SECRETARIA DE ESTADO DE EDUCAÇÃO DO MARANHÃO ENSINO MÉDIO. SEQÜÊNCIA DIDÁTICA APOIO PEDAGÓGICO - 3 o ANO

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4 SECRETARIA DE ESTADO DE EDUCAÇÃO DO MARANHÃO ENSINO MÉDIO SEQÜÊNCIA DIDÁTICA APOIO PEDAGÓGICO - 3 o ANO Identificação da Seqüência Didática Tema: Espaço e forma Subtema: Razões trigonométricas no triângulo retângulo Professor(a): Aulas previstas: 14 Série: 3 o Disciplina: Matemática As atividades a seguir têm por objetivo resgatar conteúdos, já estudados em séries anteriores, cujo entendimento é importante para compreensão de conteúdos a serem estudados no Ensino Médio, sobretudo a trigonometria abordada no terceiro ano. Trata-se de um material elaborado para ser utilizado em aulas extras servindo como alternativa de trabalho com alunos que apresentem maiores dificuldades. Recomendamos que os alunos trabalhem em pequenos grupos para que tenham a possibilidade de discutir, expor idéias e trocar experiências com os companheiros. Trigonometria no triângulo retângulo A foto abaixo mostra a Pedra da Memória, obelisco construído em 1841 em homenagem à maioridade do Imperador D. Pedro II. Originalmente o monumento ficava no Campo de Ourique, mas posteriormente foi transferido para o Cais da Sagração, onde se encontra até hoje.

5 1) Como você faria para medir a altura do obelisco? Explique sua idéia e dê outras alternativas! Alguns conhecimentos matemáticos nos ajudam a encontrar a medida de coisas de difícil acesso sem grandes complicações. Vamos desenvolvendo as atividades desta apostila, e quando você achar que já tem conhecimentos suficientes para descobrir a altura do obelisco, avise o professor! Relembrando alguns conceitos - Figuras semelhantes Dizemos que duas figuras são semelhantes quando têm a mesma forma, mas não necessariamente o mesmo tamanho. Os mapas abaixo são semelhantes: Também dizemos que duas figuras têm a mesma forma quando uma é ampliação ou redução da outra, ou ainda, quando são geometricamente iguais. Possuir a mesma forma significa manter as mesmas proporções.

6 As figuras abaixo não são proporcionais. Veja que, na segunda, a altura aumentou menos que o comprimento. Os retângulos abaixo são semelhantes: Observe que o retângulo B é uma redução do retângulo A. As medidas dos lados do retângulo B representam metade das medidas de A. Se dividirmos a largura do retângulo B, pela largura do retângulo A teremos: 6cm 12cm 1 2 O mesmo acontece com as alturas: 2cm 4cm 1 2 Neste caso, o número 2 1 é chamado razão de semelhança entre as duas figuras. Dois polígonos são chamados polígonos semelhantes quando têm ângulos correspondentes congruentes e medidas dos lados correspondentes proporcionais. A razão (resultado da divisão) entre as medidas dos lados correspondentes de dois polígonos semelhantes é chamada razão de semelhança. 6

7 2) Recorte as peças com formatos triangulares do Anexo I 3 o Ano. Junte as figuras que você acha que são semelhantes entre si. Quantos pares você encontrou?... Compare os pares que obteve com os pares obtidos pelos outros grupos. Para que dois triângulos sejam semelhantes, basta que tenham dois ângulos correspondentes congruentes. 3) Considere o mesmo conjunto de figuras triangulares utilizado na atividade anterior. a) Dentre as figuras representadas, separe aquelas que representam triângulos retângulos.... b) Por que eles recebem esse nome: triângulo retângulo?... Formalizando: Todo triângulo que apresenta um ângulo reto é chamado de triangulo retângulo. - Como a soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é igual a180 o, então, a soma dos outros dois ângulos é igual a 90º, ou seja cada um dos dois é menor que o ângulo reto. - Lembra que um ângulo menor que o reto é chamado de ângulo agudo? Os lados de um triângulo retângulo recebem nomes especiais. O lado oposto ao ângulo reto é chamado hipotenusa, os outros dois lados recebem o nome de catetos. O triângulo retângulo satisfaz uma série de propriedades das quais destacamos o conhecido Teorema de Pitágoras, que garante: Se o triangulo é retângulo, então o quadrado da medida da sua hipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidas dos seus catetos. 7

