CURSO TÉCNICO EM SEGURANÇA DO TRABALHO MATEMÁTICA. Função: construção de gráficos e tipos de funções. Elizabete Alves de Freitas

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1 CURSO TÉCNICO EM SEGURANÇA DO TRABALHO 12 MATEMÁTICA Função: construção de gráficos e tipos de funções. Elizabete Alves de Freitas

2 Governo Federal Ministério da Educação Projeto Gráfico Secretaria de Educação a Distância SEDIS EQUIPE SEDIS UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE UFRN Coordenadora da Produção dos Materias Marta Maria Castanho Almeida Pernambuco Coordenador de Edição Ary Sergio Braga Olinisky Coordenadora de Revisão Giovana Paiva de Oliveira Design Gráfico Ivana Lima Diagramação Ivana Lima José Antônio Bezerra Júnior Mariana Araújo de Brito Vitor Gomes Pimentel Arte e ilustração Adauto Harley Carolina Costa Heinkel Huguenin Revisão Tipográfica Adriana Rodrigues Gomes Design Instrucional Janio Gustavo Barbosa Luciane Almeida Mascarenhas de Andrade Jeremias Alves A. Silva Margareth Pereira Dias Revisão de Linguagem Maria Aparecida da S. Fernandes Trindade Revisão das Normas da ABNT Verônica Pinheiro da Silva Adaptação para o Módulo Matemático Joacy Guilherme de Almeida Ferreira Filho Revisão Técnica Rosilene Alves de Paiva

3 Você verá por aqui um estudo sobre funções com maior enfoque para a construção de gráficos e análise destes, observando algumas características de cada tipo de função abordado como determinar a função inversa de uma função dada e como determinar a função composta de duas funções e outras operações com funções. Neste material, apresentamos o conteúdo através de diversos eemplos e de algumas atividades com questões subjetivas. Apresentamos também, ao final de todo o conteúdo, uma lista de eercícios com questões objetivas. E, ao fi nal da aula, na seção Autoavaliação, você encontrará mais uma oportunidade para verifi car sua aprendizagem. Sempre que for necessário, releia a aula e refaça algumas atividades. Na seção Para consulta, você encontra um resumo do assunto estudado nesta aula, que servirá de material de apoio para uma consulta rápida na resolução das questões da presente aula e de outras questões que envolvam os conteúdos aqui desenvolvidos. Saber construir o gráfico de uma função, a partir da determinação de alguns pontos notáveis nesse gráfico. Saber classificar funções, dada a lei de formação ou o gráfico dessa função. Objetivo Saber identificar o domínio, o contradomínio e o conjunto-imagem de uma função através da análise de seu gráfico. Saber utilizar adequadamente os procedimentos necessários para determinar, quando houver, a função inversa de determinada função, assim como efetuar a composição de funções ou outras operações como a soma, a diferença, o produto ou o quociente entre funções. 1

4 Para começo de conversa Em uma loja de tecidos, a remuneração dos vendedores é composta de duas partes: um salário base de R$ 500,00 e uma comissão de 10% do valor total, em reais, vendido por cada funcionário, no mês anterior. A função que representa o valor (em R$) a ser recebido no início de cada mês por um funcionário, segundo o valor total das vendas realizadas por ele, será f( =0, ou f( = , em que representa esse volume total de vendas (em R$). Representando essa função em um gráfico, teremos: Remuneração, em R$, dos vendedores por volume mensal de vendas Remuneração mensal (R$) y Vendas mensais (R$) Gráfico 1 Representação da função f( = Para representar essa função nesse gráfi co, foi necessário determinar, primeiramente, alguns detalhes. E esses detalhes podem variar um pouco de uma função para outra. Observe cada tipo de função aqui apresentada, suas características principais, como representar grafi camente cada uma delas e como identifi car, em cada gráfi co, qual o tipo de função representada. 2

5 Conhecendo funções através de seus gráficos Uma função f de A em B é uma relação em A B, que associa a cada variável em A, um único y em B. Uma das notações mais usadas para uma função de A em B, é: f: A B. Estas características nos informam que uma função pode ser vista geometricamente como uma linha no plano, contida em A B, que só pode ser cortada uma única vez por uma reta vertical, qualquer que seja esta reta. Desafio Agora você pode descobrir quais gráficos representam funções. Passe uma régua posicionada verticalmente em cada uma das figuras e assinale as que representam uma função. y y (A) (B) y y (C) (D) Figura 1 Representações em gráficos Gráfico de funções no plano cartesiano Em geral, se costuma representar uma função por sua lei de formação uma lei que associa elementos do domínio da função, a elementos do contradomínio da função. Costuma-se denotar a imagem de um elemento por f( ou por y, pois é o elemento que a função f associa ao elemento. Lei de formação A lei de formação também define o formato do gráfico de uma função. Na construção de gráfi cos de funções no plano cartesiano, os valores de são representados no eio horizontal (ou das abscissas) e f( (ou y) no eio vertical (ou das ordenadas). Em cada eemplo que veremos a seguir, marcaremos alguns pontos no plano cartesiano e ligar esses pontos formando o gráfico da função. 3

