Educação Matemática MATEMÁTICA LICENCIATURA. Professora Andréa Cardoso

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1 Educação Matemática MATEMÁTICA LICENCIATURA Professora Andréa Cardoso

2 OBJETIVO DA AULA: Reconhecer a importância da Trigonometria na compreensão de fenômenos naturais 2

3 UNIDADE I: EDUCAÇÃO MATEMÁTICA E ENSINO Trigonometria na Antiguidade: Grécia 3

4 A Trigonometria teve um grande desenvolvimento na Grécia Antiga. Trigonometria esteve diretamente relacionada com a Geometria. A Trigonometria Grega surgiu com a necessidade da Astronomia, afim de prever as efemérides celestes como calcular o tempo e ser utilizada na Navegação e Geografia. Trigonometria na Grécia 4

5 Astrônomo grego, primeiro a pensar em um sistema solar heliocêntrico. Criou um método prático para calcular distâncias astronômicas utilizando conceitos de semelhança de triângulos e proporcionalidade. Os escritos de Aristarco se perderam, conhecemos suas ideias por Arquimedes e Plutarco. Aristarco de Samos ( a. C.) 5

6 Acreditava que a Terra fosse uma esfera solta no espaço, girando em conjunto com várias outras ao redor de um núcleo central de fogo, numa antevisão do sistema solar que só bem mais tarde Copérnico enunciaria. A ideia heliocêntrica de Aristarco 6

7 O Sol está mais distante da Terra que a Lua! Caso contrário, não haveria as fases da Lua. Também, a ocorrência de eclipses do Sol só são possíveis com a Lua mais próxima da Terra. Sobre os tamanhos e as distâncias do Sol e da Lua 7

8 Nesta configuração, Aristarco constatou que o triângulo Terra-Lua-Sol é retângulo, na realidade muito próximo a 90 o. O ciclo lunar dura 29,5 dias, para calcular o ângulo α, Aristarco teria observado que a passagem da Lua minguante a crescente durava 14,25 dias, um dia menos que a passagem de crescente a minguante. Sobre os tamanhos e as distâncias do Sol e da Lua 8

9 Admitindo uma velocidade uniforme da Lua em sua órbita, os ângulos descritos pelo seu raio vetor são proporcionais aos tempos gastos nos deslocamentos correspondentes, obtemos: 360 o 29,5 = 2α 14,25 α = 86,57 o sec α = TS TL = 18,8 20 Sobre os tamanhos e as distâncias do Sol e da Lua 9

10 Assim, Aristarco concluiu que o Sol estaria 20 vezes mais distante da Terra que da Lua. Hoje sabe-se que a verdadeira proporção é cerca de 400 vezes. Entretanto o procedimento utilizado estava correto, foram os instrumentos de medição de ângulos disponíveis que não permitiam obter valores mais precisos. Sobre os tamanhos e as distâncias do Sol e da Lua 10

11 Plutarco menciona a evolução da medida do tamanho da Lua: Os antigos egípcios acreditavam que a Lua seria 1/72 menor que a Terra. Para Anaxágoras, filósofo grego do século V a.c., a Lua teria o tamanho do Peloponeso. O tamanho da Lua 11

12 Aristarco também procurou calcular o diâmetro da Lua em relação ao da Terra, baseando-se na sombra projetada pelo nosso planeta durante um eclipse lunar. Sabendo a duração do eclipse e da velocidade aparente, concluiu que a Lua tinha um diâmetro três vezes menor que o da Terra. O valor correto é cerca de 3,7. Com esse dado, deduziu que o diâmetro solar era 20 vezes maior que o da Lua e cerca de 7 vezes maior que o da Terra. Sobre os tamanhos e as distâncias do Sol e da Lua 12

13 Nasceu em Cyrene, uma colônia grega do Norte da África, por volta do ano 276 a.c. Foi diretor da grande Biblioteca de Alexandria. Geógrafo e astrônomo, influenciado pela Escola Pitagórica. Eratóstenes 13

14 Ao escrever um tratado sobre Geografia, dividiu o globo em paralelos e meridianos, fazendo da localização geográfica um trabalho matemático, sistema que continua em uso até hoje. As ideias de Eratóstenes 14

