Projeto Delfos: Escola de Matemática Para Jovens 20 de Novembro de 2016 LIGA DELFOS JORNADA 1. Aritmética Modular

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1 Projeto Delfos: Escola de Matemática Para Jovens 20 de Novembro de 2016 LIGA DELFOS JORNADA 1 Aritmética Modular Sejam a, b, n inteiros. Dizemos que a e b são congruentes módulo n precisamente quando n divide a b. Denotamos esta situação por a b (mod n). A relação, definida no conjunto Z dos inteiros, é a relação de congruência. Se n não divide a b, então escrevemos a b (mod n). 1. Provem as seguintes propriedades: (a) a a (mod n) (reflexibilidade das congruências) (b) Se a b (mod n) e b c (mod n) então a c (mod n) (transitividade das congruências) (c) Se a b (mod n) então b a (mod n) (simetria das congruências) (d) Se a b (mod n) e c d (mod n) então a + c b + d (mod n) e a c b d (mod n) (e) Se a b (mod n) e c d (mod n) então ac bd (mod n) (f) Seja k = m.m.c.(m, n). Temos a b (mod n) e a b (mod m) se e só se a b (mod k). (g) Se k e n forem primos entre si, então ka kb (mod n) implica a b (mod n). Cuidado: (mod 9), mas não é verdade que 4 10 (mod 9). 2. Resolvam a seguinte sequência de problemas exemplares: (a) Quais são os dois últimos algarismos de ? (cf. OPM Final Categoria A). (b) Mostrem que é um múltiplo de 777. (c) Provem que a soma dos dígitos de um quadrado perfeito nunca pode ser (d) Para que primos p o número p também é primo? (e) Provem que a equação x 2 55y 2 = 43 não tem soluções inteiras. Quebra-cabeças: 3. A sucessão dos números de Fibonacci é a sucessão 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,... definida pela seguinte fórmula de recorrência: F 0 = 0, F 1 = 1, F n = F n 1 + F n 2, n 2. Mostrem que pelo menos um dos primeiros números de Fibonacci termina com quatro zeros. 4. Determinem o último algarismo do número Seja n a soma de todos os números de 10 algarismos que contêm todos os 10 algarismos. Determinem o resto da divisão de n por Determinem os inteiros k no intervalo [2000, 2012] tais que a equação Diofantina 7x 2 +5y 3 = k tem soluções. 7. Dado um inteiro positivo n, temos que escolher inteiros positivos a 0, a 1, a 2,... tais que: (a) a i = a i+n, para qualquer i; (b) a i não é divisível por n, para qualquer i; (c) a i+ai é divisível por a i, para qualquer i. Pergunta-se: para que inteiros positivos n > 1 isto é possível apenas quando os números a 0, a 1, a 2,... são todos iguais? Mostrem que a resposta é para os números primos.

2 Projeto Delfos: Escola de Matemática Para Jovens 17 de Dezembro de 2016 LIGA DELFOS JORNADA 2 Indução 1. Considerem a sucessão de Fibonacci (F n ) n, definida por recorrência como se segue: Mostrem os seguintes factos: F 0 = 0, F 1 = 1, F n = F n 1 + F n 2, n 2. (a) F 2 n+1 F n F n+2 = ( 1) n para qualquer n 0; (b) F n = (1+ 5) n (1 5) n 2 n para qualquer n 0; 5 (c) se n > 0 então F n e F n+1 são inteiros primos entre si. 2. Mostrem que existe uma infinidade de pares de inteiros positivos (m, n) tais que m divide n e n divide m Mostrem que se sin x 0 e n é um número natural, então n 1 cos(2 k x) = sin(2n x) 2 n sin x. 4. Determinem todas as sucessões (a n ) n 1 de números reais tais que para qualquer k 1. k=0 a 1 + 2a 2 + 3a ka k = k + 1 a 1 + a a k 2 5. Os números de 1 a 2n foram distribuídos por dois conjuntos disjuntos A e B de cardinal n, de um modo arbitrário. Os elementos a 1, a 2,..., a n de A foram ordenados por ordem crescente, enquanto que os elementos b 1, b 2,..., b n de B foram ordenados por ordem decrescente. Ou seja, tem-se n a 1 < a 2 <... < a n e b 1 > b 2 >... > b n. Determinem o valor da soma a i b i. 6. Determinem as funções f : Z Z que satisfazem f(m + n) + f(mn 1) = f(m)f(n) + 2 para quaisquer inteiros m, n. Indução também aqui?! 7. Determinem todas as funções f : R R + que satisfazem as condições (a) f(x 2 ) = f(x) 2 2xf(x), (b) f( x) = f(x 1), (c) 1 < x < y implica f(x) < f(y), quaisquer que sejam os números reais x e y. i=1

