PUERI DOMUS ENSINO MÉDIO MATEMÁTICA. Saber fazer saber fazer + MÓDULO

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1 PUERI DOMUS ENSINO MÉDIO MATEMÁTICA Saber fazer saber fazer + 10 MÓDULO

2 Saber fazer Geometria analítica 1. Determine as coordenadas dos pontos da figura. 2. Sendo A (2, 2), B (4, 6) e C (7, ) vértices de um triângulo, determine qual dos ângulos internos desse triângulo tem a menor medida.. (UFMA-MA) Determine todos os pontos P(, y) equidistantes dos eios coordenados cuja distância ao ponto (0, 0) é Determine o ponto P da reta de equação y = + 2 que dista 2 de A (4, 0). 5. Determine os coeficientes angulares das retas r e s da figura. 150 y (PUC-MG) No sistema cartesiano da figura, a reta r divide o triângulo maior em dois triângulos menores de mesma área. Então, o valor do coeficiente angular de r é: r s 7. (Unisa-SP) A equação da reta que passa pelo ponto A(, 4) e cujo coeficiente angular é 1 é: 2 a) + 2y + 11 = 0 b) y + 11 = 0 c) 2 y + 10 = 0 d) 2y + 11 = 0 e) 2 y 10 = 0 8. (UEPA-PA) O comandante de um barco resolveu acompanhar a procissão fluvial do Círio, fazendo o percurso em linha reta. Para tanto, fez uso do sistema de eios cartesianos para melhor orientação. O barco seguiu a direção que forma 45 com o sentido positivo do eio, passando pelo ponto de coordenadas (, 5). Este trajeto ficou bem definido através da equação: a) y = 2 1 b) y = + 14 c) y = + 2 d) y = + 8 e) y = 4 9. (Unifor-CE) Se B (0, ) e C (2, 1), então a equação da reta é: a) 2 + y + = 0 b) 2 + y = 0 c) y + = 0 d) + y = 0 e) 2y = A equação da reta r paralela à reta determinada pelos pontos P (, 0) e Q ( 2, ), passando pela origem é: a) y = b) y = 2 c) y = d) y = e) y = (Ufop-MG) Em um sistema de coordenadas cartesianas, localizam-se o ponto P(, 4) e a reta r de equação + y = 0. Seja Q o ponto de r cuja abscissa é o dobro da ordenada. a) 0,50 b) 0,75 c) 1,00 d) 1,25

3 MÓDULO 10 A distância de P até Q é: a) 10 b) 10 c) 4 d) Determine o coeficiente angular da reta r com equações = t 1 paramétricas. = 2t 5 1. (UFRGS-RS) Um ponto P (, y) descreve uma trajetória no plano cartesiano, tendo sua posição a cada instante t (t > 0) dada pelas equações: = 2t = t 2 A distância percorrida pelo ponto P (, y), para 0 t, é: a) 2 b) c) 1 d) 1 e) (UERGS-RS) As retas s: + ay = e t: 4 2y + 5 = 0 são paralelas, então o valor de a é: a) 2 b) 1,5 c) 0,5 d) 0,2 e) 0,5 15. (Unifor-CE) As retas de equações e são perpendiculares entre si. É verdade que k é igual a: 18. Calcule k para que a reta + 4y + k = 0 esteja localizada a três unidades do ponto P (5, 2). 19. (UFRGS-RS) Um círculo contido no 1 o quadrante tangencia o eio das ordenadas e a reta de equação. O centro desse círculo pertence à reta de equação: a) y = 0 b) 2 y = 0 c) 2 + y = 0 d) 2y = 0 e) 2y = (PUCCamp-SP) São dadas a reta r, de equação, e a circunferência l, de equação 2 + y 2 4 = 0. O centro de l e as intersecções de r e l determinam um triângulo cuja área é: a) b) c) d) 6 e) 21. (Fuvest-SP) A reta y = m (m > 0) é tangente à circunferência ( 4) 2 + y 2 = 4. O seno do ângulo que a reta forma com o eio é igual a: 22. Sendo A (1, 0) e B (5, 0), determine o ponto P de máima ordenada que energa AB sob ângulo reto. 2. (ESPM-MG) O triângulo retângulo ABC está, inicialmente, na posição representada na figura abaio. y A 16. Para quais valores de k a reta (r) + 2y + = 0 intercepta o segmento AB, sendo A (1, 1) e B (, k)? 17. Determine a equação reduzida da circunferência de centro da figura: 4 B C A Após sofrer uma rotação em torno do vértice C, de modo que o vértice A passe para a posição A`, as novas coordenadas do vértice B serão: a) (4,8; 2,0) d) (4,8; 2,4) b) (5,0; 2,0) e) (4,2; 2,5) c) (5,0; 2,4)

