Aula 11 E 2 E S E 3 E 1. Resolução de sistemas de equações lineares Laboratório Numérico 1. (1-a) 3 E 0. (1-a) 2 E 1 (1-a)E 2 a(1-a)e 1 ae 2

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1 Aula 11 Resolução de sistemas de equações lineares E S (1-a) 3 E a(1-a) 2 E (1-a) 2 E 1 (1-a)E 2 a(1-a)e 1 ae 2 E 3 (1-a) 2 E (1-a)E 1 E 3 a(1-a)e (1-a)E ae 1 E 2 E 2 ae 3 (1-a)E 3 ae E 1 ae 2 a(1-a)e 3 E E 1 (1-a)E 2 (1-a) 2 E Laboratório Numérico 1

2 Resolver Método: 1x 1 + 2x 2 + x 3 = 1 5x 1 + 2x 2 + x 3 = 2 x 1 + x 2 + x 3 = 1 Modificando progressivamente o sistema com transformações equivalentes: (a) Substituindo uma equação por uma sua combinação linear com outra (b) Trocando equações 218 Laboratório Numérico 2

3 algoritmo Usar equação (1) para eliminar x 1 : 1x 1 + 2x 2 + x 3 = 1 5x 1 + 2x 2 + x 3 = x 1 + 2x 2 + x 3 = 1 + x 2 +.5x 3 = 1.5 x 1 + x 2 + x 3 = 1 1x 1 + 2x 2 + x 3 = 1 +.8x x 3 =.9 Do mesmo modo usa-se a nova equação (2) para eliminar x 2 na equação (3). Resultado: 1x 1 + 2x 2 + x 3 = 1 + x 2 +.5x 3 = x 3 =.3 O sistema obtido pode ser resolvido debaixo para cima por substituição. 218 Laboratório Numérico 3

4 Algoritmo de eliminação de Gauss (M = N) 1º Passo (eliminação) Transformar o sistema A x = b, no sistema equivalente U x = c, onde U é uma matriz triangular superior, i.e.: u 11 u 12 u 1N u 22 u 2N u NN x 1 x 2 x N = 2º passo, resolver de baixo para cima (backsubstitution): x N = c N u NN, etc c 1 c 2 c N 218 Laboratório Numérico 4

5 Eliminação Deixa-se a 1ª linha sem modificação. Usa-se a 1ª linha para eliminar todos os coeficientes da 1ª coluna nas linhas abaixo (2, N). Para a linha 2 será a 21 (a a 11 x 1 + a 12 x a 1N x N = b 1 ) 11 + (a 21 x 1 + a 22 x a 2N x N = b 2 ) + a 22 a 21 a 11 a 22 x 2 + = b 2 a 21 a 11 b 1 Usa-se a nova linha 2 para eliminar a k2, k 3, etc até chegar ao fim. Só funciona se em cada linha k usada para a eliminação se tiver a kk. 218 Laboratório Numérico 5

6 gausselim (preliminares) def gausselim(m,d): A=np.copy(M); b=np.copy(d) #Preserva M,d x=np.zeros(b.shape) Ash=A.shape n=ash[] #nº linhas de A n2=ash[1] #nº colunas de A Bsh=b.shape n3=bsh[] #nº termos de b if n!=n2 or n3!=n or len(bsh)!=1 or len(ash)!=2: print('erro de dimensão') x=float('nan') return x 218 Laboratório Numérico 6

7 gausselim def gausselim(m,d): ( ) for k in range(,n-1): if A[k,k]==: x=float('nan') return x for j in range(k+1,n): #elimination e=a[j,k]/a[k,k] for m in range(k,n): A[j,m]=A[j,m]-e*A[k,m] b[j]=b[j]-e*b[k] for k in range(n-1,-1,-1): # backsubstitution sum=. for j in range(k+1,n): sum=sum+a[k,j]*x[j] x[k]=(b[k]-sum)/a[k,k] return x 218 Laboratório Numérico 7

