Orientar os alunos na obtenção do critério ângulo, ângulo (AA) de semelhança de triângulos usando como meio algumas atividades experimentais.

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1 EIXO TEMÁTICO III: ESPAÇO E FORMA Tema 1: Relações geométricas entre figuras planas Tópico 17: Teorema de tales e semelhança de triângulos Objetivos: Orientar os alunos na obtenção do critério ângulo, ângulo (AA) de semelhança de triângulos usando como meio algumas atividades experimentais. Providências para a realização da atividade: Leitura, pelo professor, da OP 18 : Teorema de Tales e semelhança de triângulos. Folhas de papel A4 em branco, papel transparente e tesouras. Conjuntos de réguas, compassos e transferidores. Cópias do texto Descobrindo as condições de semelhança de triângulos" Pré-requisitos: É recomendável que esse roteiro seja precedido pela atividade Uma introdução ao estudo de semelhança com o uso de papel quadriculado. Saber desenhar triângulos, usando régua, compasso e transferidor. Noções básicas de proporcionalidade. Definição de semelhança de triângulos, conceitos e terminologias correspondentes. Descrição dos procedimentos: 1) Propor à turma um problema de determinação de uma medida inacessível cuja solução exija o uso de semelhança de triângulos e deixá-lo em aberto para a conclusão da atividade. Sugestão: Como determinar a altura de um poste, num horário adequado de um dia de sol, conhecendo-se somente a altura do observador. 2) Relembrar a definição de semelhança de triângulos e deixá-la escrita no quadro como referência. 3) Relembrar, se necessário, a construção de um triângulo usando régua e compasso. 4) Dividir os alunos em duplas e distribuir entre elas as folhas de papel, réguas, transferidores, tesouras e as cópias do texto. 5) Dar instruções claras para a realização das tarefas contidas no texto. 6) Acompanhar o trabalho das duplas na realização dos trabalhos, orientando-as no que se fizer necessário. 7) Encerrar a atividade com uma discussão dirigida tendo como objetivo organizar, sistematizar e resumir os resultados. 8) Nessa sistematização o professor deve dar ênfase à: a. Definição de semelhança de triângulos com as suas seis condições: três pares de ângulos de mesma medida e três pares de lados correspondentes proporcionais. b. Identificação ângulos correspondentes e de lados homólogos ou correspondentes.

2 c. Notação usual de semelhança e da importância da ordem nessa notação. d. Economia de trabalho ao se usar o critério AA de semelhança, já que dele decorre a igualdade das medidas do terceiro ângulo e a proporcionalidade dos lados correspondentes e, portanto, dispensa a verificação das outras quatro condições necessárias de semelhança. e. Explicitar e definir o que é razão de semelhança. 9) Discutir coletivamente com a turma a resolução do problema proposto no início da atividade. 10) Texto: Descobrindo as condições de semelhança de triângulos Cumprindo as tarefas a seguir você irá encontrar um resultado interessante e fundamental sobre a semelhança de triângulos que lhe será útil na resolução de muitas situações problema como, por exemplo, aquela que foi proposta pelo professor. 1) Usando a régua e o compasso, construa três triângulos ABC, EFG e MNP cujos lados, em centímetros, meçam respectivamente: Triângulo ABC AB = 4 BC = 3 AC = 2 Triângulo EFG EF = 8 FG = 6 EG = 4 Triângulo MNP MN= 12 NP = 9 MP = 6 2) Observe que esses triângulos têm a mesma forma mas os tamanhos são diferentes. Verifique que: a. As medidas dos lados do triângulo ABC são proporcionais às medidas dos lados correspondentes do triângulo EFG. (Você se lembra? Basta verificar se os quocientes iguais). b. Os lados do triângulo ABC são proporcionais aos lados correspondentes do triângulo MNP. c. Os lados do triângulo EFG são proporcionais aos lados correspondentes do triângulo MNP. são todos 3) Pela definição de semelhança o que está faltando para que se possa concluir que esses três triângulos sejam semelhantes entre si? 4) Corte os dois triângulos menores e por superposição verifique quais são os ângulos correspondentes que têm a mesma medida e escreva os resultados dessa verificação. 5) Depois disso, você pode concluir que os três triângulos são semelhantes? Por quê? 6) Observe os triângulos ABC e DEF da figura a seguir. Os pontos que você vê sobre os lados desses triângulos dividem esses lados em segmentos, todos de mesma medida. (É como se eles fossem construídos usando palitos de fósforo, todos de mesmo comprimento). Você acha que eles são semelhantes? Justifique por escrito a sua