6 Na construção de um gráfico no plano cartesiano, devemos seguir alguns passos. Em cada tipo de função, por causa de suas características particulares alguns detalhes podem ser acrescentados em cada um desses passos. Fique atento. Vejamos, agora, como é feita a construção dos gráfi cos de alguns desses tipos de função. Função do 1 0 grau ou função afim Eemplo 1 A função f( = + 1 é a função que relaciona todo o valor de do domínio ao valor + 1 no contradomínio. Essa função é uma função polinomial de 1 o grau, também chamada de função afim, pois a função tem a forma f( = a + b, onde a R* e b R. 1 o passo: Determinar os pontos de interseção do gráfi co de f( com os eios. Ponto de interseção do gráfico de f( com o eio dos : f( = = 0 = 1 O valor de para o qual f( = 0 recebe o nome de raiz da função ou zero da função. Assim, a raiz de f( = + 1 é = 1. Logo ( 1; 0) é o ponto de interseção do gráfico de f( com eio dos. Ponto de interseção do gráfico da função com o eio dos y: f(0) = = 1 Logo (0; 1) é o ponto de interseção do gráfico da função com eio dos y. 4

7 2 o passo: Construção da tabela de valores y (; y) 1 0 ( 1; 0) 0 1 (0; 1) 3 o passo: Construir o plano cartesiano, representar os pontos encontrados e completar o gráfico da função. y f( = Gráfico 2 Função f( = + 1 Marcamos os dois pontos encontrados (-1;0) e (0; 1) e traçamos a reta que passa por esses dois pontos. Observe, no gráfico 2, que o domínio e o conjunto-imagem da função são formados por todos os números reais. Ou seja, D(f) = R, CD(f) = R e Im(f) = R. Agora, veremos outras características desse tipo de função que acabamos de ver. Características importantes de uma função afim Forma geral: f( = a + b, a R* e b R. Domínio, contradomínio e conjunto-imagem: D(f) = R, CD(f) = R e Im(f) = R. 5

8 Coeficientes: Coeficiente angular: o coeficiente a. Coeficiente linear: o coeficiente b. Quando a > 0, o gráfico de f: R R é uma reta crescente. Quando a < 0, o gráfico de f: R R é uma reta decrescente. Casos particulares de funções do primeiro grau: Quando o coeficiente b é igual a zero (b b = 0) essa função recebe o nome particular de função linear e sua forma geral se resume a f( = a, a R*. Quando a =1e b = 0, a função afim tem o formato f( =, que é chamada de função identidade. Raiz da função ou zero da função: é o valor de que tem imagem igual a zero. Ou seja, f( =0 a + b =0 a = b = b a é o valor da raiz da função. Atenção! Uma função do 1 o grau só tem uma raiz. Gráfico da função afim: A construção do gráfico de uma função do 1 o grau, f( = a + b, pode ser feita como vimos anteriormente no eemplo 1. 1 o passo: Determinar os pontos de interseção do gráfico da função com os eios. 2 o passo: Construção da tabela de pares ordenados 3 o passo: Construção do plano cartesiano, representação dos pontos e esboço do gráfico. Estudo do sinal de uma função afim: Como o gráfico de uma função afim corta em um ponto o eio dos, a função apresenta três sinais. Quando a linha que representa o gráfi co da função está abaio do eio dos, a função é negativa. Quando corta o eio dos, é nula (ou igual a zero). Quando está acima do eio dos, a função é positiva. 6

9 Se uma função f( é crescente, como a função afim representada no gráfico 3, o estudo dos sinais de uma função afim é o seguinte: f( < 0 < b a f( =0 = b a f( > 0 > b a Observe, no gráfico 3, cada um desses sinais. f( é crescente y f(<0 f(=0 f(>0 = b a Gráfico 3 Sinais de uma função afim crescente Se a função f( é decrescente, como a função afim representada no gráfico 4, o estudo do sinal de uma função afim é o seguinte: f( > 0 < b a f( =0 = b a f( < 0 > b a Observe no gráfico 4, cada um desses sinais. f( é decrescente y f(>0 f(=0 = a b f(<0 Gráfico 4 Sinais de uma função afim decrescente 7

10 Observe o eemplo a seguir. Eemplo 2 O valor a ser cobrado pela corrida de um tái é feita em duas partes: uma parte fia, chamada de bandeirada, ao preço de R$ 3,50; uma parte proporcional à quilometragem do percurso, a cada quilômetro R$ 1,70 (na bandeira 1, no horário comercial, em dias comuns). Se um tái faz um percurso, em um dia comum, no horário comercial, a função que representa o valor a ser pago, em reais, é f( = (1,70) + 3,50, ou f( = 1,7 + 3,5, sendo o número de quilômetros rodados nesse percurso. A função f( = 1,7 + 3,5 é uma função afim. Temos D(f) = R, CD(f) = R e Im(f) = R. Na função f( = (1,7) + 3,5, o coeficiente angular é 1,7 e o coeficiente linear é 3,5. Observe os passos para a construção do gráfico de f( = 1,7 + 3,5. 1º passo: Determinar alguns pontos do gráfico. Interseção do gráfico da função com o eio dos : f( = 0 1,7 + 3,5 = 0 = (raiz da função). O ponto de interseção da linha que representa ( a função com o eio horizontal é ;0 ). Interseção do gráfico a função com o eio dos y: f(0) = 1, ,50 f(0) = 3,50. O ponto de interseção do gráfico de f( com o eio vertical é (0; 3,50). 8

