MATEMÁTICA FINANCEIRA, ESTATÍSTICA E RACIOCÍNIO CRÍTICO PARA ICMS/SP PROFESSOR: GUILHERME NEVES

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1 Aula demonstrativa Apresentação... 2 Juros Simples - Introdução... 4 Juros... 4 Formas de Representação da Taxa de Juros... 6 Elementos da Operação de Juros... 6 Regimes de Capitalização... 7 Capitalização Simples... 8 Capitalização Composta... 8 Juros Simples... 9 Homogeneização entre a taxa e o prazo de capitalização Taxas Proporcionais Juros Simples Ordinários (Comerciais) e Exatos Resolução de questões da FCC Relação das questões comentadas Gabaritos Prof. Guilherme Neves 1

2 Apresentação Olá, pessoal! Tudo bem com vocês? Como já foi bem divulgado, está na praça o edital para o concurso do ICMS/SP. Pois bem, esta é a aula demonstrativa de Matemática Financeira, Estatística e Raciocínio Crítico. Para quem ainda não me conhece, meu nome é Guilherme Neves. Sou professor de Raciocínio Lógico, Matemática, Matemática Financeira e Estatística. Sou autor do livro Raciocínio Lógico Essencial (Editora Campus). Posso afirmar em alto e bom tom que ensinar é a minha predileção. Comecei a dar aulas para concursos, aqui em Recife, quando tinha apenas 17 anos (mesmo antes de começar o meu curso de Bacharelado em Matemática na UFPE). A banca organizadora é a Fundação Carlos Chagas e vamos focar nos exercícios desta banca. Seguiremos o seguinte cronograma baseado no edital publicado: Aula 0 Juros Simples. Montante e juros. Aula 1 Juros compostos. Montante e juros. Taxa real e taxa efetiva. Taxas equivalentes. Capitalização contínua. Aula 2 Descontos: simples, composto. Desconto racional e desconto comercial. Aula 3 Capitais equivalente. Fluxo de caixa. Valor atual. Aula 4 Amortizações. Sistema francês. Sistema de amortização constante. Sistema misto. Taxa interna de retorno. Aula 5 Estatística Descritiva: gráficos, tabelas, medidas de posição e de variabilidade. Aula 6 Probabilidades: conceito, axiomas e distribuições (binominal, normal, poisson). Aula 7 Inferência estatística. Amostragem: amostras casuais e não casuais. Processos de amostragem, incluindo estimativas de parâmetros. Intervalos de confiança. Aula 8 Correlação e Regressão. Aula 9 Testes de hipóteses para médias e proporções. Ditribuição de quiquadrado. Aula 10 Raciocínio Crítico (Parte 1) Aula 11 Raciocínio Crítico (Parte 2) Aula 12 Raciocínio Crítico (Parte 3) Aula 13 Raciocínio Crítico (Parte 4) Eis o conteúdo de Raciocínio Crítico, como consta no edital: Prof. Guilherme Neves 2

3 RACIOCÍNIO CRÍTICO A Prova de Raciocínio Crítico objetiva testar as habilidades de raciocínio, envolvendo: (a) elaboração de argumentos; (b) avaliação da argumentação; e (c) formulação ou avaliação de planos de ação. As questões podem abordar assuntos de quaisquer áreas, e sua resolução independe do conhecimento específico do assunto envolvido. Programa Construção de argumentos: reconhecimento da estrutura básica de um argumento; conclusões apropriadas; hipóteses subjacentes; hipóteses explicativas fundamentadas; analogia entre argumentos com estruturas semelhantes. Avaliação de argumentos: fatores que reforçam ou enfraquecem uma argumentação; erros de raciocínio; método utilizado na exposição de razões. Formulação e avaliação de um Plano de Ação: reconhecimento da conveniência, eficácia e eficiência de diferentes planos de ação; fatores que reforçam ou enfraquecem as perspectivas de sucesso de um plano proposto; hipóteses subjacentes a um plano proposto. A FCC tentou aqui no concurso modificar aquele texto tradicional das provas de Raciocínio Lógico, mas a essência é a mesma. Estudaremos estruturas lógicas, lógica de argumentação, equivalências lógicas, etc. Além disso, teremos contato direto no nosso fórum de dúvidas pelo qual vocês poderão dar sugestões de questões e tirar as suas dúvidas. Depois de realizadas as provas, daremos total assistência na análise da prova e preparação de possíveis recursos. Vamos começar? Prof. Guilherme Neves 3

