Vamos conhecer mais sobre triângulos!

Tamanho: px
Começar a partir da página:

Download "Vamos conhecer mais sobre triângulos!"

Transcrição

1 Vamos conhecer mais sobre triângulos! Aula 18 Ricardo Ferreira Paraizo e-tec Brasil Matemática Instrumental Fonte:

2 Meta Apresentar a trigonometria básica. Objetivos Após o estudo desta aula, você deverá ser capaz de: 1. aplicar as relações trigonométricas (triângulo retângulo);. aplicar o Teorema de Pitágoras; 3. aplicar a lei do seno e a lei do cosseno; 4. aplicar o teorema da área de um triângulo qualquer.

3 Breve histórico sobre a trigonometria 447 A palavra trigonometria é formada por três radicais gregos: TRI (três), GONO (ângulo) e METREIN (medir). Daí vem o seu significado: medida de triângulos. Tratase, assim, do estudo das relações entre os lados e os ângulos de um triângulo. Apesar de os egípcios e os babilônios terem utilizado as relações existentes entre lados e ângulos dos triângulos para resolver problemas, foi a atração pelo movimento dos astros que impulsionou a evolução da trigonometria. Daí que, historicamente, a trigonometria surge muito cedo associada à Astronomia na construção de relógios de sombra. Aula 18 Vamos conhecer mais sobre triângulos! Figura 18.1: Existem vários tipos de relógios de sombra. A obtenção dos valores dos ângulos entre as marcações dos horários e o consequente traçado do mostrador de um relógio clássico podem ser feitos geometricamente ou através da utilização da trigonometria. Hoje, a trigonometria é usada em muitas situações e não se limita apenas à Astronomia e ao estudo de triângulos. Encontramos diferentes aplicações na Engenharia, na Mecânica, na Eletricidade, na Acústica, na Medicina e até na Música. Agora vamos conhecer o triângulo retângulo e as suas relações trigonométricas.

4 448 O triângulo retângulo e-tec-brasil Matemática Instrumental O triângulo retângulo é formado utilizando-se dois lados perpendiculares entre si, chamados de catetos (b e c), e um outro lado, chamado de hipotenusa (a). A partir dessa forma, muitos teoremas importantíssimos foram construídos e um dos mais importantes é o Teorema de Pitágoras. Figura 18.: O triângulo retângulo. A soma dos ângulos α e β é igual a 90º. Teorema de Pitágoras O Teorema de Pitágoras talvez seja o mais importante teorema de toda a matemática. Com ele pode-se descobrir a medida de um lado de um triângulo retângulo, a partir da medida de seus outros dois lados. Pitágoras disse: A soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa. Portanto: a = b + c.

5 449 Curiosidade Pitágoras foi um filósofo e matemático grego que nasceu no ano de 580 a.c., na cidade de Samos. Fundou uma escola mística e filosófica em Crotona (colônia grega na península itálica), cujos princípios foram determinantes para a evolução geral da matemática e da filosofia ocidental, em que os principais enfoques eram: harmonia matemática e a doutrina dos números. Aliás, Pitágoras foi o criador da palavra filósofo. Aula 18 Vamos conhecer mais sobre triângulos! Segundo o pitagorismo, a essência, que é o princípio fundamental que forma todas as coisas, é o número. Os pitagóricos não distinguem forma, lei e substância, considerando o número o elo entre esses elementos. Para essa escola existiam quatro elementos: terra, água, ar e fogo. Em qualquer triângulo retângulo essa regra se aplica. Lembre-se de que triângulos retângulos são triângulos que têm um ângulo interno medindo 90º. É possível utilizar a regra de Pitágoras em praticamente todas as figuras geométricas planas, pois de alguma forma elas podem ser divididas em triângulos. Vamos ver o exemplo de um quadrado. Podemos determinar a medida da bissetriz de um ângulo interno usando a mesma fórmula. Basta perceber que a BISSETRIZ seria a hipotenusa de um triângulo inscrito no quadrado: BISSETRIZ É a semi-reta que divide um ângulo em dois ângulos congruentes.

6 450 e-tec-brasil Matemática Instrumental Figura 18.3: Triângulo inscrito em um quadrado de lados a e b. Assim temos: h = a + b. Atividade 1 Atende ao Objetivo Qual o perímetro do quadrado que tem a diagonal igual a 3 6 m? Atividade Atende ao Objetivo O perímetro de um losango mede 0 cm e uma das diagonais mede 8 cm. Quanto mede a outra diagonal?

7 Relações trigonométricas (triângulo retângulo) 451 Tendo como base o triângulo retângulo da Figura 18., podemos definir algumas relações que envolvem os ângulos do triângulo retângulo. São elas o seno, o cosseno e a tangente. Definimos essas linhas trigonométricas da seguinte forma: Sendo a = Hipotenusa; b = Cateto adjacente ao ângulo α; c = Cateto oposto ao ângulo α, podemos, então, definir: sen α = cos α = cateto oposto a hipotenusa α = cateto adjacente a hipotenusa c a α = b a Aula 18 Vamos conhecer mais sobre triângulos! tg α = cateto oposto a α cateto adjacente a α senα = = cosα c b Relações fundamentais da trigonometria Agora vamos mostrar algumas relações importantes para a aplicação da trigonometria: 1. sen²α+cos²α = 1 Vamos mostrar a validade desta relação num triângulo ABC, retângulo em A. Veja: Consideremos um ângulo α de vértice C, como mostra a figura a seguir: Figura 18.4: Triângulo retângulo ABC, com um ângulo α de vértice C.

8 45 Lembrando o Teorema de Pitágoras, a² = b² + c², temos: e-tec-brasil Matemática Instrumental sen²α + cos² α = c b b c a a + a = ² + ² = ² = a a² 1. sen α = cos (90 α) O seno de um ângulo é igual ao cosseno do seu complementar. Vamos mostrar a validade dessa igualdade num triângulo retângulo ABC. Consideremos um ângulo α de vértice C, como mostra a figura a seguir: Figura 18.5: Triângulo retângulo ABC. Sabemos que α + β = 90. Daí temos: β = 90 - α. c Se sen α = e cos β = c, logo senα = cosβ. a a Ou seja, sen α = cos (90 - α). Essa relação vale para qualquer ângulo. Exemplos: 1. sen 30 = cos (90º - 30º) = cos 60º;. sen 0 = cos (90º - 0º) = cos 70º.

9 453 Atenção! Os ângulos de 30, 45 e 60 aparecem com frequência em muitos problemas de trigonometria. Para as razões trigonométricas relacionadas a esses ângulos, é mais conveniente usar os valores indicados na tabela a seguir: Razão Trigonométrica 30 o 45 o 60 o sen 1 3 Aula 18 Vamos conhecer mais sobre triângulos! cos 3 1 tg Vejamos outros exemplos: 3. Calcule x na figura a seguir: Figura 18.6: Projeto de uma peça metálica.

10 454 Onde se deve fazer a inclinação para obter um ângulo de 5? e-tec-brasil Matemática Instrumental Cateto oposto 0 tg 5 0 = = Cateto adjacente x 0 0 0, 466 = 0, 466x = 0 x = x = 4, 91 x 0, Calcule a altura do prédio indicado na figura a seguir: Figura 18.7: Veja a trigonometria ajudando você a calcular uma distância inacessível! Cateto oposto x tg 58 0 = = Cateto adjacente 7 1, 6 x = x = 1, 6X7 = 43, 1 7 h = x + 1, 7 h = 43, + 1, 7 = 44, 9m Atividade 3 Atende ao Objetivo 1 O triângulo ABC é retângulo em Â. Se o seno do ângulo B é 0.8, calcular a tg C $. Dica: sen ˆB = cos C $.

11 455 Atividade 4 Atende aos Objetivos 1 e Um TOPÓGRAFO e seu ajudante, equipados com trena e teodolito, veem o topo de um morro sob um ângulo de 60 0 com a horizontal e, quando recuam 100 m, veem o topo do mesmo morro sob um ângulo de 30 0 (veja figura a seguir). Calcular: TOPÓGRAFO Indivíduo que se ocupa da descrição minuciosa de uma localidade ou das configurações do relevo de um terreno com a posição de seus acidentes naturais ou artificiais. Aula 18 Vamos conhecer mais sobre triângulos! O que seria dos topógrafos sem a trigonometria? a. A distância x representada na figura. b. A altura h do morro. Atividade 5 Atende aos Objetivos 1 e Sabendo-se que um cateto e a hipotenusa de um triângulo medem p e p, respectivamente, calcule a tangente do ângulo oposto ao menor lado.

