 + J 2 + J 3 n m = C 1 i 1 + C 2 i 2 + C 3 i 3 A partir desta fórmula, podemos concluir que o prazo médio é a média ponderada dos prazos com fatores de ponderação os capitais e as taxas. Fórmula da Taxa Média Procedendo da mesma maneira que o item anterior (Fórmula do Prazo Médio), conclui-se que a taxa média é a média aritmética das taxas, tendo como fatores de ponderação os capitais e os prazos. 26

27 J 1 + J 2 + J 3 i m = C 1 n 1 + C 2 n 2 + C 3 n 3 Fórmula do Capital Médio Analogamente aos casos anteriores. O capital médio é a média aritmética dos capitais, tendo como fatores de ponderação os as taxas e os prazos. J 1 + J 2 + J 3 C m = i 1 n 1 + i 2 n 2 + i 3 n 3 Exemplo João fez 2 empréstimos, a juros simples, de um mesmo credor. O primeiro foi de R$ 4.000,00 a uma taxa de 10% ao mês durante 4 meses. O segundo foi de R$ 2.000,00 a uma taxa de 5% ao mês durante 8 meses. Determine o prazo médio, a taxa média e o capital médio. Resolução Vejamos os juros pagos nos dois empréstimos: 1º empréstimo 2º empréstimo Prazo médio J 1 = = J 2 = = 800 J 1 + J 2 n m = C 1 i 1 + C 2 i 2 n m = , ,05 = = 24 5 meses = 4 meses e 24 dias 27

28 Taxa Média J 1 + J 2 i m = C 1 n 1 + C 2 n 2 i m = = % = 7,5% ao mês Capital Médio J 1 + J 2 C m = i 1 n 1 + i 2 n 2 C m = , ,05 8 = = reais 0,8 10. (SEFAZ-RJ 2008/FGV) Os valores de R$ ,00 e R$ ,00 foram aplicados à mesma taxa de juros simples durante 12 e 6 meses, respectivamente. O prazo médio da aplicação conjunta desses capitais, em meses é: a) 12 b) 8 c) 10 d) 9,2 e) 7,5 Resolução Já que as taxas das quatro aplicações são iguais, podemos dizer que todas as taxas são iguais a i. Vamos calcular os juros obtidos em cada uma das aplicações. J 1 = i 12 = i J 2 = i = i Apliquemos a fórmula do prazo médio. 28

29 n m = n m = J 1 + J 2 n m = C 1 i 1 + C 2 i i i i i i i = 8 meses Letra B 29

30 Relação das questões comentadas 01. (FUNARTE 2014/FGV) Uma televisão pode ser comprada em certa loja por R$ 860,00 à vista ou em duas parcelas de R$ 460,00, uma no ato da compra e a outra 30 dias depois. A taxa de juros ao mês que a loja está cobrando é de: a) 8% b) 10% c) 12% d) 15% e) 18% 02. (Vestibular FGV 2001) Um vidro de perfume é vendido à vista por R$48,00 ou a prazo, em dois pagamentos de R$25,00 cada um, o primeiro no ato da compra e o outro um mês depois. A taxa mensal de juros do financiamento é aproximadamente igual a: A) 6,7% B) 7,7% C) 8,7% D) 9,7% E) 10,7% 03. (BESC 2004/FGV) Um artigo é vendido, à vista, por R$ 150,00 ou em dois pagamentos de R$ 80,00 cada um: o primeiro, no ato da compra e o segundo, um mês após a compra. Os que optam pelo pagamento parcelado pagam juros mensais de taxa aproximadamente igual a: a) 14,29% b) 13,33% c) 9,86% d) 7,14% e) 6,67% 04. (SEFAZ-MS 2006/FGV) Um artigo custa, à vista, R$ 200,00 e pode ser comprado a prazo com uma entrada de R$ 100,00 e um pagamento de R$ 120,00 um mês após a compra. Os que compram a prazo pagam juros mensais de taxa: a) 5% b) 10% c) 20% 30

31 d) 25% e) 30% 05. (Auditor da Receita Estadual/AP 2010/FGV) Em certa loja, um artigo pode ser comprado por R$ 172,00 à vista ou em duas prestações de R$ 92,00, uma no ato da compra e outra 30 dias depois. A taxa de juros (embutida) que a loja está cobrando nesta operação é de: (A) 15% (B) 13% (C) 11% (D) 9% (E) 7% 06. (SEFAZ-RJ 2009/FGV) O valor a ser pago por um empréstimo de R$ 4.500,00, a uma taxa de juros simples de 0,5% ao dia, ao final de 78 dias é de: a) R$ 6.255,00 b) R$ 5.500,00 c) R$ 6.500,00 d) R$ 4.855,00 e) R$ 4.675, (SEFAZ-RJ 2008/FGV) Um capital é aplicado durante 120 dias a uma taxa de juros simples ordinários de 15% ao ano, produzindo um montante de R$ 8.400,00. Nestas condições, o capital aplicado, desprezando os centavos é: a) R$ 6.500,00 b) R$ 7.850,00 c) R$ 8.017,00 d) R$ 8.820,00 e) R$ 8.000, (SEFAZ-RJ 2008/FGV) A taxa de juros simples de 0,05% ao dia equivale à taxa semestral de: a) 15,00% b) 1,50% c) 18,00% d) 9,00% e) 12,00% 31

32 09. (SEFAZ-RJ 2009/FGV) Um montante inicial foi aplicado a uma taxa de juros simples de 5% ao mês durante 2 meses e depois reaplicado a uma taxa de juros simples de 10% ao mês durante 2 meses, resultando em R$ ,00. O valor do montante inicial era de: a) R$ ,00 b) R$ ,00 c) R$ ,00 d) R$ ,00 e) R$ , (SEFAZ-RJ 2008/FGV) Os valores de R$ ,00 e R$ ,00 foram aplicados à mesma taxa de juros simples durante 12 e 6 meses, respectivamente. O prazo médio da aplicação conjunta desses capitais, em meses é: a) 12 b) 8 c) 10 d) 9,2 e) 7,5 32

33 Gabaritos 01. D 02. C 03. A 04. C 05. A 06. A 07. E 08. D 09. E 10. B 33