11 2º passo: Construir a tabela dos pares ordenados a serem representados no plano cartesiano. y (; y) 35 ( 0 35 ) ;0 0 3,5 (0; 3,50) 3º passo: Construir o plano cartesiano, marcar os pontos e completar o gráfico. O gráfico 5 representa a função f( = 1,7 + 3,5. Para a função f( = 1,7 + 3,5, podemos fazer o seguinte estudo de sinais: f( < 0 < ou < 2,059 f( = 0 = f( > 0 > y f(=0 f(>0 4 3 f(< Gráfico 5 Representação da função f( = 1,7 + 3,5 9

12 Praticando Considerando a função f( = 4 + 1, determine (I) o coeficiente angular e o coeficiente linear; (II) se a função é crescente ou decrescente; (III) a imagem de = 2 e de = Determine a função cujo gráfico é uma reta, definida pela função f( = a + b e sabendo que f(1) = 3 e f( 2) = 0, determine a imagem de = A comissão de um vendedor na Loja Venha Comprar é determinada por duas partes. A primeira (que é fia) é o salário de R$ 500,00. A segunda é uma porcentagem de 20% do valor total, em reais, vendido por mês. Responda: (I) Qual é a função que representa o valor recebido por esse funcionário ao final do mês? (II) Quanto receberá no mês em que vendeu R$ ,00 de mercadoria? (III) Quanto é preciso vender, para receber R$ 3.200,00, em certo mês? 4. Em cada uma das funções do 1º grau a seguir, esboce o gráfi co, classifi que-as em crescente ou decrescente e analise os sinais de cada uma. a) f( = 1 3. b) f( =

13 Responda aqui 11

14 Eemplo 3 A função f( = 2 é uma função que relaciona todo valor do domínio com o valor do contradomínio y = 2. Essa é uma função constante, pois tem a forma f( = b, onde b R. Seu gráfico é uma reta paralela ao eio horizontal. 1 o passo: Nesse caso não há interseção do gráfi co da função com o eio dos, somente com o eio dos y que é o ponto (0; 2). 2 o passo: Construir a tabela dos pontos a serem marcados no gráfico. y (; y) 1 2 ( 1; 2) 0 2 (0; 2) 4 2 (4; 2) O gráfico é uma reta que corta o eio vertical em y = 2. Acrescentaremos mais dois pares ordenados na tabela de pontos que serão representados no gráfico. 3 o passo: Construir o plano cartesiano, marcar os pontos e completar o gráfico. Esse gráfico é uma reta paralela ao eio das abscissas. A lei de formação da função é f( = 2, ou seja, na forma f( = b, sendo b um número real. Se b > 0 o gráfico de f( passa acima do eio dos. Se b = 0 o gráfico de f( coincide com o eio dos. Se b < 0 o gráfico de f( passa abaio do eio dos, como ocorre com o gráfi co da função f( = 2, no eemplo 3. y Gráfico 6 Função f( = 2 12

15 Eemplo 4 A função f( = 2 é a função que relaciona todo o valor de do conjunto domínio ao valor de seu quadrado ( 2 ) no contradomínio. Essa é uma função do 2º grau ou função quadrática, cujo gráfi co é uma parábola. Toda função com a forma f( = a 2 + b + c, em que a R, b R e c R é uma função quadrática. 1 o passo: Pontos nas interseções do gráfico def( f com os eios. Interseção de f( com o eio dos : f( = 0 2 = 0 = 0 O ponto será (0; 0). Interseção de f( com o eio dos y: f(0) = 0 2 = 0 O ponto será (0; 0). Observe que o ponto de interseção da função f( com o eio dos é o mesmo que o ponto da interseção da função f( com o eio dos y. Isso ocorre quando a função quadrática tem os coeficientes b e c iguais a zero. Devemos, nesse caso, determinar outros pontos com menores e maiores que o do ponto da interseção do gráfico da função com os eios dos e dos y. 2 o passo: Construir tabela dos pontos a serem marcados no gráfico. Foram inseridos outros valores de, além dos encontrados para os pontos de interseção do gráfi co da função com os eios no passo anterior e calculados os valores de y correspondentes. 3 o passo: Construir o plano cartesiano, e representar os pontos encontrados no passo anterior e completar o gráfico da função. y (; y) 4 ( 2; 4) 1 1 ( 1; 1) 0 0 (0; 0) 1 1 (1; 1) 2 4 (2; 4) 13

16 y Gráfico 7 Função f( = 2 Observe que, no gráfico, o conjunto domínio é formado por todos os números reais, mas o conjunto-imagem é formado pelos números reais não negativos. Ou seja, D(f) = R, CD(f) = R e Im(f) = R +. Agora, vamos conhecer as características principais de uma função quadrática. Função quadrática Uma função quadrática tem a forma f( = a 2 + b + c, onde a R*, b R e c R são chamados de coeficientes. O gráfi co de uma função quadrática é uma curva chamada de parábola, que tem concavidade voltada para cima, quando a > 0, ou tem sua concavidade voltada para baio, quando a < 0. Na função f( = , a parábola tem sua concavidade voltada para cima, pois a > 0. Na função g( = , a parábola tem sua concavidade voltada para baio, pois a < 0. Pontos notáveis do gráfico I. Raízes ou zeros de uma função quadrática 14