4 Juros Simples - Introdução A Matemática Financeira é uma ciência que não se preocupa apenas com o cálculo dos juros simples e compostos. Esta é a função de um dos capítulos iniciais da matemática comercial. A Matemática Financeira é o elo entre os métodos matemáticos e os fenômenos financeiro-econômicos. É uma ciência que se preocupa com a construção de modelos gerais, representação de variáveis monetárias na linha do tempo. Matemática Financeira é a disciplina que estuda o entendimento dos modelos de aplicação, avaliação de investimentos e captação de recursos. A operação básica da matemática financeira é a operação de empréstimo. Alguém dispõe de certo capital, empresta-o por certo período de tempo. Após esse período, recebe o seu capital acrescido de uma remuneração pelo empréstimo. A essa remuneração denominamos juro. Existem diversas razões que justificam o pagamento dos juros na operação de empréstimo. O primeiro deles é o custo de oportunidade. Obviamente, quando alguém disponibiliza certa quantia para ser emprestada, deixará de investir o capital em outros projetos. Portanto, o não-uso deste capital deverá ser remunerado. Deve-se levar em consideração a perda do poder de compra na linha do tempo. Com o aumento generalizado de preços causado pela inflação, quem empresta o dinheiro quer preservar o poder de compra. O elemento que será responsável por preservar o valor do dinheiro no tempo é o juro. Os bancos em geral têm despesas administrativas e obviamente têm o interesse de repassar essas despesas para os devedores. Um aspecto de destaque é o de considerar os valores em seu momento no tempo. A valoração que fazemos de algo está diretamente associada ao momento em que ocorre. Juros O juro é o dinheiro pago pelo dinheiro emprestado. É o custo do capital de terceiros colocado à nossa disposição. Alguém que dispõe de um capital C (denominado principal, capital inicial, valor atual), empresta-o a outrem por certo período de tempo, e após esse período recebe o seu capital de volta. Esse capital ao ser devolvido deverá ser remunerado. Essa remuneração é chamada de juro. Prof. Guilherme Neves 4

5 Ao emprestarmos uma quantia em dinheiro, por determinado período de tempo, costumamos cobrar o juro, de tal modo que, no fim do prazo estipulado, disponhamos não só da quantia emprestada, como também de um acréscimo que compense a não-utilização do capital financeiro, por nossa parte, durante o período em que foi emprestado. A soma capital + juros é chamada de montante e será representada por M. = + = + Os juros são fixados através de uma taxa percentual que sempre se refere a uma unidade de tempo: dia, mês, bimestre, trimestre, semestre, ano,.... Utilizamos, usualmente, a letra i para denotar a taxa de juros. A letra i é a inicial da palavra inglesa interest, que significa juros. O elemento que faz a equivalência dos valores ao longo do tempo é o juro, que representa a remuneração do capital. Exemplo: = 24% = 24%.. =6% =6%.. =3,5% = 3,5%.. Veremos ao longo deste curso, que não é permitido em Matemática Financeira operar com quantias em épocas diferentes. O objetivo da Matemática Financeira é permitir a comparação de valores em diversas datas de pagamento ou recebimento e o elemento chave para a comparação destes valores é a taxa de juros. Imagine que o Banco Agi Ota cobra uma taxa de 6% ao mês no uso do cheque especial. E em determinado mês, Alberto precisou pegar emprestado do banco R$ ,00. Que valor ele deve depositar na sua conta daqui a um mês para saldar a dívida? Vimos anteriormente que ao pegar alguma quantia emprestada, além de devolver o principal, deve-se remunerar o capital. E quanto será a remuneração? Quem responderá essa pergunta é a taxa de juros. Se a taxa de juros é de 6% ao mês e a quantia emprestada é de R$ ,00, então para saldar a dívida deve-se pagar os R$ ,00 e mais Prof. Guilherme Neves 5

6 os juros cobrados pelo banco. O juro que deverá ser pago daqui a um mês será 6% de R$ ,00. Ou seja, =6% = = O valor total que Alberto deve depositar na sua conta para saldar a dívida é igual a = Formas de Representação da Taxa de Juros É importante observar que no cálculo anterior, a taxa de juros 6% foi transformada em fração decimal para permitir a operação. Assim, as taxas de juros terão duas representações: i) Sob a forma de porcentagem (taxa percentual): 6% ao ano = 6% a.a. ii) Sob a forma de fração decimal (taxa unitária): $ %&& = 0,06 A representação em percentagem é a comumente utilizada; entretanto, todos os cálculos e desenvolvimentos de fórmulas serão feitos através da notação em fração decimal. Elementos da Operação de Juros Na situação descrita acima, podemos perceber os principais elementos de uma operação de juros. Imagine que o Banco Agi Ota cobra uma taxa de 6% ao mês no uso do cheque especial. E em determinado mês, Alberto precisou pegar emprestado do banco R$ ,00. Que valor Alberto deve depositar na sua conta daqui a um mês para saldar a dívida? Capital (C) Pode ser chamado de principal, capital inicial, valor presente, valor atual, montante inicial, valor de aquisição, valor à vista. No nosso exemplo, é o dinheiro que Alberto pegou emprestado do banco. Temos então, no nosso problema, que o capital é igual a R$ ,00. ='(.))),)) Juros (J) Também chamado de rendimento. Quando uma pessoa empresta a outra um valor monetário, durante certo tempo, é cobrado um valor pelo uso do dinheiro. Esse valor é denominado juro. Pelos cálculos que fizemos: Prof. Guilherme Neves 6

