RESOLUÇÃO DA 1 a AVALIAÇÃO DE MATEMÁTICA UNIDADE II

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1 RESOLUÇÃO D a VLIÇÃO DE MTEMÁTIC UNIDDE II - 07 PESQUIS E ELBORÇÃO: PROF. DINO CRIBÉ E PROF WLTER PORTO. PROF. MRI NTÔNI CONCEIÇÃO GOUVEI. QUESTÃO 0. Um painel decorativo é pintado como um tabuleiro com 9 casas, sendo 4 brancas e 5 pretas, de acordo com a figura. fiando-se, nesse painel, três fotos, de forma aleatória, cada uma delas dentro de uma casa distinta, qual a probabilidade de essas fotos ocuparem três casas de mesma cor é aproimadamente: ) 7%. B) %. C) 9%. D) 9%. E) 7%. Número total de eventos quando as nove casas são selecionadas a de forma aleatória: 9! 987 n(e) C9, 84.! (9)! Número total de eventos quando as quatro casas brancas são selecionadas a de forma aleatória: 4! 4 n() C4, 4.! (4 )! Número total de eventos quando as cinco casas pretas são selecionadas a de forma aleatória: 5! 54 n(b) C5, 0.! (5)! Probabilidade das fotos ocuparem três casas de mesma cor é aproimadamente: n() n(b) ,6667 0,7 7% n(e) RESPOST: lternativa E.

2 QUESTÃO 0. Considere como um único conjunto as 8 crianças 4 meninos e 4 meninas personagens da tirinha. partir desse conjunto, podem-se formar n grupos, não vazios, que apresentam um número igual de meninos e de meninas. O MENINO MLUQUINHO Ziraldo O Globo, 8 mar. 009 O maior valor de n é equivalente a: ) 45. B) 56. C) 69. D) 8. E) 90. O conjunto é formado de 4 meninos mais 4 meninas. Com essas crianças deverão ser formados n grupos não vazios, que apresentam um número igual de meninos e de meninas. Então cada grupo deverá ter: menino + menina, ou, meninos + meninas, ou, meninos + meninas, ou, 4meninos + 4 meninas. Logo, n C4, C4, C4, C4, C4, C4, C4,4 C4, n RESPOST: lternativa C. QUESTÃO 0. Sobre a equação detm =, na qual M é a matriz da matriz M, pode-se afirmar corretamente que a equação e detm é o determinante ) não possui raízes reais. B) possui três raízes reais e distintas. C) possui três raízes reais, das quais duas são iguais e uma é diferente. D) possui três raízes reais e iguais.

3 DetM DetM ² ³ 4 DetM ³ ² Como detm =, ³ ² ³ ² 0 ³ ² 0 () 0 ' 0, '' 0 ou '''. ssim a equação possui três raízes reais, das quais duas são iguais e uma é diferente. RESPOST: lternativa C. Questão 04. Para transmitir dados via satélite, dentre outros processos da área de telecomunicações, utiliza-se atualmente o Código de Hamming. Ele pode garantir que, por meio de um canal de comunicação, uma mensagem chegue ao seu destinatário sem erros, sem ruídos, ou com possibilidade de correção. o transmitir uma mensagem, usa-se um Código de Hamming de redundância r = n k, sendo k um parâmetro. Para detectar um erro na transmissão, efetua-se a operação matricial H v t, na qual H é uma matriz de ordem r n, o comprimento do código é n = r e, neste caso, v t é uma matriz coluna, transposta da matriz v, que representa a mensagem enviada. transmissão será bem-sucedida se essa multiplicação resultar em uma matriz nula. Com base nestas informações, um código de redundância r = pode detectar erros de transmissão de mensagens cuja matriz v é, necessariamente, uma matriz ) linha, de ordem 7 B) coluna, de ordem C) linha, de ordem D) identidade, de ordem E) nula, de ordem 7 Sendo r = e n = r, então n = = 7. Então a matriz H é de ordem 7. Para que o produto H v t eista matriz v t tem que ser de ordem 7 a. Como, v t é uma matriz coluna, então a matriz, ela é de ordem 7. Sendo assim, v que é a matriz transposta de v t, é uma matriz linha de ordem 7. RESPOST: lternativa. QUESTÃO 05. Sejam as matrizes a ij j em que a ij i e 8 C 6. Se a matriz B é tal que B = C, então: 4 ) B C) B 5 E) B B) 0 B D) B 5 0