3 7) Note que os ângulos A e C do triângulo ABC têm, respectivamente, as mesmas medidas dos ângulos F e E do triângulo DEF. a. Copie o triângulo ABC numa folha, recorte-o, e verifique por superposição se o ângulo A é igual ao ângulo F e o ângulo C é igual ao ângulo E. b. Use a distância entre dois pontos consecutivos sobre os lados dos triângulos (um palito de fósforo) como unidade de medida de comprimento e calcule os três quocientes entre as medidas dos lados correspondentes dos dois triângulos. Lembre-se que lados correspondentes são aqueles que se opõem aos ângulos de mesma medida. Que conclusão você pode tirar com relação a esses três quocientes? Não se esqueça de simplificá-los. c. Com os resultados da análise que você obteve até agora sobre os dois ângulos e os três lados desses dois triângulos você dá a mesma resposta dada no item 5? Justifique por escrito a sua d. Você sabe que a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180º. Sem usar superposição você pode garantir que o ângulo B do triângulo ABC tem a mesma medida do ângulo D do triângulo DEF? Por quê? 8) Na figura abaixo você vê o ponto M sobre o lado EF do triângulo DEF. a. Trace por M a paralela ao lado DE e chame de N a interseção dessa paralela com o lado DF. b. O ângulo F é comum aos triângulos DEF e MFN. Que relação existe entre o ângulo E do triângulo DEF e o ângulo M do triângulo MFN? Por quê? E entre o ângulo D e o ângulo N? Por quê?

4 c. Use a distância entre dois pontos consecutivos sobre os lados dos triângulos (um palito de fósforo) como unidade de medida de comprimento e calcule os três quocientes entre as medidas dos lados do triângulo DEF e as medidas dos lados correspondentes do triângulo MFN. Lembre-se que lados correspondentes são aqueles que se opõem aos ângulos de mesma medida. Que conclusão você pode tirar com relação à esses três quocientes? d. Falso ou verdadeiro? Os triângulos DEF e MFN são semelhantes. Justifique por escrito a sua e. Falso ou verdadeiro? Os triângulos MFN e CAB são semelhantes. Justifique por escrito sua Com esses exercícios que você fez, você verificou o seguinte fato: Se dois triângulos têm dois pares de ângulos de mesma medida então esses triângulos são semelhantes. Esse fato é conhecido como CRITÉRIO DE SEMELHANÇA ÂNGULO, ÂNGULO. Resumidamente critério AA de semelhança. Isto significa que para garantir que dois triângulos sejam semelhantes, BASTA verificar se eles têm dois pares de ângulos de mesma medida e assim garantir que os lados correspondentes são proporcionais. 9) Pense, agora, no problema: Como determinar a altura de um poste, num horário adequado de um dia de sol, conhecendo-se somente a altura do observador. A figura abaixo pode ajudá-lo a resolver esse problema. Suponha que a altura do observador é 1,68 m e sua sombra mede 1,8m. Calcule a altura do poste. Possíveis dificuldades: Os alunos podem, eventualmente, encontrar dificuldades em: Construir triângulos usando régua e compasso. Relacionar, ordenadamente, os lados correspondentes de dois triângulos semelhantes. Perceber que a proporcionalidade dos lados correspondentes de triângulos semelhantes se expressa por um número chamado razão de semelhança. Alerta para riscos: Não Há Glossário: Não Há

5 Roteiro de Atividade: Descobrindo um critério de semelhança de triângulos Currículo Básico Comum - Matemática Ensino Fundamental Autor(a): Prof.: Carlos Afonso Rego. Colb.: Profas. Ângela M. Vidigal e Maria das Graças G. Barbosa. Centro de Referência Virtual do Professor - SEE-MG/2006

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