12 456 e-tec-brasil Matemática Instrumental Atividade 6 Atende ao Objetivo 1 Uma escada apoiada em uma parede, num ponto que dista 3 m do solo, forma, com essa parede, um ângulo de 30º. Calcule a distância da parede ao pé da escada, em metros. A trigonometria ajudando no cálculo de distância entre dois pontos.

13 457 Atividade 7 Atende ao Objetivo 1 Um móvel parte de A e segue numa direção que forma com a reta AC um ângulo de 30º. Sabe-se que o móvel caminha com uma velocidade constante de 50 km/h. Após 3 horas de percurso, calcular a distância que o móvel se encontra da reta AC. Aula 18 Vamos conhecer mais sobre triângulos! Triângulos quaisquer (lei dos senos e lei dos cossenos) Já estudamos a resolução de triângulos retângulos. Agora estudaremos a resolução de triângulos quaisquer. Para isso, é necessário conhecer a lei dos senos e a lei dos cossenos, um conteúdo visto no 9 o ano do ensino fundamental. Nos problemas que envolvem ângulo(s) e lado(s) em triângulos quaisquer, podemos observar duas situações: 1 a Temos dois ÂNGULOS e precisamos calcular um lado. a Temos um ÂNGULO e precisamos calcular um lado. Na primeira situação (em que temos dois ÂNGULOS e precisamos calcular um lado), podemos usar a lei dos cossenos ou a lei dos senos (de preferência a lei dos senos). A seguir, temos a fórmula da lei dos senos: a b c = = sen A$ sen B$ sen C$ Figura 18.8: Lei dos senos.

14 458 Na segunda situação (em que temos um ÂNGULO e precisamos calcular um lado), e-tec-brasil Matemática Instrumental devemos usar a lei dos cossenos. A seguir, temos as fórmulas da lei dos cossenos: a² = b² + c².b.c.cos A b² = a² + c².a.c.cos B c² = a² + b².a.b.cos C Figura 18.9: Lei dos cossenos. Teorema da área de um triângulo qualquer A área de um triângulo qualquer é igual ao semiproduto das medidas de dois de seus lados pelo seno do ângulo formado por esses lados. A seguir, temos as fórmulas para a área de um triângulo qualquer: S = 1 a. b. sen C S = 1 b. c. sen A S = 1 a. c. sen B Figura 18.10: Área de um triângulo qualquer. Atividade 8 Atende ao Objetivo 3 A água utilizada na casa de um sítio é captada e bombeada do rio para uma caixa d água a 50 m de distância (veja figura a seguir). A casa está a 80 m de distância da caixa d água e o ângulo formado pelas direções caixa-d água/bomba e caixa d água/casa é de Pretende-se bombear água do mesmo ponto de captação até a casa; a distância que a casa está deste ponto vale:

15 a. 60 m 459 b. 70 m c. 80,66 m d. 90,55 m e. 115,86 m Para resolver este problema, você precisa pensar em qual lei poderá usar: lei dos senos ou lei do cosseno? Aula 18 Vamos conhecer mais sobre triângulos! Atividade 9 Atende ao Objetivo 4 Um jardineiro fez um canteiro triangular como o da figura adiante. Para regá-lo, gasta 10 litros de água por m². Quantos litros de água ele vai gastar para regar todo o canteiro? Dados: AB = 4m e AC = m; sen 105 0,97 (lê-se: seno de cento e cinco graus é igual a noventa e sete centésimos)

16 460 e-tec-brasil Matemática Instrumental Resumindo... Teorema de Pitágoras: a² = b² + c² Para resolver os problemas de trigonometria, precisamos saber onde aplicar as relações trigonométricas de acordo com os dados dos problemas: sen α = cos α = tg α = cateto oposto a α hipotenusa cateto adjacente a hipotenusa cateto oposto a α cateto adjacente a α c = a α = b a senα = = cosα Relações fundamentais da trigonometria: sen²α + cos²α = 1; sen α = cos (90 α). c b Informação sobre a próxima aula Na próxima aula, vamos estudar os Princípios Básicos de Estatística.

17 461 Atividade 1 Respostas das Atividades O perímetro do quadrado é igual à soma dos seus lados. Vamos chamar este lado de a. O perímetro será 4a. Aula 18 Vamos conhecer mais sobre triângulos! Podemos ver que o triângulo ABD é retângulo em A. Aplicamos o Teorema de Pitágoras neste triângulo: ( ) = + ( ) = = = 3 6 a² a² 3 6 a² 9 36 a² 9 6 a² = a² a² = a² = 9 a = 7 a = 9 3 a = 9 3 a = 3 3 Como o perímetro é 4 a, temos = 1 3 m. Logo, o perímetro do quadrado é igual a 1 3 m. Atividade O losango é um polígono com 4 lados iguais. Veja a figura: Podemos considerar d 1 como a diagonal maior e d como a diagonal menor (vamos calcular). Como o perímetro mede 0 cm, temos: 4a = 0 a = 0/4 a = 5 cm

18 46 As diagonais de um losango cruzam entre si formando ângulo de 90. e-tec-brasil Matemática Instrumental As diagonais de um losango se cruzam no ponto que as dividem ao meio. Temos então um triângulo retângulo ABE com as dimensões a seguir: Aplicando o Teorema de Pitágoras temos: 5² = 4² + d ( d ) = + ( d ) = = ( ) d 9 4 ( d ) = 36 d = 36 d = 6 cm Logo, a outra diagonal mede 6 cm. Atividade 3 Como ˆB e Ĉ são complementares ( ˆB +Ĉ = 90 ), pode-se dizer que sen ˆB = cos Ĉ. Foi dito no enunciado da questão que sen ˆB = 0,8. Então cos Ĉ = 0,8. A relação fundamental da trigonometria diz que: sen² Ĉ + cos² Ĉ = 1. Então sen² Ĉ + (0,8)² = 1 sen² Ĉ + 0,64 = 1 sen² Ĉ = 1-0,64 sen² Ĉ = 0,36; sen² Ĉ = sen Ĉ = sen Ĉ = 6 10 = 0,6. tg Ĉ = sen C ˆ 0, 6 = = 0, 75. cos Cˆ 0, 8 Logo, tg Ĉ = 0,75.

19 Atividade a. Para calcular x, vamos analisar os ângulos das figuras a seguir: Aula 18 Vamos conhecer mais sobre triângulos! Figura 1 Figura α e 60 formam um ângulo raso; isso significa que (α + 60 )=180. Resolvendo a equação temos: α = α = 10. Veja o triângulo BDC. Sabemos que a soma dos ângulos internos de um triângulo vale 180. Vale dizer então que: 30 +α+β = 180 Como α já foi calculado anteriormente como sendo 10, então podemos ter: β = β = 180 β = β = 30. Veja agora a Figura, em que substituímos os valores encontrados. Podemos ver que o triângulo BDA é isósceles, pois os ângulos  e ˆB são iguais. Então o segmento CD = BD = 100m Veja como fica o triângulo BAD Hipotenusa Cateto Adjacente

20 464 Para encontrar o valor de x, temos que procurar uma relação que tem cateto e-tec-brasil Matemática Instrumental adjacente e hipotenusa. Essa relação é: cos60 = x cos60 = x = 100 x = 50 m Cateto adjacente hipotenusa b. Para calcular a altura do morro, podemos usar o Teorema de Pitágoras. A hipotenusa ao quadrado é igual à soma dos quadrados dos catetos. (100)² = 50² + h² = h² h² = 7500 h = h= 5 3 = 5 3 = 50 3 m. Então, temos: a, x = 50 m; b, h = 50 3 m.

21 Atividade Aplicando o Teorema de Pitágoras temos: Aula 18 Vamos conhecer mais sobre triângulos! (p)² = p² + x² 4p² =p² +x² x² = 4p² - p² x² = 3p² x = 3p x = p 3 Podemos perceber que o menor lado é p. Pela geometria plana, o menor ângulo está oposto ao menor lado. O menor lado é p; o ângulo oposto a esse lado é o ângulo Ĉ. Então vamos calcular a tg Ĉ. cateto oposto tgcˆ p = = = = = = cateto adjacente p Logo, tgĉ = 3 3.