4 4 Matemática 24. (PUC-SP) Sendo a > 0 e b < 0, o ponto P( a, a b) pertence: a) ao 1 o quadrante. b) ao 2 o quadrante. c) ao o quadrante. d) ao 4 o quadrante. e) ao eio. 25. Sendo A ( 2, 5) e B o ponto simétrico de A em relação à bissetriz dos quadrantes pares, determine o ponto C simétrico de B em relação ao eio das ordenadas. 26. (Vunesp-SP) O triângulo PQR, no plano cartesiano, de vértices P = (0, 0), Q = (6, 0) e R = (, 5), é: a) equilátero. b) isósceles, mas não equilátero. c) escaleno. d) retângulo. e) obtusângulo. 27. (UFRJ-RJ) Sejam M 1 = (1, 2), M 2 = (, 4) e M = (1, 1) os pontos médios dos lados de um triângulo, determine as coordenadas dos vértices desse triângulo. 28. (PUC-RS) Determine o ponto do eio das ordenadas que forma com A (1, 0) e B (5, 0) um triângulo de área igual a (Uerj-RJ) No sistema de coordenadas cartesianas a seguir, está representado o triângulo ABC. Em relação a esse triângulo: a) demonstre que ele é retângulo; b) calcule a sua área. 0. (Mack-SP) Se os pontos (2, ), (4, ) e (5, k/2) estão numa mesma reta, então k é igual a: a) 12 b) 6 c) 6 d) 12 e) ABCDEF é um heágono regular. Determine o coeficiente angular das retas suportes dos lados desse polígono. 2. (Ufla-MG) Seja uma reta r 1, que no plano cartesiano passa pelos pontos correspondentes aos pares ordenados (, 2) e (5, 4). Seja ainda outra reta r 2, que forma um ângulo com r 1 igual a 120, conforme ilustrado abaio. Calcule o ângulo a que r 2 forma com o eio das abscissas (Unicamp-SP) Os pontos A, B, C e D pertencem ao gráfico da função y = 1/, > 0. As abscissas de A, B e C são iguais a 2, e 4, respectivamente, e o segmento AB é paralelo ao segmento CD. a) Encontre as coordenadas do ponto D. b) Mostre que a reta que passa pelos pontos médios dos segmentos AB e CD passa também pela origem. 4. (UFPE-PE) A equação cartesiana da reta que passa pelo ponto (1, 1) e faz com o semieio positivo o um ângulo de 60 o é: a) b) c) d) e) 5. (Uerj-RJ) A promoção de uma mercadoria em um supermercado está representada, no gráfico a seguir, por 6 pontos de uma mesma reta. R 2 5 R 1 α

5 MÓDULO 10 5 v Quem comprar 20 unidades dessa mercadoria, na promoção, pagará por unidade, em reais, o equivalente a: a) 4,50 b) 5,00 c) 5,50 d) 6,00 6. (UEL-PR) A reta r intercepta o eio das ordenadas em y = 2 e a parábola p em seu vértice. Se a equação de p é y = , então r intercepta o eio das abscissas no ponto: a) (/4; 0) b) (2/5; 0) c) (0; 0) d) ( 1/2; 0) e) ( 2/; 0) 7. (Cesgranrio-RJ) A equação da reta mostrada na figura a seguir é: 4 a) + 4y 12 = 0 b) 4y + 12 = 0 c) 4 + y + 12 = 0 d) 4 y 12 = 0 e) 4 y + 12 = 0 8. (ESPM-SP) A equação da reta r do plano cartesiano abaio é: y 9. (UERJ-RJ) Sabedoria egípcia Há mais de anos os egípcios observaram que a sombra no chão provocada pela incidência dos raios solares de um gnômon (um tipo de vareta) variava de tamanho e de direção. Com medidas feitas sempre ao