15 Erastóstenes leu em um dos livros da biblioteca, o relato que na cidade de Siene (atual Assuan) era possível ver o Sol refletido no fundo de um poço ao meio-dia no mês de junho. O tamanho da Terra 15

16 Erastóstenes fincou verticalmente uma vareta no chão aproximadamente no mesmo horário em que o Sol ficava a pino em Assuan. E mediu o ângulo formado pela ponta da vareta com a extremidade da sombra. O tamanho da Terra 16

17 O tamanho da Terra 17

18 Conta-se que ele pagou a um carroceiro para ir de Alexandria até Siena medindo a distância entre as duas cidades. d AS = 5000 stadium 360 o 7 o 12 = stadium km O tamanho da Terra 18

19 Considerado o fundador da astronomia científica e Pai da Trigonometria. Foi fortemente influenciado pela matemática Babilônica, introduziu na Grécia a dividiu a circunferência em 360 partes e a divisão do arco de 1 grau em 60 partes. Criou um instrumento para medir alturas, denominado astrolábio. Hiparco de Nicéia ( a.c.) 19

20 Hiparco estabeleceu a correspondência entre o arco e sua corda. A Trigonometria Grega era baseada no estudo da relação entre um arco e sua corda. A corda do arco duplo será a medida do segmento de reta AB. r = 1 Tábuas de cordas crd α = 120 sen α 2 20

21 Teon de Alexandria (390 d.c.) mencionou que Hiparco havia escrito doze livros sobre cálculos de cordas, incluindo uma tábua. A tábua de cordas de Hiparco apresenta os valores das cordas de uma série de ângulos entre 0º e 180º, e provavelmente foi primeira tabela trigonométrica construída. Tábuas de cordas 21

22 Último grande astrônomo grego, viveu em Alexandria. Com ele a Trigonometria Grega atinge seu ápice. Ptolomeu baseou-se no sistema de mundo geométrico-numérico de Aristóteles para com as tabelas de observações babilônicas descrever os movimentos do céu. Claudio Ptolomeu ( d.c.) 22

23 Sua maior contribuição foi a promoção da ideia de que uma descrição quantitativa e matemática dos fenômenos naturais, capaz de fornecer predições, é desejável e possível. A obra mais importante foi a Coleção Matemática Almagesto (al + magiste ), o maior. Composta por 13 livros que apresenta e desenvolve argumentos a favor da teoria geocêntrica do universo. O Almagesto representa para a Astronomia o mesmo papel que Os Elementos para a Geometria. Claudio Ptolomeu 23

24 Dividiu a circunferência em 360 partes (graus). O diâmetro em 120 porções. Cada porção era divididas em 60 partes (minutae primae), originando o termo minuto, E esta última era dividida em 60 partes (minutae secundae), originando o termo segundo. Claudio Ptolomeu 24

25 Apresenta o desenvolvimento de ferramentas matemáticas, a geometria elementar, usada na astronomia e a trigonometria. A trigonometria apenas aparece nos capítulos 10 e 11, com uma tabela de cordas mais aprimorada do que a de Hiparco (meio em meio grau) e explicação de como utilizá-la. Almagesto 25

26 AABOE, A. Episódios da História Antiga da Matemática. 3. ed. Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de Matemática, EVES, H. Introdução à História da Matemática. Campinas: Unicamp, KENNEDY, E. S. História da trigonometria. Tradução de Hygino H. Domingues. São Paulo: Atual, OLIVEIRA, J. Tópicos selecionados de trigonometria e sua história. 65 f. Trabalho de Conclusão de Curso (Licenciatura em Matemática). Departamento de Matemática, Universidade Federal de São Carlos, São Carlos, Disponível em: <http://www.dm.ufscar.br/profs/tcc/trabalhos/2010-2/ pdf>.acesso em 08/04/2015. Referências 26

27 1. Como sabemos que o Sol está mais distante da Terra que a Lua? 2. O que é uma tabela de cordas? Construa uma pequena tábua. 3. O que é Almagesto? 4. Qual foi a contribuição dos pensadores gregos para o desenvolvimento da Trigonometria. Atividade Aula 10 27

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