Introdução à Matemática Financeira e Análise de Investimentos

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1 Introdução à Matemática Financeira e Análise de Investimentos Aulas 4 Indicadores de avaliação de investimentos Site: tinyurl.com/matfinusp Prof. Adriano Azevedo Filho, Ph.D. USP/ESALQ/DEAS azevedofilho@usp.br

2 Matemática Financeira - Análise de Investimentos - Importância do assunto e motivação - Conceitos básicos de matemática financeira - Taxas de juros praticadas no mercado Aula 1 Aula 2 - Inflação e taxa de juros real - Valores nominais e valores reais - Risco e retorno em investimentos - Indicadores de avaliação de investimentos - Aplicações do Valor Presente / Futuro Aula 3 Aula 4 Aula 5

3 Anatomia de um Investimento (Fluxo de Caixa)

4 Anatomia de um Investimento Plantio de Cana emterra Arrendada (R$/ha) ano recebimentos pagamentos Fluxo Líquido Planilha Financeira com o Fluxo de Caixa do Investimento Períodos Benefícios Custos Saldo (dias, meses, anos) líquido por período

5 Anatomia de um Investimento Investimento em Geral Planilha Financeira com Fluxo de Caixa per recebimentos pagamentos Fluxo Líquido Base para a análise de investimentos 1 2 B B 1 B 2 C C 1 C 2 F F 1 F 2 Valores podem ser Mais comum 1. Reais (R$ do período ) n B n C n F n 2. Nominais de cada período (incluem projeção da inflação) Períodos Benefícios (dias, meses, anos) Custos Saldo líquido por período F k = B k - C k

6 Indicadores de Avaliação de Investimentos

7 Indicador de desempenho do investimento Índice calculado a partir do fluxo de caixa destinado a medir uma determinada dimensão da qualidade do investimento Indicador mais importante Mesmo significado VPL ou VP ou VA - Valor Presente ou Valor Presente Líquido ou Valor Atual TIR Taxa Interna de Retorno PBS Payback Simples (Prazo de recuperação do Capital) PBE Payback Econômico (Prazo de recuperação do Capital, visão econômica) RBC Relação Benefício/Custo (ou o inverso: RCB - Relação Custo/Benefício) VF Valor Futuro TIRM Taxa Interna de Retorno Modificada

8 Valor Presente

9 Valor Presente (VP) Considere uma sequência de valores x, x 1, x 2, x 3,..., x n que ocorrerão nos períodos, 1, 2,..., n, (ex. meses, anos) x VP = x 1 x 2 x n (1+j) 1 (1+j) 2 (1+j) n j = taxa de juros de desconto ou custo de oportunidade (usualmente entre 5 a 12% a.a. em taxa real) se valores X são reais, a taxa de juros deve ser real Se os valores de X são nominais a taxa deve ser nominal (é necessário cuidado na definição da taxa)

10 Valor Presente (VP) VP = x x 1 x 2 x n (1+j) 1 (1+j) 2 (1+j) n VP = VP + VP 1 + VP VP n VP k = x k (1+j) k valor no per. que aplicado à taxa j levará ao valor x k no per. k x k = VP k (1+j) k

11 Valor Presente aplicado a Investimentos Investimento em Geral Planilha Financeira com Fluxo de Caixa per 1 2 n recebimentos pagamentos B B 1 B 2 B n C C 1 C 2 C n Fluxo Líquido F F 1 F 2 F n Lucro medido no período considerando a taxa j Usualmente chamado: Valor Presente Líquido (VPL) F VPL = F 1 F 2 F n (1+j) 1 (1+j) 2 (1+j) n

12 A-Plantio de Cana (R$/ha) Exemplo B-Título do Governo ano recebimentos pagamentos Fluxo Líquido ano recebimentos pagamentos Fluxo Líquido VPL A = (1+,1) 1 (1+,1) 2 (1+,1) 3 (1+,1) 4 (1+,1) 5 VPL B = (1+,1) 1 (1+,1) 2 (1+,1) 3 (1+,1) 4 (1+,1) 5 VPL A = 1.577,76 j = 1% VPL B = 849,71