meio-dia, notaram que a sombra, com o passar dos dias, aumentava de tamanho. Depois de chegar a um comprimento máimo, ela recuava até perto da vareta. As sombras mais longas coincidiam com os dias frios. E as mais curtas, com dias quentes. Adaptado da Revista Galileu, janeiro de Sol A vareta O ínicio do verão (sombra mais curta) outono ou primavera comprimento da sombra ao meio-dia B início do inverno(sombra mais longa) Um estudante fez uma eperiência semelhante à descrita no teto, utilizando uma vareta AO de 2 metros de comprimento. No início do inverno, mediu o comprimento da sombra OB, encontrando 8 metros. Utilizou, para representar sua eperiência, um sistema de coordenadas cartesianas, no qual o eio das ordenadas (y) e o eio das abscissas () continham, respectivamente, os segmentos de reta que representavam a vareta e a sombra que ela determinava no chão. Esse estudante pôde, assim, escrever a seguinte equação da reta que contém o segmento AB: a) y = 8 4 b) = 6 y c) = 8 4y d) y = (UFPE-PE) Na figura a seguir, as retas r e s são paralelas, e a distância da origem (0, 0) à reta s é. A equação cartesiana da reta s é y = a + b. Determine 6a 2 + 4b 2. a) 1 14y + 52 = 0 b) 12 1y + 48 = 0 c) 7 8y + 28 = 0 d) 9 11y + 6 = 0 e) 6 7y + 24 = 0

6 6 Matemática 41. (UFMT-MT) Em um determinado instante t (em minutos), as posições de duas partículas P e Q são dadas, respectivamente, pelas equações paramétricas das retas e = 4 + = 1+ 2t t. = 1+ t = + 6 t A partir das informações dadas, julgue os itens. 1. As trajetórias se interceptam no ponto (5, ). 2. As partículas se chocam no ponto (5, ).. A partícula Q passa, em (5, ), 1 minuto depois que a partícula P. 42. (Mack-SP) Seja a o ângulo que a reta forma com o eio positivo do. O valor de cos a é: 1 a) b) c) d) e) As retas r: y + 5 = 0 e s: k + 2y 7 = 0 são concorrentes se: a) k 2/ b) k 6 c) k 0 d) k 4 e) k (UFMG-MG) A relação entre m e n, para que as retas de equações(r) 2 my + 1 = 0 e (s) n + y + 5 = 0 sejam paralelas, é: a) m n = 2 (16) r e s sempre se interceptam para quaisquer valores de a e b. (2) se a = 1 então as retas r e s serão perpendiculares qualquer que seja o valor de b Para que valores de a as retas r, s e t não são concorrentes duas a duas? (r) + y 1 = 0 (s) y + 2 = 0 (t) a + 2y 5 = Determine a equação da reta t, simétrica da reta (r) + 2y 4 = 0, em relação ao eio das ordenadas. 48. Determine a equação da reta t, simétrica da reta (r) 2 y 2 = 0, em relação à reta (s) 2 = (UFRGS-RS) Na figura abaio: a região sombreada do plano y é descrita pelas desigualdades da alternativa: a) 0 4 e 0 y 5 b) 0 5 e 0 y 5 + c) 1 4 e 0 y 5 d) 1 4 e 0 y 5 e) 1 4 e 0 y (Ufes-ES) b) m n = 2 c) m n = 2 d) m n = 6 e) m n = (Unioeste-SP) Sobre a reta r de equação y = 2 + b e a reta s de equação y = a +, onde a e b são números reais, é correto afirmar que: (01) se a = 2, então r e s serão paralelas para qualquer valor de b. (02) se a = 1 então r e s sempre se interceptarão no terceiro quadrante, para qualquer valor de b. (04) para que r e s sejam paralelas é necessário que se tenha b =. (08) se b = 0 então eiste pelo menos um valor para a tal que r seja paralela a s. A região triangular hachurada ao lado pode ser descrita como o conjunto solução de: a) 4y + 12 y b) 4y + 12 y

