Vamos conhecer mais sobre triângulos!

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1 Vamos conhecer mais sobre triângulos! Aula 18 Ricardo Ferreira Paraizo e-tec Brasil Matemática Instrumental Fonte:

2 Meta Apresentar a trigonometria básica. Objetivos Após o estudo desta aula, você deverá ser capaz de: 1. aplicar as relações trigonométricas (triângulo retângulo);. aplicar o Teorema de Pitágoras; 3. aplicar a lei do seno e a lei do cosseno; 4. aplicar o teorema da área de um triângulo qualquer.

3 Breve histórico sobre a trigonometria 447 A palavra trigonometria é formada por três radicais gregos: TRI (três), GONO (ângulo) e METREIN (medir). Daí vem o seu significado: medida de triângulos. Tratase, assim, do estudo das relações entre os lados e os ângulos de um triângulo. Apesar de os egípcios e os babilônios terem utilizado as relações existentes entre lados e ângulos dos triângulos para resolver problemas, foi a atração pelo movimento dos astros que impulsionou a evolução da trigonometria. Daí que, historicamente, a trigonometria surge muito cedo associada à Astronomia na construção de relógios de sombra. Aula 18 Vamos conhecer mais sobre triângulos! Figura 18.1: Existem vários tipos de relógios de sombra. A obtenção dos valores dos ângulos entre as marcações dos horários e o consequente traçado do mostrador de um relógio clássico podem ser feitos geometricamente ou através da utilização da trigonometria. Hoje, a trigonometria é usada em muitas situações e não se limita apenas à Astronomia e ao estudo de triângulos. Encontramos diferentes aplicações na Engenharia, na Mecânica, na Eletricidade, na Acústica, na Medicina e até na Música. Agora vamos conhecer o triângulo retângulo e as suas relações trigonométricas.

4 448 O triângulo retângulo e-tec-brasil Matemática Instrumental O triângulo retângulo é formado utilizando-se dois lados perpendiculares entre si, chamados de catetos (b e c), e um outro lado, chamado de hipotenusa (a). A partir dessa forma, muitos teoremas importantíssimos foram construídos e um dos mais importantes é o Teorema de Pitágoras. Figura 18.: O triângulo retângulo. A soma dos ângulos α e β é igual a 90º. Teorema de Pitágoras O Teorema de Pitágoras talvez seja o mais importante teorema de toda a matemática. Com ele pode-se descobrir a medida de um lado de um triângulo retângulo, a partir da medida de seus outros dois lados. Pitágoras disse: A soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa. Portanto: a = b + c.

5 449 Curiosidade Pitágoras foi um filósofo e matemático grego que nasceu no ano de 580 a.c., na cidade de Samos. Fundou uma escola mística e filosófica em Crotona (colônia grega na península itálica), cujos princípios foram determinantes para a evolução geral da matemática e da filosofia ocidental, em que os principais enfoques eram: harmonia matemática e a doutrina dos números. Aliás, Pitágoras foi o criador da palavra filósofo. Aula 18 Vamos conhecer mais sobre triângulos! Segundo o pitagorismo, a essência, que é o princípio fundamental que forma todas as coisas, é o número. Os pitagóricos não distinguem forma, lei e substância, considerando o número o elo entre esses elementos. Para essa escola existiam quatro elementos: terra, água, ar e fogo. Em qualquer triângulo retângulo essa regra se aplica. Lembre-se de que triângulos retângulos são triângulos que têm um ângulo interno medindo 90º. É possível utilizar a regra de Pitágoras em praticamente todas as figuras geométricas planas, pois de alguma forma elas podem ser divididas em triângulos. Vamos ver o exemplo de um quadrado. Podemos determinar a medida da bissetriz de um ângulo interno usando a mesma fórmula. Basta perceber que a BISSETRIZ seria a hipotenusa de um triângulo inscrito no quadrado: BISSETRIZ É a semi-reta que divide um ângulo em dois ângulos congruentes.

