GEOMETRIA ANALÍTICA :: LISTA DE EXERCÍCIOS 04

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1 GEOETRI LÍTI :: LIST E EXERÍIOS 04 Exercício 1. ostre que o segmento que une os pontos médios dos lados não paralelos de um trapézio é paralelo às bases, e sua medida é a média aritmética das medidas das bases: Exercício 2. onsidere um triângulo qualquer,. Sejam o ponto médio de, o ponto médio de e P o ponto médio de. ostre que as medianas (os segmentos, P e ) se intersectam em um mesmo ponto (conhecido como baricentro), que divide as medianas na proporção 2 3 e 1 3 : P Exercício 3. onsidere um trapézio. Sejam o ponto médio da diagonal e o ponto médio da diagonal. ostre que o segmento é paralelo à e à, e que a medida de é a metade da diferença das medidas de e. Exercício 4. a figura abaixo a distância de a é o dobro da distância de a, e a distância de a E é um terço da distância de a E. Escreva X em função de, e : ata: 30 de setembro de 2018.

2 2 GEOETRI LÍTI :: LIST E EXERÍIOS 04 E X Exercício 5. ostre que as diagonais de um losango são perpendiculares. Exercício 6. etermine se S é (i) um conjunto conjunto ortogonal, (ii) um conjunto ortonormal e (iii) uma base: (a) S = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} R 3. (b) S = {(π, 0, 0), (0, e 3, 0), (0, 0, 2)} R 3. (c) S = {(1, 1, 1), ( 1, 1, 0), (0, 0, 2)} R 3. Exercício 7. ado o vetor v = (1, 2, 1), responda os itens abaixo: (1) etermine vetores v 2 e v 3 de modo que os três sejam mutuamente ortogonais. (2) etermine vetores u 1, u 2 e u 3 de modo que o vetor u 1 seja paralelo a v e o conjunto { u 1, u 2, u 3 } seja ortonormal Exercício 8. (a) ados os vetores v, w R 3 não nulos, mostre que, se v w = 0, então {v, w} é linearmente independente. (b) ados v, w, u R 3 não nulos, mostre que, se v w = u w = u v = 0, então {v, w, u} é linearmente independente. (c) Encontre v, w, u R 3 tais que v w = u w = 0 e {v, w, u} é linearmente dependente. Exercício 9. Uma motivação física para o produto escalar é o cálculo do trabalho realizado por uma força constante para deslocar um objeto de forma retilínea, que é dado por τ = F d, onde d é o vetor deslocamento. om base nesta informação, responda os itens abaixo: (1) Um carrinho é puxado por uma distância de 100m, ao longo de um caminho horizontal, por uma força constante de 70. alça do carrinho é mantida a um ângulo de 35 graus acima da horizontal. Encontre o trabalho feito pela força. (2) Se no item (a) o ângulo fosse igual a 90 graus, esta força contribuiria com o deslocamento? qual a propriedade do produto escalar que fica evidenciada neste caso? (3) Qual seria a melhor forma de poupar esforço, fazendo com que a força aplicada realize o maior trabalho possível?

