Geometria e seus Artefatos

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Aparecida Carvalho Castilhos
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1 Geometria e seus Artefatos Prof. Mário Selhorst Construção dos conceitos básicos de Geometria Analítica 1 SUMÁRIO (Use os links para acessar diretamente aos exemplos e o ícone 1. Perpendicular por um ponto 2. Mediatriz de um ângulo 3. Paralela por um ponto 4. Bissetriz de um ângulo 5. Construção de ângulos 6. Divisão de segmentos de retas em partes iguais 7. Divisão de circunferência em partes iguais 8. Concordância 9. Atividades de autoavaliação para voltar ao sumário) 1 As atividades aqui apresentadas são também propostas no material didático impresso da disciplina/unidade de Aprendizagem que envolve os conteúdos de Geometria Analítica (SELHORST, M.; HOBOLD, C. H. Geometria Analítica. 4.ed. Palhoça: UnisulVirtual, 2011). 1

2 1. Perpendicular por um ponto Exemplo 1 - Por um ponto, construir uma reta perpendicular à reta dada. 1º caso: o ponto P pertence à reta r Solução: Construção no Geogebra 1- Marcar uma reta que passa pelos pontos A e B. 2 Renomear o ponto A como P. Para isso clique sobre o ponto A com o botão direito do mouse e selecione Renomear. 3 Para marcar a reta perpendicular selecione no menu Reta Pependicular, clique sobre o ponto P e depois sobre a reta PB. 2

3 Está pronto, se movermos os pontos P ou B, a perpendicularidade permanece. 2º caso: o ponto P não pertence à reta r. Solução: Construção no Geogebra 1 - Construir uma reta qualquer. Selecionar Novo Ponto e marcar um novo ponto não pertencente a reta. 3

4 2 Renomear o ponto C para P. 3 Selecionar Reta Perpendicular clicar no ponto P e em seguida na reta AB. Pronto, se movermos os pontos A ou B, a perpendicularidade permanece. 4

5 2. Mediatriz de um segmento Exemplo 2 - Construir a mediatriz do segmento AB. Solução: Construção no Geogebra. 1 Marcar na tela do geogebra o segmento de reta AB: Selecione Segmento de reta definido por dois pontos e clique em dois lugares do plano. 2 Selecionar ferramenta Mediatriz e clicar sobre o segmento AB. 5

6 ATIVIDADE EXTRA 1 - Com o conceito de mediatriz podemos determinar o circuncentro de um triângulo. O circuncentro é o centro da circunferência que circunscreve o triângulo, ou seja, é um ponto equidistante dos vértices. Solução: Construção no Geogebra 1 Desenhe um triângulo qualquer. 2 Marque a mediatriz de cada um dos lados do triângulo. 6

7 3 - Marque o ponto de encontro das mediatrizes usando Intersecção de dois Objetos. Para marcar o ponto de intersecção clique em duas das retas mediatrizes. Renomeie o ponto para M. 4 Marque a circunferência com centro em M passando por um dos vértices do triângulo. 7

Pronto, com o ponteiro, mover os diferentes vértices e verificar se a característica se mantém. ATIVIDADE EXTRA 2 Ponto de Encontro do Grupo de Estudos.

8 Pronto, com o ponteiro, mover os diferentes vértices e verificar se a característica se mantém. ATIVIDADE EXTRA 2 Ponto de Encontro do Grupo de Estudos. Três colegas, Pedro, Luiz e Jonas, moradores de Florianópolis, estudantes de Geometria, marcaram uma reunião de estudos para discutir aspectos duvidosos do conteúdo e estudar para a avaliação prevista. Para realizar a reunião, ficou estabelecido que fosse num local onde as distâncias percorridas no deslocamento fossem aproximadamente equivalentes para cada um deles. Pedro é morador da Rua A, Luiz da Rua B e Jonas mora na Rua C. Qual o ponto de encontro mais adequado para a reunião observando somente o critério do deslocamento? Solução: 1 Identificar no mapa o local das residências (GoogleMaps na internet). 8

9 2 - Copiar a imagem e salvar como figura no computador. 3 No Geogebra, inserir figura selecionando a ferramenta Incluir Imagem. 9

10 4- Para inserir a figura clique no ponto do plano onde deve ficar o canto esquerdo inferior da imagem, busque no computador a imagem salva e confirme. 10

11 5 Depois de definida a posição correta, para fixar a imagem com pano de fundo, clique com o botão direito do mouse sobre a figura e selecione Propriedades. 11

12 6 Selecione Pano de Fundo, depois é possível marcar elementos geométricos sobre a Figura sem o risco de movê-la. 7- Voltemos ao nosso problema: marcar o local da casa dos três colegas: Rua A, Rua B e Rua C. 12

8 Marcados os locais de moradia, temos o problema transformado na determinação do circuncentro dos 3 pontos marcados. Para isso marcamos a mediatriz de pelo menos dois pares de pontos.

13 8 Marcados os locais de moradia, temos o problema transformado na determinação do circuncentro dos 3 pontos marcados. Para isso marcamos a mediatriz de pelo menos dois pares de pontos. O ponto de encontro das mediatrizes constitui-se no circuncentro e o local da reunião de estudo dos colegas. Para marcar uma mediatriz de dois pontos, selecione a ferramenta Mediatriz e clique no para de pontos desejado. 13

10 - Para conferir podemos marcar a circunferência.

