MATEMÁTICA FINANCEIRA, ESTATÍSTICA E RAC. CRÍTICO PARA ICMS/SP PROFESSOR: GUILHERME NEVES

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1 Aula 1 Juros Compostos... 2 Fórmula do Montante Composto... 3 Comparação entre as Capitalizações Simples e Composta... 3 Convenção Linear e Convenção Exponencial... 5 Taxas Equivalentes Taxa Nominal e Taxa Efetiva Taxa Real e Taxa Aparente Relação das questões comentadas Gabaritos Prof. Guilherme Neves 1

2 Juros Compostos No regime de capitalização composta, o juro gerado em cada período agrega-se ao capital, e essa soma passa a render juros para o próximo período. Daí que surge a expressão juros sobre juros. Imagine a seguinte situação: Guilherme aplicou R$ ,00 a juros compostos durante 5 anos à taxa de 20% a.a. Vamos calcular os juros gerados em cada período e o montante após o período de cada aplicação. Os juros gerados no primeiro ano são o primeiro ano é = Os juros gerados no segundo ano são o segundo ano é = Os juros gerados no terceiro ano são terceiro ano é = Os juros gerados no quarto ano são quarto ano é = Os juros gerados no quinto ano são o quinto ano é ,20 = , =2.000 e o montante após =2.400 e o montante após =2.880 e o montante após o =3.456 e o montante após o =4.147,20 e o montante após Período de Capitalização O intervalo de tempo em que os juros são incorporados ao capital é chamado de período de capitalização. Dessa forma, se o problema nos diz que a capitalização é mensal, então os juros são calculados todo mês e imediatamente incorporados ao capital. Capitalização trimestral: os juros são calculados e incorporados ao capital uma vez por trimestre. E assim por diante. Prof. Guilherme Neves 2

3 Caso a periodicidade da taxa e do número de períodos não estiverem na mesma unidade de tempo, deverá ser efetuado um ajuste prévio para a mesma unidade antes de efetuarmos qualquer cálculo. Abordaremos este assunto em seções posteriores (taxas de juros). Fórmula do Montante Composto Para calcular o montante de uma capitalização composta utilizaremos a seguinte fórmula básica: M montante (capital + juros). C Capital inicial aplicado. i taxa de juros n número de períodos. = (1+) Observe que se a capitalização é bimestral e aplicação será feita durante 8 meses, então o número de períodos é igual a 4 bimestres. Não utilizaremos uma fórmula específica para o cálculo dos juros compostos. Se por acaso em alguma questão precisarmos calcular o juro composto, utilizaremos a relação: =+ = Comparação entre as Capitalizações Simples e Composta Considere a seguinte situação: João aplicará a quantia de R$ 1.000,00 a uma taxa de 10% ao mês. Calcule os montantes simples e compostos para os seguintes períodos de capitalização: a) 1 mês b) 15 dias (meio mês) c) 2 meses a) Capitalização Simples = (1+ ) =1.000 (1+0,1 1)=1.100 Prof. Guilherme Neves 3

4 Capitalização Composta = (1+) =1.000 (1+0,1) =1.100 Observe que, para =1, o montante simples é igual ao montante composto. b) Capitalização Simples Capitalização Composta = (1+ ) =1.000 (1+0,1 0,5)=1.050 = (1+) =1.000 (1+0,1), =1.048,81 Observe que, para =0,5, o montante simples é maior do que o montante composto. c) Capitalização Simples Capitalização Composta = (1+ ) =1.000 (1+0,1 2)=1.200 = (1+) =1.000 (1+0,1) =1.210 Observe que, para =2, o montante simples é menor do que o montante composto. Em resumo, temos as seguintes relações =1 O montante simples é igual ao montante composto. 0<<1 O montante simples é maior do que o montante composto. >1 O montante simples é menor do que o montante composto. Prof. Guilherme Neves 4

5 Convenção Linear e Convenção Exponencial Vimos que se o número de períodos for menor do que 1, é mais vantajoso para o credor cobrar juros simples. Utilizaremos esse fato a favor do credor quando, na capitalização composta, o número de períodos for fracionário. Por exemplo, estamos fazendo uma aplicação a juros compostos durante 3 meses e meio. Podemos dizer que o tempo 3,5 meses é igual a 3 meses + 0,5 meses. Assim, poderíamos calcular o montante no período fracionário sob o regime simples (para ganhar mais dinheiro obviamente). Em Matemática Financeira, quando o número de períodos é fracionário, podemos calcular o montante de duas maneiras: - Convenção Exponencial - Convenção Linear Um capital de R$ ,00 será aplicado por 3 meses e meio à taxa de 10% ao mês, juros compostos, em que se deseja saber o montante gerado. - Convenção Exponencial A convenção exponencial diz que o período, mesmo fracionário, será utilizado no expoente da expressão do montante. Assim, M = C (1 + i) n 3,5 M = (1+ 0,10) 3,5 M = ,10 O valor 1,10 3,5 = 1, deverá ser fornecido pela questão. - Convenção Linear M = , M = ,64 A convenção linear considera juros compostos na parte inteira do período e, sobre o montante assim gerado, aplica juros simples no período fracionário. Prof. Guilherme Neves 5

6 Podemos resumir a seguinte fórmula para a convenção linear: Int M = C (1 + i) (1 + i n frac ) Nessa formula Int significa a parte inteira do período e n frac a parte fracionária do período. 3 M = (1+ 0,10) (1+ 0,10 0,5) 3 M = ,10 1, 05 M = ,50 Como era de se esperar, o montante da convenção linear foi maior do que o montante da convenção exponencial. 01. (AFRM Pref. de Angra dos Reis 2010/FGV) O valor de um investimento de R$ ,00, a uma taxa de juros compostos de 50% ao ano, ao final de dois anos é a) R$ ,00 b) R$ ,00 c) R$ ,00 d) R$ ,00 e) R$ ,00 Basta aplicar a formula do montante composto. O capital aplicado é de R$ ,00, a taxa é de 50% = 50/100 = 0,50 ao ano e o tempo de aplicação é igual a 2 anos. Letra A = (1+) = (1+0,50) =45.000, (SEFAZ/RJ 2008/FGV) O montante final de uma aplicação financeira de R$ 2.000,00 a uma taxa de 2% ao mês, juros compostos, durante 2 meses é: (A) R$ 2.080,80 (B) R$ 2.122,42 (C) R$ 2.020,00 Prof. Guilherme Neves 6

7 (D) R$ ,00 (E) R$ 2.040,00 Novamente devemos aplicar a fórmula do montante composto. = (1+) O capital aplicado é de R$ 2.000,00, a taxa é de 2% ao mês e o tempo é igual a 2 meses. Letra A =2.000 (1+0,02) = ,0404 =2.080, (SEFAZ/RJ 2009/FGV) Um investidor aplicou R$ 1.000,00 durante dois anos a uma taxa de 20% ao ano, juros compostos. Ao final desse período, esse investimento totalizava: (A) R$ 694,44. (B) R$ 1.400,00. (C) R$ 1.440,00. (D) R$ 1.514,12. (E) R$ 2.200,00. Mais uma questão idêntica. Mera aplicação da fórmula do montante composto... O capital é de R$ 1.000,00, o tempo de 2 anos e a taxa de 20% ao ano. Letra C = (1+) =1.000 (1+0,20) = ,44 =1.440, (SEFAZ/RJ 2008/FGV) A taxa de juros mensal, juros compostos, que faz com que um capital aumente de R$ 1.500,00 para R$ 1.653,75 em dois meses é de: (A) 2% (B) 5% (C) 3% Prof. Guilherme Neves 7