8 (Para a atividade a seguir você vai precisar de régua e também pode usar a calculadora, se quiser). 4) Considere os triângulos retângulos representados no quadro abaixo. 8

9 a) Os triângulos representados no quadro são semelhantes? Por quê? b) Atribua aos lados os seguintes nomes : a para a hipotenusa; b para o maior cateto e c para o outro cateto. c) Complete a tabela a seguir com os dados obtidos após medir, com régua, os lados dos triângulos representados no quadro. Triângulo Medida dos lados a b c a 2 b 2 c 2 b 2 +c 2 b c d) O que você observou em relação a ultima coluna? OBSERVAÇÃO IMPORTANTE: A matemática trabalha com o mundo ideal, com o perfeito. Porém, na vida real as coisas não são perfeitas, as medidas não são exatas. As figuras triangulares que usamos, são apenas representações de triângulos retângulos e a régua que usamos, por melhor que seja, não é precisa. Além disso, nossos olhos podem nos enganar ao olharmos a marca da régua e, como conseqüência, as medidas que realizamos são sempre aproximadas. Por isso, quando usamos as medidas que encontramos, nem sempre a 2 será exatamente igual a b 2 + c 2. 6) Lembra que um dos instrumentos usado para medir ângulos é o transferidor? Você vai precisar de um transferidor para esta atividade. a) Use régua, transferidor e a malha quadriculada abaixo para construir três triângulos retângulos onde um dos ângulos mede 35 o. 9

10 b) Os triângulos que construiu são semelhantes? c) Chame de c o cateto oposto ao ângulo de 35 o e de b o cateto que está junto ao ângulo de 35 o. (Ao cateto que está junto ao ângulo considerado, chamamos cateto adjacente). e) Considerando o lado de um quadrinho da malha como unidade de comprimento, complete a tabela abaixo: Triângulo Medida dos lados a b c c b Obs: Se tiver dificuldade para encontrar a medida do lado a, lembre-se do teorema de Pitágoras! e) O que você observa a respeito da razão b c? 10

11 o f) Se um dos ângulos do triângulo não fosse 35, será que essa razão seria a mesma? o g) Se fosse 50, você acha que o valor da razão aumentaria ou diminuiria? o h) Vamos conferir? Construa três triângulos retângulos onde um dos ângulos mede 50. i) Complete a tabela: Triângulo Medida dos lados a b c c b j) Observe que, com um ângulo igual a 35 o a razão entre as medidas do cateto oposto e o cateto adjacente ( b c ) nos três triângulos que você construiu é igual a.... Já nos triângulos onde um dos ângulos é 50 o a razão obtida é igual a... 11

12 IMPORTANTE: - A partir de um certo ângulo agudo é possível construir muitos triângulos retângulos semelhantes, que, apesar de terem lados com medidas diferentes, a divisão da medida do cateto oposto ao ângulo agudo considerado, pela medida do cateto adjacente a esse ângulo, é constante. Matematicamente, o valor que se obtém dividindo a medida do cateto oposto ao ângulo agudo pela medida do cateto adjacente a esse mesmo ângulo, recebe o nome de TANGENTE desse ângulo. Quando falamos da tangente de 35 o, escrevemos tg 35 o. k) Complete considerando os valores que você obteve nesta atividade. tg 35 o =... tg50 o =... 7) Vamos usar o que aprendemos até agora para encontrar a altura da árvore representada na figura abaixo: a) A situação acima pode ser representada por um triangulo retângulo onde um dos ângulos mede 35 o. Veja que a medida do cateto adjacente ao ângulo de 35 o é 20m e a altura da árvore é representada pelo cato oposto. Agora é com você... 12