7 MÓDULO 10 7 c) 4y + 12 y d) 4y + 12 y e) 4y + 12 y (UEMS-MS) O conjunto representa: a) o interior de um círculo. b) o interior de um triângulo. c) uma reta contida no 2º, º e 4º quadrantes. d) duas retas paralelas. e) o interior de um quadrado. 52. Determine a equação reduzida de circunferência de centro C( 2, 1) e que passa pelo ponto P(0, ). 5. Determine a equação reduzida da circunferência com diâmetro com etremidades A(, ) e B( 5, 1). 54. Determine a equação reduzida da circunferência da figura: 57. O triângulo ABC da figura é equilátero. Determine a equação reduzida da circunferência, sendo A (5, 6). 58. Dadas as retas (r) y 2 = 0, (s) 2 = 0 e (t) 6 = 0, determine a equação reduzida da circunferência tangente às três retas dadas. 59. (UFG-GO) Considere duas circunferências no plano cartesiano descritas pelas equações 2 + y 2 = 10 e ( 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = 1. Determine o ponto P( 0, y 0 ) para que as duas circunferências sejam tangentes eternas no ponto A(,1). 60. A corda AB da figura mede 2. Qual a equação reduzida da circunferência, sendo o seu raio? 55. Determine a equação reduzida da circunferência da figura: 61. Calcule a distância do ponto ( 2, ) ao eio das ordenadas. 62. (UFPE-PE) No sistema cartesiano de eios, a distância do ponto (5, ) à reta que passa pelos pontos de coordenadas (0, 4) e (, 0) é igual a: a) 2 5 b) 17 5 c) 1 5 d) 11 5 e) Sendo A(, 0), B(, 0) e o triângulo ABC equilátero, qual a equação reduzida da circunferência da figura? 6. (UFC-CE) Considere a reta r cuja equação é y =. Se P 0 é o ponto de r mais próimo do ponto Q(,) e d é a distância de P 0 a Q, então é igual a: a) b) 4 c) 5 d) 6 e) (Ufop-MG) A equação da circunferência de centro P (, 1) e tangente à reta r: + 4y + 7 = 0 é: a) 2 + y y 6 = 0 b) 2 + y 2 6 2y 6 = 0

8 8 Matemática c) 2 + y y + 6 = 0 d) 2 + y 2 + 2y 6 6 = 0 e) 2 + y 2 6 2y + 6 = O ponto P( 2, 1), em relação à circunferência y 2 = 9, é: a) eterno. b) pertencente. c) interno d) centro. e) nda. 66. (UEL-PR) Considere a reta r de equação y 2 2 = 0. Com relação à representação geométrica da reta r no plano cartesiano, pode-se afirmar: I. A área do triângulo formado pela reta r e pelos eios coordenados tem o valor de 1 unidade quadrada. II. A circunferência de equação 2 + y 2 = 2 contém todo o triângulo formado pela reta r e pelos eios coordenados. III. A circunferência de equação 2 + y y = 0 tangencia a reta r. IV. A reta r é perpendicular à reta 2y = 0 A alternativa que contém todas as afirmativas corretas é: a) I e II b) I e III c) I e IV d) II e III e) II, III e IV 67. (UFU-MG) Deseja-se que a reta r de equação y = + k intercepte a circunferência de equação 2 + y 2 = 2 em dois pontos. Para isso, k deve satisfazer a seguinte condição: a) < k < b) 2 < k < 2 c) < k < d) k 68. (ITA-SP) Considere, no plano cartesiano y, duas circunferências C 1 e C 2, que se tangenciam eteriormente em P (5,10). O ponto Q (10,12) é o centro de C 1. Determine o raio da circunferência C 2, sabendo que ela tangencia a reta definida pela equação = y. 69. (UFPA-PA) Os círculos 2 + y 2 2 = 0 e 2 + y = 0 são: a) tangentes eternos. b) concêntricos. c) secantes. d) coincidentes. e) tangentes internos. 