22 466 Atividade 6 e-tec-brasil Matemática Instrumental Cateto adjacente ao ângulo de 30 Cateto oposto ao ângulo de 30 Para calcularmos a distância da parede ao pé da escada ( AB ), precisamos encontrar o x. Precisamos de uma relação que tem cateto oposto e cateto adjacente. No caso, será: cateto oposto tg 30 = cateto adjacente 3 x 3 3 = 3x = 3 3 x = x = A distância da parede ao pé da escada é igual a 3 m. Atividade 7 Se o móvel tem a velocidade de 50 km/h e faz um percurso em 3 horas, podemos calcular a distância percorrida usando a fórmula da velocidade, que é a variação do espaço dividido pelo tempo: V S = t

23 Onde: 467 V= Velocidade = 50 km/h S = Espaço percorrido =? t = tempo de percurso = 3 horas Substituindo os dados anteriores na fórmula, temos: S 50 = 3 S = 150 km Aula 18 Vamos conhecer mais sobre triângulos! Queremos calcular a distância BC = x Temos na figura a hipotenusa e o cateto oposto ao ângulo de 30. Temos que usar a razão: sen 30 = x sen 30 = x = 150 x = 75km cateto oposto hipotenusa A distância que o móvel se encontra da reta AC é de 75 km. Atividade 8 a = x Você poderia resolver este problema pela lei dos senos se conhecesse o sen 0. Como o mesmo é desconhecido, é mais fácil resolvê-lo usando a lei do cosseno, que vai depender apenas do cos 60, que é conhecido da tabela de Razão Trigonométrica dada nesta aula.

24 468 Pela lei dos cossenos temos: e-tec-brasil Matemática Instrumental a² = b² + c² - b c cosâ x² = 50² + 80² cos60 x² = x² = = 4900 x = 4900 = 70 m A distância da casa até o ponto onde está a bomba d água é 70 m. Atividade 9 Primeiramente, precisamos calcular a área do canteiro ABC. Para isso, precisamos calcular o ângulo  e aplicar o teorema da área. 1 o Passo: cálculo do ângulo  Como a soma dos ângulos internos de um triângulo qualquer vale 180, temos:  + ˆB + Ĉ = 180. Substituindo ˆB e Ĉ nesta equação, temos:  = 180  + 75 = 180  = 105 o Passo: vamos aplicar o teorema da área 1 S = b. c. sen A $ 1 S = sen S = 4. 0, 97 S = 3, 88 S = 3, 88. 1, 41 S = 5, 47m S = área do triângulo A área do triângulo é de aproximadamente 5,47 m².

25 3 o Passo: para saber quantos litros de água se vai gastar para regar todo o canteiro, fazemos a regra de três Em 1 m² gastam-se 10 litros de água. Como são 5,47 m², gastamos x litros de água. Em suma: 1 m² - 10 litros 5,47 m² - x litros x = 5,47.10 = 54,7 litros Para regar todo o canteiro triangular, gastam-se 54,7 litros de água. Aula 18 Vamos conhecer mais sobre triângulos! 469 Referências bibliográficas DANTE, Luiz Roberto. Matemática: contexto & aplicações v.. São Paulo: Ática, IEZZI Gelson et al. Matemática v ed. São Paulo: Atual, RUBINSTEIN, Cléa et al. Telecurso 000: Matemática Ensino Médio v.. Rio de Janeiro: Fundação Roberto Marinho, 003.

26

Exemplo Aplicando a proporcionalidade existente no Teorema de Tales, determine o valor dos segmentos AB e BC na ilustração a seguir:

Exemplo Aplicando a proporcionalidade existente no Teorema de Tales, determine o valor dos segmentos AB e BC na ilustração a seguir: GEOMETRIA PLANA TEOREMA DE TALES O Teorema de Tales pode ser determinado pela seguinte lei de correspondência: Se duas retas transversais são cortadas por um feixe de retas paralelas, então a razão entre

Leia mais

Trigonometria no Triângulo Retângulo

Trigonometria no Triângulo Retângulo Trigonometria no Triângulo Retângulo Prof. Márcio Nascimento marcio@matematicauva.org Universidade Estadual Vale do Acaraú Centro de Ciências Exatas e Tecnologia Curso de Licenciatura em Matemática Disciplina:

Leia mais

Relações Métricas nos Triângulos. Joyce Danielle de Araújo

Relações Métricas nos Triângulos. Joyce Danielle de Araújo Relações Métricas nos Triângulos Joyce Danielle de Araújo Trigonometria A palavra trigonometria é de origem grega, onde: Trigonos = Triângulo Metrein = Mensuração - Relação entre ângulos e distâncias;

Leia mais

Pontos correspondentes: A e D, B e E, C e F; Segmentos correspondentes: AB e DE, BC e EF, AC e DF.

Pontos correspondentes: A e D, B e E, C e F; Segmentos correspondentes: AB e DE, BC e EF, AC e DF. Teorema de Tales O Teorema de Tales possui diversas aplicações no cotidiano, que devem ser demonstradas a fim de verificar sua importância. O Teorema diz que retas paralelas, cortadas por transversais,

Leia mais

Matemática GEOMETRIA PLANA. Professor Dudan

Matemática GEOMETRIA PLANA. Professor Dudan Matemática GEOMETRIA PLANA Professor Dudan Ângulos Geometria Plana Ângulo é a região de um plano concebida pelo encontro de duas semirretas que possuem uma origem em comum, chamada vértice do ângulo. A

Leia mais

Relembrando: Ângulos, Triângulos e Trigonometria...

Relembrando: Ângulos, Triângulos e Trigonometria... Relembrando: Ângulos, Triângulos e Trigonometria... Este texto é apenas um resumo. Procure estudar esses assuntos em um livro apropriado. Ângulo é a região de um plano delimitada pelo encontro de duas

Leia mais

Formação Continuada em MATEMÁTICA Fundação CECIERJ / Consórcio CEDERJ

Formação Continuada em MATEMÁTICA Fundação CECIERJ / Consórcio CEDERJ Formação Continuada em MATEMÁTICA Fundação CECIERJ / Consórcio CEDERJ Matemática 1º Ano - 2º Bimestre / 2013 PLANO DE TRABALHO 2 Tarefa 2 Cursista: Mariane Ribeiro do Nascimento Tutor: Bruno Morais 1 SUMÁRIO

Leia mais

Exercícios de Aplicação do Teorema de Pitágoras

Exercícios de Aplicação do Teorema de Pitágoras Exercícios de Aplicação do Teorema de Pitágoras Prof. a : Patrícia Caldana 1. Um terreno triangular tem frentes de 12 m e 16 m em duas ruas que formam um ângulo de 90. Quanto mede o terceiro lado desse

Leia mais

TRIGONOMETRIA 1 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

TRIGONOMETRIA 1 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS TRIGONOMETRIA 1 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 1) Uma escada está apoiada em um muro de 2 m de altura, formando um ângulo de 45º. Forma-se, portanto, um triângulo retângulo isósceles. Qual é o comprimento da escada?

Leia mais

CURSO INTRODUTÓRIO DE MATEMÁTICA PARA ENGENHARIA Trigonometria 1. Danielly Guabiraba- Engenharia Civil

CURSO INTRODUTÓRIO DE MATEMÁTICA PARA ENGENHARIA Trigonometria 1. Danielly Guabiraba- Engenharia Civil CURSO INTRODUTÓRIO DE MATEMÁTICA PARA ENGENHARIA 018.1 Trigonometria 1 Danielly Guabiraba- Engenharia Civil Definição A palavra trigonometria é de origem grega, onde: Trigonos = Triangulo e Metrein = Mensuração

Leia mais

Trigonometria. Reforço de Matemática Básica - Professor: Marcio Sabino - 1 Semestre 2015

Trigonometria. Reforço de Matemática Básica - Professor: Marcio Sabino - 1 Semestre 2015 Trigonometria Reforço de Matemática ásica - Professor: Marcio Sabino - 1 Semestre 015 1. Trigonometria O nome Trigonometria vem do grego trigo-non triângulo + metron medida. Esta é um ramo da matemática

Leia mais

MEDINDO ÂNGULO. Uma das dificuldades que alguns alunos demostram é fazer a relação entre graus e radianos.