13 Outras razões Além da tangente, as medidas dos lados de triângulos retângulos que têm um mesmo ângulo agudo, satisfazem outras relações. Vamos aproveitar as medidas já realizadas nos triângulos retângulos anteriores para verificá-las. 8) Tome as medidas obtidas na atividade 6 e preencha a tabela: Triângulo com ângulo agudo igual a 35 o Medida dos lados Triângulo a b c c a Lembre que no triângulo considerado, a é a... e c é o cateto... Triângulo com ângulo agudo igual a 50 o : Triângulo Medida dos lados a b c c a Já vimos que a partir de um certo ângulo agudo é possível construir muitos triângulos retângulos semelhantes, que podem ter lados com medidas diferentes. Como esses triângulos as semelhantes (já que tem dois ângulos congruentes) seus lados são proporcionais. 13

14 Vimos nesta atividade a razão entre a medida do cateto oposto ao ângulo agudo considerado (c) e a medida da hipotenusa (a) do triângulo retângulo. A esta razão escrevemos sen35 o. Complete: sen 35 o =... c, chamamos seno do ângulo. No caso do ângulo medir 35 o a, sen 50 o =... 9)Você já viu uma rampa para cadeirantes? Para vencer o desnível de 42 cm, vai ser construída uma rampa com inclinação de 15. a) Qual será o comprimento da rampa? ( sen 15 o = 0,26; cos 15 o = 0,96) c) Você acha que 15 o é uma inclinação adequada para um cadeirante? Procure descobrir se existe alguma norma para a construção destas rampas. d) Procure uma destas rampas. Como devemos proceder para encontrar o seu ângulo de inclinação? 14

15 A outra razão que se verifica no triângulo retângulo é chamada cosseno do ângulo e é dada pela divisão entre a medida do cateto adjacente ao ângulo agudo considerado (b) e a medida da hipotenusa (a). Se chamarmos o ângulo de α, escrevemos cosα. Com os dados registrados nas tabelas das atividades anteriores, você já tem condições de expressar os valores de: cos 35 o =... e cos 50 o =... 10) Escolha um dos triângulos retângulos que você construiu com um ângulo de 35 o e anote suas medidas no triângulo representado na figura abaixo. a) Calcule um valor aproximado para: tg55 o =... sen55 o =... cos55 0 =... De forma parecida com a que fizemos com os ângulos de 35 e 50 graus, pode-se determinar o seno, cosseno e a tangente de outros ângulos. Geralmente, os livros trazem tabelas constando esses valores. Também podemos encontrar estes valores em calculadoras. Veja o exemplo de uma tabela encontrada em livros: Ângulo seno cosseno tangente 5 0,09 0,99 0, ,17 0,98 0, ,26 0,96 0, ,34 0,94 0, ,42 0,91 0, ,50 0,87 0, ,57 0,82 0,70 15

16 40 0,64 0,77 0, ,71 0, ,77 0,64 1, ,82 0,57 1, ,87 0,50 1, ,91 0,42 2, ,94 0,34 2, ,96 0,26 3, ,98 0,17 5,67 Resumindo: Dado um triângulo retângulo conforme o representado na figura. Temos: Notação Definição seno sen x medida do cateto oposto a x medida da hipotenusa senx = a c cosseno cos x medida do cateto adjacente a x medida da hipotenusa cosx = a b tangente tan x medida do cateto oposto a x medida do cateto adjacente a x tgx = b c 11) As razões seno, cosseno e tangente não são independentes entre si, ou seja, o valor de uma interfere no valor das outras, e,se conhecemos o valor de uma delas, podemos calcular o valor das outras. 16