70. (UFPB-PB) Na figura abaio, está representado o quadrado OMNP que se encontra subdividido em 16 quadradinhos, todos de lado 1,5 cm. y P F E O M Uma formiguinha sai do ponto, andando paralelamente aos eios e passando pelo centro de cada quadradinho, até o seu formigueiro localizado em, conforme mostrado na figura. Sabendo-se que passa apenas uma vez em cada ponto do percurso, essa formiguinha percorreu: a) 24,0 cm b) 2,5 cm c) 2,0 cm d) 22,5 cm e) 22,0 cm 71. (Unifor-CE) Seja r a reta paralela ao eio das abscissas e que contém o ponto Q (0; k). Se o ponto P (a; b) não pertence a r, então o simétrico de P em relação a r é: a) (b; 2k a) b) (a; k + b) c) (b; 2k + a) d) (a; 2k b) e) (a; k b) 72. (Vunesp-SP) O tetraedro VABC da figura a seguir é regular e sua base encontra-se sobre um plano cartesiano, em relação ao qual seus vértices têm coordenadas A B e C ,,,,. 2 Dando-se à face ABV uma rotação em torno da aresta AB, no sentido indicado pela figura, até fazê-la coincidir com o plano ABC da base, quais as coordenadas do ponto P que o vértice V ocupará após a rotação? N

9 MÓDULO (Uerj-RJ) Duas pessoas A e B decidem se encontrar em um determinado local, no período de tempo entre 0h e 1h. Para cada par ordenado ( 0, y 0 ), pertencente à região hachurada do gráfico a seguir, 0 e y 0 representam, respectivamente, o instante de chegada de A e B ao local de encontro. Determine as coordenadas dos pontos da região hachurada, os quais indicam: a) a chegada de ambas as pessoas ao local de encontro eatamente aos 40 minutos; b) que a pessoa B tenha chegado ao local de encontro aos 20 minutos e esperado por A durante 10 minutos. 74. (PUCCamp-SP) Sabe-se que os pontos A = (0, 0), B = (1, 4) e C = (, 6) são vértices consecutivos do paralelogramo ABCD. Nessas condições, o comprimento da diagonal BD é: a) 2 b) c) 2 2 d) 5 e) Sendo A (a, y a ), B (b, y b ) e C (c, y c ) vértices de um triângulo, mostre que a abscissa do baricentro desse 2 6 triângulo é: y = (Vunesp-SP) Dados dois pontos, A e B, com coordenadas cartesianas ( 2, 1) e (1, 2), respectivamente, conforme a figura: 77. Dados A (2, ) e B (0, 0), vértices do triângulo ABC com área 1 2 e sendo BC = 2 1, determine o 2 coeficiente angular da reta BC, sendo C no primeiro quadrante. 78. (FGV-SP) Seja r a reta 4 + 7y 56 = 0 que intercepta o eio das ordenadas no ponto A e o eio das abscissas no ponto B. Considere uma reta s, que passa pela origem O (0, 0) e intercepta a reta r no ponto C, de modo que a área do triângulo OCB seja igual à metade da área do triângulo OAC. a) Encontre a equação da reta s. b) Determine as coordenadas do ponto C. 79. (Ufes-ES) Dados no plano cartesiano os pontos A = ( 2, 1) e B = (0, 2), determine: a) uma equação da reta que passa por A e B; b) uma equação da reta que passa por A e é perpendicular ao segmentoab. 80. O triângulo ABC da figura tem área 6 e é retângulo em A. Sendo B(0, ), C(4, 0) e AB AC, determine a equação da reta suporte do cateto AC. 81. (UFMG-MG) Observe a figura. a) Calcule a distância entre A e B. b) Sabendo que as coordenadas cartesianas do baricentro do triângulo ABC são ( G, y G ) = ( 2, 1), calcule as coordenadas ( C y C ) do vértice C do triângulo. Nessa figura, estão representadas duas perpendiculares que são gráficos de y = f() e y = g(). O valor máimo da função h() = f() g() é: a) 5/4 b) 9/4 c) d) Determine a equação da reta t, simétrica da reta (r) y = 2, em relação à reta (s) y = 4 4.