7 =*)),)) Taxa de juros (i) A taxa de juros representa os juros numa certa unidade de tempo. A taxa obrigatoriamente deverá explicitar a unidade de tempo. Por exemplo, se Alberto vai ao banco tomar um empréstimo e o gerente diz: - Ok! O seu empréstimo foi liberado! E a taxa de juros que nós cobramos é de apenas 8%. Ora, a informação desse gerente está incompleta. Pois se os juros forem de 8% ao ano... Ótimo! E se essa taxa de juros for ao dia? PÉSSIMO! Portanto, perceba que a indicação da unidade da taxa de juros é FUNDAMENTAL. Tempo (n) Quando falamos em tempo, leia-se NÚMERO DE PERÍODOS. No nosso exemplo, se Alberto ficasse devendo ao banco por 3 meses, o número de períodos seria igual a 3. Agora, imagine a seguinte situação. Tomase um empréstimo com a taxa de 7,5% a.b. (ao bimestre). Se Alberto demorar 6 meses para efetuar o pagamento da dívida, o seu n, ou seja, o seu tempo não será igual a 6. O seu tempo será igual a 3!!! Pois a taxa é bimestral, e em um período de 6 meses temos 3 bimestres. No nosso caso, a taxa era mensal e Alberto usou o cheque especial durante apenas um mês. Montante (M) Pode ser chamado de montante, montante final, valor futuro. É o valor de resgate. Obviamente o montante é maior do que o capital inicial. O montante é, em suma, o capital mais os juros. = + As operações de empréstimo são feitas geralmente por intermédio de um banco que, de um lado, capta dinheiro de interessados em aplicar seus recursos e, de outro, empresta esse dinheiro aos tomadores interessados no empréstimo. Regimes de Capitalização Denominamos regimes de capitalização aos diferentes processos como os juros são gerados e agregados ao capital aplicado. Os juros são normalmente classificados em simples ou compostos, dependendo do processo de cálculo utilizado. Ou seja, se um capital for aplicado a certa taxa por período, por vários intervalos ou períodos de tempo, o valor do montante pode ser calculado segundo duas convenções de cálculo, chamadas de regimes de capitalização: capitalização simples (juros simples) e capitalização composta (juros compostos). Prof. Guilherme Neves 7

8 A definição e a fórmula que demos para MONTANTE, independe do processo de capitalização. Ou seja, não interessa se o regime adotado é o simples ou o composto, sempre teremos: = + Vejamos dois exemplos para entender os esses dois tipos de capitalização. Capitalização Simples De acordo com esse regime, os juros gerados em cada período são sempre os mesmos. Nessa hipótese, os juros pagos de cada período são calculados sempre em função do capital inicial empregado. Vejamos um exemplo numérico visando a fixação desse conceito. Guilherme aplicou R$ ,00 a juros simples durante 5 anos à taxa de 20% a.a. Vamos calcular os juros gerados em cada período e o montante após o período de aplicação. Como a própria leitura da taxa indica: 20% ao ano (vinte por cento ao ano). Cada ano, de juros, receberei 20%. 20% de quem? Do capital aplicado R$ ,00. A taxa de juros, no regime simples, sempre incide sobre o capital inicial. Os juros gerados no primeiro ano são +& Os juros gerados no segundo ano são +& Os juros gerados no terceiro ano são +& Os juros gerados no quarto ano são +& Os juros gerados no quinto ano são +& %&& %&& %&& %&& %&& =,.))) =,.))) =,.))) =,.))) =,.))). Na CAPITALIZAÇÃO SIMPLES os juros gerados em cada período são sempre os mesmos, ou seja, a taxa incide apenas sobre o capital inicial. Dessa forma, o montante após os 5 anos vale R$ ,00 (capital aplicado) mais 5 vezes R$ 2.000,00 (juros). Conclusão: o montante é igual a R$ ,00 (lembre-se que o montante é o capital inicial mais o juro). Capitalização Composta No regime de capitalização composta, o juro gerado em cada período agrega-se ao capital, e essa soma passa a render juros para o próximo período. Daí que surge a expressão juros sobre juros. Prof. Guilherme Neves 8

9 Imagine a seguinte situação: Guilherme aplicou R$ ,00 a juros compostos durante 5 anos à taxa de 20% a.a. Vamos calcular os juros gerados em cada período e o montante após o período de cada aplicação. Os juros gerados no primeiro ano são +& %&& o primeiro ano é = Os juros gerados no segundo ano são +& o segundo ano é = Os juros gerados no terceiro ano são +& %&& terceiro ano é = Os juros gerados no quarto ano são +& quarto ano é = Os juros gerados no quinto ano são +& o quinto ano é ,20 = ,20. %&& %&& %&& = e o montante após = e o montante após = e o montante após o =3.456 e o montante após o = 4.147,20 e o montante após Observação: Se a operação de juros for efetuada em apenas um período, o montante será igual nos dois regimes. No nosso exemplo, se parássemos a aplicação no primeiro mês, teríamos um montante de R$ ,00 nos dois regimes de capitalização. Observe ainda que o dinheiro cresce mais rapidamente a juros compostos do que a juros simples. Juros Simples Como vimos anteriormente, juros simples são aqueles calculados sempre sobre o capital inicial, sem incorporar à sua base de cálculo os juros auferidos nos períodos anteriores. Ou seja, os juros não são capitalizados. Vejamos outro exemplo para entendermos bem a fórmula de juros simples. Imagine que você aplique R$ 5.000,00 à taxa de juros simples de 3% ao mês. Então, ao final do primeiro mês de aplicação, o juro produzido será: 3% = = Ou seja, para calcular o juro produzido no primeiro mês, basta multiplicar a taxa de juros pelo capital inicial. Prof. Guilherme Neves 9