4 a ij é tal que Como a matriz j aij i, tem-se:. 4 Como a matriz B é tal que B = C, então: -. B = -. C B = -. C Logo B = -. C B = 8 6 B = RESPOST: lternativa C. QUESTÃO 06. Sobre poliedros, considere as seguintes afirmativas: I) O número de vértices do icosaedro regular é. II) Se um poliedro conveo é formado eclusivamente por uma face heagonal, 5 faces quadrangulares e faces triangulares, então ele possui eatamente 6 arestas e 0 vértices. III) Se um poliedro conveo possui 6 faces octogonais e 8 faces triangulares, então ele tem eatamente 4 vértices. Sobre as afirmativas acima, temos que: ) Somente a afirmativa I é falsa B) Somente a afirmativa II é falsa C) Somente a afirmativa III é falsa D) Somente uma afirmativa é verdadeira. E) Todas as afirmativas são verdadeiras. I O icosaedro tem 0 faces triangulares, portanto, 0 : = 0 arestas. plicando a Relação de Euler, V + F = + : V + 0 = 0 + V =. Conclusão: afirmativa I é verdadeira. 4

5 II Se um poliedro conveo é formado eclusivamente por uma face heagonal, 5 faces quadrangulares e faces triangulares, então ele possui eatamente 8 faces e ( ) : = 6 arestas. Novamente aplicando a Relação de Euler, V + 8 = 6 + o número de vértices é 0. Conclusão: afirmativa II é verdadeira. III RESPOST: lternativa E. QUESTÃO 07. Sendo os pontos ( ; ), B( ; 5) e C(6 ; ) vértices de um triângulo BC, é verdade que: ) O triângulo BC é isósceles. B) O triângulo BC é acutângulo. ;5 C) O baricentro do triângulo BC é o ponto D) área do triângulo BC é 5 u.a. E) medida da mediana relativa ao vértice C é maior que 8 u.c.. Considerando d como a distância entre os pontos (, ) e (, ) : d = Determinando as medidas dos lados do triângulo BC: ) ( ) ( B = C = 70 BC = Como, B C BC, o triângulo não é isósceles Como, , então, o triângulo BC é acutângulo. RESPOST: lternativa B. QUESTÃO 08. Professor José Carlos tem uma fazenda em forma de quadrilátero na região de Morro do Chapéu. No local eiste um sistema de coordenadas cartesianas, medidas em hm, desenvolvido pelo governo municipal no qual os pontos (6, 5), B(, 7), C(0, ) e D(8, ) são vértices consecutivos da fazenda de José Carlos. Calcule a área da fazenda. ) hectares. C) 4 hectares. E) 9 hectares. B) hectares. D) 6 hectares. 5

6 área do quadrilátero BCD é a soma das áreas dos triângulos BC e CD. S BCD B C B C C D C D S BCD RESPOST: lternativa D. QUESTÃO 09. Na figura abaio BCD é um quadrado de lado 6 m e BD é um arco de centro em. Calcule o volume do sólido gerado por uma rotação completa da região hachurada em torno do lado D. ) 6 m B) 7 m C) 08 m D) 44 m E) 6 m O sólido gerado por uma rotação completa da região hachurada em torno do lado D é semelhante ao representado ao lado. O seu volume é dado pela diferença Scilindro Ssemiesfera. 4 6 Logo, S = RESPOST: lternativa B. 6

7 QUESTÃO 0. O mapa de uma certa região foi colocado em um sistema de coordenadas cartesianas. reta r de equação + 4 = 0 representa uma estrada que passa perto de uma atração turística de difícil acesso que esta localizada no ponto P( 0 ; ). Deseja-se construir um novo acesso ligando o ponto Q da estrada r a atração localizada no ponto P, em linha reta, com o menor comprimento possível. Determine o ponto Q. ) (6;5) B) (5;6) C) (6;7) D) (7;6) E) (5;7) distância entre a reta r: +4 = 0 e o ponto P(0, ) é: d 4 5 OP Qr Q, distância de 4, P 0, Q a é ( 0) ( 6) e 5 Q(6,5) RESPOST: lternativa QUESTÃO. O baricentro do triângulo BC, sendo (;5), B(6;8) e C(8; 4) é o ponto : ) (5;4) B) (6;) C) (5;) D) (6;) E) (4;4) determinação do baricentro de um triângulo é G B ssim, no triângulo em questão: G, G 5, RESPOST: lternativa C. c, B c. QUESTÃO. Os pontos e B, pertencentes à a bissetriz, são tais que P = PB = 7, sendo P( ; ). Determine a área do triângulo PB. ) 7 u.a. B) 7,5 u.a. C) 8 u.a. D) 8,5 u.a. E) N.R.. 7