10 10 Matemática 8. Resolva a inequação:. 84. Dada epressão E = ( + y) 2 4: a) fatorar a epressão E; b) representar os pontos (,y) tais que E > Determine a equação reduzida da circunferência de centro C da figura: 86. Determine a equação reduzida da circunferência circunscrita ao quadrado de vértices: A(2, 0), B(4, 2), C(2, 4) e D(0, 2). 87. Determine a equação reduzida da circunferência inscrita no quadrado de vértices: A ( 0, 2), B( 2, 0), C 0, 2 2, 0. ( ) e D( ) 88. Dadas as circunferências: (C 1 ) ( 2) 2 + (y 2) 2 = 4 e (C 2 ) ( 10) 2 + (y 2) 2 = 4, determine a equação da menor circunferência tangente às duas circunferências dadas. 89. (UFF-RJ) A circunferência C 1, de raio 1, é tangente aos eios coordenados, conforme representação abaio. Determine a equação da circunferência C 2, tangente simultaneamente aos eios coordenados e à C (AFA-RJ) Os pontos A (0, 0) e B (, 0) são vértices consecutivos de um paralelogramo ABCD situado no primeiro quadrante. O lado AD é perpendicular à reta y = 2 e o ponto D pertence à circunferência de centro na origem e raio. Então, a diagonal AC mede: y = 2 A (0,0) y 5 D B (,0) C a) b) c) d) 91. (FGV-SP) No plano cartesiano, eistem dois valores de m de modo que a distância do ponto P (m, 1) à reta de equação + 4y + 4 = 0 seja 6. A soma destes valores é: a) 16 b) 17 c) 18 d) 19 e) (FGV-SP) A reta de equação y = + 1 determina, na circunferência de equação 2 + y 2 = 1, uma corda de comprimento: a) 4 2 b) 5 2 c) 6 2 d) 7 2 e) (FGV-SP) a) No plano cartesiano, para que valores de m as retas de equações (r) m + 2y + 4 = 0 e (s) m 4y + 5 = 0 são perpendiculares? b) Qual a distância entre as retas (t) + 4y = 0 e (v) + 4y + 5 = 0? y (Unifesp-SP) Dada a matriz,, A = 1 1 1, a distância entre as retas r e s de equações, respectivamente, det(a) = 0 e det(a) = 1 vale: 2 a) 4 b) 2 c) 2 d) e) (Vunesp-SP) Determine os pontos de abscissa 2 tais que, para cada um deles, o produto de suas distâncias aos eios coordenados seja igual ao quadrado de sua distância à reta y =. 96. (Mack-SP-Adaptada) Na figura, AOB é um triângulo isósceles e. A distância de C à reta, determinada pelos pontos A e B, vale:

11 MÓDULO O y A C D a) 4 2 b) 5 2 c) 6 2 d) 7 2 e) (Fuvest-SP) Na figura abaio, os pontos A, B e C são vértices de um triângulo retângulo, sendo B $ o ângulo reto. Sabendo-se que A = (0, 0), B pertence à reta 2y = 0 e P = (, 4) é o centro da circunferência inscrita no triângulo ABC, determine as coordenadas: a) do vértice B; b) do vértice C. 98. (ITA-SP) Seja C a circunferência de centro na origem, passando pelo ponto P = (, 4). Se t é a reta tangente a C por P, determine a circunferência C de menor raio, com centro sobre o eio e tangente simultaneamente à reta t e à circunferência C. 99. (ITA-SP) São dadas as retas (r) y = 0 e (s) + y 2 + = 0 e a circunferência (C) y 2 = 0. Sobre a posição relativa desses três elementos, podemos afirmar que: a) r e s são paralelas entre si e ambas são tangentes a C. b) r e s são perpendiculares entre si e nenhuma delas é tangente a C. c) r e s são concorrentes, r é tangente a C e s não é tangente a C. B d) r e s são concorrentes, s é tangente a C e r não é tangente a C. e) r e s são concorrentes e ambas são tangentes a C (UFU-MG) Sejam r a reta de equação y = + 2 e C a circunferência de equação 2 + y 2 4 2y + a = 0, em que a é uma constante real. Determine o maior número real a de modo que ocorra intersecção entre a reta r e a circunferência C (ITA-SP) Sejam os pontos A: (2, 0), B: (4, 0) e P: y = 0. a) Determine a equação da circunferência C, cujo centro está situado no primeiro quadrante, passa pelos pontos A e B e é tangente ao eio y. b) Determine as equações das retas tangentes à circunferência C que passam pelo ponto P (PUCCamp-SP) Considere as circunferências (l 1 ) y 2 8 4y + 15 = 0 e (l 2 ) 2 + y y 75 = 0. Concluímos que: a) l 1 e l 2 possem 2 pontos de interseção (ou seja, são secantes). b) l 1 e l 2 se tangenciam internamente. c) l 1 e l 2 se tangenciam eternamente. d) l 1 e l 2 são disjuntas e eternas. e) l 1 e l 2 são disjuntas e internas. 10. (FGV-SP) A intersecção das circunferências de equação 2 + y 2 = 1 e ( 1) 2 + y 2 = 4 é: a) (0, 0) b) ( 1, 0) c) (0, 1) d) (0, 1), (2, 0) e) (0, 2), (1, 0) 104. (UFSC-SC) Determine o raio da circunferência C 1, cujo centro é o ponto de intersecção da reta r de equação y 1 = 0 com a reta s de equação 2 y + 1 = 0, sabendo que C 1 é tangente eteriormente à circunferência C 2 de equação 2 + y y 4 = (UFPE-PE) Para quantos valores de a o sistema: admite precisamente três soluções? 106. (UFES-ES) Em um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais, determine: a) a equação da circunferência com centro (a, 0) que passa pelo ponto ( 5, ); b) o intervalo de variação de a de modo que a circunferência do item anterior intercepte a circunferência com centro (2, 0) e raio 2; c) o valor de a, de modo que os raios das circunferências dos itens anteriores sejam perpendiculares em um dos pontos de intersecção delas.