10 Como, sob o regime de capitalização simples, os juros produzidos em cada período são sempre iguais, podemos concluir que, se esse capital fosse aplicado por 10 meses, produziria juros de: 150 x 10 = A partir desse exemplo, é fácil compreender a fórmula para o cálculo do juro simples. Adotaremos as seguintes notações: C Capital inicial i taxa de juros simples n tempo de aplicação J juro simples produzido durante o período de aplicação. M montante ao final da aplicação O juro produzido no primeiro período de aplicação é igual ao produto do capital inicial (C) pela taxa de juros (i), como foi feito no nosso exemplo. E, consequentemente, o juro produzido em n períodos de aplicação será: J = C i n (1) E, lembrando também que o montante é a soma do capital com os juros produzidos, temos a seguinte fórmula abaixo: M = C+ J Substituindo a fórmula (1) na fórmula (2), temos então a seguinte expressão: (2) M = C+ C i n C Em álgebra, significa 1C, portanto, J M = 1 C+ C i n Colocando o C em evidência, M = C (1 + i n) (3) É de suma importância memorizar as três fórmulas abaixo. J = C i n M = C+ J (1) (2) Prof. Guilherme Neves 10

11 M = C (1 + i n) (3) E devemos estar atentos ao seguinte fato: Deve-se utilizar a taxa na forma unitária. Assim, por exemplo, se a taxa for de 30%, utilizamos /& %&& =0,30. Homogeneização entre a taxa e o prazo de capitalização A taxa de juros deverá estar explicitada na mesma unidade de tempo apresentada pelo prazo de capitalização. Ou seja, deve existir concordância entre as unidades da taxa de juros e do tempo. Assim, se a taxa for mensal, o tempo deverá ser expresso em meses; Se a taxa for bimestral, o tempo deverá ser expresso em bimestres; E assim sucessivamente. Exemplos i=3% n=150 dias. a.m. A taxa está expressa em meses e o tempo em dias. Para que haja concordância entre as unidades, deveremos escolher uma unidade comum e transformar um dos objetos. O mês comercial é de 30 dias. Portanto, para transformar o tempo de 150 dias para meses, basta dividir por 30. i=3% a.m. n= 5 meses =150 = = 5 Para efetuar a transformação da taxa, no regime de juros simples, utilizaremos o conceito de taxas proporcionais. Transformar a taxa significa encontrar uma taxa equivalente, ou seja, que para um mesmo período, os juros gerados sejam o mesmo. No regime de capitalização simples, taxas proporcionais são equivalentes. Taxas Proporcionais Duas taxas são proporcionais quando a razão entre elas é igual à razão entre os respectivos períodos expressos na mesma unidade de tempo. Prof. Guilherme Neves 11

12 A definição de taxas proporcionais não está condicionada ao regime de capitalização. Portanto, teremos taxas proporcionais tanto no regime de capitalização simples quanto no regime de capitalização composta. O fato importante é que no regime de capitalização simples as taxas proporcionais são equivalentes. Simbolicamente, dizemos que a taxa % referente ao período % é proporcional à taxa + referente ao período + se % + = % + Para exemplificar, no regime de juros simples, um capital aplicado por 1 ano (12 meses) a uma taxa de 36% ao ano produz o mesmo montante quando o mesmo capital é aplicado a uma taxa de 3% ao mês por 12 meses. Neste exemplo,dizemos que 3% ao mês é proporcional a 36% ao ano, pois como 1 ano é o mesmo que 12 meses, tem-se: 2% 24% = 1 ê 12 Poderíamos ter adotado a seguinte linha de raciocínio. Como 1 ano é 12 vezes maior do que o período de 1 mês, então a taxa anual proporcional é 12 vezes maior do que a taxa mensal. Exemplo: Determinar a taxa diária proporcional a 3% ao mês. Aplicando a definição de taxas proporcionais (lembre-se que o mês comercial possui 30 dias) = 2 1 3% 30 = 2 1 Em toda proporção, o produto dos meios é igual ao produto dos extremos =3% 1 2 = 3% 30 = 0,1% Poderíamos ter adotado a seguinte linha de raciocínio. Como 1 dia é 30 vezes menor do que o período de 1 mês, então a taxa diária proporcional é 30 vezes menor. 2 = 1 30 = 3% =0,1% 30 Prof. Guilherme Neves 12

