MATEMÁTICA DCET UESC Humberto José Bortolossi Vamos demonstrar que o conjunto de pontos que satisfazem a equação.

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1 R PZ VI NÚMERS MPLEXS Funções nalíticas I MTEMÁTI DET UES Humberto José ortolossi 1 Introdução Vamos demonstrar que o conjunto de pontos que satisfazem a equação ( ) z a arg = θ, z b onde a e b são números complexos e θ éumângulo (todos fixos), éoarco capazdeângulo θ sobre o segmento de reta com extremidades a e b, istoé, o lugar geométrico dos pontos z tal que o ângulo azb é constante e igual a θ (figura (1)). z a Figura 1: arco capaz de ângulo θ sobre o segmento de reta com extremidades a e b. b 2 Geometria euclidiana texto que se segue foi extraído do livro Geometria Euclidiana Plana de João Lucas Marques arbosa, publicado na oleção do Professor de Matemática da Sociedade rasileira de Matemática. 1

2 Um ângulo se denomina inscrito em uma circunferência se seu vértice é um ponto da circunferência e seus lados cortam a circunferência em pontos e distintos do ponto. s pontos e determinam dois arcos. arco que não contiver o ponto é chamado de arco correspondente ao ângulo inscrito dado. Diremos também que o ângulo subtende o arco (figura (2)). Figura 2: Um ângulo inscrito em uma circunferência. Teorema 1 Todo ângulo inscrito em uma circunferência tem a metade da medida do arco correspondente. Demonstração: onsideremos primeiro o caso em que um dos lados do ângulo inscrito éum diâmetro. Seja ovértice do ângulo inscrito e e os pontos em que seus lados cortam a circunferência. Neste caso, a medida do arco correspondente ao ângulo inscrito é a medida do ângulo Ô. omo =, então o triângulo éisósceles e, portanto, Â =. Mas, então, Ô = Â + =2 Â. Portanto, neste caso particular, o teorema é verdadeiro. Suponhamos agora que nenhum dos lados do ângulo inscrito éumdiâmetro. Tracemos entãoodiâmetro que passa pelo vértice do ângulo inscrito. Seja D a outra extremidade deste diâmetro. Pelo primeiro caso, concluiremos que ÔD =2 ÂD eque DÔ =2 DÂ. 2

3 D Figura 3: s três casos do teorema 1. D Neste ponto, temos de distinguir dois casos: (a) o diâmetro D divide oângulo  e(b)odiâmetro D não divide o ângulo  (veja a figura (3)). No caso (a), temos que ÂD + D = Â. demonstração éentão completada somando-se as igualdades já encontradas: ÔD + DÔ =2( ÂD + DÂ) =2 Â. bserve que ÔD+ DÔ é exatamente a medida do arco correspondente ao ângulo Â. No caso (b), podem ainda advir duas situações distintas: (i) divide o ângulo ÂD e (ii) divide o ângulo ÂD. Faremos o caso (i). Neste caso,  = ÂD ÂD. Então, utilizando as duas igualdade obtidas inicialmente, tem-se ÔD ÔD =2( ÂD ÂD) =2 Â. gora, observe que ÔD ÔD é exatamente a medida do arco correspondente ao ângulo Â. orolário 1 Todos os ângulos inscritos que subtendem um mesmo arco têm a mesma medida. Em particular, todos os ângulos que subtendem uma semicircunferência são retos. Sendo assim, dados dois pontos e sobre uma circunferência, para todo ponto sobre um dos arcos, o ângulo  = θ é constante. Este arco chama-se arco capaz do ângulo θ sobre o segmento. Um observador, portanto, que se mova sobre este arco, consegue ver o segmento sempre sob o mesmo ângulo. Naturalmente que se um ponto P pertence ao outro arco, o ângulo P étambém constante e igual a 180 θ. 3

4 3 Régua e compasso texto que se segue foi extraído do livro onstruções Geométricas de Eduardo Wagner, publicado na oleção do Professor de Matemática da Sociedade rasileira de Matemática. M X Figura 4: construção do arco capaz com régua e compasso. Para construir o arco capaz procedemos da seguinte forma. Dado o segmento (figura (4)), traçamos a sua mediatriz e o ângulo X = θ (dado). perpendicular a X traçada por encontra a mediatriz de em, centro do arco capaz. arco de centro e extremidades e situado no semi-plano oposto a X (semi-planos relativos a ) é o arco capaz do ângulo θ sobre. Para justificar a construção, observe que se M éo ponto médio de ese X = θ, então teremos M =90 θ, ÔM = θ e Ô =2θ. Portanto, como a medida do ângulo inscrito éa metade da medida do ângulo central correspondente, teremos para qualquer pontodoarcoconstruído, P = θ. 4

5 4 Usando números complexos Para demonstrar que o conjunto de pontos que satisfazem a equação ( ) z a arg = θ z b éoarcocapazdeângulo θ sobre o segmento de reta com extremidades a e b, basta observar que ( ) z1 θ =arg éoângulo entre z 1 e z 2 e considerar a figura (5). z 2 Im a z {a z {b z z {b z {a b 0 Re Figura 5: conjunto de pontos que satisfazem arg((z a)/(z b)) = θ éo arco capaz de ângulo θ sobre o segmento de reta com extremidades a e b. Texto composto em L TEX2e, HJ, 30/04/