MEDINDO ÂNGULO. Uma das dificuldades que alguns alunos demostram é fazer a relação entre graus e radianos. MEDINDO ÂNGULO Uma das dificuldades que alguns alunos demostram é fazer a relação entre graus e radianos. Grau ( ) e radiano (rad) são diferentes unidades de medida de ângulo que podem ser relacionadas

Leia mais

UNITAU APOSTILA TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO PROF. CARLINHOS

UNITAU APOSTILA TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO PROF. CARLINHOS ESCOLA DE APLICAÇÃO DR. ALFREDO JOSÉ BALBI UNITAU APOSTILA TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO PROF. CARLINHOS NOME DO ALUNO: Nº TURMA: blog.portalpositivo.com.br/capitcar 1 TRIGONOMETRIA A palavra Trigonometria

Leia mais

TRIGONOMETRIA MÓDULO 13 TRIGONOMETRIA

TRIGONOMETRIA MÓDULO 13 TRIGONOMETRIA TRIGONOMETRIA MÓDULO 13 TRIGONOMETRIA TRIGONOMETRIA TRIÂNGULO RETÂNGULO Triângulo retângulo é todo aquele em que a medida de um de seus ângulos internos é igual 90 (ângulo reto). No triângulo retângulo

Leia mais

1. Com o auxílio de régua graduada e transferidor, calcular sen 42, cos 42 e tg 42. Resolução Traçamos uma perpendicular a um dos lados desse ângulo:

1. Com o auxílio de régua graduada e transferidor, calcular sen 42, cos 42 e tg 42. Resolução Traçamos uma perpendicular a um dos lados desse ângulo: Atividades Complementares 1. Com o auxílio de régua graduada e transferidor, calcular sen 4, cos 4 e tg 4. Traçamos uma perpendicular a um dos lados desse ângulo: Medimos, com auxílio da régua, os lados

Leia mais

Taxas Trigonométricas

Taxas Trigonométricas Taas Trigonométricas Obs.: Com é mais difícil (confere a resolução). 1) A intensidade da componente F é p% da intensidade da força F. Então, p vale (a) sen(α) (b) 1sen(α) (c) cos(α) (d) 1cos(α) (e) cos(α)/1

Leia mais

Gabarito: cateto oposto. sen(30 ) = = x = 85 cm. hipotenusa 2 1,7. x sen7 = x = 14 sen7 x = 14 0,12 x = 1,68 m 14. Resposta da questão 1: [A]

Gabarito: cateto oposto. sen(30 ) = = x = 85 cm. hipotenusa 2 1,7. x sen7 = x = 14 sen7 x = 14 0,12 x = 1,68 m 14. Resposta da questão 1: [A] Gabarito: Resposta da questão 1: Considere a situação Utilizando da relação de seno temos: cateto oposto 1 x sen(30 ) = = x = 85 cm. hipotenusa 1,7 Resposta da questão : Utilizando a relação de tangente

Leia mais

CURSO INTRODUTÓRIO DE MATEMÁTICA PARA ENGENHARIA Trigonometria. Iris Lima - Engenharia da produção

CURSO INTRODUTÓRIO DE MATEMÁTICA PARA ENGENHARIA Trigonometria. Iris Lima - Engenharia da produção CURSO INTRODUTÓRIO DE MATEMÁTICA PARA ENGENHARIA 018. Trigonometria Iris Lima - Engenharia da produção Definição Relação entre ângulos e distâncias; Origem na resolução de problemas práticos relacionados

Leia mais

Ano: 9º ano Ensino Fundamental II Data: / /2017 Disciplina: Matemática Professor: Sergio Monachesi ROTEIRO DE ESTUDO REGULAÇÃO CONTEÚDO DO 4º BIMESTRE

Ano: 9º ano Ensino Fundamental II Data: / /2017 Disciplina: Matemática Professor: Sergio Monachesi ROTEIRO DE ESTUDO REGULAÇÃO CONTEÚDO DO 4º BIMESTRE Nome: Nº: Ano: 9º ano Ensino Fundamental II Data: / /2017 Disciplina: Matemática Professor: Sergio Monachesi a) Conteúdos : ROTEIRO DE ESTUDO REGULAÇÃO CONTEÚDO DO 4º BIMESTRE Polígonos: - nomenclatura.

Leia mais

Relações Trigonométricas nos Triângulos

Relações Trigonométricas nos Triângulos Relações Trigonométricas nos Triângulos Introdução - Triângulos Um triângulo é uma figura geométric a plana, constituída por três lados e três ângulos internos. Esses ângulos, tradicionalmente, são medidos

Leia mais

Fundação CECIERJ/Consórcio CEDERJ

Fundação CECIERJ/Consórcio CEDERJ Fundação CECIERJ/Consórcio CEDERJ Matemática 1 Ano do Ensino Médio 3 Bimestre Plano de trabalho TRIGONOMETRIA NA CIRCUNFERÊNCIA TAREFA 2 CURSISTA: RODOLFO DA COSTA NEVES TUTOR (A): ANALIA MARIA FERREIRA

Leia mais

Teorema de Pitágoras

Teorema de Pitágoras Teorema de Pitágoras Luan Arjuna 1 Introdução Uma das maiores preocupações dos matemáticos da antiguidade era a determinação de comprimentos: desde a altura de um edifício até a distância entre duas cidades,

Leia mais

PROGRAMA INSTITUCIONAL DE BOLSA DE INICIÇÃO Á DOCENCIA PROJETO MATEMÁTICA 1 TRIGONOMETRIA

PROGRAMA INSTITUCIONAL DE BOLSA DE INICIÇÃO Á DOCENCIA PROJETO MATEMÁTICA 1 TRIGONOMETRIA PROGRAMA INSTITUCIONAL DE BOLSA DE INICIÇÃO Á DOCENCIA PROJETO MATEMÁTICA 1 TRIGONOMETRIA Curitiba 2014 TÓPICOS DE GEOMETRIA PLANA Ângulos classificação: Ângulo reto: mede 90. Med(AôB) = 90 Ângulo agudo:

Leia mais

PROPOSTA DIDÁTICA. 3. Desenvolvimento da proposta didática (10min) Acomodação dos alunos e realização da chamada.

PROPOSTA DIDÁTICA. 3. Desenvolvimento da proposta didática (10min) Acomodação dos alunos e realização da chamada. PROPOSTA DIDÁTICA 1. Dados de Identificação 1.1 Nome do bolsista: André da Silva Alves 1.2 Série/Ano/Turma: 8º e 9º ano 1.3 Turno: manhã 1.4 Data: 09/10 Lauro Dornelles e 14/10 Oswaldo Aranha 1.5 Tempo

Leia mais

A lei dos senos. Na Aula 42 vimos que a Lei dos co-senos é. a 2 = b 2 + c 2-2bc cos Â

A lei dos senos. Na Aula 42 vimos que a Lei dos co-senos é. a 2 = b 2 + c 2-2bc cos  A UA UL LA A lei dos senos Introdução Na Aula 4 vimos que a Lei dos co-senos é uma importante ferramenta matemática para o cálculo de medidas de lados e ângulos de triângulos quaisquer, isto é, de triângulos

Leia mais

CONTEÚDO: Razões trigonométricas no Triangulo Retângulo e em Triângulo qualquer.

CONTEÚDO: Razões trigonométricas no Triangulo Retângulo e em Triângulo qualquer. LISTA DE EXERCICIOS - ESTUDO PARA A PROVA PR1 3ºTRIMESTRE PROF. MARCELO CONTEÚDO: Razões trigonométricas no Triangulo Retângulo e em Triângulo qualquer. (seno, cosseno e tangente; lei dos senos e lei dos

Leia mais

Exercícios sobre trigonometria em triângulos

Exercícios sobre trigonometria em triângulos Instituto Municipal de Ensino Superior de Catanduva SP Curso de Licenciatura em Matemática º ano Prática de Ensino da Matemática III Prof. M.Sc. Fabricio Eduardo Ferreira fabricio@fafica.br Eercícios sobre

Leia mais

2, 5 2,0 1,5 3,75 2,5 6,25 5,0 AF 2,5 0,8 2,5 SENO, COSSENO, TANGENTE CONTEÚDO. Razões trigonométricas AMPLIANDO SEUS CONHECIMENTOS

2, 5 2,0 1,5 3,75 2,5 6,25 5,0 AF 2,5 0,8 2,5 SENO, COSSENO, TANGENTE CONTEÚDO. Razões trigonométricas AMPLIANDO SEUS CONHECIMENTOS SENO, COSSENO, TANGENTE CONTEÚDO Razões trigonométricas AMPLIANDO SEUS CONHECIMENTOS Observe os triângulos ABC e AEF. 6, 3,7,,0 1,,0 Esses triângulos têm em comum o ângulo Â. Os ângulos que: C ˆ e F ˆ

Leia mais

ESCOLA SECUNDÁRIA COM 3º CICLO D. DINIS 11º ANO DE ESCOLARIDADE DE MATEMÁTICA A Tema I Geometria no Plano e no Espaço II

