Para que possamos discutir o comprimento de circunferência e o cálculo da área de círculo, vamos conhecer os elementos de uma circunferência.

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Artur Gil Fontes
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1 Olá Marluce, Para que possamos discutir o comprimento de circunferência e o cálculo da área de círculo, vamos conhecer os elementos de uma circunferência. Em uma circunferência temos: O raio O diâmetro A corda Raio O segmento que tem uma extremidade no centro da circunferência e a outra em um ponto qualquer da circunferência, recebe o nome de raio. São exemplos de raio os segmentos AB, AC, AD e AE. Corda O segmento que tem como extremidades dois pontos da circunferência, é identificado como corda. Na circunferência apresentada, temos como exemplo de corda o segmento BC. 1

Diâmetro A corda que passa pelo centro da circunferência é identificada como diâmetro. Na circunferência apresentada, temos como exemplo de diâmetro o segmento BD.

2 Diâmetro A corda que passa pelo centro da circunferência é identificada como diâmetro. Na circunferência apresentada, temos como exemplo de diâmetro o segmento BD. A medida do diâmetro é o dobro da medida do raio. O diâmetro divide o círculo em duas regiões congruentes que recebem o nome de semicírculo. semicírculo semicírculo O comprimento da circunferência Para falar do comprimento de uma circunferência, primeiro vamos discutir a seguinte experiência: Se você pegar qualquer objeto de formato circular, medir o tamanho do seu diâmetro e com o auxílio de um barbante medir o comprimento da circunferência, você encontrará duas medidas distintas. Ao dividir a medida referente ao comprimento da circunferência pela medida do diâmetro, obterá um valor que se aproxima de 3,

3 Vamos trabalhar com um exemplo considerando as seguintes medidas: Medida do comprimento da circunferência Medida do diâmetro Razão entre comprimento e diâmetro 14 cm 4,47 cm 14 3, ,47 Fazendo essa medição com diversos objetos de formato circular, a razão entre comprimento e diâmetro resultará em um valor muito próximo do valor encontrado na situação apresentada. Esse número é identificado como (pi). Assim, tem-se, para qualquer circunferência a relação: Compriment o da circunferê ncia diâmetro π A partir dessa relação, pode-se dizer que: C d ou ainda C 2.r Onde C é o comprimento da circunferência, d é o diâmetro e r é o raio. O número é um número irracional, e, na realização de cálculos em que ele está envolvido, utiliza-se como valor aproximado o número 3,14. Como exemplo, vamos utilizar a expressão uma circunferência de raio igual a 2,5 cm. C 2.r para calcular o comprimento de Raio = 2,5 cm = 3,14 C 2.r C 2.2,5.3,14 C = 5.3,14 C = 15,7 Sendo o raio da circunferência igual a 2,5 cm, seu comprimento será 15,7 cm. Área do círculo Á área de um círculo de raio r é obtida por meio da expressão A = r² A área de um círculo é diretamente proporcional a medida de seu raio. Sendo assim, quanto maior o raio, maior a área do círculo. 3

Considerando a medida do raio da circunferência discutida no exercício 2, determine a área de um círculo que apresenta a mesma medida. (Considere: = 3,14) 3.

4 Acompanhe o cálculo da área de um círculo de raio CF igual a 5 cm. Área = r² Sendo r = 5 e = 3,14, tem-se: Área = 3,14.5² 5 cm Área = 3,14.25 Área = 78,5 cm² ATIVIDADES 1. Se uma circunferência tem diâmetro igual a 2 cm, qual é o seu comprimento? (Considere: = 3,14) 2. Considerando a medida do raio da circunferência discutida no exercício 2, determine a área de um círculo que apresenta a mesma medida. (Considere: = 3,14) 3. Em uma prova de atletismo, de 420 m, quando o primeiro colocado finalizou a prova, ainda restava 1 volta para que o quarto colocado pudesse completar os 420 metros. Se a pista, em que os atletas realizaram a prova, apresentava formato circular de raio igual a 10 m, quando o primeiro colocado finalizou a prova, quantos metros, aproximadamente, havia corrido o quarto colocado? Figura 3 Pista de corrida Fonte: Wikimedia Commons Obs.: Para esse exercício em específico, utilize para medida de, o número inteiro 3. 4

5 4. (ENEM 2015) Uma empresa de telefonia celular possui duas antenas que serão substituídas por uma nova, mais potente. As áreas de cobertura das antenas que serão substituídas são círculos de raio 2 km, cujas circunferências se tangenciam no ponto O, como mostra a figura. O ponto O indica a posição da nova antena, e sua região de cobertura será um círculo cuja circunferência tangenciará externamente as circunferências das áreas de cobertura menores. Com a instalação da nova antena, a medida da área de cobertura, em quilômetros quadrados, foi ampliada em a) 8. b) 12. c) 16. d) 32. e) 64. 5

6 INDICAÇÕES Consulte os links indicado a seguir e estude um pouco mais sobre as circunferências e círculos. 29umTApxi0Q%3D%3D GABARITO 1. Se a circunferência tem diâmetro igual a 2 cm, seu raio mede 1 cm. Para calcular seu comprimento utilizaremos a expressão C = 2.r.. Logo, tem-se: C = 2.1.3,14 C = 6,28 cm Essa circunferência tem comprimento igual a 6,28 cm. 2. Considerando o raio igual a 1 cm, a área desse círculo é calculada por meio da seguinte expressão: A = r² A = 3,14.1² A = 3,14 cm² A área desse círculo é igual a 3,14 cm². 3. Se a pista tinha raio igual a 10 m, seu comprimento é igual a 60 m, considerando a medida de igual a 3. C = 2.. r C = C = C = 60 m. 6

7 Se cada atleta tinha que correr 420 m, para completar a prova, cada um deveria dar 7 voltas nessa pista. 420: 60 = 7 Ou seja, em cada volta ele percorria 60 m, comprimento da pista circular. Segundo os dados apresentados, quando o primeiro colocado completou a prova, ainda restava para o quarto colocado uma volta, isto é, ele ainda deveria percorrer 60 m e já tinha percorrido 360 m. 420 m 60 m = 360 m 4.Alternativa A. Se a área de cobertura das antenas que serão substituídas são círculos de raio igual a 2 km. Para saber em quantos quilômetros foi ampliada a área de cobertura com a instalação na nova antena, primeiramente vamos calcular a área de cobertura das antenas que serão trocadas. A = r² A =.2² A = 4 Cada uma das antenas que serão trocadas cobrem uma área de 4. Totalizando, entre as duas, uma área de cobertura de 8. Se a nova antena ficará no ponto O e, sua área de cobertura tangenciará externamente as circunferências que representam as áreas de coberturas menores, podemos dizer que o raio dessa nova área de cobertura será igual a 4 km, medida do diâmetro da área de cobertura de cada uma das circunferências menores. 7

8 4 km Dado o raio dessa nova área de cobertura, temos: A = r² A =.4² A = 16 Se antes da troca a área de cobertura era de 8 e agora passou a ser de 16, houve uma ampliação de 8. Bons estudos. Um forte abraço! Professora Lucilene. 8

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