MATEMÁTICA - 3 o ANO MÓDULO 43 LINHAS PROPORCIONAIS E SEMELHANÇA

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Kléber Borba Ferreira
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1 MATEMÁTICA - 3 o ANO MÓDULO 43 LINHAS PROPORCIONAIS E SEMELHANÇA

2 a b c d r s t

3 b c m m

4 A A c b c b B a C B a C

5 Como pode cair no enem (ENEM) A fotografia abaixo mostra uma turista apa-rentemente beijando a esfinge de Gizé, no Egito. A figura a seu lado mostra como, na verdade, foram posicionadas a câmera fotográfica, a turista e a esfinge. posição da turista posição da Esfinge posição da câmera c d d a Medindo-se com uma régua diretamente na fotografia, verifica-se que a medida do queixo até o alto da cabeça da turista é igual a 2/3 da medida do queixo da Esfinge até o alto da sua cabeça. Considere que essas medidas, na realidade, são representadas por d e d, respectivamente; que a distância da Esfinge à lente da câmera fotográfica, localizada no plano horizontal do queixo da turista e da Esfinge, é representada por b; e que a distância da turista à mesma lente, por a. A razão entre b e a será dada por: b d b 2d a) = d) = a c a 3c b 2d b 2d b) = e) = a 3c a c b 3c c) = a 2c b

6 Fixação 1) Calcule a + b, de acordo com a figura abaixo, sabendo que r//s//t. b a

7 Fixação 2) (ENEM) A sombra de uma pessoa que tem 1,80 m de altura mede 60cm. No mesmo momento, ao seu lado, a sombra projetada de um poste mede 2,00 m. Se, mais tarde, a sombra do poste diminuiu 50 cm, a sombra da pessoa passou a medir: a) 30 cm b) 45 cm c) 50 cm d) 80 cm e) 90 cm

8 Fixação 3) Na figura seguinte, ABCD é retângulo, E é o ponto médio de BC e o triângulo ADE é equilátero. Se BC = 12, calcule o valor de EF. A D F B E C

9 Fixação 4) Uma lente convergente pode ser usada para conjugar uma imagem maior do que um objeto, projetando essa imagem, de maneira invertida, num anteparo. O tamanho da imagem em relação ao tamanho do objeto está na mesma proporção das distâncias anteparo-lente e lente--objeto, como mostra a figura abaixo: objeto C F imagem lente A distância focal de uma lente convergente é a distância do foco F à lente. Assim, para um objeto de 10 cm de altura distante 24 cm da lente, calcule a distância focal da lente, em cm, sabendo que a imagem tem o triplo da altura do objeto.

10 1) (ENEM) A rampa de um hospital tem, na sua parte mais elevada, uma altura de 2,2 metros. Um paciente ao caminhar sobre a rampa percebe que se deslocou 3,2 metros e alcançou uma altura de 0,8 metro. A distância, em metros, que o paciente ainda deve caminhar para atingir o ponto mais alto da rampa é: a) 1,16 b) 3,0 c) 5,4 d) 5,6 e) 7,04

11 2) (CESGRANRIO) No triângulo ABC da figura, CB é bissetriz interna do ângulo C. Se AB = 3cm, DB = 2cm e AC = 4cm, então o lado DC mede: C 5 a) cm 2 b) 3 cm 7 c) cm 2 8 d) cm 4 e) 4 cm A B D

12 3) Três terrenos tem frentes para a rua A e para a rua B conforme a figura. As divisas laterais são perpendiculares à rua A. Qual a medida de frente para a rua B de cada lote, sabendo-se que a frente total para a rua é de 120m. Rua A Rua B

13 4) Considere a figura abaixo e calcule AB, sabendo que BC = 2 cm e CD = 3 cm. D C B A 45º 45º 45º

14 5) (UNIRIO) Numa cidade do interior, à noite, surgiu um objeto voador não identificado, em forma de disco, que estacionou a 50 m do solo, aproximadamente. Um helicóptero do exército, situado a, aproximadamente, 30 m acima do objeto, iluminou-o com um holofote, gerando uma sombra com 16m de diâmetro, conforme mostra a figura acima. Sendo assim, pode-se afirmar que o raio do disco-voador mede, em m, aproximadamente: 30 cm sombra 50 cm a) 3,0 d) 4,5 b) 3,5 e) 5,0 c) 4,0 16 cm

15 6) (CESGRANRIO) O losango ADEF está inscrito no triângulo ABC, como mostra a figura a seguir. Se AB = 12 m, BC = 8 m, AC = 6 m, o lado 1 do losango mede: a) 5m b) 3m l c) 2m D l d) 4m E e) 8m l l A B F C

16 7) O perímetro de um triângulo ABC é 45 cm. Sabendo que AB = 10 cm e AC = 15 cm, calcule os segmentos determinados pela bissetriz interna de Â no lado oposto.