ESCOLA SECUNDÁRIA COM 3º CICLO D. DINIS 11º ANO DE ESCOLARIDADE DE MATEMÁTICA A Tema I Geometria no Plano e no Espaço II ESCOLA SECUNDÁRIA COM º CICLO D DINIS 11º ANO DE ESCOLARIDADE DE MATEMÁTICA A Tema I Geometria no Plano e no Espaço II Ficha de trabalho nº 4 1 Resolva o exercício 11 da página 80 do seu manual Considere

Leia mais

Formação Continuada em Matemática

Formação Continuada em Matemática Formação Continuada em Matemática Fundação CECIERJ/Consórcio CEDERJ Matemática 1º ano 2º Bimestre 2013 Tarefa 2 Plano de trabalho: Relações Trigonométricas no Triângulo Retângulo Cursista: Vania Cristina

Leia mais

Exercícios Extras-Relações Métricas no Triângulo Retângulo-Lei dos Cossenos e Senos- 1 s anos-2015

Exercícios Extras-Relações Métricas no Triângulo Retângulo-Lei dos Cossenos e Senos- 1 s anos-2015 Exercícios Extras-Relações Métricas no Triângulo Retângulo-Lei dos Cossenos e Senos- 1 s anos-015 1. (Ufsj 013) Um triângulo isósceles inscrito em um círculo de raio igual a 8 cm possui um lado que mede

Leia mais

Numa circunferência está inscrito um triângulo equilátero cujo apótema mede 3cm. A medida do diâmetro dessa circunferência é:

Numa circunferência está inscrito um triângulo equilátero cujo apótema mede 3cm. A medida do diâmetro dessa circunferência é: EXERCÍCIO COMPLEMENTARES - MATEMÁTICA - 9º ANO - ENSINO FUNDAMENTAL - 3ª ETAPA ============================================================================================== 01- Assunto: Função Polinomial

Leia mais

NOME: ANO: 3º Nº: PROFESSOR(A):

NOME: ANO: 3º Nº: PROFESSOR(A): NOME: ANO: º Nº: PROFESSOR(A): Ana Luiza Ozores DATA: Algumas definições Triângulos: REVISÃO Lista 06 Triângulos e Quadriláteros Classificação quanto aos lados: Escaleno (todos os lados diferentes), Isósceles

Leia mais

TRIGONOMETRIA. AO VIVO MATEMÁTICA Professor Haroldo Filho 02 de fevereiro, AS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS DO ÂNGULO AGUDO OA OA OA OA OA OA

TRIGONOMETRIA. AO VIVO MATEMÁTICA Professor Haroldo Filho 02 de fevereiro, AS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS DO ÂNGULO AGUDO OA OA OA OA OA OA TRIGONOMETRIA 1. AS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS DO ÂNGULO AGUDO Considere um ângulo agudo = AÔB, e tracemos a partir dos pontos A, A 1, A etc. da semirreta AO, perpendiculares à semirreta OB. AB A1B1 AB OAB

Leia mais

LISTA DE EXERCÍCIOS 9º ano 4º bim

LISTA DE EXERCÍCIOS 9º ano 4º bim LISTA DE EXERCÍCIOS 9º ano 4º bim Prof. Marcelo, Sandra, Rafael e Tammy PARTE 1 SISTEMAS DO 2º GRAU Resolva os seguintes sistemas RESPOSTAS: 1) {(,4),(4,)} 2) {(-,-2),(-2,-)} ) {(,1),(-2,-/2)} 4) {(2,-1),(-/2,-4/)}

Leia mais

Matemática 9º ano 3º bimestre/2013 Plano de Trabalho

Matemática 9º ano 3º bimestre/2013 Plano de Trabalho Formação Continuada em Matemática Fundação CECIERJ/ CEDERJ Matemática 9º ano 3º bimestre/2013 Plano de Trabalho Tarefa 2: Triângulo Retângulo, Circunferência e Círculo, Trigonometria no Triângulo Retângulo.

Leia mais

Matemática Básica II - Trigonometria Nota 02 - Trigonometria no Triângulo Retângulo

Matemática Básica II - Trigonometria Nota 02 - Trigonometria no Triângulo Retângulo Matemática Básica II - Trigonometria Nota 0 - Trigonometria no Triângulo Retângulo Márcio Nascimento da Silva Universidade Estadual Vale do Acaraú - UVA Curso de Licenciatura em Matemática marcio@matematicauva.org

Leia mais

MATEMÁTICA APLICADA À AGRIMENSURA PROF. JORGE WILSON

MATEMÁTICA APLICADA À AGRIMENSURA PROF. JORGE WILSON MATEMÁTICA APLICADA À AGRIMENSURA PROF. JORGE WILSON PROFJWPS@GMAIL.COM DEFINIÇÕES GEOMETRIA PLANA Ponto: Um elemento do espaço que define uma posição. Reta: Conjunto infinito de pontos. Dois pontos são

Leia mais

Axiomas e Proposições

Axiomas e Proposições Axiomas e Proposições Axiomas: I Incidência I.1 Existem infinitos pontos no plano. I.2 Por dois pontos distintos (ou seja, diferentes) passa uma única reta. I.3 Dada uma reta, existem infinitos pontos

Leia mais

CURSO ANUAL DE FÍSICA AULA 1 Prof. Renato Brito

CURSO ANUAL DE FÍSICA AULA 1 Prof. Renato Brito CURSO ANUAL DE FÍSICA AULA 1 Prof. Renato Brito BREVE REVISÃO DE GEOMETRIA PARA AJUDAR NO ESTUDO DOS VETORES É importante que o aluno esteja bem familiarizado com as propriedades usuais da geometria plana,

Leia mais

Licenciatura em Matemática Fundamentos de Matemática Elementar 2 o /2010 Professora Adriana TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO E

Licenciatura em Matemática Fundamentos de Matemática Elementar 2 o /2010 Professora Adriana TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO E Licenciatura em Matemática Fundamentos de Matemática Elementar 2 o /2010 Professora Adriana TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO E FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 1. Calcule sen x, tg x e cotg x sendo dado: a)

Leia mais

Roteiro Recuperação Geometria 3º trimestre- 1º ano

Roteiro Recuperação Geometria 3º trimestre- 1º ano Roteiro Recuperação Geometria 3º trimestre- 1º ano 1. Determine a área do trapézio isósceles de perímetro 26cm, que possui a medida de suas bases iguais a 4cm e 12cm. 2. O triângulo ABC está inscrito num

Leia mais

REVISÃO 9º ANO - MATEMÁTICA MATEMÁTICA - PROF: JOICE

REVISÃO 9º ANO - MATEMÁTICA MATEMÁTICA - PROF: JOICE MATEMÁTICA - PROF: JOICE 1- Resolva, em R, as equações do º grau: 7x 11x = 0. x² - 1 = 0 x² - 5x + 6 = 0 - A equação do º grau x² kx + 9 = 0, assume as seguintes condições de existência dependendo do valor

Leia mais

ENQ Gabarito MESTRADO PROFISSIONAL EM MATEMÁTICA EM REDE NACIONAL. Questão 01 [ 1,25 ]

ENQ Gabarito MESTRADO PROFISSIONAL EM MATEMÁTICA EM REDE NACIONAL. Questão 01 [ 1,25 ] MESTRADO PROFISSIONAL EM MATEMÁTICA EM REDE NACIONAL ENQ 017 Gabarito Questão 01 [ 1,5 ] Encontre as medidas dos lados e ângulos de dois triângulos ABC diferentes tais que AC = 1, BC = e A BC = 0 Considere

Leia mais

Lista: Trigonometria no triangulo retângulo, lei dos senos e cossenos

Lista: Trigonometria no triangulo retângulo, lei dos senos e cossenos Lista: Trigonometria no triangulo retângulo, lei dos senos e cossenos 1. No triângulo retângulo determine as medidas x e y indicadas. (Use: sen65º = 0,91; cos65º = 0,42 e tg65º = 2,14) 2. Determine no

Leia mais

PLANO DE TRABALHO 2. MATEMÁTICA DO 1º ANO DO ENSINO MÉDIO/2 BIMESTRE/2013 CURSISTA: ADRIANA DE ARAÚJO BRAGA GRUPO 3 TUTOR: Wagner R.