17 Vejamos: senx = a c cosx = a b tgx = b c Isso implica que c = a senx b = a cosx c = b tgx c 2 + b 2 = a 2 a) Qualquer que seja o valor do ângulo agudo x, temos que sen 2 x + cos 2 x = 1. Vamos demonstrar esse fato: sen 2 x + cos 2 x = c a 2 b a c b = 2 2. Agora é com você...continue! a a b) Outra relação entre as razoes trigonométricas é a seguinte: Vamos demonstrar: tgx = senx cos x tgx = b c = a. senx a.cos x dividindo numerador e denominador por a, teremos: tgx = senx cos x 17

18 12) Sabendo x é um ângulo agudo e que senx = 2 1, calcule o valor de cosx e tgx ) Teodolito é o nome de um instrumento que alguns profissionais usam para medir ângulos. Para determinar a altura de uma torre, um topógrafo coloca um teodolito a 100m de sua base e obtém um ângulo de 30º, conforme ilustra a figura. Sabendo que a luneta do teodolito está a 1,70m do chão, qual é a altura aproximada da torre? (Logo após a atividade 9, você encontra uma tabela onde você pode buscar dados que precisar) (Resp. aproximadamente 59,7m) 14) Um barco atravessou um rio de 58m de largura.sabendo que a correnteza fez com que ele navegasse com um ângulo de 34 em relação à margem, calcule a distância percorrida. 18

19 15) A construção de pistas de skate obedece a um certo padrão. A rampa tem uma inclinação do solo de 23º e dista 1,70 m do ponto inicial. A plataforma superior mede 30 cm, conforme ilustração: Sabendo que tg 23º= 0,4245, a altura aproximada da rampa de uma pista de skate é: a) 13 cm b) 40cm c) 60 cm d) 72 cm Você se lembra que começamos esta apostila perguntando como você faria para medir a Pedra da Memória? Você já encontrou uma forma diferente daquela que propôs no começo? 19

20 Uma curiosidade: (Texto adaptado de Tales, um matemático grego, nascido por volta do ano 640 antes de Cristo, em Mileto, cidade da Ásia Menor, é considerado um dos sete sábios da antiguidade. Quando Tales de Mileto, cerca de seiscentos anos antes do nascimento de Cristo, se encontrava no Egito, foi-lhe pedido por um mensageiro do faraó, que calculasse a altura da pirâmide Quéope. Tales apoiou-se a uma vara espetada perpendicularmente ao chão e esperou que a sombra tivesse comprimento igual ao da vara. Disse então a um colaborador: "Vai mede depressa a sombra: o seu comprimento é igual á altura da pirâmide" Tales, para ser rigoroso, deveria ter dito para adicionar à sombra da pirâmide metade do lado da base desta, porque a pirâmide tem uma base larga, que rouba uma parte da sombra que teria se tivesse a forma de uma vara fina. Esse é um dos processos que você pode usar para medir a altura do obelisco, mas precisa esperar a hora em que a sombra coincida com a altura! 20

21 O próprio Tales, propôs outro procedimento que pode ser usado a qualquer hora do dia, mas precisa ter sol, pois se usa a sombra. Veja como seria: Os triângulos são semelhantes porque têm dois ângulos iguais: então, os lados são proporcionais e basta usar a relação: Outra forma de medir a altura do obelisco é aquela que usamos para descobrir a altura da árvore na atividade 7 ou a altura da torre na atividade 12. Mas precisará de um instrumento que meça ângulos! 21

22 Referências: DANTE, L. R. Tudo é matemática: ensino fundamental. São Paulo: Ática, GRASSESCHI, M. C. PROMAT: Projeto oficina de matemática. São Paulo: FTD, LINDEGGER, L.R. M. Construindo conceitos básicos da trigonometria no triângulo retângulo: uma proposta a partir da manipulação de modelos. São Paulo: p. Dissertação de Mestrado PUCSP. São Paulo: SETANI, V. Matemática: 2o Grau. São Paulo: Ática, Sites visitados: em 20/06/ em 10/06/ em 20/05/ em 24/05/ em 28/06/

23 ANEXO I 3º. ANO 23