8 (D) 10% (E) 8% Neste caso, o capital aplicado é igual a 1.500,00 e o montante da aplicação é igual a R$ 1.653,75. Assim, =1.500 " =1.653,75 O tempo de aplicação é igual a 2 meses. Queremos calcular a taxa mensal... = (1+) 1.653,75=1.500 (1+)² O número que está multiplicando o segundo membro, passa dividindo o primeiro membro. Vamos testar as alternativas. Letra A (1+0,02) =1,0404 (1+) =1,1025 Letra B (1+0,05) =1,1025 (RESPOSTA) Gabarito: B 05. (BACEN 2010/CESGRANRIO) Um investidor aplicou R$ ,00 num CDB com vencimento para 3 meses depois, a uma taxa composta de 4% ao mês. O valor de resgate dessa operação foi, em reais, de (Nota: efetue as operações com 4 casas decimais) a) ,66 b) ,34 c) ,33 d) ,00 e) ,00 = (1+) = ,04 # O enunciado mandou efetuar as operações com 4 casas decimais. Prof. Guilherme Neves 8

9 Letra E 1,04 1,04=1,0816 1,0816 1,04=1, ,1249 = ,04 # = ,1249=22.498, (APOFP/SEFAZ-SP/FCC/2010) Os juros auferidos pela aplicação de um capital no valor de R$ ,00, durante dois anos, a uma taxa de juros compostos de 8% ao ano, são iguais aos da aplicação de um outro capital no valor R$ ,00, a juros simples, à taxa de 15% ao ano. O tempo em que o segundo capital ficou aplicado foi igual a a) 22 meses b) 20 meses c) 18 meses d) 16 meses e) 15 meses Aplicação a juros compostos: = (1+) = (1+0,08) = Assim, o juro composto é a diferença entre o montante e o capital aplicado = Esse juro é igual ao da aplicação à taxa simples. A resposta do tempo de aplicação será dada em meses. Como a taxa é de 15% ao ano, a taxa equivalente mensal é 15%/12 = 1,25%=0,0125 ao mês. Letra D = 2.080= , =130 =16 '"("( 07. (CEF 2008 CESGRANRIO) O gráfico a seguir representa as evoluções no tempo do Montante a Juros Simples e do Montante a Juros Compostos, ambos à mesma taxa de juros. M é dado em unidades monetárias e t, na mesma unidade de tempo a que se refere à taxa de juros utilizada. Prof. Guilherme Neves 9

10 Analisando-se o gráfico, conclui-se que para o credor é mais vantajoso emprestar a juros a) compostos, sempre. b) compostos, se o período do empréstimo for menor do que a unidade de tempo. c) simples, sempre. d) simples, se o período do empréstimo for maior do que a unidade de tempo. e) simples, se o período do empréstimo for menor do que a unidade de tempo. O gráfico acima descreve bem o exemplo que fizemos anteriormente (aquele em que o montante simples foi maior do que o montante composto). Quando o número de períodos da capitalização for menor do que 1 o juro simples será maior do que o juro composto. Letra E 08. (SEFAZ-RJ 2007/FGV) A fração de período pela convenção linear produz uma renda a e pela convenção exponencial produz uma renda b. Pode-se afirmar que: a) )=log - b) )<c) )=- / d) )= - e) )>- Vimos que: =1 O montante simples é igual ao montante composto. 0<<1 O montante simples é maior do que o Prof. Guilherme Neves 10

11 montante composto. >1 O montante simples é menor do que o montante composto. Assim, a fração de período pela convenção linear produz uma renda maior do que a convenção exponencial. Letra E 09. (BESC 2004/FGV) O montante de um principal de R$ 300,00 em 2 meses e 10 dias, a juros de 10% ao mês pela convenção linear, é igual a: a) R$ 370,00 b) R$ 372,00 c) R$ 373,00 d) R$ 375,10 e) R$ 377,10 De acordo com a convenção linear, a parte inteira do período será aplicada a juros compostos enquanto que a parte fracionária será aplicada a juros simples. O período de 10 dias equivale a 1/3 do mês. = (1+) 012 ( ) Letra D =300 (1+0,10) 71+0, =300 1, = = =363+12,1=375, (SERC/MS 2006/FGV) Determine o montante, em 75 dias, de um principal de R$ 5.000,00 a juros de 10% ao mês, pela convenção linear. (A) R$ 6.250,00 (B) R$ 6.300,00 (C) R$ 6.325,00 (D) R$ 6.344,00 (E) R$ 6.352,50 Prof. Guilherme Neves 11

12 Vamos utilizar a fórmula do montante composto pela convenção linear. = (1+) 012 ( ) Ora, 75 dias = ( ) dias = 2 meses e meio. Letra E =5.000 (1+0,10) (1+0,10 0,5) = ,21 1,05 =6.352, (AFRE PB 2006 FCC) Um capital no valor de R$ ,00 foi investido a uma taxa de juros compostos de 10% ao ano, durante 2 anos e 3 meses. O montante no final do período, adotando a convenção linear, foi igual a a) R$ ,00 b) R$ ,05 c)) R$ ,00 d) R$ ,00 e) R$ ,00 Nesse problema temos uma taxa de 10% ao ano e o capital será investido durante 2 anos e 3 meses. Devemos adotar a convenção linear, então a parte fracionária do período (3 meses) será utilizada no regime simples. Como o ano tem 12 meses, 3 meses é igual a 1/4 do ano= 0,25 anos. Assim, Letra C Int M = C (1 + i) (1 + i n frac ) 2 M = (1+ 0,10) (1+ 0,10 0, 25) 2 M = ,10 1, 025 M = ,00 Prof. Guilherme Neves 12

13 012. (SEFAZ-RJ 2008/FGV) José dispõe de R$ ,00 para aplicar durante seis meses. Consultando determinado banco, recebeu as seguintes propostas de investimento: I Juros simples de 2% ao mês. II Juros compostos de 1% ao mês. III Resgate de R$ ,00, ao final de um período de seis meses. Assinale: a) se todas apresentarem o mesmo retorno. b) se a proposta I for a melhor alternativa de investimento. c) se a proposta II for a melhor alternativa de investimento. d) se a proposta III for a melhor alternativa de investimento. e) se as propostas I e III apresentarem o mesmo retorno. I Juros simples de 2% ao mês durante 6 meses. = (1+ )= (1+0,02 6)= II - Juros compostos de 1% ao mês durante 6 meses. = (1+) = (1+0,01) 9 =10.615,20 Portanto, a proposta III é a melhor alternativa de investimento. Letra D 013. (AFRM Pref. de Angra dos Reis 2010/FGV) Um montante de R$ foi aplicado durante 6 meses em um banco à taxa de 21% ao ano, juros compostos e, a seguir, o montante resultante foi colocado em outro banco a juros de 20% ao ano, durante mais 1 ano. A taxa anual que faria com que o montante final fosse equivalente ao montante encontrado é a) 18,25% b) 16,00% c) 20,33% d) 25,00% e) 22,22% Vejamos qual o montante encontrado: =1.000 (1+0,21), (1+0,20) =1.320,00 Prof. Guilherme Neves 13