17 Já vimos que raiz ou zero de uma função é o valor de para o qual f( = 0. Assim, f( =0 a 2 + b + c =0 = b + Δ 2a e = b Δ 2a são as raízes da função, sendo Δ = b 2 4ac chamado de discriminante. Se Δ > 0 A função tem duas raízes reais e diferentes. O gráfi co da função corta o eio horizontal em dois pontos. Se Δ = 0 A função tem duas raízes reais e iguais. O gráfico da função toca o eio em apenas um ponto (que coincide com o vértice da parábola). Se Δ > 0 A função não tem raízes reais. O gráfico da função não corta o eio horizontal. II. Vértice da parábola O vértice V da parábola é mais um ponto notável do gráfico, pois é em torno dele que ocorre a simetria dessa curva. As coordenadas do vértice são: ( V ; y V )= ( b 2a ; Δ ) 4a III. Ponto de interseção do gráfico da função com o eio dos y É o ponto que tem abscissa igual a zero. Tem a forma (0; f(0)). Vejamos mais um eemplo com gráfico de função quadrática. Eemplo 5 Esboce o gráfico da função f( = , determinando também: (I) as raízes; (II) as coordenadas do vértice; (III) se a ordenada do vértice é valor mínimo ou valor máimo da função; (IV) a interseção da curva que representa f( com o eio vertical. 1 o passo: Pontos notáveis do gráfico I. Raízes ou zeros de uma função quadrática É o valor de para o qual f( = 0. Assim, f( = = 0. 15

18 = 3+ Δ 4 e = 3 Δ 4 são as raízes da função, onde o discriminante é Δ = ( 3) = 9 8 = 1. Ou seja, as raízes são: = = = = = 4 4 =1. Ponto A: (1; 0). = 2 4 = 1 2. Ponto B: ( 1 2 ;0 ). Veja que Δ > 0. Significa dizer que a função tem duas raízes reais e diferentes, que são '= 1 e = 1. O gráfi co da função corta o eio horizontal nos 2 pontos A e B. y 4,5 4 3,5 3 2,5 2 1,5 1 0, ,5 Gráfico 8 Representação da função f( = II. Vértice da parábola As coordenadas do vértice são: ( V ; y V )= ( ) 3 4 ; 1 8 III. Ponto de interseção do gráfico da função com o eio dos y 16

19 É o ponto que tem abscissa igual a zero. Tem a forma (0; f(0)). f( 0) = f(0) f = 1. Ponto de interseção: (0; 1). 2 o passo: Construção do gráfico (v. Gráfico 8). 3 o passo: Conjunto-imagem de f( : Como a parábola tem concavidade voltada para cima, o Conjunto-imagem é formado por todos os valores de y maiores ou iguais ao y v, ou seja, { lm(f) = y R y 1 } 8 4 o passo: Estudo dos sinais da função quadrática f( = f( > 0 < 0,5 ou > 1 f( = 0 = 0,5 ou = 1 f( < 0 0,5 < < 1 Observe o gráfi co da função para compreender o estudo dos sinais dessa função. Eemplo 6 A função f( = +1 é a função que relaciona cada valor do domínio com o valor do módulo de + 1 no contradomínio. 1 o passo: Determinar os pontos de interseção do gráfico da função com os eios dos e dos y Interseção do gráfico da função com o eio dos : Módulo Essa é uma função modular, pois é uma função que associa cada do domínio com o módulo uma epressão algébrica. f( = 0 +1 = = 0 ou (+1) = = 0 = 1 ou (+1) = 0 1 = 0 = 1 = 1 17

20 O ponto de interseção do gráfico da função com o eio dos será ( 1; 0). Interseção do gráfico da função com o eio dos y: f(0) = f(0) f = 1 f(0) = 1 f(0) f = 1. O ponto de interseção do gráfico da função com o eio dos y será (0; 1). 2 o passo: Construir a tabela dos pontos a serem marcados no gráfico. y (; y) 2 1 ( 2; 1) 1 0 ( 1; 1) 0 1 (0; 1) 1 2 (1; 2) Foram acrescentados dois outros valores de, um menor e outro maior que os determinados no passo anterior, e calculados os valores de y correspondentes. 3 o passo: Construir o plano cartesiano, marcar os pontos da tabela construída no passo anterior e completar o gráfico. Como a epressão que está em módulo é uma função do 1º grau, o gráfico dessa função modular é um conjunto de segmentos de retas. Observe o gráfico 9 e verá que a função tem os seguintes sinais: f( = 0 = 1 f( > 0 1 y Gráfico 9 Função f( =

21 Eemplo 7 Esboce o gráfico de g( = e faça o estudo do sinal da função. Para fazer o gráfico da função modular g( = , é preciso calcular as raízes da função que está em módulo. Nesta aula, já calculamos estas raízes, no eemplo 5. = = = 4 4 =1. = 2 4 = 1 2. Pontos de interseção do gráfico da função com o eio dos : A (1; 0) e B ( ) 1 2 ;0. y 3 2,5 2 1,5 1 0, Gráfico 10 Representação da função g( = Como se trata do módulo de uma função quadrática, o gráfico é derivado de uma parábola, porém a função apresenta somente valores positivos ou nulos. Compare o gráfico 10 com gráfico 8 e observe as diferenças entre eles. Veja que os sinais das imagens entre as raízes na função g( são positivos. O estudo de sinais da função, representada no gráfico 10, é o seguinte: f( =0 = 1 2 ou =1 f( > ou 1 19