17 8) O templo de Kukulcan, na Península de Iucatan, no México, foi construído pelos maias, no século X. Este templo piramidal é conhecido por muitas pessoas no mundo inteiro devido a sua majestosa sombra, projetada numa de suas faces, em forma de serpente, formada todos os anos nos Equinócios, ou seja, nos dias 21 de março e 21 de setembro. Essa pirâmide foi construída em patamares irregulares e tem seu formato ilustrado na seguinte figura: patamares 1 2 Considere uma pirâmide com o formato da figura acima. Sabendo que os dois primeiros patamares foram construídos por dois blocos cúbicos justapostos cujas arestas mediam 60cm e 90cm, calcule a aresta do terceiro bloco cúbico a ser justaposto.

18 4h 2 + 3h 3 Se AC = 4m e AB = 3m, a razão é igual a: h 1 a) 5 b) 4 c) 3 d) 2 9) (UERJ) Na figura a seguir, estão representados o triângulo retângulo ABC e os retângulos semelhantes I, II e III, de alturas h 1, h 2 e h 3 respectivamente proporcionais às bases BC, AC e AB. h 3 B I III h 1 A II C h 2

19 10) (UFRJ) Um poste tem uma lâmpada colocada a 4 m de altura. Um homem de 2 m de altura caminha, a partir do poste, em linha reta, em direção à porta de um edifício que está a uma distância de 28 m do poste. Calcule o comprimento da sombra do homem que é projetada sobre a porta do edifício, no instante em que ele está a 10,5 m dessa porta.

20 11) (UFF) Considere o triângulo isósceles PQR, da figura ao lado, de lados congruentes PQ e PR, cuja altura rela tiva ao lado QR é h. P M 1 M 2 K Q R Sabendo que M 1 e M 2 são pontos médios dos lados, determine em função de h, a distância de K ao segmento M 1 M 2.

21 12) Provavelmente, um dos primeiros fenômenos ópticos a ser notado foi o de que a sombra de um objeto iluminado por uma fonte de pequenas dimensões conserva a forma do objeto, já que a sombra é limitada pelas retas que, partindo da fonte luminosa, tangenciam os contornos do objeto (FIGURA I). Se a fonte não é suficientemente pequena para ser considerada um ponto, a sombra consiste em duas regiões distintas: a sombra propriamente dita e a penumbra que recebe apenas parte da luz da fonte (FIGURA II). Na figura II, temos uma chama esférica O de diâmetro igual a 4 cm, um objeto circular P de diâmetro igual a 6 cm e um anteparo S que é paralelo ao plano que contém o objeto e dista 20 cm deste. Figura 1 Figura 2 Considerando que a penumbra tenha o formato de uma coroa circular e que o objeto p está a meio caminho entre a chama e o anteparo, calcule, em cm 2, a área da penumbra.

13) A Divina Proporção também conhecida como Proporção Áurea foi usada por Leonardo da Vinci para pintar a Mona Lisa, uma de suas mais notáveis obras.

22 13) A Divina Proporção também conhecida como Proporção Áurea foi usada por Leonardo da Vinci para pintar a Mona Lisa, uma de suas mais notáveis obras. Em vários pontos do quadro aparece o retângulo áureo, como ilustrado na figura 1. figura 1 figura 2 F E D G H N M L O K P Mona Lisa e proporções áureas A Retângulos Áureos B Na figura 2, os quadriláteros ABDF, CDFH, EFHJ, GHJL, IJLN, KLNO são retângulos áureos semelhantes e os quadriláteros ABCH, CDEJ, EFGL, GHIN, IJKO e KLMP são quadrados. Sabendo-se que a razão entre o maior lado e o menor lado do retângulo áureo é igual ao número de ouro φ, pode-se afirmar que a razão entre a área do quadrado KLMP e a área do quadrado ABCH é igual a: a) c) e) b) d)

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