8 Calcular a temperatura de equilíbrio de um painel negro com 3 vidros transparentes E S (1-a) 3 E a(1-a) 2 E (1-a) 2 E a(1-a)e (1-a)E ae E a(1-a)e 1 ae 2 E 3 (1-a) 2 E 1 (1-a)E 2 (1-a)E 1 E 3 ae 1 ae 3 E 1 E 1 E 2 E 2 ae 2 (1-a)E 2 (1-a)E 3 a(1-a)e 3 (1-a) 2 E 3 Dados: fluxo solar E S e propriedades ópticas dos vidros (absorvidade a no infravermelho) A condição de equilíbrio térmico para os 4 corpos (de baixo para cima) E + E a E a 2 E 3 +E S = ae 2E 1 + ae 2 + a 1 a E 3 = a 1 a E + ae 1 2E 2 + ae 3 = a(1 a) 2 E + a 1 a E 1 + ae 2 2E 3 = Trata-se de um Sistema de 4 equações lineares com 4 incógnitas (E, E 1, E 2, E 3 ) Sendo a superfície negra, (Lei de Stefan-Boltzmann) E = σt Laboratório Numérico 8

9 Sistema de equações lineares: caso geral Calcular x tal que: a 11 x 1 + a 12 x a 1N x N = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2N x N = b 2 a M1 x 1 + a M2 x a MN x N = b M A x = b Se M = N e o determinante da matrix for diferente de, existe uma solução (única). 218 Laboratório Numérico 9

10 Aplicação a=.8 Es=5 A=np.array([[-1,1,(1-a),(1-a)**2],\ [a,-2,a,a*(1-a)],\ [a*(1-a),a,-2,a],\ [a*(1-a)**2,a*(1-a),a,-2]]) b=np.array([-es,,,],dtype=float) #float! x=gausselim(a,b) print('x=,x) >> x= [ ] print(np.matmul(a,x)) #recupera b [ -5.e e e e-13] 218 Laboratório Numérico 1

11 Equilíbrio do painel E + E a E a 2 E 3 +E S = ae 2E 1 + ae 2 + a 1 a E 3 = a 1 a E + ae 1 2E 2 + ae 3 = a(1 a) 2 E + a 1 a E 1 + ae 2 2E 3 = Na forma matricial 1 1 (1 a) 1 a 2 a 2 a a(1 a) a(1 a) a 2 a a 1 a 2 a(1 a) a 2 E E 1 E 2 E 3 = E S 218 Laboratório Numérico 11

12 teste a=.8 Es=5 A=np.array([[-1,1,(1-a),(1-a)**2],\ [a,-2,a,a*(1-a)],\ [a*(1-a),a,-2,a],\ [a*(1-a)**2,a*(1-a),a,-2]]) b=np.array([-es,,,]) #not float! x=gausselim(a,b) print('x=,x) >>x= [ ] >>correto=[ ] print(np.matmul(a,x)) #recupera b [ -5.e e-13 1.e+ 1.2e+] #muito impreciso! 218 Laboratório Numérico 12

13 Limitações O algoritmo de Gauss só funciona se o determinante da matriz não for nulo, pois nesse caso as equações não são linearmente independentes (não há solução). Mesmo nesse caso, falhará se a equação eliminante tiver um zero na diagonal. Essa dificuldade pode ser resolvida trocando essa equação por outra (numa linha inferior) que não tenha o mesmo problema. 218 Laboratório Numérico 13

14 Solução direta numpy a=.8 Es=5 A=np.array([[-1,1,(1-a),(1-a)**2],\ [a,-2,a,a*(1-a)],\ [a*(1-a),a,-2,a],\ [a*(1-a)**2,a*(1-a),a,-2]],dtype=float) b=np.array([-es,,,],dtype=float) x=np.linalg.solve(a,b) print('x=',x) >>x= [ ] #ok 218 Laboratório Numérico 14

15 Outra solução direta numpy (mais lenta) a=.8 Es=5 A=np.array([[-1,1,(1-a),(1-a)**2],\ [a,-2,a,a*(1-a)],\ [a*(1-a),a,-2,a],\ [a*(1-a)**2,a*(1-a),a,-2]],dtype=float) b=np.array([-es,,,],dtype=float) x=np.matmul(np.linalg.inv(a),b) print('x=',x) >>x= [ ] #ok 218 Laboratório Numérico 15

16 Há vários produtos entre os mesmos array a=.8 Es=5 A=np.array([[-1,1,(1-a),(1-a)**2],\ [a,-2,a,a*(1-a)],\ [a*(1-a),a,-2,a],\ [a*(1-a)**2,a*(1-a),a,-2]],dtype=float) b=np.array([-es,,,],dtype=float) x=np.linalg.inv(a)*b print('x=',x) x= [[ ] [ ] [ ] [ ]] #vetor coluna 218 Laboratório Numérico 16