6 450 e-tec-brasil Matemática Instrumental Figura 18.3: Triângulo inscrito em um quadrado de lados a e b. Assim temos: h = a + b. Atividade 1 Atende ao Objetivo Qual o perímetro do quadrado que tem a diagonal igual a 3 6 m? Atividade Atende ao Objetivo O perímetro de um losango mede 0 cm e uma das diagonais mede 8 cm. Quanto mede a outra diagonal?

7 Relações trigonométricas (triângulo retângulo) 451 Tendo como base o triângulo retângulo da Figura 18., podemos definir algumas relações que envolvem os ângulos do triângulo retângulo. São elas o seno, o cosseno e a tangente. Definimos essas linhas trigonométricas da seguinte forma: Sendo a = Hipotenusa; b = Cateto adjacente ao ângulo α; c = Cateto oposto ao ângulo α, podemos, então, definir: sen α = cos α = cateto oposto a hipotenusa α = cateto adjacente a hipotenusa c a α = b a Aula 18 Vamos conhecer mais sobre triângulos! tg α = cateto oposto a α cateto adjacente a α senα = = cosα c b Relações fundamentais da trigonometria Agora vamos mostrar algumas relações importantes para a aplicação da trigonometria: 1. sen²α+cos²α = 1 Vamos mostrar a validade desta relação num triângulo ABC, retângulo em A. Veja: Consideremos um ângulo α de vértice C, como mostra a figura a seguir: Figura 18.4: Triângulo retângulo ABC, com um ângulo α de vértice C.

8 45 Lembrando o Teorema de Pitágoras, a² = b² + c², temos: e-tec-brasil Matemática Instrumental sen²α + cos² α = c b b c a a + a = ² + ² = ² = a a² 1. sen α = cos (90 α) O seno de um ângulo é igual ao cosseno do seu complementar. Vamos mostrar a validade dessa igualdade num triângulo retângulo ABC. Consideremos um ângulo α de vértice C, como mostra a figura a seguir: Figura 18.5: Triângulo retângulo ABC. Sabemos que α + β = 90. Daí temos: β = 90 - α. c Se sen α = e cos β = c, logo senα = cosβ. a a Ou seja, sen α = cos (90 - α). Essa relação vale para qualquer ângulo. Exemplos: 1. sen 30 = cos (90º - 30º) = cos 60º;. sen 0 = cos (90º - 0º) = cos 70º.

9 453 Atenção! Os ângulos de 30, 45 e 60 aparecem com frequência em muitos problemas de trigonometria. Para as razões trigonométricas relacionadas a esses ângulos, é mais conveniente usar os valores indicados na tabela a seguir: Razão Trigonométrica 30 o 45 o 60 o sen 1 3 Aula 18 Vamos conhecer mais sobre triângulos! cos 3 1 tg Vejamos outros exemplos: 3. Calcule x na figura a seguir: Figura 18.6: Projeto de uma peça metálica.

10 454 Onde se deve fazer a inclinação para obter um ângulo de 5? e-tec-brasil Matemática Instrumental Cateto oposto 0 tg 5 0 = = Cateto adjacente x 0 0 0, 466 = 0, 466x = 0 x = x = 4, 91 x 0, Calcule a altura do prédio indicado na figura a seguir: Figura 18.7: Veja a trigonometria ajudando você a calcular uma distância inacessível! Cateto oposto x tg 58 0 = = Cateto adjacente 7 1, 6 x = x = 1, 6X7 = 43, 1 7 h = x + 1, 7 h = 43, + 1, 7 = 44, 9m Atividade 3 Atende ao Objetivo 1 O triângulo ABC é retângulo em Â. Se o seno do ângulo B é 0.8, calcular a tg C $. Dica: sen ˆB = cos C $.