14 Lembrando que 1,21, =:1,21=; =11 10 =1,1 O problema pede a taxa anual de modo que R$ 1.000,00 sejam aplicados durante 1,5 anos a uma taxa de juros compostos constante com montante igual a R$ 1.320, =1.000 (1+), 1,32=(1+), 1,32=(1+) # 1,32 =<(1+) # = 1,32 =<(1+) # = 1,7424=(1+) # Podemos neste momento testar as alternativas e verificar que Assim, a resposta é a letra C. (1+0,2033) # =1, (Esp-Adm-Orç-Fin-Púb Pref. de São Paulo 2010/FCC) Uma pessoa aplicou metade de seu capital, durante um ano, a uma taxa de juros compostos de 8% ao semestre. Aplicou o restante do capital, também durante um ano, a uma taxa de juros simples de 4% ao trimestre. A soma dos juros destas aplicações foi igual a R$ 4.080,00. O montante referente à parte do capital aplicado a juros compostos apresentou o valor de a) R$ ,00. b) R$ ,00. c) R$ ,00. d) R$ ,00. e) R$ ,00. Digamos que o capital total aplicado seja 2x. Assim, como utilizamos a metade do capital em cada uma das aplicações, então o capital das aplicações será x. Prof. Guilherme Neves 14

15 1ª aplicação (Regime Composto) Sabemos que =+ = No regime composto, a relação entre o montante e o capital é a seguinte. = (1+) A taxa é de 8% ao semestre e o tempo de aplicação é igual a 1 ano (2 semestres). Como =, 2ª aplicação (Regime Simples) => 1,08 =1,1664 > =1,1664 > > =0,1664 > = Lembrando que a taxa é trimestral e que um ano é composto por 4 trimestres. => 0,04 4 =0,16 > A soma dos juros compostos com os juros simples é igual a R$ 4.080,00. + = ,1664 >+0,16 >= ,3264 >=4.080 >= Na aplicação do regime composto tivemos o seguinte montante. Letra C =1,1664 > =1, =14.580, (CEF 2004 FCC) Um capital de R$ 500,00 foi aplicado a juro simples por 3 meses, à taxa de 4% ao mês. O montante obtido nessa aplicação foi aplicado Prof. Guilherme Neves 15

16 a juros compostos por 2 meses à taxa de 5% ao mês. Ao final da segunda aplicação, o montante obtido era de a) R$ 560,00 b) R$ 585,70 c) R$ 593,20 d) R$ 616,00 e) R$ 617,40 Temos nessa questão duas aplicações: uma no regime de capitalização simples e outra na capitalização composta. É fato que o montante na capitalização simples é dado por M = C (1 + i n) S A taxa de juros e o tempo de aplicação do capital já estão na mesma unidade. Podemos aplicar diretamente a fórmula acima. O enunciado informou que a taxa é de 4% ao mês e o tempo é igual a 3 meses. Dessa forma, M = 500 (1+ 0,04 3) S M = 500 1,12 S M S = 560 Esse montante obtido na capitalização simples será o capital da segunda aplicação. Teremos agora uma aplicação em juros compostos com capital inicial igual a R$ 560,00, taxa de juros igual a 5% ao mês durante dois meses. O montante da capitalização composta é dado por M = C (1 + i) n. C M = 560 (1+ 0,05) C M = 5601,05 C M C = 617, Prof. Guilherme Neves 16

17 Letra E 016. (AFRE-CE ESAF 2006) Metade de um capital foi aplicada a juros compostos à taxa de 3% ao mês por um prazo de doze meses enquanto a outra metade foi aplicada à taxa de 3,5% ao mês, juros simples, no mesmo prazo de doze meses. Calcule o valor mais próximo deste capital, dado que as duas aplicações juntas renderam um juro de R$ ,02 ao fim do prazo. (Considere que 1,03 12 = 1,425760) a) R$ ,00. b) R$ ,00. c) R$ ,00. d) R$ ,00. e) R$ ,00. Chamemos o capital total aplicado de 2C. Assim, metade (C) será aplicada a juros compostos e a outra metade (C) será aplicada a juros simples. Em qualquer um dos dois tipos de regime, o montante sempre é a soma do capital com os juros. Capitalização Composta Capital aplicado: C Taxa de juros: 3% = 0,03 ao mês Tempo de aplicação: 12 meses M = C+ J J = M C Assim, o juro da capitalização composta será dado por: 12 JC = M C = C (1 + i) C J C C 12 = 1,03 C JC = 1, C 1 C Prof. Guilherme Neves 17

18 JC = 0, C Capitalização Simples Capital aplicado: C Taxa de juros: 3,5% = 0,035 ao mês Tempo de aplicação: 12 meses Assim, o juro da capitalização simples será dado por: JS = C i n JS = C 0,03512 JS = 0,42 C As duas aplicações juntas renderam um juro de R$ ,02. J + J = S C , 02 0, 42 C+ 0, C = , 02 0,84576 C= ,02 C = ,02 0,84576 C= O capital total aplicado é 2. Logo, 2 C= Letra E 017. (Auditor Interno do Poder Executivo-Secretarias de Estado da Fazenda e da Administração 2005 FEPESE) Determine o tempo em meses que um Prof. Guilherme Neves 18

19 capital aplicado a uma taxa de juro composto de 3,00% ao mês será triplicado. Informações adicionais: log 3 0,48 e log 1,03 0,012. Assinale abaixo a única alternativa correta. a) 5 meses b) 10 meses c) 20 meses d) 30 meses e) 40 meses Já que a taxa de juros é mensal, então diremos que a capitalização também é mensal. Queremos que o capital seja triplicado. Ou seja, o montante será o triplo do capital (M = 3.C) Assim, M = 3 C. Ora, mas sabemos que na capitalização composta o montante é dado por M = C (1 + i) n. Temos então: C (1 + i) n = 3 C n (1+ 0,03) = 3 1,03 n = 3 Para resolver esta equação exponencial, devemos logaritmar os dois membros. log1,03 n = log3 Aplicando a propriedade do logaritmo da potência... n log1,03= log3 n= log3 log1, 03 Prof. Guilherme Neves 19

20 n= 0,48 0,012 0, n= = = = 0, meses. Letra E Taxas Equivalentes Duas taxas são ditas equivalentes quando, aplicadas a um mesmo capital inicial, pelo mesmo prazo, produzem o mesmo montante. Essa definição de taxas equivalentes aplica-se tanto a juros simples quanto a juros compostos. Só que falar em taxas equivalentes no regime simples é o mesmo que falar em taxas proporcionais. Essa afirmação não é verdadeira quando se trata de juros compostos. Exemplo Qual é a taxa trimestral equivalente à taxa de juros compostos de 10% ao mês? Duas taxas são ditas equivalentes quando, aplicadas a um mesmo capital inicial, pelo mesmo prazo, produzem o mesmo montante. Se considerarmos o tempo igual a um trimestre (três meses), então teremos a seguinte equação: C (1 + i ) = C (1 + i) m 3 1 t 3 (1+ 0,10) = 1+ it 1+ i t = 1,331 i t = 0,331 Prof. Guilherme Neves 20

21 i t = 33,1% Portanto, a taxa de 10% ao mês é equivalente a 33,1% ao trimestre. Para o cálculo das taxas equivalentes basta efetuar a comparação dos fatores (1+) Exemplo Qual é a taxa anual equivalente à taxa de juros compostos de 20% ao trimestre? Já que 1 ano é o mesmo que 4 trimestres, temos a seguinte relação: (1+ 5?5@ ) =(1+ A4BCDEA45@ ) F 1+ 5?5@ =(1+0,2) F 1+ 5?5@ =2,0736 5?5@ =1,0736 5?5@ =107,36% )H )H Prof. Guilherme Neves 21