13 Juros Simples Ordinários (Comerciais) e Exatos Na prática, usualmente, é adotado o juro simples ordinário (utiliza o ano comercial com 360 dias e meses com 30 dias). O juro simples exato (utiliza o ano civil com 365 dias) somente é usado quando para isso for expresso explicitamente na operação. Os juros são considerados ordinários ou comerciais quando utilizam o ano comercial para estabelecer a homogeneidade entre a taxa e o tempo. Logo, em juros ordinários, consideramos que todos os meses têm 30 dias e o ano tem 360 dias. Juros exatos são aqueles em que se utiliza o calendário civil para verificarmos a quantidade de dias entre duas datas. Logo, quando o mês tem 31 dias deveremos considerar o total e não 30 dias. Para facilitar o cálculo de juros nestas modalidades, é fundamental efetuarmos o cálculo com taxa anual e o tempo expresso em dias. Para calcular a taxa equivalente diária devemos dividir a taxa anual pelo número total de dias do ano comercial (360 dias) ou ano exato (365 ou 366 dias). Devemos ficar atentos ao fato de o ano ser ou não bissexto no caso de juros exatos. Podemos criar dois processos mnemônicos para saber quais anos são bissextos ou não. Para começar, os anos bissextos obrigatoriamente são pares. Um ano é dito bissexto se for múltiplo de 4, exceto os que são múltiplos de 100, a não ser que sejam múltiplos de 400. Dica: Para verificar se um número é divisível por 4 basta dividir os últimos dois dígitos do número por 4. Assim, 1998 não é divisível por 4 e, portanto, não é bissexto. Uma maneira mais lúdica de memorizar é o seguinte: Os anos pares ou são anos de Olimpíada ou são anos de Copa do Mundo. Os anos bissextos são os anos de Olimpíadas!!! Como em 1998 houve a Copa do Mundo da França, o ano não foi bissexto. Prof. Guilherme Neves 13

14 Resolução de questões da FCC 01. (BB 2011/FCC) Um capital foi aplicado a juros simples, à taxa anual de 36%. Para que seja possível resgatar-se o quádruplo da quantia aplicada, esse capital deverá ficar aplicado por um período mínimo de: (A) 7 anos, 6 meses e 8 dias. (B) 8 anos e 4 meses. (C) 8 anos, 10 meses e 3 dias. (D) 11 anos e 8 meses. (E) 11 anos, 1 mês e 10 dias. Resolução Vamos fazer uma breve revisão da capitalização simples. A fórmula utilizada para o cálculo do juro simples é a seguinte: =, em que C é o capital aplicado, é a taxa de juros e é a quantidade de períodos. Devemos sempre ter em mente que a taxa de juros e a quantidade de períodos devem estar sempre na mesma unidade. Ou seja, se a taxa é anual, o tempo deve ser dado em anos; se a taxa é mensal, o tempo deve ser dado em meses, e assim por diante. O montante é a soma do capital com o juro. Assim, = +. Vamos à questão. Um capital será aplicado a juros simples, à taxa anual de 36%. O problema pede o tempo de forma que o montante (valor a ser resgatado) seja o quádruplo da quantia aplicada. Pelo estilo do problema, percebe-se que o valor do capital em si não interfere na resposta. Desta forma, podemos supor, sem perda de generalidade, que o capital aplicado é de R$ 100,00. Como o montante será o quádruplo da quantia aplicada, então =400,00 reais. Sabemos que = +, portanto: 400 = 100+ =300 Vamos aplicar a fórmula dos juros simples. = 300 = = 36 Prof. Guilherme Neves 14

15 = Podemos simplificar esta fração por 6. Ficamos com: = 50 6 Como a taxa é anual, então o tempo foi calculado em anos. Vamos, portanto, dividir 50 anos por 6. = Vamos dividir o resto. Como 1 ano possui 12 meses, então 2 = 24. Vamos dividir 24 meses por O tempo pedido é igual a 8 anos e 4 meses. Letra B 02. (AFRE-PB 2006 FCC) Certas operações podem ocorrer por um período de apenas alguns dias, tornando conveniente utilizar a taxa diária e obtendo os juros segundo a convenção do ano civil ou do ano comercial. Então, se um capital de R$ ,00 foi aplicado por 5 dias à taxa de juros simples de 9,3% ao mês, em um mês de 31 dias, o módulo da diferença entre os valores dos juros comerciais e dos juros exatos é a) R$ 37,50 b) R$ 30,00 c) R$ 22,50 d) R$ 15,00 e) R$ 7,50 Resolução Juros Comerciais O capital de R$ ,00 foi aplicado durante 5 dias à taxa de juros simples de 9,3% ao mês. Para calcularmos a taxa equivalente diária, neste caso, devemos dividir por 30. = 9,3% 30 =0,31% =0,0031 Prof. Guilherme Neves 15