22 Para saber mais sobre os assuntos tratados nesta aula, você pode consultar os livros indicados na seção Referências ou na seção Leituras complementares. Outras características das funções modulares Uma função f( = pode ser apresentada sob a forma {, se 0 f( = é chamada de função modular., se 0 Note que D(f) = R e Im(f) = R + *. Uma função f( = g(, terá também D(f) = R e Im(f) = R +, porém uma função h( = g(, terá D(f) = R e Im(f) = R. Eemplo 8 A função f( = 2 é a função que relaciona cada valor do domínio com o valor de 2 no contradomínio. Essa é uma função eponencial. 1 o passo: Determinar os pontos de interseção do gráfico da função com os eios dos e dos y. Interseção do gráfico da função com o eio dos : f( = 0 2 = 0 R 2 = 0 Não há ponto de interseção do gráfico da função com o eio dos. Interseção do gráfico da função com o eio dos y: f(0) = 2 0 = 1. O ponto de interseção do gráfico da função com o eio dos y será (0; 1). 20

23 y (; y) ( 2; 1 ) 4 ( 1; 1 ) 2 1 (0; 2) 1 2 (1; 2) 2 4 (2; 4) 2 o passo: Construir a tabela dos pontos a serem representados no gráfico. Foram incluídos outros valores de e calculados os valores de correspondentes. y 3 o passo: Construir o plano cartesiano, marcar os pontos da tabela construída no passo anterior e completar o gráfico. O gráfico dessa função é uma curva que não toca o eio dos. Quanto menor o valor de, menor será a imagem encontrada, ou seja, mais próimo o gráfico da função se encontra do eio horizontal, sem nunca tocálo, entretanto. y Gráfico 11 Função f( = 2 21

24 Características de uma função eponencial Chama-se de função eponencial a toda função do tipo f( = a, defi nida para todo R, com a > 0 e a 1. A curva de uma função f( = a passa pelo ponto (0; 1). D(f) = R; CD(f) = R e Im(f) = R + *. A função é crescente para a > 1. A função é decrescente para 0 < a <1. Eemplo As funções f( = 2 e g( = ( ) 1 são eemplos de funções eponenciais. 2 A função f( é uma função crescente e g( é uma função decrescente. Praticando Esboce o gráfi co, faça o estudo do sinal e descreva o domínio e o conjunto-imagem de cada uma das funções: a) f( = 3,5. b) f( = 1,25. c) f( = d) f( = e) f( = 2 5. f) f( = 4. g) f( = 3 1. ( ) 1 h) f( = 3. 22

25 Responda aqui 23

26 Outras características das funções Outras características e propriedades das funções são importantes. Ve jamos algumas. Funções injetoras, bijetoras e sobrejetoras Uma função f: A B é injetora se quaisquer dois elementos distintos de A ( 1 e 2 ) sempre possuam imagens distintas em B (respectivamente, f( 1 ) e f( 2 )). Isto é: se 1 2 f( 1 ) f( 2 ). No gráfi co de uma função, para verifi car se ela é injetora, basta que passe linhas horizontais (que podem ser imaginárias) sobre a linha que representa a função. Se cada uma dessas linhas só cortar o gráfico da função em um ponto de cada vez, significa que a função é injetora. Veja alguns eemplos. Eemplo 10 Olhe o gráfico 12, que representa a função f: R R definida por f( = Essa função é injetora, pois sempre que tomamos dois valores diferentes para, obtemos dois valores diferentes para f(. y Gráfico 12 Representação da função f( =

27 y (; y) 2 1 ( 2; 1) 5 0 ( 53 ) ( 1; 2) 0 5 (0; 5) Se você passar linhas horizontais, cada uma dessas linhas cortará o gráfico da função em apenas um ponto de cada vez. Logo, essa função é injetora. Eemplo 11 A função f: R R definida por f( = 2 2 não é injetora, pois: f(1) = 1 e f( 1) = 1. Ou seja, para valores diferentes do domínio apresentam a mesma imagem. No gráfico dessa função, ao passar linhas paralelas ao eio dos, você verá que algumas dessas linhas cortarão o gráfico em mais de um ponto de cada vez. Logo, essa função não é injetora. y Gráfico 13 Representação da função quadrática f( =

28 Uma função f: A B é sobrejetora se todo elemento de B é a imagem de pelo menos um elemento de A, ou seja, para todo y B eiste A tal que y = f(. Isto equivale a afirmar que o conjunto-imagem da função deve ser eatamente igual ao contradomínio dessa função, ou seja, Im(f) = CD(f). Eemplo 12 A função f: R R, f( = é sobrejetora, pois CD(f) = Im(f) = R. A função f: R R +, f( = 2 é sobrejetora, pois seu CD(f) = Im(f) = R +. A função f: R R defi nida por f( = 2 não é sobrejetora, pois eistem elementos do contradomínio R que não fazem parte do conjunto-imagem. Ou seja, Im(f) CD(f). Bijetora Quando uma função é ao mesmo tempo injetora e sobrejetora, dizemos que ela é bijetora. Eemplo 13 A função f: R R dada por f( = 2 é in jetora e sobrejetora. Logo, é bijetora. Função crescente ou função decrescente Uma função f( é crescente se quaisquer que sejam 1 e 2 do Domínio de f, com 1 < 2, tivermos f( 1 ) < f( 2 ). Isto é, conforme o valor de aumenta, os valores dos f( correspondentes também aumentam. Uma função f é decrescente se, para quaisquer 1 e 2 do Domínio de f, com 1 < 2, tivermos f( 1 ) > f( 2 ). Isto é, conforme os valores de aumentam, os valores dos f( correspondentes diminuem. Uma função pode ser apenas crescente ou ser apenas decrescente para todo valor do domínio, mas você pode ter observado que eistem funções, como as funções quadráticas ou as funções modulares, que são crescentes para uma parte do domínio e decrescente para outra parte. E, ainda, eistem funções que nem são classificadas como crescentes nem como decrescentes, como as funções constantes. 26