PLANO DE TRABALHO 2. MATEMÁTICA DO 1º ANO DO ENSINO MÉDIO/2 BIMESTRE/2013 CURSISTA: ADRIANA DE ARAÚJO BRAGA GRUPO 3 TUTOR: Wagner R. PLANO DE TRABALHO 2 MATEMÁTICA DO 1º ANO DO ENSINO MÉDIO/2 BIMESTRE/2013 CURSISTA: ADRIANA DE ARAÚJO BRAGA GRUPO 3 TUTOR: Wagner R.Telles 1 SUMÁRIO INTRODUÇÃO...03 DESENVOLVIMENTO...04 AVALIAÇÃO...20 REFERÊNCIAS

Leia mais

NOÇÕES DE GEOMETRIA PLANA

NOÇÕES DE GEOMETRIA PLANA NOÇÕES DE GEOMETRIA PLANA Polígonos são figuras planas fechadas com lados retos. Todo polígono possui os seguintes elementos: ângulos, vértices, diagonais e lados. De acordo com o número de lados o polígono

Leia mais

Módulo de Círculo Trigonométrico. Relação Fundamental da Trigonometria. 1 a série E.M.

Módulo de Círculo Trigonométrico. Relação Fundamental da Trigonometria. 1 a série E.M. Módulo de Círculo Trigonométrico Relação Fundamental da Trigonometria a série EM Círculo Trigonométrico Relação Fundamental da Trigonometria Exercícios Introdutórios Exercício Se sen x /, determine Exercício

Leia mais

Plano de Trabalho INTRODUÇÃO DESENVOLVIMENTO

Plano de Trabalho INTRODUÇÃO DESENVOLVIMENTO FORMAÇÃO CONTINUADA PARA PROFESSORES DE MATEMÁTICA FUNDAÇÃO CECIERJ/SEEDUC-RJ. Professor: Joana Eunice Rodes de Oliveira - Matrículas: 09353525. Série: 1º ANO ENSINO MÉDIO (2º Bimestre) GRUPO 04. Tutora:

Leia mais

Estudo da Trigonometria (I)

Estudo da Trigonometria (I) Instituto Municipal de Ensino Superior de Catanduva SP Curso de Licenciatura em Matemática 3º ano Prática de Ensino da Matemática III Prof. M.Sc. Fabricio Eduardo Ferreira fabricio@fafica.br Estudo da

Leia mais

2x x 2 x(2 2) 5( 3 1)(2 2)cm. 2x x 4x x 2 S 12,5 12,5 25 2x 3x 2 0 2x 3x 27. x' 0,75 (não convém) x. a hipotenusa. AD x AC. x 5( 3 1)cm.

2x x 2 x(2 2) 5( 3 1)(2 2)cm. 2x x 4x x 2 S 12,5 12,5 25 2x 3x 2 0 2x 3x 27. x' 0,75 (não convém) x. a hipotenusa. AD x AC. x 5( 3 1)cm. Tarefas 05, 0, 07 e 08 Professor César LISTA TAREFA DIRECIONADA OLIMPO GOIÂNIA / MATEMÁTICA - FRENTE B Gabarito: 0. D Calculando: x x x 4x x S,5,5 5 x x 0 x x7 4 ( 7) 5 5 5 x' 0,75 (não convém) x 4 x''

Leia mais

FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS. Teorema de Pitágoras Razões trigonométricas Circunferência trigonométrica

FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS. Teorema de Pitágoras Razões trigonométricas Circunferência trigonométrica FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS Teorema de Pitágoras Razões trigonométricas Circunferência trigonométrica Teorema de Pitágoras Em qualquer triângulo retângulo, o quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma

Leia mais

PARTE 1. 1) Calcule a soma dos catetos do triângulo retângulo da figura, sabendo que AB = 10 e 4 cosx 5

PARTE 1. 1) Calcule a soma dos catetos do triângulo retângulo da figura, sabendo que AB = 10 e 4 cosx 5 ENSINO FUNDAMENTAL 9º ano LISTA DE EXERCÍCIOS PT 3º TRIM PROF. MARCELO DISCIPLINA : MATEMÁTICA PARTE 1 1) Calcule a soma dos catetos do triângulo retângulo da figura, sabendo que AB = 10 e 4 cosx 5 ) Para

Leia mais

MATEMÁTICA BÁSICA II TRIGONOMETRIA Aula 03

MATEMÁTICA BÁSICA II TRIGONOMETRIA Aula 03 UNIVERSIDDE ESTDUL VLE DO CRÚ CENTRO DE CIÊNCIS EXTS E TECNOLOGI CURSO DE LICENCITUR EM MTEMÁTIC MTEMÁTIC ÁSIC II TRIGONOMETRI ula 03 Prof. Márcio Nascimento marcio@matematicauva.org 204. Razões Trigonométricas

Leia mais

Material Teórico - Redução ao Primeiro Quadrante e Funções Trigonométricas. A Lei dos Cossenos Revisitada. Primeiro Ano do Ensino Médio

Material Teórico - Redução ao Primeiro Quadrante e Funções Trigonométricas. A Lei dos Cossenos Revisitada. Primeiro Ano do Ensino Médio Material Teórico - Redução ao Primeiro Quadrante e Funções Trigonométricas Lei dos ossenos Revisitada Primeiro no do Ensino Médio utor: Prof. Farício Siqueira enevides Revisor: Prof. ntonio aminha M. Neto

Leia mais

UNICAMP Você na elite das universidades! MATEMÁTICA ELITE SEGUNDA FASE

UNICAMP Você na elite das universidades! MATEMÁTICA ELITE SEGUNDA FASE www.elitecampinas.com.br Fone: (19) -71 O ELITE RESOLVE IME 004 PORTUGUÊS/INGLÊS Você na elite das universidades! UNICAMP 004 SEGUNDA FASE MATEMÁTICA www.elitecampinas.com.br Fone: (19) 51-101 O ELITE

Leia mais

Na forma reduzida, temos: (r) y = 3x + 1 (s) y = ax + b. a) a = 3, b, b R. b) a = 3 e b = 1. c) a = 3 e b 1. d) a 3

Na forma reduzida, temos: (r) y = 3x + 1 (s) y = ax + b. a) a = 3, b, b R. b) a = 3 e b = 1. c) a = 3 e b 1. d) a 3 01 Na forma reduzida, temos: (r) y = 3x + 1 (s) y = ax + b a) a = 3, b, b R b) a = 3 e b = 1 c) a = 3 e b 1 d) a 3 1 0 y = 3x + 1 m = 3 A equação que apresenta uma reta com o mesmo coeficiente angular

Leia mais

Gabarito Extensivo MATEMÁTICA volume 1 Frente B

Gabarito Extensivo MATEMÁTICA volume 1 Frente B Gabarito Etensivo MATEMÁTICA volume Frente B sen cos tan 0 5 60 0) E 5 5 6 9 +y=+8= sen0 y y 8 cateto oposto ipotenusa 0) m Seja O a origem no solo alinado verticalmente com o bastão. A medida OB será

Leia mais

x = 4 2sen30 0 = 4 2(1/2) = 2 2 e y = 4 2 cos 30 0 = 4 2( 3/2) = 2 6.

x = 4 2sen30 0 = 4 2(1/2) = 2 2 e y = 4 2 cos 30 0 = 4 2( 3/2) = 2 6. CURSO DE PRÉ CÁLCULO ONLINE - PET MATEMÁTICA / UFMG LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS: Exercício 1 Calcule o valor de x e y indicados na figura abaixo. Solução: No triângulo retângulo ABD, temos que AD mede

Leia mais

PA = 1,2 m. Após uma tacada na bola, ela se

PA = 1,2 m. Após uma tacada na bola, ela se 1. (Unifor 014) Sobre uma rampa de m de comprimento e inclinação de 0 com a horizontal, devem-se construir degraus de altura 0cm. Quantos degraus devem ser construídos? a) 4 b) c) 6 d) 7 e) 8. (Efomm 016)

Leia mais

2. Uma escada apoiada em uma parede forma, com ela, um ângulo de 30 o. Determine o comprimento da escada, sabendo que a mesma esta a 3 m da parede:

2. Uma escada apoiada em uma parede forma, com ela, um ângulo de 30 o. Determine o comprimento da escada, sabendo que a mesma esta a 3 m da parede: 1. Um ciclista partindo de um ponto A, percorre 21 km para o norte; a seguir, fazendo um ângulo de 90, percorre mais 28 km para leste, chegando ao ponto B. Qual a distância, em linha reta, do ponto B ao

Leia mais

Com interesse de ir além de um ensino tradicional, pois os alunos em sua maioria têm grandes dificuldades em diferenciar círculo de circunferência.