16 O juro comercial é dado por: Juros Exatos 4 = = , =232,50 O capital de R$ ,00 foi aplicado durante 5 dias à taxa de juros simples de 9,3% ao mês. Para calcularmos a taxa equivalente diária, neste caso, devemos dividir por 31. O juro exato é dado por: = 9,3% 31 = 0,3% =0,003 5 = = ,003 5 = 225,00 A questão pede o módulo da diferença entre os juros comerciais e os juros exatos. Letra E 4 5 = 232,50 225,00 =7, (APOFP/SEFAZ-SP/FCC/2010) Um capital no valor de R$ ,00 é aplicado a juros simples, durante 12 meses, apresentando um montante igual a R$ ,00. Um outro capital é aplicado, durante 15 meses, a juros simples a uma taxa igual à da aplicação anterior, produzindo juros no total de R$ 5.250,00. O valor do segundo capital supera o valor do primeiro em a) R$ ,00 b) R$ 8.500,00 c) R$ 7.500,00 d) R$ 6.000,00 e) R$ 5.850,00 Resolução Primeira aplicação: Um capital de R$ ,00 gera um montante de R$ ,00, logo o juro do período é de R$ 2.500,00. Sabemos a relação de juro simples: ' = ' 7 8 ' Prof. Guilherme Neves 16

17 ,.())=',.()) 7 ',,.())='().))) 7,.())='().))) 7 7 =,.()) '().))) =,( '.()) = ' 9) Segunda aplicação:, =, 7 8, (.,() =, ' 9) '( (.,()=, ' :, =,'.))) O segundo capital supera o primeiro em = Letra B 04. (CVM 2003 FCC) Em determinada data, uma pessoa aplica R$ ,00 à taxa de juros simples de 2% ao mês. Decorridos 2 meses, outra pessoa aplica R$ 8.000,00 à taxa de juros simples de 4% ao mês. No momento em que o montante referente ao valor aplicado pela primeira pessoa for igual ao montante referente ao valor aplicado pela segunda pessoa, o total dos juros correspondente à aplicação da primeira pessoa será de a) R$ 4.400,00 b) R$ 4.000,00 c) R$ 3.600,00 d) R$ 3.200,00 e) R$ 2.800,00 Resolução Vamos analisar separadamente as duas aplicações. 1ª pessoa Aplicou R$ ,00 à taxa de juros simples de 2% ao mês. Lembremos a fórmula do montante: M1 = C (1 + i n) Chamando de M 1 o montante da primeira pessoa, ele será dado por: Prof. Guilherme Neves 17

18 2ª pessoa M M 1 1 = (1+ 0,02 n) = n Aplicou R$ 8.000,00 à taxa de juros simples de 4% ao mês. O problema é quanto ao tempo de capitalização. A segunda pessoa começou a aplicar o seu dinheiro 2 meses após a primeira pessoa. Se o tempo de aplicação da primeira pessoa é igual a n, o tempo de aplicação da segunda pessoa será n-2. Ou seja, nas fórmulas de juros simples, ao invés de colocarmos n para o tempo, colocaremos n-2. Assim, chamando de M 2 o montante da segunda pessoa, ele será dado por: + = ;1+ ( 2)> + =8.000 ;1+0,04 ( 2)> + =8.000 ;1+0,04 0,08> + = ;0,04 +0,92> + = No momento em que o montante referente ao valor aplicado pela primeira pessoa for igual ao montante referente ao valor aplicado pela segunda pessoa, o total dos juros correspondente à aplicação da primeira pessoa será de... Devemos, portanto, igualar os montantes calculados anteriormente. M2 = M = = = = 22 Essa ainda não é a resposta do problema. A questão pediu o total dos juros correspondente à aplicação da primeira pessoa. Lembremos que a primeira pessoa aplicou R$ ,00 à taxa de 2% ao mês durante 22 meses (observe que se estivéssemos calculando o juro correspondente a segunda pessoa, deveríamos utilizar 20 meses!). Prof. Guilherme Neves 18

19 J = C i n J = ,02 22 J = Letra A 05. (AFTE-RO 2010 FCC) Dois capitais foram aplicados a uma taxa de juros simples de 2% ao mês. O primeiro capital ficou aplicado durante o prazo de um ano e o segundo, durante 8 meses. A soma dos dois capitais e a soma dos correspondentes juros são iguais a R$ ,00 e R$ 5.280,00, respectivamente. O valor do módulo da diferença entre os dois capitais é igual a a) R$ 2.000,00 b) R$ 2.500,00 c) R$ 3.000,00 d) R$ 4.000,00 e) R$ 5.000,00 Resolução Chamemos o primeiro capital de C 1 e o segundo capital de C 2. Já que a soma dos dois capitais é igual a R$ ,00, podemos escrever que Lembre-se que o juro simples é calculado de acordo com a fórmula J = C i n de períodos. C1+ C2 = , em que C é o capital aplicado, i é a taxa de juros e n é o número Assim, o juro do primeiro capital será J = C 0,02 12 J = 0,24 C E o juro do segundo capital será J = C 0,02 8 J = 0,16 C A segunda equação pode ser escrita da seguinte forma: J1+ J2 = , 24 C + 0,16 C = Prof. Guilherme Neves 19