22 Taxa Nominal e Taxa Efetiva Há um mau hábito em Matemática Financeira de anunciar taxas proporcionais (no regime composto) como se fossem equivalentes. Uma expressão do tipo 24% ao ano com capitalização mensal significa na realidade 2% ao mês. A taxa de 24% ao ano é chamada taxa nominal e a taxa 2% ao mês é chamada de taxa efetiva. No regime de juros compostos, uma taxa é dita nominal quando o período a que a taxa se refere não coincidir com o período de capitalização. Por exemplo, uma taxa de 24% ao ano com capitalização mensal é uma taxa nominal porquanto a taxa se refere ao período de um ano, mas a capitalização dos juros é realizada mensalmente (ou seja, os juros são calculados uma vez por mês e imediatamente incorporados ao capital). Já quando a taxa é efetiva quando o período a que a taxa se refere coincide como período de capitalização. No nosso exemplo, a taxa de 2% ao mês com capitalização mensal é uma taxa efetiva. São exemplos de taxas nominais: - 30% ao mês com capitalização diária. - 48% ao ano com capitalização bimestral. Uma taxa de juro é dita efetiva se o período a que ela estiver referenciada for coincidente com o período de capitalização. Assim, uma taxa de juros de 20% ao ano com capitalização anual é uma taxa efetiva. Nesse caso, podemos dizer simplesmente taxa efetiva de 20% ao ano que estará subentendido 20% ao ano com capitalização anual. A taxa de juros nominal é a mais comumente encontrada nos contratos financeiros. Contudo, apesar de sua larga utilização, pode conduzir a ilusões sobre o verdadeiro custo financeiro da transação, pois os cálculos não são feitos com taxa nominal!!! Ao se deparar com uma taxa nominal, para efeito de cálculo, a mesma deve ser convertida para taxa efetiva por meio da seguinte fórmula: I)>) MH')N I)>) "J"KL)= Mú'"OH P" Q"OíHPH( P" R)QK)NS)çãH RHKPH( ) K)>) H')N Prof. Guilherme Neves 22

23 Vejamos alguns exemplos que mostram a conversão de taxa nominal para taxa efetiva. Exemplo 1: Taxa nominal de 60% ao ano com capitalização bimestral. 1 ano corresponde a 6 bimestres. Assim, a taxa efetiva bimestral será 60% i b = = 10% a.b. 6 Se quisermos calcular a taxa efetiva anual, temos que utilizar o conceito de taxas equivalentes. Portanto, a taxa efetiva anual será calculada da seguinte maneira: (1 + i ) = (1 + i ) a 1 6 b 1 + i a = (1+ 0,10) i a = i a = i a = 6 1,10 1 0, ,15% Ou seja, se a unidade do período utilizado for ano, a taxa que deverá ser utilizada para efeito de cálculo será 77,15% a.a. (essa é a taxa efetiva) e não 60% (taxa nominal). Já se a unidade utilizada for bimestre, a taxa utilizada para efeito de cálculo será 10% a.b.. Para o cálculo dos juros ou do montante, nunca utilizaremos a taxa nominal diretamente. Devemos utilizar a taxa efetiva implícita na taxa nominal. 6 Taxa Real e Taxa Aparente Imagine que Thiago fez uma aplicação financeira durante 2 anos e obteve um rendimento total de 80%. Mas nesse período de 2 anos houve uma inflação total de 60%. Então, na verdade, o ganho real não foi de 80%, pois se assim fosse, não estaríamos levando em conta a perda causada pela inflação! A taxa de 80% do nosso problema é denominada taxa aparente. Prof. Guilherme Neves 23

24 A taxa real é aquela que leva em consideração a perda influenciada pela inflação. E como calcular a taxa real nessa situação? Para facilitar o processo mnemônico, utilizaremos as seguintes notações: A taxa aparente I inflação no período R taxa real É válida a seguinte relação: No nosso exemplo: A = 80% = 0,8 I = 60% = 0,6 R taxa real =? A= I+ R+ I R A= I+ R+ I R 0,8= 0,6+ R+ 0,6 R 0,8 0,6= 1,6 R 1,6 R= 0,2 0,2 2 R= = = 1,6 16 0,125 R= 12,5% Podemos concluir, que a taxa real de juros nesse ambiente inflacionário foi de 12,5%. A expressão que fornece a taxa real em função da taxa aparente e da inflação é a seguinte: Prof. Guilherme Neves 24

25 R A I = 1 + I No nosso exemplo, R A I 0,8 0,6 0,2 = = = = 12,5% 1+ I 1+ 0,6 1, (AFRM Pref. de Angra dos Reis 2010/FGV) A taxa de juros compostos anual equivalente à taxa de 30% ao quadrimestre é a) 114,70% b) 107,55% c) 109,90% d) 90,00% e) 119,70% Lembremos que o quadrimestre é um período de 4 meses e que 1 ano é composto por 3 quadrimestres. Assim, (1+ 5 ) =(1+ T ) # 1+ 5 =(1+0,3) # 1+ 5 =2,197 Letra E 5 =1,197=119,70% 019. (Senado Federal 2008/FGV) O capital inicial de R$ 2000,00 foi aplicado, por um semestre, à taxa de juros compostos nominal de 20% ao semestre, com capitalização trimestral. Para que se obtenha o mesmo lucro aplicando o capital inicial a juros simples durante os mesmos 6 meses, é necessário que a taxa de juros simples ao bimestre seja: a) 5,0%. b) 5,5%. c) 6,0%. d) 6,5%. e) 7,0%. Prof. Guilherme Neves 25

26 Ao se deparar com uma taxa nominal, para efeito de cálculo, a mesma deve ser convertida para taxa efetiva por meio da seguinte fórmula: I)>) MH')N I)>) "J"KL)= Mú'"OH P" Q"OíHPH( P" R)QK)NS)çãH RHKPH( ) K)>) H')N Como 1 semestre contém 2 trimestres, então: = 20% =10% )H KO'"(KO" 2 Vamos aplicar R$ 2.000,00, à taxa de juros efetiva de 10% ao trimestre durante 1 semestre. O número de períodos é igual a 2 (trimestres). O que o problema pede? = (1+) =2.000 (1+0,10)² =2.420,00 Aplique R$ 2.000,00 a juros simples, durante 6 meses (3 bimestres) e obtenha um montante igual a R$ 2.420,00. Qual a taxa bimestral? Já que a taxa pedida é bimestral, devemos utilizar o tempo em bimestres. Ora, o juro auferido no período é igual a R$ 420,00. = 420= =6.000 Letra E = 420 =0,07=7% )H-'"(KO" (SEFAZ/RJ 2010/FGV) No regime de juros compostos, a taxa de juros semestral equivalente à taxa de 125% ao ano é igual a: (A) 45%. (B) 50%. (C) 61,25%. (D) 62,25%. (E) 275%. Prof. Guilherme Neves 26