8 partir dos dados da questão constrói-se o triângulo da figura ao lado. Como P = PB, o triângulo BC é isósceles e sua altura PC divide o lado B, contido na reta =, em dois segmentos de medida m. medida PC é igual a distância do ponto P( ; ) à reta =0, então, PC. plicando o Teorema de Pitágoras ao triângulo PC: m m 7 m m B. 0 0 Finalmente, a área do triângulo BC é: 7,5u.a. 4 RESOLUÇÃO SUGERID PELO PROFESSOR CRIBÉ: O segmento Sendo P = P 7 é determinado pelos pontos P(, ) e (, ) (pertence à primeira bissetriz). ( ) ( ) 7 ( ) ( ), 7 ( ) () ()() 0 Então os pontos e B pertencentes à primeira bissetriz são (, ) e B(, ). ssim a área do triângulo PB, é: S. S S. 5 S 7,5. RESPOST: lternativa B. ou. QUESTÃO. Sejam os pontos ( ; 4), B( 5 ; 0) e C(0 ;0) vértices de um triângulo BC e seja h a altura deste triângulo em relação ao vértice. Calcule h. ) B) 5 C) 4 5 D) 0 E) NR 8

9 Determinando a equação da reta BC : 0 = m( 0). Considerando que B = (0, 0) = ( 5, 0): 0 = m( + 5) = m ( + 5). Substituindo as coordenadas do C na equação = m ( + 5): 0 = m(0 + 5) 5m = 0 m =. Então a equação da reta BC é: = ( + 5) = + 0. O valor de h é o da distância do ponto (, 4) à reta de equação = + 0, cuja forma geral é h = RESPOST: lternativa B. QUESTÃO 4. (ENEM-05) Devido ao aumento do fluo de passageiros, uma empresa de transporte coletivo urbano está fazendo estudos para a implantação de um novo ponto de parada em uma determinada rota. figura mostra o percurso, indicado pelas setas, realizado por um ônibus nessa rota e a localização de dois de seus atuais pontos de parada, representados por P e Q. Os estudos indicam que o novo ponto T deverá ser instalado, nesse percurso, entre as paradas já eistentes P e Q, de modo que as distâncias percorridas pelo ônibus entre os pontos P e T e entre os pontos T e Q sejam iguais. De acordo com os dados, as coordenadas do novo ponto de parada são ) (90;0). B) (40;0). C) (40;0). D) (440;0). E) (440 ; 0). 9

10 Como os percursos PT e TQ têm a mesma medida, então, PT = 40. O percurso PT está sobre a reta = 0, logo, a abscissa de T é MP + PT = = 440. Como T é um ponto da reta = 0, sua ordenada é 0. Finalmente, T = (440, 0). RESPOST: lternativa E. QUESTÃO 5. (UNEB /06). Considere-se, no plano cartesiano, o triângulo de vértices M =(k, ), N = (5, ) e P = (, ). Se o ângulo interno NMP mede 60 o, então o valor da constante k está entre: ) e B) e 0 C) 0 e D) e E) e O triângulo PHM é retângulo com um ângulo de 60, logo, 4 4 sen60 n. n n questão nos pede para determinarmos o intervalo a que pertence o número k valor da abscissa do ponto M. Com os dados da questão constrói-se a figura ao lado. O triângulo PHN é retângulo e isósceles, logo. MH MH 4 cos60 MH. MH MH n ,7 MN = MH + HN MN =,5, 5. k k, Finalmente, N MN k 5,5, 85 OBS.: Poderíamos ter chegado a essa conclusão apenas analisando a figura. RESPOST: lternativa D. 0