Resolução Analógica de Problemas Geométricos

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1 Resolução Analógica de Problemas Geométricos Lúcio Souza Fassarella Abril/2018 Diversos problemas reais podem ser resolvidos pela construção de modelos físicos, modelos matemáticos ou simulações computacionais. Aqui, consideramos que um modelo é caracterizado por reproduzir determinados aspectos de um objeto ou fenômeno específico, de modo a permitir analisar suas propriedades e resolver problemas relacionados. Geralmente, um modelo se comporta de modo análogo ao objeto real que modela, no que tange aos aspectos relevantes. A razão dos modelos serem úteis está em que eles são mais fáceis de produzir, manipular ou estudar do que sua contrapartida real. Para um exemplo simples, lembramos que modelos físicos em escala reduzida ou simulações computacionais são usados para investigar as propriedades aerodinâmicas de componentes de automóveis e aviões, o que diminui o tempo e o custo do desenvolvimento de inovações. Naturalmente, a modelagem pode constituir uma estratégia para resolução de problemas propriamente matemáticos o que podemos chamar de estratégia analógica ou resolução analógica de problemas. Naturalmente, essa estratégia possui suas limitações, bem como vantagens e desvantagens em relação a outras alternativas para resolução de problemas. Uma das suas limitações está em fornecer apenas soluções aproximadas em diversas situações; entretanto, isso pode muito bem ser compensada quando o emprego da estratégia for suficientemente simples. Essa estratégia pode se tornar ainda mais interessante e fácil de implementar quando combinada aos recursos computacionais. Aqui, proponho empregar ambientes de geometria dinâmica para resolução analógica de problemas geométricos. Vale lembrar que ambientes de geometria dinâmica são softwares para construções geométricas que permitem alguma manipulação das figuras com atualização em tempo real de elementos secundários. Exemplos bastante conhecidos desses ambientes são o Geogebra, o Cabri- Géomètre e o Cinderella. Geralmente, os ambientes de geometria dinâmica possuem diversos recursos que incluem desenhar com régua e compasso; desenhar gráficos; manipular figuras; medir ângulos, comprimentos, áreas e volumes; realizar cálculos numéricos e também algum cálculo simbólico. Tais recursos viabilizam diversas abordagens didáticas para o ensino de geometria, incluindo investigação de objetos geométricos de modo experimental.

2 No âmbito do ensino da matemática, a estratégia analógica pode servir tanto para os estudantes resolverem problemas que, de outro modo, estariam fora do seu alcance, quanto para os professores contextualizarem tópicos específicos em situações mais desafiadoras ou realísticas. Acredito que os três exemplos seguintes são suficientes para ilustrar os tipos de problemas que podem ser atacados pela estratégia da resolução analógica. Todos eles podem ser resolvidos analogicamente com uso de régua graduada, transferidor e compasso comuns; mas o terceiro tornase quase impraticável fora de um ambiente de geometria dinâmica. As construções abaixo foram realizadas no Geogebra 4. Problema 1: Para medir a altura de um pinheiro alto, um engenheiro florestal posicionou seu teodolito num ponto P e mediu o ângulo de visada do topo da árvore em relação à horizontal, obtendo Depois, afastou-se do ponto P a distância de 5m na direção oposta ao pinheiro e mediu novamente o ângulo de visada do topo em relação à horizontal, obtendo agora o ângulo Com esses dados, o engenheiro calculou a altura do pinheiro. Sabendo que o teodolito foi posicionado na altura de 1.6m, qual é a altura do pinheiro? A resolução analítica deste problema requer o conhecimento da função tangente, bem como a obtenção e resolução de um sistema de equações. Entretanto, ele pode ser resolvido analogicamente de modo bastante natural Resolução analógica do Problema 1 1. Desenhe uma reta r para definir a linha horizontal; 2. Marque na reta r o ponto P; 3. Desenhe uma circunferência C com centro em P e raio 5; 4. Sejam A e B os pontos de interseção de r e C, com A à esquerda de P e B à direita de P; 5. Com a ferramenta para construir ângulo com amplitude dada, construa o ângulo 31.2 marcando um ponto A no plano, medindo-o no sentido anti-horário em relação a r a partir do lado direito de A; 6. Com a ferramenta para construir semirretas, desenhe a semirreta sa que possui vértice em A e passa por A ;

3 7. Com a ferramenta para construir ângulo com amplitude dada, construa o ângulo 35.7 marcando um ponto B no plano, medindo-o no sentido anti-horário em relação a r a partir do lado direito de P; 8. Com a ferramenta para construir semirretas, desenhe a semirreta sb que possui vértice em P e passa por B ; 9. Denomine por E a interseção das semirretas sa e sb; 10. Com a ferramenta para construir reta perpendicular, desenhe a reta perpendicular à reta r passando por E e a denomine t; 11. Denomine por F a interseção das retas r e t; 12. Com a ferramenta para medir distância, determine a distância d entre E e F; 13. A resposta do problema deve ser D = d (metros). A Figura 1 ilustra a situação final da construção, incluindo o valor de d (=EF): Figura 1: Modelo analógico da situação descrita no Problema 1, construído no Geogebra 4.

