Poliedros / Prismas-2 s-2018-mat2

Transcrição

1 Poliedros / Prismas- s-08-mat. (Uece ) Um poliedro convexo tem faces, sendo 0 hexágonos e pentágonos. O número de vértices deste polígono: a) 90. b) 7. c) 60. d) 56.. (Ifsp ) A figura mostra uma peça feita em 587 por Stefano Buonsignori, e está exposta no Museu Galileo, em Florença, na Itália. Esse instrumento tem a forma de um dodecaedro regular e, em cada uma de suas faces pentagonais, há a gravação de um tipo diferente de relógio. Em 758, o matemático Leonard Euler (707-78) descobriu o teorema conhecido por relação de Euler: em todo poliedro convexo com V vértices, A arestas e F faces, vale a relação V A F. Ao se aplicar a relação de Euler no poliedro da figura, o número de arestas não visíveis é: a) 0. b). c) 5. d) 6. e) 8.. (Upe ) Um poliedro convexo possui 8 (oito) faces, todas triangulares. Nestas condições, assumindo que tal poliedro exista, o número esperado de vértices para este será: a) 0 b) 9 c) 8 d) 7 e) 6 4. (Uerj ) Considere o icosaedro a seguir (Fig.), construído em plástico inflável, cujos vértices e pontos médios de todas as arestas estão marcados. A partir dos pontos médios, quatro triângulos equiláteros congruentes foram formados em cada face do icosaedro. Admita que o icosaedro é inflado até que todos os pontos marcados fiquem sobre a superfície de uma esfera, e os lados dos triângulos tornem-se arcos de circunferências, como ilustrado na figura. Observe agora que, substituindo-se esses arcos por segmentos de reta, obtém-se uma nova estrutura poliédrica de faces triangulares, denominada geodésica. (Fig. )

2 O número de arestas dessa estrutura é igual a: a) 90 b) 0 c) 50 d) (Ufc 008) O número de faces de um poliedro convexo com 0 vértices e com todas as faces triangulares é igual a: a) 8 b) 0 c) d) 4 e) 6 6. (Uerj ) O poliedro acima, com exatamente trinta faces quadrangulares numeradas de a 0, é usado como um dado, em um jogo. Admita que esse dado seja perfeitamente equilibrado e que, ao ser lançado, cada face tenha a mesma probabilidade de ser sorteada. Calcule: a) a probabilidade de obter um número primo ou múltiplo de 5, ao lançar esse dado uma única vez; b) o número de vértices do poliedro. 7. (Pucpr 005) O tetra-hexaedro é um sólido convexo limitado por 4 faces triangulares e 6 hexagonais, todas regulares. O número de arestas e vértices desse sólido é: a) A = V = b) A = 4 V = 6

3 c) A = 48 V = 40 d) A = V = 4 e) A = 4 V = 4 8. (Pucrs ) Um poliedro convexo possui duas faces pentagonais e cinco quadrangulares. O número de vértices deste poliedro é: a) 4 b) 6 c) 8 d) 9 e) 0 9. (Cesgranrio ) Um poliedro convexo é formado por 4 faces triangulares, faces quadrangulares e face hexagonal. O número de vértices desse poliedro é de: a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 0 0. (Upe-ssa 06) O sólido representado a seguir foi obtido acoplando-se um prisma triangular reto de 4 cm altura a um paralelepípedo reto de dimensões 4 cm, 4 cm e cm, conforme a figura. Se M é ponto médio da aresta do paralelepípedo, qual é a área total da superfície do referido sólido? Adote 5,. a) 99,6 cm b) 0,6 cm c) 05,6 cm d) 07,6 cm e) 09,6 cm. (Insper 06) Um tanque, inicialmente vazio, tem a forma de prisma triangular regular e suas paredes têm espessuras desprezíveis. Após algum tempo despejando água no tanque, um cano de vazão m por minuto o encheu parcialmente, tendo a água ocupado o espaço de um prisma triangular regular, conforme indicado na figura. Funcionando na mesma vazão, o tempo necessário para que o cano acabe de encher o tanque é de 5 minutos e t segundos, sendo que t é um número no intervalo: a) [, ]. b) [, 4].

4 c) [5, 6]. d) [7, 48]. e) [49, 59].. ( ifsp 06) A figura abaixo representa a planificação de um poliedro P: Avalie as afirmações I, II e III sobre o poliedro representado pela planificação: I. O número de arestas do poliedro P corresponde a uma vez e meia o número de vértices. II. O poliedro P tem, pelo menos, duas faces paralelas. III. O poliedro P pode ser classificado como pentágono. Contém uma afirmação verdadeira: a) apenas II. b) apenas I e II. c) apenas I e III. d) apenas II e III. e) I, II e III.. (Ebmsp 06) Uma piscina deve ser construída, como representada na figura, em um terreno retangular de dimensões 8,0 m por 5,0 m. Sabendo que a piscina foi projetada tendo cada um dos lados paralelo aos lados do terreno, como indicado na figura, calcule o valor de k distância do lado do terreno à borda da piscina para que a capacidade máxima da piscina seja igual a 8,0 m.