20 Para não trabalhar com números decimais (e facilitar um pouco nossas contas), podemos multiplicar ambos os membros dessa equação por C + 16 C = Acabamos de formar o seguinte sistema linear: C1+ C2 = C1+ 16 C2 = Faremos, por exemplo, pelo método da substituição. Basta isolar na primeira equação o termo C 2. C = C 2 1 Substitui-se essa expressão na segunda equação: 24 C + 16 ( C) = C C = C = C = C 1 = E como a soma dos dois capitais é igual a , o segundo capital será: C 2 = C 2 = O valor do módulo da diferença entre os dois capitais é igual a = Letra C Prof. Guilherme Neves 20

21 06. (Esp-Adm-Orç-Fin-Púb Pref. de São Paulo 2010/FCC) Um investidor aplica um capital a juros simples, durante 10 meses, apresentando montante no valor de R$ ,00 no final do período. Caso este capital tivesse sido aplicado durante 16 meses a juros simples, e com a mesma taxa de juros anterior, o valor do montante no final deste período teria sido de R$ ,00. O valor do capital aplicado pelo investidor é igual a (A) R$ ,00. (B) R$ ,00. (C) R$ ,00. (D) R$ ,00. (E) R$ ,00. Resolução Sabemos que o montante é a soma do capital com os juros. Logo, =+ No regime simples, o juro é calculado da seguinte maneira: Vejamos a primeira aplicação: 1ª aplicação: = + = = Como n = 10 meses, + 10 = Lembre-se que em álgebra C significa C vezes 1. Podemos colocar o C em evidência. Vamos guardar esta equação = (1+10 )= = ª aplicação: Como n = 16 meses, + = = Prof. Guilherme Neves 21

22 + 16 = Lembre-se que em álgebra C significa C vezes 1. Podemos colocar o C em evidência. Na primeira aplicação, descobrimos que = (1+16 )= = = Podemos igualar as expressões: = O produto dos meios é igual ao produto dos extremos: (1+16 )= (1+10 ) Vamos dividir ambos os membros por 100 para simplificar. Voltando à equação descrita acima: 300 (1+16 )=336 (1+10 ) = = 36 = % = 2,5% =0, = Letra D = ,025 = (CVM 2003 FCC) O banco "X" emprestou R$ ,00 por um período de 15 meses. No final deste prazo, o devedor pagou juros no valor total de R$ 4.554,00. Então, a taxa anual de juros simples utilizada nesta operação foi de Prof. Guilherme Neves 22

23 a) 30% b) 36% c) 45% d) 60% e) 75% Resolução Vamos aplicar diretamente a fórmula de juros simples. = = = = = 0,03 =3% Como o período foi dado em meses, então a taxa calculada é mensal. =3% ê O problema pede a taxa anual de juros simples. Basta calcular a taxa mensal por 12. =3% ê = 36% Letra B 08. (Secretaria de Estado de Planejamento, Orçamento e Gestão MA 2005/FCC) Um capital esteve aplicado à taxa de 1,5% ao mês, por um período de 1 ano. Se ao final desse período foram obtidos juros simples num total de R$ 2.250,00, o valor do capital aplicado era a) R$ ,00 b) R$ ,00 c) R$ ,00 d) R$ ,00 e) R$ ,00 Resolução Vamos aplicar diretamente a fórmula de juros simples. Já que a taxa é mensal, então o tempo será utilizado em meses (1 ano = 12 meses). = = 1, Prof. Guilherme Neves 23

24 2.250 =0,18 Letra A = ,18 = (AFRE-PB 2006/FCC) Um investidor aplica em um determinado banco R$ ,00 a juros simples. Após 6 meses, resgata totalmente o montante de R$ ,00 referente a esta operação e o aplica em outro banco, durante 5 meses, a uma taxa de juros simples igual ao dobro da correspondente à primeira aplicação. O montante no final do segundo período é igual a (A) R$ ,00 (B) R$ ,00 (C) R$ ,00 (D) R$ ,00 (E) R$ ,00 Resolução Temos duas aplicações em regime simples. A taxa da segunda aplicação é igual ao dobro da taxa da primeira aplicação. Portanto, o primeiro passo é determinar a taxa da primeira aplicação. 1ª aplicação: O capital é igual a R$ ,00 e o montante é igual a R$ ,00. Portanto o juro é igual a J = = 900. O tempo de aplicação é de 6 meses. Assim, podemos aplicar a fórmula de juros simples. 2ª aplicação: J = C i n 900= i 6 900= i 900 i= i=0,015 Lembrando que a taxa da segunda aplicação é o dobro da taxa da primeira aplicação, concluímos que a segunda taxa é igual a 0,015 x 2 = 0,03. Prof. Guilherme Neves 24