4 Problema 2: No plano, considere duas circunferências com raios 3cm e 2cm que se tangenciam. Determine o ângulo entre as retas que tangenciam ambas circunferências. O problema 2 pode ser resolvido pela aplicação de resultados de geometria plana e trigonometria, mas considero esta resolução analógica mais simples: Resolução analógica do Problema 2 1. Marque no plano um ponto A; 2. Desenhe a circunferência C com centro em A e raio 5; 3. Marque um ponto B na circunferência C; 4. Desenhe a circunferência Ca com centro em A e raio 3; 5. Desenhe a circunferência Cb com centro em B e raio 2; 6. Desenhe a reta r que passa pelos pontos A e B; 7. Marque na reta r um ponto P; 8. Com a ferramenta para construir tangentes, desenhe as tangentes à circunferência Ca que passam pelo ponto P, e as denomine f e g; 9. Agora, mova o ponto P ao longo da reta r visando fazer com que as retas f e g tangencie (aproximadamente) a circunferência Cb; 10. Após conseguir que as retas f e g tangenciem (aproximadamente) a circunferência Cb, meça o ângulo agudo α entre essas retas o resultado constitui a resposta (aproximada) do problema. A Figura 2 ilustra a situação final da construção, incluindo o valor de α: Figura 2: Modelo analógico da situação descrita no Problema 2, construído no Geogebra 4.

5 Problema 3: Os pontos A, B e C do plano distam entre si 2cm, 3cm e 4cm. Seja Δ o triângulo cujos lados têm pontos médios em A, B e C. Determine os lados de Δ. O problema pode ser resolvido no âmbito da geometria euclideana, mas possui um razoável grau de dificuldade para quem não conhece os teoremas certos (mencionados abaixo). O problema também pode ser resolvido no âmbito da geometria analítica, mas sua resolução por essa via é um tanto complicada (o leitor pode tentar). Acho natural e simples resolver o problema pela estratégia analógica. Resolução analógica do Problema 3 1. Construção dos pontos A, B e C distando entre si 2, 3 e 5. i. Marque um ponto A no plano e desenhe uma circunferência Sa com centro em A e raio 2; ii. Marque um ponto B na circunferência Sa e desenhe uma circunferência Sb com centro em B e raio 3; iii. Desenhe uma circunferência Sc com centro em A e raio 4; iv. As circunferências Sa e Sc possuem dois pontos de interseção; escolha um deles e o denomine C; 2. Crie um ponto P no plano, fora do triângulo ABC; 3. Desenho do segmento PQ, cujo ponto médio é A: i. Desenhe a circunferência C AP com centro em A e que passa por P; ii. Desenhe a reta r AB que passa por A e P; iii. Seja Q o ponto de interseção da circunferência C AB e a reta r AB, distinto de P; iv. Desenhe o segmento PQ; 4. Desenho do segmento QR, cujo ponto médio é B: i. Desenhe a circunferência C BQ com centro em B e que passa por Q; ii. Desenhe a reta r BQ que passa por B e Q; iii. Seja R o ponto de interseção da circunferência C BQ e a reta r BQ, distinto de Q; iv. Desenhe o segmento QR; 5. Desenhe o segmento RP e determine seu ponto médio D; 6. Agora, mova o ponto P buscando fazer com que os pontos D e C coincidam (aproximadamente); 7. Após conseguir que D e C coincidam (aproximadamente), use a ferramenta de medir comprimentos para medir os comprimentos dos segmentos PQ, QR e RP os resultados constituem a resposta (aproximada) do problema.

6 A Figura 3 ilustra a situação final da construção, incluindo os valores dos segmento PQ, QR e RP (alguns elementos intermediários não são exibidos): Figura 3: Modelo analógico da situação descrita no Problema 3, construído no Geogebra 4. Considerações Finais A solução do Problema 3 instiga as seguintes conjecturas: 1. Um triângulo inscrito nos pontos médios de um triângulo dado é semelhante a este, e o fator de semelhança é ½. 2. O triângulo inscrito nos pontos médios de um triângulo dado possui lados paralelos aos lados deste. Essas conjecturas podem ser testadas pela observação de outras situações semelhantes (que poderiam ser verificadas facilmente pela manipulação de um modelo que tivesse sido feito com tal intenção). A verificação experimental das conjecturas suscita naturalmente a questão das demonstrações, que agora podem ser atacadas com o suporte da intuição adquirida pelas manipulações. Concluímos indo além do que já foi dito na introdução, observando que a resolução analógica de problemas geométricos pode ser incorporada ao caminho natural do aprendizado, que parte do experimento, passa pela conjectura e termina na demonstração (Gravina, 2001).

7 Referência Gravina, M. A. Os ambientes de geometria dinâmica e o pensamento hipotético-dedutivo, Tese de doutorado. UFRGS, Disponível em: < >. Acessado em: 13/05/2019.