5 4. (Espm 04) No sólido representado abaixo, sabe-se que as faces ABCD e BCFE são retângulos de áreas 6cm e 0cm, respectivamente. O volume desse sólido é de: a) 8 cm b) 0 cm c) cm d) 6 cm e) 4 cm 5. (Uel 0) Uma metalúrgica produz uma peça cujas medidas são especificadas na figura a seguir. A peça é um prisma reto com uma cavidade central e com base compreendida entre dois hexágonos regulares, conforme a figura. Considerando que os eixos da peça e da cavidade coincidem, qual o volume da peça? a) 640 cm b) 80 cm c) 560 cm d) 0 cm e) 90 cm Bom estudo! Gabarito/ Resolução Resposta da questão : [C] F: número de faces A: número de arestas V: número de vértices

6 0 6 5 A 90 F = V = + A F V = + 90 V = 60. Resposta da questão : [A] Número de arestas: 5 / 0. Número de arestas visíveis: 0. Número de arestas não visíveis: Resposta da questão : [E] A = (8.)/ = e F = 8 Logo, V A + F = V + 8 = V = 6 Resposta da questão 4: [B] Resposta da questão 5: [E] Resposta da questão 6: a) O espaço amostral Ω é Ω = {,,,..., 0} Sejam os eventos: Temos: A: número primo B: múltiplo de 5 A = {,, 5, 7,,, 7, 9,, 9} B = {5, 0, 5, 0, 5, 0} Donde P(A) = 0 0 e P(B) = 6 0. Mas A B = { 5 }, então P(A B) = Logo e 0. P(A B) = P(A) + P(B) - P(A B) 0 6 P(A B) = b) Como F = 0, o número de arestas é dado por

7 A = 4F A = 60 Da relação de Euler, temos: V + F = A + V = 6-0 =. Resposta da questão 7: [B] Resposta da questão 8: [E] Resposta da questão 9: [C] Resposta da questão 0: [C] Seja A o vértice da base AMN do prisma triangular. Pelo Teorema de Pitágoras, vem MN AM AN MN 4 MN 4,4cm. A resposta é dada por , ,6cm. Resposta da questão : [B] VABCDEF VGHCIJF V ABHGDEJI, onde V ABCDEF, V GHCIJF e V ABHGDEJI são, respectivamente, o volume do prisma ABCDEF, GHCIJF e o volume do tanque que falta ser preenchido. Cálculo do volume do prisma ABCDEF

8 No triângulo AKC, tg60 x x x x x x Sendo S ABC a área do triângulo ABC, SABC S ABC Assim, VABCDEF SABC 6 VABCDEF 6 VABCDEF 8 Cálculo do volume do prisma GHCIJF No triângulo GLC,

9 tg60 y y y y y y Sendo GHC S GHC a área do triângulo GHC, SGHC S Assim, VGHCIJF SGHC 6 VGHCIJF 6 VGHCIJF Logo, 8 VABHGDEJI VABHGDEJI 6 Como a vazão do cano é Então, z 6 6 z minutos 5 z minutos minuto z 5 minutos 60 segundos z 5 minutos 0 segundos Logo, t 0 segundos m por minuto, após z minutos, serão preenchidos z m. 0 4, portanto, t é um número no intervalo, 4. Resposta da questão : [B] É imediato que P é um prisma pentagonal regular. [I] Verdadeira. De fato, pois P possui 5 arestas e 0 vértices.

10 [II] Verdadeira. Com efeito, as bases de P são paralelas. [III] Falsa. É um prisma pentagonal regular. Resposta da questão : O volume, V, da piscina, em metros cúbicos, com 5 0 k, é dado por V (8 k) (5 k) 0,4 (8 k), (5 k) 4k 66k 70. Portanto, o valor de k para o qual V 8 m é tal que 4k 66k 70 8 k k 6 0 k 6 m. Resposta da questão 4: [C] Temos (ABCD) AB BC AB 6 e AB cm (BCFE) BC BE BE 0 BE 5cm. Logo, aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo ABE, obtemos AE 4cm. Por conseguinte, o resultado pedido é AB AE 4 BC cm. Resposta da questão 5: [E] V V V maior menor V =