3 Projeto Delfos: Escola de Matemática Para Jovens 28 de Janeiro de 2017 LIGA DELFOS JORNADA 3 Lei dos Senos e Lei dos Cossenos Teorema (Lei dos Cossenos). Num triângulo, sejam a, b e c os comprimentos dos seus lados e β o ângulo oposto ao lado de comprimento b. Temos b 2 = a 2 + c 2 2ac cos β. Teorema (Lei dos Senos). Num triângulo, sejam a, b e c os comprimentos dos seus lados e α, β e γ os ângulos opostos aos lados de comprimento a, b e c, respetivamente. Temos a sin α = b sin β = c sin γ. Mais precisamente, se R é o raio da circunferência circunscrita de [ABC], então O teorema da bissectriz pode ser provado a partir da lei dos senos. Teorema (Teorema da Bissectriz). Seja [ABC] um triângulo. BAC corta [BC] no ponto L. Então temos BL LC = AB CA. a sin α = b sin β = c sin γ = 2R. Suponhamos que a bissectriz interna de 1. Seja [ABC] um triângulo isósceles tal que AB = AC. Suponham que a bissectriz de ˆB intersecta [AC] em D e que BC = BD + AD. Determinem Â. 2. Seja [ABC] um triângulo retângulo, reto em C. Sejam D um ponto do segmento [AC] e E um ponto do segmento [BD] tais que ABC = DAE = AED. Provem que BE = 2CD. 3. Provem que um triângulo [ABC] é retângulo se e só se sin 2 Â + sin 2 ˆB + sin 2 Ĉ = Dado um triângulo [ABC], sejam a, b e c os comprimentos dos lados do triângulo opostos aos vértices A, B e C, respetivamente. A bissectriz do ângulo Ĉ corta [AB] no ponto D. Provem que CD = 2ab cos( ) Ĉ 2. a + b 5. Sejam [ABCD] um retângulo, e seja O a intersecção de AC com BD. O ponto E é o ponto da semirreta ḂA tal que AE = AO e E não está em [AB], e o ponto Z é o ponto da semirreta ȮB tal que BZ = BO e Z O. Sabe-se que o triângulo [CEZ] é equilátero. Determinem AB, provando BC que é constante, e provem que EO ZD. 6. Seja [ABC] um triângulo tal que Â = 18o e ˆB = 36 o. Sejam M o ponto médio de [AB] e D um ponto da semirreta ĊM tal que AB = AD. Seja E um ponto na semirreta ḂC tal que AB = BE, e seja F um ponto na semirreta AC tal que AB = AF. Determinem a medida do ângulo F DE. 7. Dois navios viajam em direcções diferentes e com velocidades constantes. Às 9h00, a distância entre os navios é de 20 milhas, às 9h35 é de 15 milhas, e às 9h55 é de 13 milhas. Determinem quando é que a distância entre os navios é mínima.