29 Eemplo 14 Seja a função f: R R definida por f( = Para os valores: 1 = 1 e 2 = 2, obtemos f( 1 ) = 10 e f( 2 ) = 18. Como, para quaisquer dois elementos do domínio da função 1 < 2 implica que f( 1 ) < f( 2 ), a função f é crescente. Seja a função g:r R defi nida por g( = Para 1 = 1 e 2 = 2, obtemos g( 1 ) = 6 e g( 2 ) = 14. Como, para quaisquer dois elementos do domínio 1 < 2 implica que g( 1 ) > g( 2 ), a função g é decrescente. Praticando Classifique cada uma das funções a seguir em injetora, sobrejetora ou bijetora. (Você pode optar em esboçar o gráfico ou verificar algebricamente cada função). a) f( = b) f( = c) f( = 5 2 d) f( = Indique, em cada uma das funções, para quais valores de cada uma delas é uma função crescente e função decrescente. a) f( = 5 2 b) f( = c) f( = d) f( =

30 Função composta Considerando os conjuntos A, B e C, onde eistem f: A B e g:b C, a função composta é uma lei que relaciona diretamente os elementos do conjunto A com os do conjunto C. Dadas as funções f: A B e g:b C, a composta de f com g, denotada por gof, é a função definida por (gof) f ( = g(f( f ). A epressão gof pode ser lida como g composta com f. Veja a representação dessa função composta na figura 2. A B C f( g( g(f() gof Figura 2 Representação da composição de funções Ou seja, as operações que seriam feitas com na função g( serão feitas com f( na função composta de g(f(. Observe o eemplo a seguir. Eemplo 15 Considere as funções f( = e g( = 1 e determine a função composta g(f( ). g(f( ) = f( 1 = (2 + 3) 1 = = Ou seja, (g(f( f ) =

31 Eemplo 16 Considere as funções f( = e g( = 1e determine a função f( g(). f( g() = 2g( + 3 = 2( 1) + 3 = = Eemplo 17 Considere as funções reais defi nidas por f( = e g( = 7 4. As composições fog e gof são possíveis e, neste caso, serão definidas por: (fog)( = f( g() = f(7 4) = 4(7 4) + 2 = = (gof)( f = g(f( ) = g(4+2) = 7(4 + 2) 4 = = Observe que, em geral, f( g() g(f( ) e que eistem várias maneiras de se criar funções compostas. Podemos fazer f( g(), f( f( ) etc. Eemplo 18 Consideremos as funções reais definidas por f( = e g( = 2 4. Observe que: A função f é a função que associa um valor a um valor Logo, a função f( g() associa g( com [g(] Ou seja: 29

32 2 (fog) ( = f( g() = f(2 4) = (2 4) + 1 = ( ) + 1 = A função g é a função que associa um valor a um valor 2 4. Logo, a função g(f( ) associa f( com 2 [f f( ] 4. Ou seja: (gof) f ( = g(f( ) = g( 2 + 1) = 2( 2 + 1) 4 = = A função f é a função que associa um valor a um valor Logo, a função f( f( ) associa f( com [f f( ] Ou seja: (fof)( f = f( f( ) = ( f( ) = ( 2 + 1) = ( ) + 1 = A função g é a função que associa um valor a um valor 2 4. Logo, a função g(g() associa g( com 2 [g(] 4. Ou seja: (gog)( = g(g() = 2( g() 4 = 2(2 4) 4 = = Funções inversas Dada uma função bijetora f: A B, a função inversa de f é a função f 1 : B A tal que se f( a) = b, então f 1 (b) = a, quaisquer que sejam a em A e b em B. Denotamos a função inversa de f( por f 1 (. Observação: Se g = f 1 ( é a inversa de f( e f( é a inversa de g = f 1 (, valem as relações: gof = I A e fog = I B, sendo I A e I B, respectivamente, as funções identidades nos conjuntos A e B. 30

33 Eemplo 19 Sejam A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {2, 4, 6, 8, 10} e a função f: A B definida por f( = + 3 e g: B A definida por g( = 3. Cálculo da função inversa: Seja f: R R, f( = + 3. y = + 3. Tomando y no lugar de f(, teremos Trocando por Isolando y, obtemos: y = 3. y (e vice-versa), temos = y + 3. Assim, g( = 3 é a função inversa de f ( = + 3. Eemplo 20 Observe o cálculo da função inversa: f( = + 1 y = + 1, substituindo por y (e vice-versa), temos: = y + 1 Isolando o valor de y, temos: y = 1 Portanto, f 1 ( = 1 Praticando Considerando as funções do eemplo 21, determine a) f( f( ) = b) f( g() = c) g(f( ) = d) g(g() = 2. Encontre o valor de f 1 (3), para a função f( =

34 Responda aqui Operações com funções f e Adição de funções: (f f + g) ( = f( + Diferença de funções: (f f g) ( = f( g, podemos realizar algumas operações entre elas, entre as quais: g( Produto de funções: (f g) ( = f( g( Quociente entre funções: g( ( ) f ( = f(, se g( g g( 0. 32