Com interesse de ir além de um ensino tradicional, pois os alunos em sua maioria têm grandes dificuldades em diferenciar círculo de circunferência. MARCUS VINICIUS DIONISIO DA SILVA - Angra dos Reis PLANO DE AULA ASSUNTO: 1. INTRODUÇÃO: Com interesse de ir além de um ensino tradicional, pois os alunos em sua maioria têm grandes dificuldades em diferenciar

Leia mais

Formação Continuada em Matemática. CEDERJ. Matemática 1ºano/E.Médio 2º bimestre/2013. Trigonometria no Triângulo Retângulo.

Formação Continuada em Matemática. CEDERJ. Matemática 1ºano/E.Médio 2º bimestre/2013. Trigonometria no Triângulo Retângulo. Formação Continuada em Matemática. CEDERJ. Matemática 1ºano/E.Médio 2º bimestre/2013. Trigonometria no Triângulo Retângulo. Tarefa 4 Aluna: Monique Andrade da Conceição Grupo: 5 Tutor: LEZIETI CUBEIRO

Leia mais

Prof: Heloiza Helena Rafael de Souza Tutor: BRUNO MOARES LEMOS Grupo: 01

Prof: Heloiza Helena Rafael de Souza Tutor: BRUNO MOARES LEMOS Grupo: 01 Formação continuada para professores de matemática Fundação CECIERJ/SEEDUC-RJ Colégio: E.E Lucas da Silva - 1 ano turma 1001 Prof: Heloiza Helena Rafael de Souza Tutor: BRUNO MOARES LEMOS Grupo: 01 Introdução

Leia mais

FORMAÇÃO CONTINUADA CECIERJ / SEEDUC

FORMAÇÃO CONTINUADA CECIERJ / SEEDUC FORMAÇÃO CONTINUADA CECIERJ / SEEDUC Professora: Ednara Alves da Silva Matrícula: 30343321 Série: 1º ano Ensino Médio 4º bimestre Tutor: Rodolfo Gregório 1 SUMÁRIO Introdução ---------------------------------------------------------------------------------

Leia mais

Polígonos PROFESSOR RANILDO LOPES 11.1

Polígonos PROFESSOR RANILDO LOPES 11.1 Polígonos PROFESSOR RANILDO LOPES 11.1 Polígonos Polígono é uma figura geométrica plana e fechada formada apenas por segmentos de reta que não se cruzam no mesmo plano. Exemplos 11.1 Elementos de um polígono

Leia mais

Objetivos. em termos de produtos internos de vetores.

Objetivos. em termos de produtos internos de vetores. Aula 5 Produto interno - Aplicações MÓDULO 1 - AULA 5 Objetivos Calcular áreas de paralelogramos e triângulos. Calcular a distância de um ponto a uma reta e entre duas retas. Determinar as bissetrizes

Leia mais

R.: R.: c) d) Página 1 de 8-17/07/18-15:06

R.: R.: c) d) Página 1 de 8-17/07/18-15:06 PROFESSOR: EQUIPE DE MATEMÁTICA BANCO DE QUESTÕES - GEOMETRIA - 9º ANO - ENSINO FUNDAMENTAL ============================================================================ 01- Em um triângulo retângulo, a

Leia mais

a) Triângulo retângulo: É o triângulo que possui um ângulo reto (90 ).

a) Triângulo retângulo: É o triângulo que possui um ângulo reto (90 ). Geometria Analítica Módulo 1 Revisão de funções trigonométricas, Vetores: Definições e aplicações Módulo, direção e sentido. Igualdades entre vetores 1. Revisão de funções trigonométricas a) Triângulo

Leia mais

2) Na figura abaixo, sabe se que RS // DE e que AE = 42 cm. Nessas condições, determine as medidas x e y indicadas.

2) Na figura abaixo, sabe se que RS // DE e que AE = 42 cm. Nessas condições, determine as medidas x e y indicadas. Lista de exercícios Prof Wladimir 1 ano A, B, C, D 1) A figura abaixo nos mostra duas avenidas que partem de um mesmo ponto A e cortam duas ruas paralelas. Na primeira avenida, os quarteirões determinados

Leia mais

SENO do ângulo agudo é o quociente entre a medida do cateto oposto ao ângulo e a medida da hipotenusa, e assim o representamos: sen = e sen =.

SENO do ângulo agudo é o quociente entre a medida do cateto oposto ao ângulo e a medida da hipotenusa, e assim o representamos: sen = e sen =. IFSP - EAD_- TRIGONOMETRIA RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO CONCEITUAÇÃO: No capítulo anterior foram aordadas as relações métricas no triângulo retângulo, e você deve ter perceido que em nenhuma

Leia mais

30's Volume 15 Matemática

30's Volume 15 Matemática 30's Volume 1 Matemática www.cursomentor.com 9 de junho de 014 Q1. Considere os segmentos AB = x, BC =, CD = x + 1 e DE = x 18 e que AB = CD. Encontre x. BC DE Q. Em um triângulo ABC, AM é bissetriz interna

Leia mais

01- Assunto: Equação do 2º grau. Se do quadrado de um número real positivo x subtrairmos 4 unidades, vamos obter o número 140. Qual é o número x?

01- Assunto: Equação do 2º grau. Se do quadrado de um número real positivo x subtrairmos 4 unidades, vamos obter o número 140. Qual é o número x? EXERCÍCIO COMPLEMENTARES - MATEMÁTICA - 9º ANO - ENSINO FUNDAMENTAL - ª ETAPA ============================================================================================== 01- Assunto: Equação do º grau.

Leia mais

AB de medida igual a 3 cm, qual é a medida do lado BC?

AB de medida igual a 3 cm, qual é a medida do lado BC? LEI DOS SENOS CONTEÚDO Lei dos senos AMPLIANDO SEUS CONHECIMENTOS Dado o triângulo ABC, sendo o ângulo  igual a 80, o ângulo Ĉ igual a 50 e o lado AB de medida igual a 3 cm, qual é a medida do lado BC?

Leia mais

COLÉGIO PEDRO II - CAMPUS SÃO CRISTÓVÃO III 1ª SÉRIE MATEMÁTICA II PROF. MARCOS EXERCÍCIOS DE REVISÃO PFV - GABARITO

COLÉGIO PEDRO II - CAMPUS SÃO CRISTÓVÃO III 1ª SÉRIE MATEMÁTICA II PROF. MARCOS EXERCÍCIOS DE REVISÃO PFV - GABARITO COLÉGIO PEDRO II - CAMPUS SÃO CRISTÓVÃO III ª SÉRIE MATEMÁTICA II PROF. MARCOS EXERCÍCIOS DE REVISÃO PFV - GABARITO www.professorwaltertadeu.mat.br ) Uma escada de m de comprimento está apoiada no chão

Leia mais

Revisão de Matemática

Revisão de Matemática UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ - UFC DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA AGRÍCOLA DENA TOPOGRAFIA BÁSICA Revisão de Matemática Facilitador: Fabrício M. Gonçalves Unidades de medidas Unidade de comprimento (METRO)

Leia mais

GABARITO. tg B = tg B = TC BC, com B = 60 e tg 60 = 3 BC BC. 3 = TC BC = TC 3. T Substituindo (2) em (1): TC. 3 = 3TC 160.

GABARITO. tg B = tg B = TC BC, com B = 60 e tg 60 = 3 BC BC. 3 = TC BC = TC 3. T Substituindo (2) em (1): TC. 3 = 3TC 160. Matemática Intensivo V. Eercícios 0) No triângulo abaio: teto adjacente ao ângulo. omo 5 e,8 km, vamos relacionar essas informações através da razão tangente: tg cat. oposto cat. adjacente y om: 5, cateto

Leia mais

GEOMETRIA ANALÍTICA CONTEÚDOS. Distância entre pontos Equação da reta Distância ponto reta Coeficientes Equação da circunferência.

GEOMETRIA ANALÍTICA CONTEÚDOS. Distância entre pontos Equação da reta Distância ponto reta Coeficientes Equação da circunferência. GEOMETRIA ANALÍTICA CONTEÚDOS Distância entre pontos Equação da reta Distância ponto reta Coeficientes Equação da circunferência. AMPLIANDO SEUS CONHECIMENTOS Neste capítulo, estudaremos a Geometria Analítica.