11 455 Atividade 4 Atende aos Objetivos 1 e Um TOPÓGRAFO e seu ajudante, equipados com trena e teodolito, veem o topo de um morro sob um ângulo de 60 0 com a horizontal e, quando recuam 100 m, veem o topo do mesmo morro sob um ângulo de 30 0 (veja figura a seguir). Calcular: TOPÓGRAFO Indivíduo que se ocupa da descrição minuciosa de uma localidade ou das configurações do relevo de um terreno com a posição de seus acidentes naturais ou artificiais. Aula 18 Vamos conhecer mais sobre triângulos! O que seria dos topógrafos sem a trigonometria? a. A distância x representada na figura. b. A altura h do morro. Atividade 5 Atende aos Objetivos 1 e Sabendo-se que um cateto e a hipotenusa de um triângulo medem p e p, respectivamente, calcule a tangente do ângulo oposto ao menor lado.

12 456 e-tec-brasil Matemática Instrumental Atividade 6 Atende ao Objetivo 1 Uma escada apoiada em uma parede, num ponto que dista 3 m do solo, forma, com essa parede, um ângulo de 30º. Calcule a distância da parede ao pé da escada, em metros. A trigonometria ajudando no cálculo de distância entre dois pontos.

13 457 Atividade 7 Atende ao Objetivo 1 Um móvel parte de A e segue numa direção que forma com a reta AC um ângulo de 30º. Sabe-se que o móvel caminha com uma velocidade constante de 50 km/h. Após 3 horas de percurso, calcular a distância que o móvel se encontra da reta AC. Aula 18 Vamos conhecer mais sobre triângulos! Triângulos quaisquer (lei dos senos e lei dos cossenos) Já estudamos a resolução de triângulos retângulos. Agora estudaremos a resolução de triângulos quaisquer. Para isso, é necessário conhecer a lei dos senos e a lei dos cossenos, um conteúdo visto no 9 o ano do ensino fundamental. Nos problemas que envolvem ângulo(s) e lado(s) em triângulos quaisquer, podemos observar duas situações: 1 a Temos dois ÂNGULOS e precisamos calcular um lado. a Temos um ÂNGULO e precisamos calcular um lado. Na primeira situação (em que temos dois ÂNGULOS e precisamos calcular um lado), podemos usar a lei dos cossenos ou a lei dos senos (de preferência a lei dos senos). A seguir, temos a fórmula da lei dos senos: a b c = = sen A$ sen B$ sen C$ Figura 18.8: Lei dos senos.

14 458 Na segunda situação (em que temos um ÂNGULO e precisamos calcular um lado), e-tec-brasil Matemática Instrumental devemos usar a lei dos cossenos. A seguir, temos as fórmulas da lei dos cossenos: a² = b² + c².b.c.cos A b² = a² + c².a.c.cos B c² = a² + b².a.b.cos C Figura 18.9: Lei dos cossenos. Teorema da área de um triângulo qualquer A área de um triângulo qualquer é igual ao semiproduto das medidas de dois de seus lados pelo seno do ângulo formado por esses lados. A seguir, temos as fórmulas para a área de um triângulo qualquer: S = 1 a. b. sen C S = 1 b. c. sen A S = 1 a. c. sen B Figura 18.10: Área de um triângulo qualquer. Atividade 8 Atende ao Objetivo 3 A água utilizada na casa de um sítio é captada e bombeada do rio para uma caixa d água a 50 m de distância (veja figura a seguir). A casa está a 80 m de distância da caixa d água e o ângulo formado pelas direções caixa-d água/bomba e caixa d água/casa é de Pretende-se bombear água do mesmo ponto de captação até a casa; a distância que a casa está deste ponto vale:

15 a. 60 m 459 b. 70 m c. 80,66 m d. 90,55 m e. 115,86 m Para resolver este problema, você precisa pensar em qual lei poderá usar: lei dos senos ou lei do cosseno? Aula 18 Vamos conhecer mais sobre triângulos! Atividade 9 Atende ao Objetivo 4 Um jardineiro fez um canteiro triangular como o da figura adiante. Para regá-lo, gasta 10 litros de água por m². Quantos litros de água ele vai gastar para regar todo o canteiro? Dados: AB = 4m e AC = m; sen 105 0,97 (lê-se: seno de cento e cinco graus é igual a noventa e sete centésimos)

16 460 e-tec-brasil Matemática Instrumental Resumindo... Teorema de Pitágoras: a² = b² + c² Para resolver os problemas de trigonometria, precisamos saber onde aplicar as relações trigonométricas de acordo com os dados dos problemas: sen α = cos α = tg α = cateto oposto a α hipotenusa cateto adjacente a hipotenusa cateto oposto a α cateto adjacente a α c = a α = b a senα = = cosα Relações fundamentais da trigonometria: sen²α + cos²α = 1; sen α = cos (90 α). c b Informação sobre a próxima aula Na próxima aula, vamos estudar os Princípios Básicos de Estatística.