35 Eemplo 21 Considerando f( = e g( = + 1, observe as operações efetuadas a seguir: a) (f f + g) ( = ( ) + ( + 1) = = b) (f f g) ( = ( ) ( + 1) = = 2 + c) (f g) ( = ( ) ( + 1) = ( ) ( + ( ) 1= = ( ( ) = = = d) ( ) f ( = ( +1)2 = g ( +1) ( +1) = = +1 ( +1) Eemplo 22 Com as funções apresentadas no eemplo 21, observe as operações efetuadas: a) (f f + f) ( = ( ) + ( ) = b) 2 [g(] f( = 2 [+1] ( ) = = c) [g(] 2 f( = [ + 1] 2 ( ) = = 0. 33

36 Praticando Considerando as funções apresentadas no eemplo 21, efetue as seguintes operações: a) 2 f( [g(] 2 = ( 3 f b) g ) ( = 2. Determine a inversa da função f( = 3 2. Responda aqui Se você já resolveu todas as atividades e não tem mais dúvida, resolva a lista de eercícios a seguir. 34

37 1. Assinale a opção que apresenta uma função afim: a) f( = 2. b) f( = c) f( = d) f( = 4 2. O gráfico da função afim f( = 5 4 passa pelo ponto A (2; m). O valor de m é a) 3. b) 1. c) 0. d) 2. Eercícios 3. A função que apresenta como gráfico uma reta paralela ao eio dos é a) f( = b) f( = c) f( = 5 d) f( = 3 4. A função quadrática cujo gráfico toca o eio dos em apenas um ponto e é representado por uma parábola com concavidade voltada para baio é a) f( = b) f( = c) f( = 2 2 d) f( = A função f: R R, que pode ser classificada como bijetora é a) f( = b) f( = d) f( = 5 f) f( = 3 6. A função f( = a 2 intersecta o gráfico da função g( = 3 em um ponto de abscissa igual a 1. O valor de a é a) 1. b) 2. c) 3. d) 4. Matemática A12 35

38 Resposta 36

39 Nesta aula, você estudou sobre a construção de gráficos, a partir de alguns pontos notáveis; a classifi cação de funções, dada a lei de formação ou o gráfi co dessa função; viu como identifi car o domínio, o contradomínio e o conjunto-imagem de uma função através da análise de seu gráfi co; determinar, quando eistir, a função inversa de dada função; assim como efetuar a composição de funções ou outras operações como a soma, a diferença, o produto ou o quociente entre funções. Leitura complementar IEZZI, G.; MURAKAMI, C. Fundamentos de matemática elementar. 8. ed. São Paulo: Atual Editora, (Conjuntos e Funções, v 1). Aborda de forma detalhada alguns tópicos de Matemática. No volume 1, as funções polinomiais do 1º grau e as do 2º grau são o tema da obra. No volume 2, você encontra um estudo sobre as funções eponenciais. Para consulta Gráfico de uma função no plano cartesiano A representação gráfi ca de uma função é uma linha no plano cartesiano que só pode ser cortada uma única vez por uma reta vertical qualquer. Gráfico de funções Na construção de gráficos de funções no plano cartesiano, os valores de são representados no eio das abscissas e f( ou y no eio vertical (ou das ordenadas). Em cada função, marque alguns pontos no plano cartesiano e 37

40 ligue esses pontos formando o gráfico da função. A lei de formação também define o formato do gráfico de uma função. Função do 1 0 grau ou função afim Forma geral: f( = a + b, a R* e b R. Raiz (ou zero) da função: é o valor de para o qual f( = 0, ou seja, = b a. Pontos de interseção com os eios: ( ba ) ;0 e (0; b), sendo a e b os coeficientes da função. Coeficiente angular: a. Coeficiente linear: b. Domínio, Contradomínio e Conjunto-imagem: D(f) = R, CD(f) = R e Im(f) = R. Construção do gráfico: Em um plano cartesiano, marque os pontos de interseção da função com os eios e ligue-os passando uma reta por eles. Casos particulares de funções do primeiro grau: Função linear: Quando o coeficiente b = 0 f( = a, a R*. Função identidade: Quando a = 1 e b = 0 f( =. Estudo do sinal de uma função afim: Se f( é crescente, o estudo dos sinais é o seguinte: (I) f( < 0 < b a ;(II) f( =0 = b a ; e (III) f( > 0 > b a Se f( é decrescente, o estudo dos sinais é o seguinte: (I) f( > 0 < b a ;(II) f( =0 = b a ; e (III) f( < 0 > b a Função constante Forma geral: Toda função com a forma f( = b, onde b R. Pontos de interseção do gráfi co da função com os eios cartesianos: Só há interseção do gráfico da função com o eio dos y que é o ponto (0; b), onde b é o coeficiente da função. 38