4 Projeto Delfos: Escola de Matemática Para Jovens 18 de Março de 2017 LIGA DELFOS JORNADA 4 Olimpíadas (de Repúblicas ex-)jugoslavas 1. Seja I o centro da circunferência inscrita do triângulo [ABC]. Suponham que CA + AI = BC. Determinem a razão entre as medidas dos ângulos BAC e CBA. 2. Sejam x, y, z números reais não nulos tais que x + y + z = 1 x + 1 y + 1 z = 1. Calculem x3 + y 3 + z Determinem o número de pares ordenados (A, B) de subconjuntos A, B de {1,..., n} tais que A B =. 4. Determinem todas as soluções inteiras da equação x 4 + 2y 4 + 4z 4 + 8t 4 = 16xyzt. 5. A sucessão (a n ) define-se recursivamente por a 1 = 1 e a n = a 1 a 2...a n para n 2. Determimem o mais pequeno número real M tal que < M para qualquer m N. m 1 a n n=1 6. Determinem todos os pares (α, β) de números reais, com α, β [0, π[, para os quais existe uma função f : R R tal que as igualdades f(x sin α) f(x sin(π + α)) = cos(x + α), f(x cos β) + f(x cos(π + β)) = cos(x + β), verificam-se para qualquer x R. Para cada par nessas condições, determinem a função f. 7. Um viajante começa no ponto A do plano e dá n passos, onde n 3. O comprimento do primeiro passo é a. O comprimento de cada um dos passos seguintes é q vezes o comprimento do passo anterior, onde q é uma constante pertencente ao intervalo ]0, 1[. Após cada passo, o viajante muda a direção, virando-se para a esquerda segundo um ângulo igual a 2π. Seja d n n a distância entre A e o ponto a que o viajante chegou no final da sua viagem. Calculem d n e lim d n.

5 Projeto Delfos: Escola de Matemática Para Jovens 22 de Abril de 2017 LIGA DELFOS JORNADA 5 Problemas de competições do ano em que nasci 1. Determinem as soluções inteiras de cada uma das seguintes equações: (a) 4m(m + 1) = n(n + 1); (b) 7a + 14b = 5a 2 + 5ab + 5b 2 ; (c) 2 x + 1 = y Mostrem que a soma das distâncias entre um ponto no interior de um polígono regular e cada lado do polígono é independente da escolha do ponto. 3. A sequência de números reais x 1, x 2, x 3,... define-se por x 1 = 1 + k, x n+1 = 1 x n 0 < k < 1. Mostrem que todos os termos são maiores do que 1. + k, onde 4. Determinem as soluções reais do sistema de equações 2x x 2 = y, 2y y 2 = z, 2z z 2 = x. 5. Avaliem o valor do produto infinito n=2 n 3 1 n Dado um triângulo, sejam s o seu semi-perímetro, R o raio da circunferência circunscrita, e r o raio da circunferência inscrita. Provem que o triângulo é retângulo se e só se s = 2R + r. 7. Determinem todos os inteiros positivos n para os quais existe um polinómio P n (x) de grau n, de coeficientes inteiros, que é igual a n em n pontos inteiros distintos, e igual a zero no ponto zero.

6 Projeto Delfos: Escola de Matemática Para Jovens 5 de Maio de 2017 LIGA DELFOS JORNADA 6 Circunferências 1. Elfos e nibelungos estão sentados em torno de uma mesa circular, sendo 60 criaturas no total. Os nibelungos mentem sempre, e os elfos falam sempre a verdade, excepto quando se enganam. Todos dizem sentar-se entre um elfo e um nibelungo, mas exatamente dois elfos enganaram-se! Quantos nibelungos estão na mesa? 2. Um certo número de pessoas está sentado numa mesa circular. Sabe-se que existem 7 mulheres que têm um mulher à sua direita e 12 mulheres que têm um homem à sua direita. Sabemos que três quartos dos homens têm uma mulher à sua direita. Quantas pessoas estão sentadas na mesa? 3. Uma circunferência de raio 2017 passa por dois vértices adjacentes de um quadrado com dois vértices exteriores à circunferência. Na tangente à circunferência, externa ao quadrado, traçada desde outro vértice do quadrado, a distância desse ponto ao ponto de tangência é duas vezes maior do que o lado do quadrado. Quanto mede o lado do quadrado? 4. Seja [ABCDEF G] um heptágono regular. Mostrem que 1 AB = 1 AC + 1 AD. 5. Suponhamos que as circunferências C e D intersectam-se em dois pontos distintos A e B, e seja t uma tangente comum a C e D, que intersecta C e D em M e N, respetivamente. Supondo que t é perpendicular à reta AM e que MN = 2AM, determinem NMB. 6. Seja [ABCD] um trapézio tal que o lado [AB] é paralelo ao lado [CD] e tal que (a) os seus vértices A,B, C, D pertencem a uma circunferência com centro O; (b) as diagonais AC e BD intersectam-se no ponto M e AMD = 60 o ; (c) MO = 10. Determinem a diferença entre os comprimentos de [AB] e de [CD]. 7. São dados três pontos colineares E, F e G e uma circunferência C tais que E e G estão no exterior de C e F está no interior de C. Provem que se [ABCD] é um qualquer quadrilátero inscrito em C, de tal modo que as retas AB, AD e DC passam por E, F e G respetivamente, então o lado [BC] passa por um ponto fixo, colinear com E, F e G, que não depende do quadrilátero [ABCD].