17 461 Atividade 1 Respostas das Atividades O perímetro do quadrado é igual à soma dos seus lados. Vamos chamar este lado de a. O perímetro será 4a. Aula 18 Vamos conhecer mais sobre triângulos! Podemos ver que o triângulo ABD é retângulo em A. Aplicamos o Teorema de Pitágoras neste triângulo: ( ) = + ( ) = = = 3 6 a² a² 3 6 a² 9 36 a² 9 6 a² = a² a² = a² = 9 a = 7 a = 9 3 a = 9 3 a = 3 3 Como o perímetro é 4 a, temos = 1 3 m. Logo, o perímetro do quadrado é igual a 1 3 m. Atividade O losango é um polígono com 4 lados iguais. Veja a figura: Podemos considerar d 1 como a diagonal maior e d como a diagonal menor (vamos calcular). Como o perímetro mede 0 cm, temos: 4a = 0 a = 0/4 a = 5 cm

18 46 As diagonais de um losango cruzam entre si formando ângulo de 90. e-tec-brasil Matemática Instrumental As diagonais de um losango se cruzam no ponto que as dividem ao meio. Temos então um triângulo retângulo ABE com as dimensões a seguir: Aplicando o Teorema de Pitágoras temos: 5² = 4² + d ( d ) = + ( d ) = = ( ) d 9 4 ( d ) = 36 d = 36 d = 6 cm Logo, a outra diagonal mede 6 cm. Atividade 3 Como ˆB e Ĉ são complementares ( ˆB +Ĉ = 90 ), pode-se dizer que sen ˆB = cos Ĉ. Foi dito no enunciado da questão que sen ˆB = 0,8. Então cos Ĉ = 0,8. A relação fundamental da trigonometria diz que: sen² Ĉ + cos² Ĉ = 1. Então sen² Ĉ + (0,8)² = 1 sen² Ĉ + 0,64 = 1 sen² Ĉ = 1-0,64 sen² Ĉ = 0,36; sen² Ĉ = sen Ĉ = sen Ĉ = 6 10 = 0,6. tg Ĉ = sen C ˆ 0, 6 = = 0, 75. cos Cˆ 0, 8 Logo, tg Ĉ = 0,75.

19 Atividade a. Para calcular x, vamos analisar os ângulos das figuras a seguir: Aula 18 Vamos conhecer mais sobre triângulos! Figura 1 Figura α e 60 formam um ângulo raso; isso significa que (α + 60 )=180. Resolvendo a equação temos: α = α = 10. Veja o triângulo BDC. Sabemos que a soma dos ângulos internos de um triângulo vale 180. Vale dizer então que: 30 +α+β = 180 Como α já foi calculado anteriormente como sendo 10, então podemos ter: β = β = 180 β = β = 30. Veja agora a Figura, em que substituímos os valores encontrados. Podemos ver que o triângulo BDA é isósceles, pois os ângulos  e ˆB são iguais. Então o segmento CD = BD = 100m Veja como fica o triângulo BAD Hipotenusa Cateto Adjacente

20 464 Para encontrar o valor de x, temos que procurar uma relação que tem cateto e-tec-brasil Matemática Instrumental adjacente e hipotenusa. Essa relação é: cos60 = x cos60 = x = 100 x = 50 m Cateto adjacente hipotenusa b. Para calcular a altura do morro, podemos usar o Teorema de Pitágoras. A hipotenusa ao quadrado é igual à soma dos quadrados dos catetos. (100)² = 50² + h² = h² h² = 7500 h = h= 5 3 = 5 3 = 50 3 m. Então, temos: a, x = 50 m; b, h = 50 3 m.