27 Para o cálculo das taxas equivalentes basta efetuar a comparação dos fatores (1+) Já que 1 ano é o mesmo que 2 semestres, temos a seguinte relação: Letra B (1+ 5?5@ ) =(1+ EDCDEA45@ ) (1+1,25) =(1+ E )² (1+ E ) =2,25 (1+ E ) = E = E =1,5 1=0,5=50% 021. (SEFAZ/RJ 2009/FGV) A taxa de juros compostos semestral equivalente à taxa de 10% ao bimestre é: (A) 3,33%. (B) 30,00%. (C) 31,33%. (D) 33,10%. (E) 36,66%. Para o cálculo das taxas equivalentes basta efetuar a comparação dos fatores (1+) Já que 1 semestre é o mesmo que 3 bimestres, temos a seguinte relação: Letra D (1+ EDCDEA45@ ) =(1+ UBCDEA45@ ) # (1+ E ) =(1+0,10)³ 1+ E =1,331 E =0,331=33,1% Prof. Guilherme Neves 27

28 022. (SEFAZ/RJ 2009/FGV) Para um principal de R$ ,00, um indivíduo retirou o valor de R$ ,00 ao final de 6 meses. A rentabilidade anual desse investimento, no regime de juros compostos, foi de: (A) 50%. (B) 125%. (C) 100%. (D) 5%. (E) 120%. Um capital de R$ ,00 foi aplicado durante 1 semestre e montante obtido foi de R$ ,00. Vamos calcular a taxa semestral. = (1+) = (1+) (1+) = =1,5 =0,5=50% )H ("'"(KO" Queremos calcular a rentabilidade anual. Basta calcular a taxa anual equivalente à taxa calculada. Já que 1 ano é o mesmo que 2 semestres, temos a seguinte relação: Letra B (1+ 5?5@ ) =(1+ EDCDEA45@ ) (1+ 5 ) =(1+0,5) 1+ 5 =2,25 5 =1,25=125% 023. (SEFAZ/RJ 2010/FGV) Uma quantia foi aplicada durante um ano à taxa de 10% ao ano e a seguir, o valor resultante foi reaplicado, por mais um ano, a juros de 20% ao ano. Ambas as taxas são juros compostos. Para que a mesma quantia, aplicada durante igual período, resultasse no mesmo montante, deveria ser aplicada à taxa anual efetiva única de: (A) 14,89%. (B) 15,25%. (C) 16,33%. Prof. Guilherme Neves 28

29 (D) 18,45%. (E) 20,00%. Vamos considerar que o capital aplicado foi de R$ 100,00. Quando a taxa de juros compostos varia, podemos utilizar a seguinte fórmula para o cálculo do montante: = (1+ ) V (1+ ) W =100 (1+0,10) (1+0,20) =132 Queremos, para a mesma quantia de R$ 100,00, obter o mesmo montante com uma taxa anual efetiva única. = (1+)² 132=100 (1+)² (1+) = Queremos calcular a raiz quadrada de 132/100. A raiz quadrada de 100 é 10. Existe um método muito bom para calcular raízes quadradas aproximadas. O método é chamado de Newton-Raphson e você pode aprendê-lo no seguinte artigo que eu escrevi na parte aberta do Ponto: O método é descrito da seguinte maneira: a a+ x 2x 2, em que 2 x é o quadrado perfeito mais próximo de a ² ,5 Se quisermos uma aproximação melhor, basta substituir novamente > por 11,5. Prof. Guilherme Neves 29

30 Voltando ao nosso problema... Letra A ,5² 2 11, , ,489 (1+) = = 11, =1,1489 =0,1489=14,89% 024. (SERC/MS 2006/FGV) Determine a taxa efetiva anual correspondente a 30% ao ano com capitalização semestral. (A) 60% (B) 63% (C) 65% (D) 67% (E) 69% Há uma taxa nominal assim descrita: 30% ao ano com capitalização semestral. Desta forma, a taxa semestral efetiva é igual a: E = 30% 2 =15% )H ("'"(KO" Queremos calcular a taxa efetiva anual equivalente. Já que 1 ano é o mesmo que 2 semestres, temos a seguinte relação: (1+ 5?5@ ) =(1+ EDCDEA45@ ) (1+ 5 ) =(1+0,15) Prof. Guilherme Neves 30

31 1+ 5 =1, =0,3225=32,25% Não há gabarito compatível e a questão foi anulada pela FGV (BESC 2004/FGV) A taxa efetiva anual correspondente a 40% ao ano com capitalização semestral é: (A) 40% (B) 42% (C) 44% (D) 48% (E) 56% Questão idêntica à anterior. Há uma taxa nominal assim descrita: 40% ao ano com capitalização semestral. Desta forma, a taxa semestral efetiva é igual a: E = 40% 2 =20% )H ("'"(KO" Queremos calcular a taxa efetiva anual equivalente. Já que 1 ano é o mesmo que 2 semestres, temos a seguinte relação: (1+ 5?5@ ) =(1+ EDCDEA45@ ) (1+ 5 ) =(1+0,20) 1+ 5 =1,44 Letra C 5 =0,44=44% 026. (SEFAZ/RJ 2007/FGV) A taxa efetiva anual equivalente a ao ano, capitalizados X vezes ao ano é: Prof. Guilherme Neves 31

32 Outra questão idêntica!! Neste caso, temos uma questão literal. Perceba que a resolução é idêntica... Há uma taxa nominal assim descrita: ao ano capitalizados X vezes ao ano. Desta forma, a taxa efetiva é igual a: Y = X A taxa efetiva anual será calculada da seguinte forma: (1+ 5?5@ ) =(1+ Y ) Y 1+ 5 =71+ X 8 Y Letra D 5 =71+ X 8 Y (Auditor da Receita Estadual Amapá 2010/FGV) Seja i a taxa semestral de juros equivalente à taxa de 12,3% ao trimestre no sistema de juros compostos. Entre os valores a seguir, o que mais se aproxima do valor de i é: (A) 28,2% (B) 26,1% (C) 24,6% (D) 22,8% (E) 20,0% Já que 1 semestre é o mesmo que 2 trimestres, temos a seguinte relação: Prof. Guilherme Neves 32

33 (1+ ) =(1+ ) (1+ E ) =(1+0,123) Letra B 1+ E =1, E =0, E 26,1% 028. (CEF 2008 CESGRANRIO) Qual a taxa efetiva semestral, no sistema de juros compostos, equivalente a uma taxa nominal de 40% ao quadrimestre, capitalizada bimestralmente? a) 75,0% b) 72,8% c) 67,5% d) 64,4% e) 60,0% Vamos analisar cada parte do enunciado.... uma taxa nominal de 40% ao quadrimestre, capitalizada bimestralmente. Já que um quadrimestre (4 meses) é composto por dois bimestres (2 meses), a taxa efetiva bimestral é dada por 40% i b = = 20% a.b. 2 Já que a taxa efetiva bimestral é 20%, para calcular a taxa efetiva semestral devemos utilizar o conceito de taxas equivalentes. Lembrando que um semestre é composto por 3 bimestres. (1 + i) = (1 + i ) 1 3 s b 1 + = (1+ 0,20) i s i = 1,728 1= 0,728 s i s = 72,8% 3 Prof. Guilherme Neves 33