25 O capital aplicado da segunda aplicação é o montante da primeira aplicação. Portanto, o capital aplicado é igual a R$ ,00. O tempo de aplicação é igual a 5 meses. Logo, o montante será dado por M = C (1 + i n) M = (1+ 0,03 5) M = ,15 M = Letra A Ficamos por aqui. Um abraço e até a próxima aula! Guilherme Neves Prof. Guilherme Neves 25

26 Relação das questões comentadas 01. (BB 2011/FCC) Um capital foi aplicado a juros simples, à taxa anual de 36%. Para que seja possível resgatar-se o quádruplo da quantia aplicada, esse capital deverá ficar aplicado por um período mínimo de: (A) 7 anos, 6 meses e 8 dias. (B) 8 anos e 4 meses. (C) 8 anos, 10 meses e 3 dias. (D) 11 anos e 8 meses. (E) 11 anos, 1 mês e 10 dias. 02. (AFRE-PB 2006 FCC) Certas operações podem ocorrer por um período de apenas alguns dias, tornando conveniente utilizar a taxa diária e obtendo os juros segundo a convenção do ano civil ou do ano comercial. Então, se um capital de R$ ,00 foi aplicado por 5 dias à taxa de juros simples de 9,3% ao mês, em um mês de 31 dias, o módulo da diferença entre os valores dos juros comerciais e dos juros exatos é a) R$ 37,50 b) R$ 30,00 c) R$ 22,50 d) R$ 15,00 e) R$ 7, (APOFP/SEFAZ-SP/FCC/2010) Um capital no valor de R$ ,00 é aplicado a juros simples, durante 12 meses, apresentando um montante igual a R$ ,00. Um outro capital é aplicado, durante 15 meses, a juros simples a uma taxa igual à da aplicação anterior, produzindo juros no total de R$ 5.250,00. O valor do segundo capital supera o valor do primeiro em a) R$ ,00 b) R$ 8.500,00 c) R$ 7.500,00 d) R$ 6.000,00 e) R$ 5.850, (CVM 2003 FCC) Em determinada data, uma pessoa aplica R$ ,00 à taxa de juros simples de 2% ao mês. Decorridos 2 meses, outra pessoa aplica R$ 8.000,00 à taxa de juros simples de 4% ao mês. No momento em que o montante referente ao valor aplicado pela primeira pessoa for igual ao montante referente ao valor aplicado pela segunda pessoa, o total dos juros correspondente à aplicação da primeira pessoa será de a) R$ 4.400,00 b) R$ 4.000,00 c) R$ 3.600,00 d) R$ 3.200,00 e) R$ 2.800,00 Prof. Guilherme Neves 26

27 05. (AFTE-RO 2010 FCC) Dois capitais foram aplicados a uma taxa de juros simples de 2% ao mês. O primeiro capital ficou aplicado durante o prazo de um ano e o segundo, durante 8 meses. A soma dos dois capitais e a soma dos correspondentes juros são iguais a R$ ,00 e R$ 5.280,00, respectivamente. O valor do módulo da diferença entre os dois capitais é igual a a) R$ 2.000,00 b) R$ 2.500,00 c) R$ 3.000,00 d) R$ 4.000,00 e) R$ 5.000, (Esp-Adm-Orç-Fin-Púb Pref. de São Paulo 2010/FCC) Um investidor aplica um capital a juros simples, durante 10 meses, apresentando montante no valor de R$ ,00 no final do período. Caso este capital tivesse sido aplicado durante 16 meses a juros simples, e com a mesma taxa de juros anterior, o valor do montante no final deste período teria sido de R$ ,00. O valor do capital aplicado pelo investidor é igual a (A) R$ ,00. (B) R$ ,00. (C) R$ ,00. (D) R$ ,00. (E) R$ , (CVM 2003 FCC) O banco "X" emprestou R$ ,00 por um período de 15 meses. No final deste prazo, o devedor pagou juros no valor total de R$ 4.554,00. Então, a taxa anual de juros simples utilizada nesta operação foi de a) 30% b) 36% c) 45% d) 60% e) 75% 08. (Secretaria de Estado de Planejamento, Orçamento e Gestão MA 2005/FCC) Um capital esteve aplicado à taxa de 1,5% ao mês, por um período de 1 ano. Se ao final desse período foram obtidos juros simples num total de R$ 2.250,00, o valor do capital aplicado era a) R$ ,00 b) R$ ,00 c) R$ ,00 d) R$ ,00 e) R$ ,00 Prof. Guilherme Neves 27

28 09. (AFRE-PB 2006/FCC) Um investidor aplica em um determinado banco R$ ,00 a juros simples. Após 6 meses, resgata totalmente o montante de R$ ,00 referente a esta operação e o aplica em outro banco, durante 5 meses, a uma taxa de juros simples igual ao dobro da correspondente à primeira aplicação. O montante no final do segundo período é igual a (A) R$ ,00 (B) R$ ,00 (C) R$ ,00 (D) R$ ,00 (E) R$ ,00 Gabaritos 01. B 02. E 03. B 04. A 05. C 06. D 07. B 08. A 09. A Prof. Guilherme Neves 28

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