17 Sensibilidade ao valor de a (absorvidade IV dos vidros) import matplotlib.pyplot as plt plt.close('all') T=[];T3=[] aa=np.arange(,1.1,.1) for a in aa: Es=5 A=np.array([[-1,1,(1-a),(1-a)**2],\ [a,-2,a,a*(1-a)],\ [a*(1-a),a,-2,a],\ [a*(1-a)**2,a*(1-a),a,-2]],dtype=float) b=np.array([-es,,,],dtype=float) #float! x=gausselim(a,b) T.append((x[]/sigma)**(.25) ) T3.append((x[3]/(a*sigma))**(.25) ) plt.scatter(aa,t,color='red',label='t') plt.scatter(aa,t3,color='blue',label= T3') plt.legend() 218 Laboratório Numérico 17

18 Resolução de um circuito linear (Kirchoff) Lei das malhas: a queda de tensão ao longo de um circuito fechado é nula (conservação energia) Leis dos nós: a soma algébrica da corrente num nó é nula (conservação da carga) V 1 R 1 R 2 Dados V 1,2 e R 1-5 determinar as correntes I 1-5 R 3 R 4 V 2 5 incógnitas requerem 5 equações linearmente independentes R Laboratório Numérico 18

19 Construir a matriz do sistema de equações Resolver o sistema é fácil (em python) A dificuldade pode estar na construção do sistema. Precisamos de 5 equações linearmente independentes, i.e., para um sistema: M x = b Terá de ser: det M 218 Laboratório Numérico 19

20 R 1 3 malhas, 2 nós Malha V 1 R 2 R 1 I 1 + R 2 I 2 V 1 = R 2 I 2 + R 4 I 4 + R 5 I 5 V 2 = R 1 I 1 R 3 I 3 + R 5 I 5 V 2 = I 3 + I 4 I 5 = I 1 + I 2 + I 5 = O sentido da corrente em cada componente é arbitrado. Se o resultado for negativo, isso quer dizer que, nesse componente, a corrente flui em sentido oposto R 3 Nó R 4 R 5 V 2 Sentido da corrente 218 Laboratório Numérico 2

21 Forma matricial import numpy as np R1=15;R2=18;R3=1;R4=5;R5=14 V1=1;V2=2 ni=5 M=np.array([[R1,R2,,,],\ [,-R2,,R4,R5],\ [R1,,-R3,,R5],\ [,,-1,1,-1],\ [-1,1,,,]],dtype=float) b=[v1,v2,v2,,] I=np.linalg.solve(M,b) print(i) R 1 I 1 + R 2 I 2 V 1 = R 2 I 2 + R 4 I 4 + R 5 I 5 V 2 = R 1 I 1 R 3 I 3 + R 5 I 5 V 2 = I 3 + I 4 I 5 = I 1 + I 2 + I 5 = >>[ ] R 1 R 1 1 R 2 R 2 1 R 3 1 R 4 1 R 5 R 5 1 I 1 I 2 I 3 I 4 I 5 = V 1 V 2 V Laboratório Numérico 21

22 I=[ ] I 1 =.3 R 1 V 1 R 2 I 3 =.24 R R 4.3 V 2 R 5 I 5 = 1.28 Sentido da corrente 218 Laboratório Numérico 22

23 R 1 4 malhas, 1 nó Malha V 1 R 2 R 1 I 1 + R 2 I 2 V 1 = R 2 I 2 + R 4 I 4 + R 5 I 5 V 2 = R 1 I 1 R 3 I 3 + R 5 I 5 V 2 = I 3 + I 4 I 5 = R 3 I 3 R 4 I 4 + V 1 = R 3 R 4 Nó R 5 V 2 >>LinAlgError: Singular matrix np.linalg.det(m) >>. Não funciona porque as equações não são linearmente independentes 218 Laboratório Numérico 23

24 R 1 3 malhas, 2 nós prescrição de sentido Malha V 1 R 2 R 1 I 1 + R 2 I 2 V 1 = R 2 I 2 + R 4 I 4 R 5 I 5 V 2 = R 1 I 1 R 3 I 3 R 5 I 5 V 2 = I 3 + I 4 + I 5 = I 1 + I 2 I 5 = I=[ R 3 Nó R 4 R 5 V 2 Sentido da corrente ] 218 Laboratório Numérico 24