14 9 Após marcar duas das mediatrizes, marcamos o ponto Intersecção de dois objetos destas linhas Para conferir podemos marcar a circunferência. Assim o ponto da Reunião de Estudos dos três colegas é no ponto D, situado no Mapa na Rua Vidal Ramos. 14

15 Note que o procedimento corresponde a determinação do circuncentro do triângulo de vértices A, B e C. 15

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17 3. Paralela por um ponto Exemplo 3 Construir, por um ponto P, uma reta paralela a uma reta dada. Solução: Construção no Geogebra 1- Marcar uma reta que passa pelos pontos A e B, renomear chamando de r. 2- Marcar um ponto fora da reta e renomear, chamando de P. 3- Selecionar a ferramenta Reta Paralela, clicar no ponto P e depois na reta r. 17

4. Bissetriz de um ângulo Exemplo 4 - Construir a bissetriz do ângulo de vértice P dado. Solução: Construção no Geogebra 1- Marcar um ponto, renomear com nome P.

18 4. Bissetriz de um ângulo Exemplo 4 - Construir a bissetriz do ângulo de vértice P dado. Solução: Construção no Geogebra 1- Marcar um ponto, renomear com nome P. 2- Marcar um ângulo com duas semi-retas PA e PB, com origem no ponto P. 3- Selecionar a ferramenta Bissetriz e clicar seguidamente nos pontos do ângulo, no sentido anti-horário: na figura abaixo, clicar primeiro em B, depois P e A. 4- Se houver interesse em conferir a validade da construção, marque um ponto C sobre a bissetriz e usando a ferramenta ângulo podem-se medir os ângulos comparando-os. Movendo os pontos A ou B pode-se perceber a consistência da construção. 18

19 19

2- Selecione a ferramenta Ângulo com amplitude fixa clique no ponto do lado B, depois

20 5. Construção de ângulos Exemplo 5 - Construir ângulos de medida fixa Solução: Construção no Geogebra. 1- Construir uma semireta OB, de origem em O e passando por B. 2- Selecione a ferramenta Ângulo com amplitude fixa clique no ponto do lado B, depois no vértice O e então indique a medida desejada. 3 - Na figura que segue indicamos 43º. 20

21 4 Depois marcar ao semirreta OB. 21

22 6. Divisão de segmentos de reta em partes iguais Exemplo 6 - Dividir o segmento AB em 5 partes iguais. Solução: Construção no Geogebra. 1- Marcar um segmento AB e duas retas auxiliares, paralelas entre si, pelos pontos A e B. 2- Com a ferramenta Segmento com Comprimento Fixo indicar uma medida qualquer para construir as divisões sobre as retas auxiliares. 3- Com a ferramenta Compasso marcar a circunferência com raio igual ao segmento indicado. 22

23 4 - Com a mesma ferramenta Compasso marcar circunferências definindo 5 divisões em cada uma das retas paralelas, em direção oposta. 5 Ligar os pontos em pares com segmentos, marcando as divisões no segmento AB. 23

24 6 - Pode-se ainda limpar a figura, deixando somente os pontos de divisão. 24

25 7. Divisão de circunferência em partes iguais Exemplo 7 - Dividir a circunferência de centro O em 5 partes iguais. Solução: Construção no Geogebra 1- Construir uma circunferência com centro O usando a ferramenta Circulo definido pelo centro e um dos seus pontos. 2- Determine a medida do ângulo central de cada divisão. Pode-se usar a Planilha do Geogebra. Para 5 partes a divisão é: 360/5=72º. 25

26 3 Utilizando a ferramenta Ângulo com amplitude fixa dividimos em ângulos de 72º no sentido anti-horário. 26

27 4 - Completando a circunferência teremos o que mostra a figura que segue. 5 Limpando a figura. 27

28 8. Concordância Exemplo 1 - Concordar o segmento AB, pela extremidade B, com um arco que deve passar pelo ponto C. Solução: Construção no Geogebra. 1- Construir o segmento AB e marcar o ponto C. 2 Marcar uma reta perpendicular ao segmento AB no ponto B. 3 Marcar a Mediatriz dos pontos B e C. 4 Marcar o ponto D na interseção da perpendicular e da mediatriz; o ponto D é o centro do arco que concorda com o segmento AB, passando pelo ponto C. 28

29 5 Finalizando e limpando a figura. 29

30 Exemplo 2 - Concordar um arco dado AB de centro O, no ponto B, com um outro arco que deve passar por um ponto C dado. Solução: Construção no Geogebra. 1- Construir o arco AB e marcar o ponto C. 2 Como os centros e o ponto de concordância devem ser alinhados, marca-se a reta OB e a mediatriz de BC. O ponto D na intersecção das retas é o centro do arco BC que concorda com AB no ponto B. 30

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32 Atividade de Auto Avaliação Redesenhar a piscina conforme o modelo. Determinar e nomear os centros dos arcos e os pontos de concordância. Solução com o uso do Geogebra. 32

33 2 Limpando a figura. 33

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