Leia mais

tg30 = = 2 + x 3 3x = x 3 3 Tem-se que AB C = 90, AD B = 90 e DA B = 60 implicam em DB C = 60. Assim, do triângulo retângulo BCD, vem

tg30 = = 2 + x 3 3x = x 3 3 Tem-se que AB C = 90, AD B = 90 e DA B = 60 implicam em DB C = 60. Assim, do triângulo retângulo BCD, vem Resposta da questão : [C] 5 senα α 0 0 7,05 senβ 0,705 α 45 0 Portanto, AO B 0 + 45 75. Resposta da questão : [B] x x Tem-se que sen0 x 5 m. 0 0 Portanto, a resposta é 0 00% 00%. 5 Resposta da questão

Leia mais

Aula 5 - Soluções dos Exercícios Propostos

Aula 5 - Soluções dos Exercícios Propostos Aula 5 - Soluções dos Exercícios Propostos Trigonometria I Solução. : (a A cada um minuto completado, o ponteiro dos segundos percorre uma volta completa de π radianos. Isso se o ponteiro dos segundos

Leia mais

Acadêmico(a) Turma: Capítulo 5: Trigonometria. Definição: Todo triângulo que tenha um ângulo de 90º (ângulo reto)

Acadêmico(a) Turma: Capítulo 5: Trigonometria. Definição: Todo triângulo que tenha um ângulo de 90º (ângulo reto) 1 Acadêmico(a) Turma: 5.1. Triangulo Retângulo Capítulo 5: Trigonometria Definição: Todo triângulo que tenha um ângulo de 90º (ângulo reto) Figura 1: Ângulos e catetos de um triangulo retângulo. Os catetos

Leia mais

Topografia Exercícios de Trigonometria

Topografia Exercícios de Trigonometria Topografia Exercícios de Trigonometria Agronomia / Arquitetura e Urbanismo / Engenharia Civil Prof. Luiz Miguel de Barros Luizmiguel.barros@yahoo.com.br 1) Some os ângulos. A) 19 23 15 + 72 21 12 (graus

Leia mais

Módulo de Triângulo Retângulo, Lei dos Senos e Cossenos, Poĺıgonos Regulares. Lei dos Cossenos e Lei dos Senos. 9 o ano E.F.

Módulo de Triângulo Retângulo, Lei dos Senos e Cossenos, Poĺıgonos Regulares. Lei dos Cossenos e Lei dos Senos. 9 o ano E.F. Módulo de Triângulo Retângulo, Lei dos Senos e Cossenos, Poĺıgonos Regulares. Lei dos Cossenos e Lei dos Senos. 9 o ano E.F. Triângulo Retângulo, Lei dos Senos e Cossenos, Polígonos Regulares. Leis dos

Leia mais

A lei dos co-senos. Utilizando as razões trigonométricas nos triângulos. b = = 48. b = 4 cos B = 4 8 = 1 2 Þ B = 60º

A lei dos co-senos. Utilizando as razões trigonométricas nos triângulos. b = = 48. b = 4 cos B = 4 8 = 1 2 Þ B = 60º A UA UL LA A lei dos co-senos Introdução Utilizando as razões trigonométricas nos triângulos retângulos, podemos resolver vários problemas envolvendo ângulos e lados. Esse tipo de problema é conhecido

Leia mais

Aula 7 Complementos. Exercício 1: Em um plano, por um ponto, existe e é única a reta perpendicular

Aula 7 Complementos. Exercício 1: Em um plano, por um ponto, existe e é única a reta perpendicular MODULO 1 - AULA 7 Aula 7 Complementos Apresentamos esta aula em forma de Exercícios Resolvidos, mas são resultados importantes que foram omitidos na primeira aula que tratou de Conceitos Básicos. Exercício

Leia mais

Matemática B Intensivo V. 1

Matemática B Intensivo V. 1 Matemática Intensivo V. Eercícios 0) No triângulo abaio: teto adjacente ao ângulo. omo 5 e,8 km, vamos relacionar essas informações através da razão tangente: tg cat. oposto cat. adjacente y om: 5, cateto

Leia mais

unções Trigonométricas? ...

unções Trigonométricas? ... III TRIGONOMETRIA Por que aprender Funçõe unções Trigonométricas?... É importante saber sobre Funções Trigonométricas, pois estes conhecimentos vão além da matemática. Você encontra a utilidade das funções

Leia mais

Soluções Comentadas Matemática Processo Seletivo da Escola de Formação de Oficiais da Marinha Mercante

Soluções Comentadas Matemática Processo Seletivo da Escola de Formação de Oficiais da Marinha Mercante CURSO MENTOR Soluções Comentadas Matemática Processo Seletivo da Escola de Formação de Oficiais da Marinha Mercante Versão.8 05/0/0 Este material contém soluções comentadas das questões de matemática do

Leia mais

b) Todos eles possuem uma característica em comum. Qual é esta característica?

b) Todos eles possuem uma característica em comum. Qual é esta característica? ATIVIDADE INICIAL 1 Título da Atividade: Comparando triângulos a) Quantos triângulos você enxerga na figura? Escreva os seus nomes (por exemplo: ABC) ABC, BEF, BDG b) Todos eles possuem uma característica

Leia mais

SEGUNDO ANO - PARTE UM

SEGUNDO ANO - PARTE UM MATEMÁTICA SEGUNDO ANO - PARTE UM NOME COMPLETO: Nº TURMA: TURNO: ANO: 1 Revisão pitágoras: Teorema de Pitágoras (hipotenusa) 2 = (cateto) 2 + (cateto) 2. (a) 2 = (b) 2 + (c) 2. Exemplos: 1. Encontre o

Leia mais

Formação Continuada Nova EJA. Plano de Ação unidade 19. Plano de Aula: A Trigonometria no triângulo retângulo (NEJA).

Formação Continuada Nova EJA. Plano de Ação unidade 19. Plano de Aula: A Trigonometria no triângulo retângulo (NEJA). Formação Continuada Nova EJA Plano de Ação unidade 19 Regional: Metropolitana VI Tutor: Eli de Abreu Plano de Aula: A Trigonometria no triângulo retângulo (NEJA). Escola Estadual Compositor Luiz Carlos

Leia mais

Colégio XIX de Março Educação do jeito que deve ser

Colégio XIX de Março Educação do jeito que deve ser Colégio XIX de Março Educação do jeito que deve ser 08 ª PROVA PARCIAL DE MATEMÁTIA Aluno(a): Nº Ano: 9º Turma: Data: 8/08/08 Nota: Professor(a): Gustavo e Claudia Valor da Prova: 40 pontos Orientações

Leia mais

Trigonometria no triângulo retângulo

Trigonometria no triângulo retângulo COLÉGIO PEDRO II CAMPUS REALENGO II LISTA DE APROFUNDAMENTO - ENEM MATEMÁTICA PROFESSOR: ANTÔNIO ANDRADE COORDENADOR: DIEGO VIUG Trigonometria no triângulo retângulo Questão 01 A figura a seguir é um prisma

Leia mais

A respeito da soma dos ângulos internos e da soma dos ângulos externos de um quadrilátero, temos os seguintes resultados:

A respeito da soma dos ângulos internos e da soma dos ângulos externos de um quadrilátero, temos os seguintes resultados: Quadriláteros Nesta aula vamos estudar os quadriláteros e os seus elementos: lados, ângulos internos, ângulos externos, diagonais, etc. Além disso, vamos definir e observar algumas propriedades importantes

Leia mais

Roteiro de estudos 3º trimestre. Matemática. Orientação de estudos

Roteiro de estudos 3º trimestre. Matemática. Orientação de estudos Roteiro de estudos 3º trimestre Matemática O roteiro foi montado especialmente para reforçar os conceitos dados em aula. Com os exercícios você deve fixar os seus conhecimentos e encontrar dificuldades

Leia mais

. Calcule a medida do segmento CD. 05. No triângulo retângulo da figura ao lado, BC = 13m

. Calcule a medida do segmento CD. 05. No triângulo retângulo da figura ao lado, BC = 13m 05. No triângulo retângulo da figura ao lado, = 1m, D = 8m e D = 4m. alcule a medida do segmento D. LIST DE EXERÍIOS GEOMETRI PLN PROF. ROGERINHO 1º Ensino Médio Triângulo retângulo, razões trigonométricas,

Leia mais

1. Área do triângulo

1. Área do triângulo UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA Geometria Plana II Prof.:

Leia mais

MATEMÁTICA - 3o ciclo Trigonometria (9 o ano) Propostas de resolução

MATEMÁTICA - 3o ciclo Trigonometria (9 o ano) Propostas de resolução MATEMÁTICA - 3o ciclo Trigonometria (9 o ano) Propostas de resolução Exercícios de provas nacionais e testes intermédios 1. Como o ponto N é o pé da perpendicular traçada do ponto M para a reta OP, então

Leia mais