34 Letra B 029. (AFRF 2001/ESAF) Indique a taxa de juros anual equivalente à taxa de juros nominal de 12% ao ano com capitalização mensal. a) 12,3600% b) 12,5508% c) 12,6825% d) 12,6162% e) 12,4864% Já que um ano é composto por 12 meses, a taxa efetiva mensal é: C = 12% 12 =1% )H 'ê( Devemos fazer a comparação dos fatores (1+) para o cálculo da taxa de juros anual. Consultando a tabela financeira: Letra C (1+ 5 ) =(1+ C ) 1+ 5 =(1+0,01) 1+ 5 =1, =0,126825=12,6825% 030. (Auditor Fiscal Pref. de Fortaleza 2003/ESAF) O capital de R$ ,00 é aplicado à taxa nominal de 24% ao ano com capitalização trimestral. Obtenha o montante ao fim de dezoito meses de aplicação. a) R$ ,00 b) R$ ,11 c) R$ ,56 d) R$ ,38 e) R$ ,92 Já que um ano é composto por 4 trimestres, a taxa efetiva trimestral é: A = 24% 4 =6% )H KO'"(KO" Prof. Guilherme Neves 34

35 O tempo de aplicação é de 18 meses, mas como a nossa taxa efetiva é trimestral, então usaremos o fato de que 18 meses equivalem a 6 trimestres. Letra D = (1+) = (1+0,06) 9 =28.370, (DNOCS 2010/FCC) Uma pessoa fez um empréstimo em um banco no valor de R$ ,00, tendo que pagar todo o empréstimo após 18 meses a uma taxa de juros de 24% ao ano, com capitalização mensal. O valor dos juros a serem pagos no vencimento pode ser obtido multiplicando R$ ,00 por: a) Z(1,02) [ 1\ V^ b) ](18 1,36 1_ VW c) ](18 1,24 1_ d) ](3 1,24 1_ ` e) ](6 1,24 1_ O primeiro passo é calcular a taxa efetiva mensal. O problema forneceu a taxa nominal de 24% ao ano com capitalização mensal. Portanto, a taxa efetiva mensal é de 24%/12 = 2%. = (1+) += (1+) = (1+) = Z(1+) 1\ = Z(1+0,02) [ 1\ Letra A = Z(1,02) [ 1\ 032. (AFRM Pref. de Angra dos Reis 2010/FGV) Um empréstimo pós-fixado foi pago com uma taxa aparente de 23,20%. Sabendo-se que a taxa de inflação no período do empréstimo foi de 10%, a taxa de juros real foi de a) 12,00% b) 25,52% c) 16,52% d) 33,20% Prof. Guilherme Neves 35

36 e) 13,20% Para facilitar o processo mnemônico, chamarei de: A taxa aparente I inflação no período R taxa real É válida a seguinte relação: Letra A a=b+c+b c 0,2320=0,10+c+0,10 c 0,2320 0,10=1,10 c 1,10 c=0,1320 c=0,12=12% 033. (BESC 2004/FGV) Uma rentabilidade nominal de 80%, em um período em que a inflação foi de20%, equivale a uma rentabilidade real de: (A) 20% (B) 44% (C) 50% (D) 55% (E) 60% Para facilitar o processo mnemônico, chamaremos de: A taxa aparente I inflação no período R taxa real É válida a seguinte relação: a=b+c+b c 0,80=0,20+c+0,20 c 0,60=1,20 c Prof. Guilherme Neves 36

37 Letra C c= 0,60 1,20 =0,50=50% 034. (SEFAZ-RJ 2007/FGV) O artigo 1º da Lei de 28 de junho de 2007, que dispõe sobre o salário mínimo a partir de 1º de abril de 2007, é transcrito a seguir: A partir de 1º de abril de 2007, após a aplicação do percentual correspondente à variação do Índice Nacional de Preços ao Consumidor INPC, referente ao período entre 1º de abril de 2006 e 31 de março de 2007, a título de reajuste, e de percentual a título de aumento real, sobre o valor de R$ 350,00 (trezentos e cinqüenta reais) o salário mínimo será de R$ 380,00 (trezentos e oitenta reais). Considerando que o INPC acumulado no período foi de 3,4%, o percentual a título de aumento real a que a lei se refere foi de: a) 5,2%. b) 4,8%. c) 5,0%. d) 5,8%. e) 5,5%. Vejamos primeiramente qual foi o aumento aparente do salário mínimo (reajuste nominal). d BB6B5@ =350 e d 3B5@ =380 a= d 3B5@ d BB6B5@ d BB6B5@ = =8,57% A inflação no período considerado, medido pelo INPC, foi de 3,4%. Calculemos o aumento real: Letra C a=b+c+b c 0,0857=0,034+c+0,034 c 0,0517=1,034 c c= 0,0517 1,034 =0,05=5% Prof. Guilherme Neves 37

38 035. (SEFAZ/RJ 2009/FGV) Para um financiamento no valor de R$ 1000,00, a ser pago ao final de um ano, a taxa de juros real a ser cobrada é igual a 10%, enquanto a taxa de inflação, para esse mesmo período, é de 5%. A taxa aparente anual para esse financiamento será de: (A) 50%. (B) 20%. (C) 15,5%. (D) 10%. (E) 5%. Basta aplicar diretamente a fórmula mencionada anteriormente. Letra C a=b+c+b c a=0,05+0,10+0,05 0,10 a=0,05+0,10+0,005 a=0,155=15,5% 036. (SEFAZ/RJ 2010/FGV) Um empréstimo foi feito à taxa de juros real de 20%. Sabendo-se que a inflação foi de 10% no período, a taxa de juros aparente é: (A) 12%. (B) 22%. (C) 28%. (D) 30%. (E) 32%. Mais uma questão idêntica... a=b+c+b c a=0,10+0,20+0,10 0,20 a=0,10+0,20+0,02 Letra E a=0,32=32% Prof. Guilherme Neves 38

39 037. (SERC/MS 2006/FGV) De quanto diminui o seu salário real, se o seu salário nominal aumenta de 10% e há uma inflação de 40%? (A) 12% (B) 15% (C) 18% (D) 21% (E) 30% Se você recebe um aumento de 10% e a inflação no período foi de 40%, então o seu poder de compra diminui, obviamente. Ou seja, seu salário aumentou pouco se comparado com o aumento dos preços. Queremos então, saber qual foi a variação percentual real do salário, levando em conta a inflação. Letra D a=b+c+b c 0,10=0,40+c+0,40 c 0,10=0,40+1,40 c 0,30=1,40 c c= 0,30 1,40 c 0,2142 c 21,42% 038. (APOFP/SEFAZ-SP/FCC/2010) Um investidor aplicou o capital de R$ ,00, resgatando todo o montante após um ano. Sabe-se que a taxa real de juros desta aplicação e a taxa de inflação do período correspondente foram iguais a 10% e 2,5%, respectivamente. O montante resgatado pelo investidor foi de a) R$ ,00 b) R$ ,00 c) R$ ,00 d) R$ ,00 e) R$ ,00 Prof. Guilherme Neves 39

40 Para facilitar o processo mnemônico, chamaremos de: A taxa aparente I inflação no período R taxa real É válida a seguinte relação: a=b+c+b c e=f,fgh+f,if+f,fgh f,if=f,igjh=ig,jh% Então o montante resgatado pelo investidor é dado por Letra A = (1+) = (1+0,1275) =27.060, (SEFAZ-SP 2006/FCC) Um investidor aplicou R$ ,00 no início de um determinado ano e resgatou no final de dois anos o montante de R$ ,00, esgotando-se totalmente seu crédito referente a esta operação. Sabe-se que a taxa de inflação referente ao primeiro ano de aplicação foi de 5% e ao segundo, 4%. Então, a correspondente taxa real de juros, no período desta aplicação foi de a) 11,25% b) 12,5% c) 12,85% d) 13,65% e) 13,85% Para calcular a inflação acumulada podemos utilizar a seguinte fórmula: k=(i+l i ) (i+l g ) (i+l n ) i Dessa forma, a inflação acumulada nos dois anos foi de: b=(1+0,05) (1+0,04) 1=0,092 Para o cálculo da taxa aparente, consideraremos =1, pois queremos calcular a taxa real no período de 2 anos. = (1+) Prof. Guilherme Neves 40