13 Uso do VPL na Análise de Investimentos (na ausência de riscos) - VPL > indica que o investimento é aceitável se j for adequadamente definido - Para 2 alternativas com mesmo investimento inicial a melhor será a de maior VPL Resultado pode ser dependente do valor de j Análise pela Curva do Valor Presente em função de j

14 Curva do Valor Presente em função de j Para j < 1% o VPL de B é maior VPL de A-Plantio de Cana VPL Taxa de juro (desconto) VPL de B-Títulos do Governo

15 Taxa Interna de Retorno (TIR)

16 TIR Taxa Interna de Retorno F = F 1 F 2 F n (1+tir) 1 (1+tir) 2 (1+tir) n tir = valor de j que faz VPL= - Dificuldades matemáticas e conceituais para cálculo - Popular mas caindo em desuso (não é recomendado) - Interpretação é problemática: Interpretação incorreta: rentabilidade intrínseca do investimento (pode ser em alguns casos, em outros não faz sentido) - Alternativa: TIR modificada (interessante mas pouco utilizada)

17 Valor Presente e TIR Curva do valor presente em função da taxa de juro Valor Presente Invest. 1 Invest. 2 taxa interna de retorno 5% 1% 15% 2% taxa de juro - j

18 A-Plantio de Cana (R$/ha) Exemplo B-Título do Governo ano recebimentos pagamentos Fluxo Líquido ano recebimentos pagamentos Fluxo Líquido = -3 = (1+tirA) 1 (1+tirA) 2 (1+tirA) 3 (1+tirA) 4 (1+tirA) (1+tirB) 1 (1+tirB) 2 (1+tirB) 3 (1+tirB) 4 (1+tirB) 5 tira = 3% Obtidos através do Excel Função TIR tirb = 16%

19 Payback Simples e Econômico Prazo para Recuperação do Capital

20 PBS Payback Simples Planilha Financeira com Fluxo de Caixa per recebimentos pagamentos Fluxo Líquido 1 2 B B 1 B 2 C C 1 C 2 F F 1 F 2 PS = F PS 1 = F + F 1 PS 2 = F + F 1 + F 2 n B n C n F n PS n = F + F 1 + F F n PBS = número do período k em que ocorre o primeiro PS k >

21 PBE Payback Econômico F VP = F 1 F 2 F n (1+j) 1 (1+j) 2 (1+j) n V V 1 V 2 V n Planilha Financeira com Fluxo de Caixa per recebimentos pagamentos Fluxo Líquido 1 2 B B 1 B 2 C C 1 C 2 F F 1 F 2 PE = V PE 1 = V + V 1 PE 2 = V + V 1 + V 2 n B n C n F n PE n = V + V 1 + V V n PBE = número do período k em que ocorre o primeiro PE k >

22 Exemplo A-Plantio de Cana (R$/ha) ano recebimentos pagamentos Fluxo Líquido PS = -3 PS 1 = -17 PS 2 = -5 PS 3 = 7 PE = -3 PE 1 = PE 2 = -826 PE 3 = 75 Nesse caso tanto o PBS e o PBE ocorrem no ano 3 (acaso) PBS e PBE o ideal é que ocorram o mais cedo possível

23 RBC - Relação Benefício/Custo RCB - Relação Custo/Benefício

24 RBC - Relação Benefício/Custo RCB - Relação Custo/Benefício Planilha Financeira com Fluxo de Caixa benefícios per 1 2 recebimentos pagamentos B B 1 B 2 C C 1 C 2 Fluxo Líquido F F 1 F 2 RBC = depende de j VP dos recebimentos VP dos pagamentos custos n B n C n F n RCB = 1 RBC Investimento só deve ser considerado para análise se RBC > 1 Não adiciona nada mais que o VP ou VPL já mostram (RBC>1 se VP>)

