Alguns Lugares Geométricos

Transcrição

1 QUINT LIST DE EXERCÍCIOS Fundamentos da Matemática II MTEMÁTIC DCET UESC Humberto José ortolossi lguns Lugares Geométricos (Entregar todos os exercícios até o dia 18/05/2004) 1 Exercícios de revisão Um lugar geométrico é um conjunto de pontos que satisfazem a uma ou mais condições. [01] Qual é o lugar geométrico dos pontos P do plano tais que a distância de P até umpontoo (fixo) seja sempre igual a uma constante r? [02] Dados dois pontos e, qualé o lugar geométrico dos pontos P do plano tais que a distância de P até seja igual a distância de P até? nalise os casos em que e sejam coincidentes ou não. [03] Dadas duas retas r e s paralelas, qual é o lugar geométrico dos pontos P do plano tais que a distância de P até r seja igual a distância de P até s? nalise os casos em que r e s são coincidentes ou não. [04] Dadas duas retas r e s concorrentes, qual é o lugar geométrico dos pontos P do planos tais que a distância de P até r seja igual a distância de P até s? [05] Dados três pontos, e C, qualé o lugar geométrico dos pontos P do plano que mantêm a mesma distância até, e C? nalise os vários casos:, e C não-colineares, colineares e coincidentes. [06] Dadas três retas r, s e t, qualé o lugar geométrico dos pontos P do plano que mantém a mesma distância até r, s e t? nalise os vários casos que advêm das várias posições relativas das três retas. 1

2 2 O arco capaz Dados dois pontos e distintos, queremos encontrar o lugar geométrico dos pontos P do plano com a propriedade de que a medida do ângulo P seja igual a uma constante pré-estabelecida. Veremos que este lugar geométrico éumarcodecircunferência que passa por e, denominado arco capaz do segmento (figura (1)). Q µ P µ O 2µ Figura 1: Para todo ponto P no arco capaz do segmento, vale que m( P ) =θ = m( O)/2. Para construir o arco capaz de um segmento, trace a sua mediatriz e o ângulo C = θ dado (figura (2)). perpendicular a X traçada por encontra a mediatriz de em O, centro do arco capaz. O arco de centro O e extremidades e situado no semi-plano (determinado por ) oposto a X é o arco capaz de ângulo θ sobre. [07] Mostre que, seguindo as instruções de construção do arco capaz dadas acima (veja a figura (2)), o ângulo central O tem medida 2 θ. Resta mostrar que, de fato, dado um ponto P qualquer no arco de centro O e extremidades e situado no semi-plano (determinado por ) oposto a X, tem-se sempre m( P ) = θ = m( O)/2. Isto será feito considerando-se três casos: quando P é um diâmetro do arco capaz, quando o centro O do arco capaz está nointeriordoângulo P e quando o centro O do arco capaz está no exterior do ângulo P. 2

3 O µ X µ Figura 2: Construção do arco capaz do segmento usando régua e compasso. [08] Na figura (3), P éumdiâmetro do arco capaz do segmento. Mostre que m( P ) = m( O)/2. [09] Na figura (4), o centro O do arco capaz do segmento está nointerior do ângulo P. Mostre que m( P ) =m( O)/2. Dica: use o exercício anterior. [10] Na figura (5), o centro O do arco capaz do segmento está no exterior do ângulo P. Mostre que m( P ) =m( O)/2. Dica: use o exercício anterior. Como corolário importante, temos o seguinte resultado: se éum diâmetro de uma circunferência, então m( P ) = 90 para qualquer ponto P desta circunferência.. 3

4 P O Figura 3: P éumdiâmetro do arco capaz do segmento. P O D Figura 4: O centro O do arco capaz do segmento está nointeriordo ângulo P. 4

5 O P D Figura 5: O centro O do arco capaz do segmento está noexteriordo ângulo P. Q P O Figura 6: Se éumdiâmetro de uma circunferência, então m( P ) = 90 para qualquer ponto P desta circunferência. 5

6 3 Construção de alguns ângulos notáveis com régua e compasso [11] Como construir um ângulo de 90 usando régua e compasso? Justifique a sua resposta. [12] Como construir um ângulo de 45 usando régua e compasso? Justifique a sua resposta. [13] Como construir um ângulo de 60 usando régua e compasso? Justifique a sua resposta. [14] Como construir um ângulo de 30 usando régua e compasso? Justifique a sua resposta. 4 Construção de triângulos com régua e compasso [15] Como construir um triângulo C tal que m() = 4 cm, m(c) = 3cmem(C) = 2 cm? Justifique a sua resposta. [16] É construir um triângulo C tal que m() =5cm,m(C) = 3cmem(C) = 1 cm? Justifique a sua resposta. [17] ( desigualdade triangular) Que condição devemos impor sobre os números a, b e c afimdequesejapossível construir um triângulo C tal que m() =a cm, m(c) =b cm e m(c) =c cm? [18] Como construir um triângulo C com as seguintes especificações: m() =5cm,m( C) =45,em(C) = 4 cm? Justifique a sua resposta. [19] Como construir um triângulo C com as seguintes especificações: m( C) =45, m() =4cm,em( C) =30? Justifique a sua resposta. [20] Como construir um triângulo C com as seguintes especificações: m() = 4 cm, m( C)=60 e m( C) =45? Justifique a sua resposta. [21] Como construir um triângulo C com as seguintes especificações: m() = 4 cm, m(c) =5cmem( C) =45? Quantos triângulos você encontrou com estas especificações? 6

7 5 Exercícios extras [22] Mostre que as três mediatrizes de um triângulo sempre se cruzam em um mesmo ponto. [23] Mostre que as bissetrizes de um triângulo sempre se cruzam em um mesmo ponto. [24] Considere o mapa da figura (7). Deseja-se construir uma torre de transmissão T que tenha a mesma distância até as seguintes três cidades: Itabuna, Ilhéus e Itajuípe. Indique, no mapa, onde construir tal torre de transmissão. Figura 7: Uma porção de um mapa do estado da ahia. 7

8 Texto composto em L TEX2e, HJ, 11/05/