41 Domínio, Contradomínio e Conjunto-imagem: D(f) = R, CD(f) = R e Im(f) = {b}. Construção do gráfico: em um plano cartesiano, marque os pontos de interseção do gráfico da função com o eio vertical e trace uma reta paralela ao eio horizontal que passe por ele. Quando b > 0, o gráfico de f: R R é uma reta acima do eio dos. Quando b < 0, o gráfico de f: R R é uma reta abaio do eio dos. Estudo do sinal de uma função afim: Quando b > 0: f( > 0, R. (Lê-se para todo X real.) Quando b < 0: f( < 0, R. Função quadrática Forma geral: Toda função com a forma f( = a 2 + b + c, onde a R*, b R e c R são seus coeficientes. Seu gráfico é uma curva chamada de parábola, de concavidade voltada para cima (a > 0) ou voltada para baio (a < 0). Pontos notáveis do gráfico I. Raízes ou zeros de uma função quadrática É o valor de para o qual f( =0 = b + Δ 2a e = b Δ 2a são as raízes da função, onde Δ = b 2 4ac é chamado de discriminante. Se Δ > 0 A função tem duas raízes reais e diferentes. O gráfico da função corta o eio horizontal em dois pontos. Se Δ = 0 A função tem duas raízes reais e iguais. O gráfico da função toca o eio em apenas um ponto (que coincide com o vértice da parábola). Se Δ > 0 A função não tem raízes reais. O gráfi co da função não corta o eio horizontal. ( II. Vértice da parábola: V =( V ; y V )= b 2a ; Δ ) 4a III. Ponto de interseção do gráfico da função com o eio dos y: (0; f(0)). 39

42 Estudo dos sinais: Observe o gráfico de cada função representada de forma genérica na fi gura 4 e elabore o estudo dos sinais da função quadrática que está estudando. y ' " f( < 0 ' < < " f( = 0 = ' ou = " f( > 0 < ' ou > onde ' e " são as raízes de f(. y ' " f( < 0 ' < < " f( = 0 = ' ou = " f( > 0 < ' ou > ", onde ' e " são as raízes de f(. y y ' f( = 0, = '(raiz). f( < 0, ' ' f( = 0, = '(raiz). f( > 0, ' f( < 0, R, ou seja, a função é negativa para todo real. f( > 0, R, ou seja, a função é positiva para todo real. Figura 3 Sinais de funções quadráticas Função modular Forma geral: É qualquer f( que associa cada valor do domínio com uma epressão algébrica em que apresenta um módulo. Pontos notáveis: Não há uma fórmula geral para os pontos notáveis, pois a determinação dos pontos de interseção com os eios vai depender da epressão envolvida na lei de formação da função. Função eponencial Forma geral: Chama-se de função eponencial a toda função do tipo f( = a, definida para todo R, com a > 0 e a 1. A curva de uma função f( = a passa pelo ponto (0; 1). A função é crescente para a > 1. A função é decrescente para 0 < a < 1. 40

43 Domínio, Contradomínio e Conjunto-Imagem: D(f) = R; CD(f) = Outras características das funções R e Im(f) = R + *. Função injetora: f: A B é injetora, se 1 2 (elementos de A) f( f 1 ) f( 2 ). Se no gráfico de uma função f passamos linhas horizontais, e essa linha que representa f é cortada somente em um ponto por vez, podemos afirmar que a função f é injetora. Função sobrejetora: f: A B é sobrejetora se todo elemento de B é a imagem de pelo menos um elemento de A, ou seja, para todo y B B eiste A tal que y = f(. Ou seja, Im(f) = CD(f). Função bijetora: É toda função que é ao mesmo tempo injetora e sobrejetora. Função crescente: os valores de (do Domínio de f) aumentam e os valores dos f( correspondentes também aumentam. Função decrescente: os valores de (do Domínio de f) aumentam e os valores dos f( correspondentes diminuem. Função composta: A B C f( g( g(f() gof Figura 4 Diagrama com representação de função composta As imagens da função f( servem de elementos do domínio para a função g(. Observe que, em geral, f( g() g(f( ). Função inversa: Dada uma função bijetora f: A B, a função inversa de f é a função f 1 : B A tal que se f( a) = b, então f 1 (b) = a, quaisquer que sejam a em A e b em B. Denotamos a função inversa de f( por f 1 (. 41

44 Operações com funções Dadas as funções f e g, podemos realizar algumas operações entre elas: Adição de funções: (f + g) ( = f( + g( Diferença de funções: (f f g) ( = f( g( Produto de funções: (f g) ( = f( g( ( ) f Quociente entre funções: ( = f(, se g( 0. g g( Resposta do desafio São representações gráficas de funções as representações dos itens A e B. Os itens C e D não representam funções, pois cada uma das linhas verticais traçadas cortam o gráfico em mais de um ponto. Podem ser representações de relações entre conjuntos, mas não de funções. y y A B y y C D Figura 5 Gráficos 42

45 Autoavaliação 1. Associe os itens da coluna da direita com os da esquerda: a) Função afim ( ) f( = b) Função eponencial ( ) f( = 5 c) Função modular ( ) f( = 4 d) Função quadrática ( ) f( = e) Função constante ( ) f( = O que é uma função sobrejetora? Eemplifi que com duas funções. 3. Dê eemplo de duas funções que para uma parte do seu domínio é crescente e para outra decrescente. 4. Determine a função inversa de f( = Referências BARRETO FILHO, Benigno; SILVA, Cláudio Xavier da. Matemática: aula por aula: ensino médio. São Paulo: FTD, p DANTE, Luiz Roberto. Matemática: conteto e aplicações: ensino médio. São Paulo: Ática, p PAIVA, Manoel. Matemática. São Paulo: Moderna, p PEREIRA, Rossana M. M.; SODRÉ, Ulysses Sodré. Ensino médio: relações e funções Disponível em: < funcoes.htm>. Acesso em: 12 out WIKIPÉDIA. Função. Disponível em: < Fun%C3%A7%C3%A3o>. Acesso em: 1 out

46 Anotações 44

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