25 Exemplo ano A-Plantio de Cana (R$/ha) recebimentos pagamentos Fluxo Líquido j=1% 7365,38 RBC = 5787,62 RBC = 1,2726 RCB =,7858 RBC= (1+,1) 1 (1+,1) 2 (1+,1) 3 (1+,1) 4 (1+,1) (1+,1) 1 (1+,1) 2 (1+,1) 3 (1+,1) 4 (1+,1) 5

26 VF-Valor Futuro

27 Valor Futuro (VF) Considere uma sequência de valores x, x 1, x 2, x 3,..., x n que ocorrerão nos períodos, 1, 2,..., n, (ex. meses, anos) VF = x (1+j) n + x 1 (1+j) n-1 + x 2 (1+j) n x n j = taxa de juros de desconto ou custo de oportunidade (usualmente entre 5 a 12% a.a. em taxa real) se valores X são reais, a taxa de juros deve ser real Se os valores de X são nominais a taxa deve ser nominal (é necessário cuidado na definição da taxa)

28 Valor Futuro (VF) VF = x (1+j) n + x 1 (1+j) n-1 + x 2 (1+j) n x n VF = VF + VF 1 + VF VF n VF k = x k (1+j) n-k valor final do investimento de x k pelos períodos remanescentes de k até n. VF pode ser utilizado para comparações como o VP, mas é pouco utilizado nesse contexto VF é um conceito útil em situações específicas

29 Valor Futuro (VF) B-Título do Governo ano recebimentos pagamentos Fluxo Líquido j = 1% VF = -3 (1+,1) 5 + (1+,1) = 1368,47

30 TIRM Taxa Interna de Retorno Modificada

31 Taxa Interna de Retorno Modificada Situação Mais Simples Planilha Financeira com Fluxo de Caixa per recebimentos pagamentos Fluxo Líquido Para a situação F < e F k > para k>1 1 2 B B 1 B 2 C C 1 C 2 F F 1 F 2 - Encontre o VF de F 1 a F n - Resolva para TIRM: VF 1,n = (-F ) (1 + TIRM) n n B n C n F n 1/n TIRM = [ VF 1,n / (-F ) ] - 1 TIRM pode ser calculada com facilidade em geral (alguns casos mais difíceis) Pode ser interpretada como taxa de retorno intrinseca do investimento

32 Exemplo A-Plantio de Cana (R$/ha) ano recebimentos pagamentos Fluxo Líquido j=1% VF 1,n = 7372,53 1/5 TIRM = ( 7253,53 / 3 ) - 1 TIRM =,197 ou 19,7% VF 1,n = 13 (1+,1) (1+,1) = 7372,53

33 Incorporação de Risco na Análise

34 Incorporação de Risco na Análise de Investimentos Muitos Procedimentos: alguns mais simples outros mais complexos Ex. Análise de Cenários (procedimento simples) Pessimista Realista Otimista 25% 5% 25% Invest A (plantio de cana) Invest B (títulos do Gov) Fácil decidir: Há dominância do Invest. A

35 Incorporação de Risco na Análise de Investimentos Muitos Procedimentos: alguns mais simples outros mais complexos Ex. Análise de Cenários (procedimento simples) Pessimista Realista Otimista 25% 5% 25% Invest A (plantio de cana) Invest B (títulos do Gov) Decisão pode ser difícil nesse caso

36 Incorporação de Risco na Análise de Investimentos Muitos Procedimentos: alguns mais simples outros mais complexos Análise de cenários: útil mas tem muitas limitações Análise em condição de risco: mais fundamentada / mais complexa LES684 Análise de Decisões e Gerenciamento de Riscos LES673 Estatística Econômica e Introdução à Econometria (pré-requisito)