7 Projeto Delfos: Escola de Matemática Para Jovens 8 de Julho de 2017 LIGA DELFOS JORNADA 7 Palavras Um alfabeto é um conjunto não vazio. Os seus elementos são as suas letras. Uma palavra no alfabeto A é uma sequência finita de elementos de A. A sequência de comprimento 0 é a palavra vazia, denotada ε. O conjunto das palavras com letras em A, denotado A, é um monoide para a concatenação de palavras. O semigrupo A \ {ε} denota-se A Quantas palavras se formam permutando letras na palavra ARRAKIS? E quantas permutações sem vogais consecutivas tem a palavra PADISHAHSHADDAM? 2. Resolvam o seguinte problema cripto-aritmético. Letras idênticas representam o mesmo algarismo, letras diferentes representam algarismos diferentes. D O N A L D + G E R A L D R O B E R T 3. Numa certa linguagem, formam-se palavras usando um alfabeto de três letras. Algumas palavras, de duas ou mais letras, não são permitidas na linguagem, e quaisquer duas de tais palavras têm comprimentos diferentes. Provem que, para qualquer natural n, existem pelo menos 2 n palavras de comprimento n que não contêm qualquer palavra proibida como fator. 4. Considerem o alfabeto {0, 1}. É possível transformar a palavra 01 na palavra 10 usando um número finito de vezes a transformação que consiste em inserir ou apagar um fator que seja um cubo de uma palavra cujas letras pertencem ao alfabeto {0, 1}? 5. (a) Provem que duas palavras não vazias x e y comutam se e só se são potências da mesma palavra. (b) Sejam A um alfabeto e t um natural. Uma palavra a 1 a 2... a n, com a i A, diz-se t-periódica se n > t e a i = a i+t sempre que 1 i n t. Seja z uma palavra de comprimento n que é simultaneamente p-periódica e q-periódica. Seja d = mdc(p, q). Provem que se n p + q então z é d-periódica. (c) Uma palavra diz-se repetitiva se for a concatenação de pelo menos duas palavras idênticas (por exemplo, ababab e abcabc são repetitivas, mas ababa e aabb não são). Provem que se uma palavra tem a propriedade de que qualquer troca de duas letras adjacentes resulta numa palavra repetitiva, então todas as suas letras são iguais (notem que é admissível a troca de duas letras adjacentes iguais, caso em que a palavra fica inalterada). Dado um alfabeto finito A, seja x uma palavra infinita com letras em A, isto é, um elemento de A N. Por exemplo, cabcaabcaaabcaaaab... é uma palavra infinita no alfabeto {a, b, c}. O número de fatores de x de comprimento n denota-se p x (n). A entropia h(x) de uma palavra infinita x define-se pela fórmula log h(x) = lim 2 p x (n). n n A entropia é um conceito importante no estudo de palavras infinitas. 6. Provem a seguinte proposição e usem-na para justificar que a entropia de uma palavra infinita está corretamente definida: Proposição. Seja a 1, a 2, a 3,... uma sucessão de reais não negativos tais que a m+n a m +a n para quaisquer a n m, n 1. Então lim n n existe e é igual ao ínfimo do conjunto { a k k : k N }. 7. Verifiquem que h(x) log 2 A e mostrem que h(x) = log 2 A se e só todos os elementos de A + são fatores de x. Dêem um exemplo de um elemento x de {0, 1} N tal que h(x) = log 2 A.