41 Letra B = (1+a) a=0,2285 a=b+c+b c 0,2285=0,092+c+0,092 c 0,1365=1,092 c c= 0,1365 1,092 =0,125=12,5% Prof. Guilherme Neves 41

42 Relação das questões comentadas 01. (AFRM Pref. de Angra dos Reis 2010/FGV) O valor de um investimento de R$ ,00, a uma taxa de juros compostos de 50% ao ano, ao final de dois anos é a) R$ ,00 b) R$ ,00 c) R$ ,00 d) R$ ,00 e) R$ , (SEFAZ/RJ 2008/FGV) O montante final de uma aplicação financeira de R$ 2.000,00 a uma taxa de 2% ao mês, juros compostos, durante 2 meses é: (A) R$ 2.080,80 (B) R$ 2.122,42 (C) R$ 2.020,00 (D) R$ ,00 (E) R$ 2.040, (SEFAZ/RJ 2009/FGV) Um investidor aplicou R$ 1.000,00 durante dois anos a uma taxa de 20% ao ano, juros compostos. Ao final desse período, esse investimento totalizava: (A) R$ 694,44. (B) R$ 1.400,00. (C) R$ 1.440,00. (D) R$ 1.514,12. (E) R$ 2.200, (SEFAZ/RJ 2008/FGV) A taxa de juros mensal, juros compostos, que faz com que um capital aumente de R$ 1.500,00 para R$ 1.653,75 em dois meses é de: (A) 2% (B) 5% (C) 3% (D) 10% (E) 8% 05. (BACEN 2010/CESGRANRIO) Um investidor aplicou R$ ,00 num CDB com vencimento para 3 meses depois, a uma taxa composta de 4% ao mês. O valor de resgate dessa operação foi, em reais, de (Nota: efetue as operações com 4 casas decimais) a) ,66 Prof. Guilherme Neves 42

43 b) ,34 c) ,33 d) ,00 e) , (APOFP/SEFAZ-SP/FCC/2010) Os juros auferidos pela aplicação de um capital no valor de R$ ,00, durante dois anos, a uma taxa de juros compostos de 8% ao ano, são iguais aos da aplicação de um outro capital no valor R$ ,00, a juros simples, à taxa de 15% ao ano. O tempo em que o segundo capital ficou aplicado foi igual a a) 22 meses b) 20 meses c) 18 meses d) 16 meses e) 15 meses 07. (CEF 2008 CESGRANRIO) O gráfico a seguir representa as evoluções no tempo do Montante a Juros Simples e do Montante a Juros Compostos, ambos à mesma taxa de juros. M é dado em unidades monetárias e t, na mesma unidade de tempo a que se refere à taxa de juros utilizada. Analisando-se o gráfico, conclui-se que para o credor é mais vantajoso emprestar a juros a) compostos, sempre. b) compostos, se o período do empréstimo for menor do que a unidade de tempo. c) simples, sempre. d) simples, se o período do empréstimo for maior do que a unidade de tempo. e) simples, se o período do empréstimo for menor do que a unidade de tempo. Prof. Guilherme Neves 43

44 08. (SEFAZ-RJ 2007/FGV) A fração de período pela convenção linear produz uma renda a e pela convenção exponencial produz uma renda b. Pode-se afirmar que: a) )=log - b) )<c) )=- / d) )= - e) )>- 09. (BESC 2004/FGV) O montante de um principal de R$ 300,00 em 2 meses e 10 dias, a juros de 10% ao mês pela convenção linear, é igual a: a) R$ 370,00 b) R$ 372,00 c) R$ 373,00 d) R$ 375,10 e) R$ 377, (SERC/MS 2006/FGV) Determine o montante, em 75 dias, de um principal de R$ 5.000,00 a juros de 10% ao mês, pela convenção linear. (A) R$ 6.250,00 (B) R$ 6.300,00 (C) R$ 6.325,00 (D) R$ 6.344,00 (E) R$ 6.352, (AFRE PB 2006 FCC) Um capital no valor de R$ ,00 foi investido a uma taxa de juros compostos de 10% ao ano, durante 2 anos e 3 meses. O montante no final do período, adotando a convenção linear, foi igual a a) R$ ,00 b) R$ ,05 c)) R$ ,00 d) R$ ,00 e) R$ , (SEFAZ-RJ 2008/FGV) José dispõe de R$ ,00 para aplicar durante seis meses. Consultando determinado banco, recebeu as seguintes propostas de investimento: I Juros simples de 2% ao mês. II Juros compostos de 1% ao mês. III Resgate de R$ ,00, ao final de um período de seis meses. Prof. Guilherme Neves 44

45 Assinale: a) se todas apresentarem o mesmo retorno. b) se a proposta I for a melhor alternativa de investimento. c) se a proposta II for a melhor alternativa de investimento. d) se a proposta III for a melhor alternativa de investimento. e) se as propostas I e III apresentarem o mesmo retorno (AFRM Pref. de Angra dos Reis 2010/FGV) Um montante de R$ foi aplicado durante 6 meses em um banco à taxa de 21% ao ano, juros compostos e, a seguir, o montante resultante foi colocado em outro banco a juros de 20% ao ano, durante mais 1 ano. A taxa anual que faria com que o montante final fosse equivalente ao montante encontrado é a) 18,25% b) 16,00% c) 20,33% d) 25,00% e) 22,22% 014. (Esp-Adm-Orç-Fin-Púb Pref. de São Paulo 2010/FCC) Uma pessoa aplicou metade de seu capital, durante um ano, a uma taxa de juros compostos de 8% ao semestre. Aplicou o restante do capital, também durante um ano, a uma taxa de juros simples de 4% ao trimestre. A soma dos juros destas aplicações foi igual a R$ 4.080,00. O montante referente à parte do capital aplicado a juros compostos apresentou o valor de a) R$ ,00. b) R$ ,00. c) R$ ,00. d) R$ ,00. e) R$ , (CEF 2004 FCC) Um capital de R$ 500,00 foi aplicado a juro simples por 3 meses, à taxa de 4% ao mês. O montante obtido nessa aplicação foi aplicado a juros compostos por 2 meses à taxa de 5% ao mês. Ao final da segunda aplicação, o montante obtido era de a) R$ 560,00 b) R$ 585,70 c) R$ 593,20 d) R$ 616,00 e) R$ 617,40 Prof. Guilherme Neves 45