3 GEOETRI LÍTI :: LIST E EXERÍIOS 04 3 Exercício 10. Fixe n > 0 (pode escolher n = 3, se você preferir) e considere u, v R n. (a) ostre que u v u v u v (esigualdade de auchy-schwarz). (b) ostre que u + v 2 u 2 + 2u v + v 2. (c) ostre que, se u v = 0, então u 2 + v 2 = u + v 2 (Teorema de Pitágoras). (d) ostre que u + v 2 u 2 + v 2 (esigualdade triangular). (e) ostre que u v u v. (f) ostre que u + v 2 + u v 2 = 2( u 2 + v 2 ) (Regra do paralelogramo). Exercício 11. Encontre um vetor u R 3 satisfazendo as seguintes condições: u = 2, O ângulo entre u e v = (1, 1, 0) é θ(u, v) = π/4 (em radianos), O vetor u é ortogonal ao vetor (1, 1, 0). Exercício 12. Encontre um vetor u R 3 satisfazendo as seguintes condições: u = 3 3, u (2, 3, 1) = u (2, 4, 6) = 0, O ângulo entre u e (1, 1, 0) é agudo. Exercício 13. Fixe um vetor u = (x, y, z) R 3. Enconte um vetor v R 3 (em função de x, y e z) que seja paralelo a u e tal que v = 3. Exercício 14. onsidere o vetor v = (0, 1, 3) R 3. ecomponha o vetor w = ( 1, 3, 2) como soma de dois vetores, w = w 1 + w 2, onde: w 1 R 3 paralelo a v e w 2 R 3 é ortogonal a v. Exercício 15. onsidere os vetores u = (1, 1, 1) e v = ( 1, 1, 2). ecomponha o vetor w = (1, 0, 3) como soma de dois vetores, w = w 1 + w 2, onde: {u, v, w 1 } R 3 é linearmente dependente e w 2 R 3 é ortogonal a u e a v. Exercício 16. Sejam u, v, w R 3 vetores satisfazendo: {u, v, w} é uma base. θ(u, v) = π/6, u w = v w = 0, u = 1 e w = 4. alcule [u, v, w]. Exercício 17. Sejam u, v R 3 vetores satisfazendo: θ(u, v) = π 6, u = 1 e v = 7. alcule u v e 1 3 u 3 4 v.

4 4 GEOETRI LÍTI :: LIST E EXERÍIOS 04 Exercício 18. O torque é uma grandeza física vetorial (representado por τ ) e está relacionado com a possibilidade de um corpo sofrer uma torção ou alterar seu movimento de rotação. O torque pode ser calculado pela equação τ = d F, sendo d a distância ponto de aplicação da força F ao eixo de rotação, ao qual o corpo está vinculado. om base nisto, resolva o seguinte exercício: Um parafuso é apertado aplicando-se uma força de 40 a uma chave de boca de 0, 25m, como mostra a figura abaixo. etermine o módulo do torque em relação ao centro do parafuso. Exercício 19. Encontre todas as soluções X R 3 para o sistema de equações X (2, 3, 4) = 9 X ( 1, 1, 1) = ( 2, 0, 2) Exercício 20. (a) ostre que para quaisquer u, v R 3, temos u v = v u. (b) ostre que (6, 2, 4) ( 1, 2, 1) ( 1, 2, 1) (6, 2, 4) R 3. (c) ostre que, para quaisquer u, v, w R 3, temos u (v w) = (u v) w + v (u w). (d) Encontre vetores u, v, w R 3 tais que u (v w) (u v) w. Exercício 21. alcule o volume do paralelepípedo formado pelos vetores u = (2, 2, 0), v = (0, 1, 0), w = ( 2, 1, 1) R 3.

5 GEOETRI LÍTI :: LIST E EXERÍIOS 04 5 Exercício 22. (a) ostre que para quaisquer u, v, w R 3, temos [u, v, w] = [u, w, v] = [w, u, v]. (b) Encontre vetores u, v, w R 3 tais que [u, v, w] [u, w, v]. (c) ostre que, para quaisquer u, v, w R 3 e λ, µ, ξ R, temos [λu, µv, ξw] = λµξ[u, v, w]. (Faça o desenho e verifique que isso faz sentido geometricamente.) Exercício 23. onsidere os pontos = (4, 2, 1), = (6, 4, 6), = ( 1, 3, 2), = (0, 1, 5) R 3. (a) etermine o ângulo entre os vetores e. (b) etermine a área do triângulo. (c) ostre que {,, } é linearmente independente. (d) etermine a altura do tetraedro em relação à base. (e) etermine o volume do tetraedro. Exercício 24. (a) Encontre um vetor unitário e ortogonal aos vetores (1, 3, 1) e ( 3, 3, 3). (b) alcule a área do paralelogramo formado pelos vetores u = (1, 1, 1) e v = (2, 1, 4). (c) alcule a área do triângulo, tal que = ( 1, 1, 0) e = (0, 1, 3).