21 Atividade Aplicando o Teorema de Pitágoras temos: Aula 18 Vamos conhecer mais sobre triângulos! (p)² = p² + x² 4p² =p² +x² x² = 4p² - p² x² = 3p² x = 3p x = p 3 Podemos perceber que o menor lado é p. Pela geometria plana, o menor ângulo está oposto ao menor lado. O menor lado é p; o ângulo oposto a esse lado é o ângulo Ĉ. Então vamos calcular a tg Ĉ. cateto oposto tgcˆ p = = = = = = cateto adjacente p Logo, tgĉ = 3 3.

22 466 Atividade 6 e-tec-brasil Matemática Instrumental Cateto adjacente ao ângulo de 30 Cateto oposto ao ângulo de 30 Para calcularmos a distância da parede ao pé da escada ( AB ), precisamos encontrar o x. Precisamos de uma relação que tem cateto oposto e cateto adjacente. No caso, será: cateto oposto tg 30 = cateto adjacente 3 x 3 3 = 3x = 3 3 x = x = A distância da parede ao pé da escada é igual a 3 m. Atividade 7 Se o móvel tem a velocidade de 50 km/h e faz um percurso em 3 horas, podemos calcular a distância percorrida usando a fórmula da velocidade, que é a variação do espaço dividido pelo tempo: V S = t

23 Onde: 467 V= Velocidade = 50 km/h S = Espaço percorrido =? t = tempo de percurso = 3 horas Substituindo os dados anteriores na fórmula, temos: S 50 = 3 S = 150 km Aula 18 Vamos conhecer mais sobre triângulos! Queremos calcular a distância BC = x Temos na figura a hipotenusa e o cateto oposto ao ângulo de 30. Temos que usar a razão: sen 30 = x sen 30 = x = 150 x = 75km cateto oposto hipotenusa A distância que o móvel se encontra da reta AC é de 75 km. Atividade 8 a = x Você poderia resolver este problema pela lei dos senos se conhecesse o sen 0. Como o mesmo é desconhecido, é mais fácil resolvê-lo usando a lei do cosseno, que vai depender apenas do cos 60, que é conhecido da tabela de Razão Trigonométrica dada nesta aula.

24 468 Pela lei dos cossenos temos: e-tec-brasil Matemática Instrumental a² = b² + c² - b c cosâ x² = 50² + 80² cos60 x² = x² = = 4900 x = 4900 = 70 m A distância da casa até o ponto onde está a bomba d água é 70 m. Atividade 9 Primeiramente, precisamos calcular a área do canteiro ABC. Para isso, precisamos calcular o ângulo  e aplicar o teorema da área. 1 o Passo: cálculo do ângulo  Como a soma dos ângulos internos de um triângulo qualquer vale 180, temos:  + ˆB + Ĉ = 180. Substituindo ˆB e Ĉ nesta equação, temos:  = 180  + 75 = 180  = 105 o Passo: vamos aplicar o teorema da área 1 S = b. c. sen A $ 1 S = sen S = 4. 0, 97 S = 3, 88 S = 3, 88. 1, 41 S = 5, 47m S = área do triângulo A área do triângulo é de aproximadamente 5,47 m².

25 3 o Passo: para saber quantos litros de água se vai gastar para regar todo o canteiro, fazemos a regra de três Em 1 m² gastam-se 10 litros de água. Como são 5,47 m², gastamos x litros de água. Em suma: 1 m² - 10 litros 5,47 m² - x litros x = 5,47.10 = 54,7 litros Para regar todo o canteiro triangular, gastam-se 54,7 litros de água. Aula 18 Vamos conhecer mais sobre triângulos! 469 Referências bibliográficas DANTE, Luiz Roberto. Matemática: contexto & aplicações v.. São Paulo: Ática, IEZZI Gelson et al. Matemática v ed. São Paulo: Atual, RUBINSTEIN, Cléa et al. Telecurso 000: Matemática Ensino Médio v.. Rio de Janeiro: Fundação Roberto Marinho, 003.

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