46 016. (AFRE-CE ESAF 2006) Metade de um capital foi aplicada a juros compostos à taxa de 3% ao mês por um prazo de doze meses enquanto a outra metade foi aplicada à taxa de 3,5% ao mês, juros simples, no mesmo prazo de doze meses. Calcule o valor mais próximo deste capital, dado que as duas aplicações juntas renderam um juro de R$ ,02 ao fim do prazo. (Considere que 1,03 12 = 1,425760) a) R$ ,00. b) R$ ,00. c) R$ ,00. d) R$ ,00. e) R$ , (Auditor Interno do Poder Executivo-Secretarias de Estado da Fazenda e da Administração 2005 FEPESE) Determine o tempo em meses que um capital aplicado a uma taxa de juro composto de 3,00% ao mês será triplicado. Informações adicionais: log 3 0,48 e log 1,03 0,012. Assinale abaixo a única alternativa correta. a) 5 meses b) 10 meses c) 20 meses d) 30 meses e) 40 meses 018. (AFRM Pref. de Angra dos Reis 2010/FGV) A taxa de juros compostos anual equivalente à taxa de 30% ao quadrimestre é a) 114,70% b) 107,55% c) 109,90% d) 90,00% e) 119,70% 019. (Senado Federal 2008/FGV) O capital inicial de R$ 2000,00 foi aplicado, por um semestre, à taxa de juros compostos nominal de 20% ao semestre, com capitalização trimestral. Para que se obtenha o mesmo lucro aplicando o capital inicial a juros simples durante os mesmos 6 meses, é necessário que a taxa de juros simples ao bimestre seja: a) 5,0%. b) 5,5%. Prof. Guilherme Neves 46

47 c) 6,0%. d) 6,5%. e) 7,0% (SEFAZ/RJ 2010/FGV) No regime de juros compostos, a taxa de juros semestral equivalente à taxa de 125% ao ano é igual a: (A) 45%. (B) 50%. (C) 61,25%. (D) 62,25%. (E) 275% (SEFAZ/RJ 2009/FGV) A taxa de juros compostos semestral equivalente à taxa de 10% ao bimestre é: (A) 3,33%. (B) 30,00%. (C) 31,33%. (D) 33,10%. (E) 36,66% (SEFAZ/RJ 2009/FGV) Para um principal de R$ ,00, um indivíduo retirou o valor de R$ ,00 ao final de 6 meses. A rentabilidade anual desse investimento, no regime de juros compostos, foi de: (A) 50%. (B) 125%. (C) 100%. (D) 5%. (E) 120% (SEFAZ/RJ 2010/FGV) Uma quantia foi aplicada durante um ano à taxa de 10% ao ano e a seguir, o valor resultante foi reaplicado, por mais um ano, a juros de 20% ao ano. Ambas as taxas são juros compostos. Para que a mesma quantia, aplicada durante igual período, resultasse no mesmo montante, deveria ser aplicada à taxa anual efetiva única de: (A) 14,89%. (B) 15,25%. (C) 16,33%. (D) 18,45%. (E) 20,00% (SERC/MS 2006/FGV) Determine a taxa efetiva anual correspondente a 30% ao ano com capitalização semestral. (A) 60% (B) 63% (C) 65% (D) 67% (E) 69% Prof. Guilherme Neves 47

48 025. (BESC 2004/FGV) A taxa efetiva anual correspondente a 40% ao ano com capitalização semestral é: (A) 40% (B) 42% (C) 44% (D) 48% (E) 56% 026. (SEFAZ/RJ 2007/FGV) A taxa efetiva anual equivalente a ao ano, capitalizados X vezes ao ano é: 027. (Auditor da Receita Estadual Amapá 2010/FGV) Seja i a taxa semestral de juros equivalente à taxa de 12,3% ao trimestre no sistema de juros compostos. Entre os valores a seguir, o que mais se aproxima do valor de i é: (A) 28,2% (B) 26,1% (C) 24,6% (D) 22,8% (E) 20,0% 028. (CEF 2008 CESGRANRIO) Qual a taxa efetiva semestral, no sistema de juros compostos, equivalente a uma taxa nominal de 40% ao quadrimestre, capitalizada bimestralmente? a) 75,0% b) 72,8% c) 67,5% d) 64,4% e) 60,0% 029. (AFRF 2001/ESAF) Indique a taxa de juros anual equivalente à taxa de juros nominal de 12% ao ano com capitalização mensal. a) 12,3600% b) 12,5508% Prof. Guilherme Neves 48

49 c) 12,6825% d) 12,6162% e) 12,4864% 030. (Auditor Fiscal Pref. de Fortaleza 2003/ESAF) O capital de R$ ,00 é aplicado à taxa nominal de 24% ao ano com capitalização trimestral. Obtenha o montante ao fim de dezoito meses de aplicação. a) R$ ,00 b) R$ ,11 c) R$ ,56 d) R$ ,38 e) R$ , (DNOCS 2010/FCC) Uma pessoa fez um empréstimo em um banco no valor de R$ ,00, tendo que pagar todo o empréstimo após 18 meses a uma taxa de juros de 24% ao ano, com capitalização mensal. O valor dos juros a serem pagos no vencimento pode ser obtido multiplicando R$ ,00 por: a) Z(1,02) [ 1\ V^ b) ](18 1,36 1_ VW c) ](18 1,24 1_ d) ](3 1,24 1_ ` e) ](6 1,24 1_ 032. (AFRM Pref. de Angra dos Reis 2010/FGV) Um empréstimo pós-fixado foi pago com uma taxa aparente de 23,20%. Sabendo-se que a taxa de inflação no período do empréstimo foi de 10%, a taxa de juros real foi de a) 12,00% b) 25,52% c) 16,52% d) 33,20% e) 13,20% 033. (BESC 2004/FGV) Uma rentabilidade nominal de 80%, em um período em que a inflação foi de20%, equivale a uma rentabilidade real de: (A) 20% (B) 44% (C) 50% (D) 55% (E) 60% Prof. Guilherme Neves 49

50 034. (SEFAZ-RJ 2007/FGV) O artigo 1º da Lei de 28 de junho de 2007, que dispõe sobre o salário mínimo a partir de 1º de abril de 2007, é transcrito a seguir: A partir de 1º de abril de 2007, após a aplicação do percentual correspondente à variação do Índice Nacional de Preços ao Consumidor INPC, referente ao período entre 1º de abril de 2006 e 31 de março de 2007, a título de reajuste, e de percentual a título de aumento real, sobre o valor de R$ 350,00 (trezentos e cinqüenta reais) o salário mínimo será de R$ 380,00 (trezentos e oitenta reais). Considerando que o INPC acumulado no período foi de 3,4%, o percentual a título de aumento real a que a lei se refere foi de: a) 5,2%. b) 4,8%. c) 5,0%. d) 5,8%. e) 5,5% (SEFAZ/RJ 2009/FGV) Para um financiamento no valor de R$ 1000,00, a ser pago ao final de um ano, a taxa de juros real a ser cobrada é igual a 10%, enquanto a taxa de inflação, para esse mesmo período, é de 5%. A taxa aparente anual para esse financiamento será de: (A) 50%. (B) 20%. (C) 15,5%. (D) 10%. (E) 5% (SEFAZ/RJ 2010/FGV) Um empréstimo foi feito à taxa de juros real de 20%. Sabendo-se que a inflação foi de 10% no período, a taxa de juros aparente é: (A) 12%. (B) 22%. (C) 28%. (D) 30%. (E) 32% (SERC/MS 2006/FGV) De quanto diminui o seu salário real, se o seu salário nominal aumenta de 10% e há uma inflação de 40%? (A) 12% (B) 15% (C) 18% (D) 21% (E) 30% 038. (APOFP/SEFAZ-SP/FCC/2010) Um investidor aplicou o capital de R$ ,00, resgatando todo o montante após um ano. Sabe-se que a taxa real de juros desta aplicação e a taxa de inflação do período correspondente foram iguais a 10% e 2,5%, respectivamente. O montante resgatado pelo investidor foi de Prof. Guilherme Neves 50