12 Saber fazer + Geometria analítica 1. Obter a medida do segmento AB, sendo: a) A(, 1) e B(4, 2) b) A( 1, ) e B(5, 2) c) A(, 4) e B(0, 0) d) A(2, 1) e B(5, 1) e) A(0, ) e B(0, 7) f) A(5, 2) e B(4, 1) g) A( 2, 1) e B(, 1) h) A(4, ) e B(0, 0) 2. Calcule o perímetro do triângulo ABC, dado: A(0, 0), B(4, 1) e C(0, 5).. Cada uma das arestas do cubo mede 1 cm. Calcule a distância do vértice A à reta CH. F G A E D C 4. Dados os pontos A(0, 0) e B(25, 25), determine as coordenadas do ponto médio do segmento AB. 5. Determine o ponto da bissetriz dos quadrantes pares que dista 2 unidades da origem. 6. (Fuvest-SP) Na figura, o triângulo ABC é retângulo em A, ADEF é um quadrado, AB = 1 e AC =. Quanto mede o lado do quadrado? B D E A F C 7. (Mauá-SP) A figura abaio mostra um quadrado, inscrito em um triângulo de base 20 cm e altura 12 cm. Calcule o lado desse quadrado. A D l E l B H Calcule os coeficientes angulares das retas r e s paralelas que fazem com a horizontal um ângulo de 60 o. 9. Determine a intersecção entre as retas y = 2 5 e y = Escreva a equação geral de uma reta perpendicular ao eio das abscissas que passa pelo ponto (2, 10). 11. Determine os coeficientes angular e linear da reta 5y = Considere a reta que passa pelos pontos (0, 5), (2, 1). Escreva: a) sua equação fundamental; b) sua equação geral; c) sua equação reduzida; d) seu coeficiente angular e seu coeficiente linear. 1. Escreva a equação reduzida da reta que passa pela origem e pelo ponto de intersecção das retas 4 2 = 0 e 8 2y 14 = Determine a equação de uma reta que faz 45 o com a horizontal e cruza o eio das ordenadas em 5 unidades. 15. Considere as retas: y = 7; y = 2m + 1; y = 6k. Determine os valores de m e k para que as três retas sejam paralelas. 16. Determine a equação da reta paralela a y = que passa pelo ponto (2, 8). 17. Determine a equação da reta s que passa pelo ponto (5, 1) e é perpendicular à reta y = Considere duas retas s e t perpendiculares entre si. O ponto (2, 5) pertence a ambas as retas. A equação da reta s é y = Determine a equação da reta t. 19. Determine a equação de uma reta qualquer que seja perpendicular à reta r que passa pela origem dos espaços e faz um ângulo de 45 o com a horizontal. 20. Obtenha a equação da circunferência de centro C(2, 1) e raio Obtenha o centro e o raio das circunferências abaio: a) ( 2) 2 +(y ) 2 = 9 b) 2 + y 2 4 8y + 16 = Determine o centro e o raio da circunferência de equação y y + 2 = Para que valores de m e k a equação m 2 + y y + k = 0 representa uma circunferência? B G 20 F C

13 MÓDULO Indique as condições que devem ser satisfeitas pelos coeficientes da equação: a 2 + by 2 + 2cy + 2d + 2ey + + f = 0, para que ela represente uma circunferência. 25. Obtenha as equações das circunferências de centro C e raio r, em cada caso: a) C(0, 0), r = 1 b) C( 2, 1), r = Obtenha a equação da circunferência de centro (2, 1), que passa pelo ponto (, ). 27. Determine o centro e o raio das seguintes circunferências: a) 2 + y 2 4 y = 0 b) 2 + y y = 0 c) 2 + y =0 d) y 2 4 8y + 6 = 0 e) 2 + y y + 14 = Se A 2 + Ay 2 + B + Cy + D = 0 (A 0) é a equação de uma circunferência, determine o centro e o raio. 29. Para que valores de m e k cada equação abaio representa uma circunferência? a) 2 + m y y + k = 0 b) m 2 + 2y y + k = 0 0. Qual a posição do ponto P(2, ) em relação à circunferência ( 1) 2 + (y 1) 2 = 4 1. Represente no plano cartesiano o conjunto dos pontos P(, y), tais que: a) 2 + y 2 < 9 b) 2 + y 2 4 c) 2 + y 2 6 4y + 12 < 0 2. Determine a posição do ponto P em relação à circunferência λ, em cada caso: a) P(0, 0) e (λ) 2 + y y +1 = 0 b) P(1, 2) e (λ) y 2 = 4. Represente no plano cartesiano os pontos P(, y), satisfazendo as seguintes condições: a) 2 +y 2 > y 2 < 4 b) 2 + y 2 < y < 0 4. (UEL-PR) Sejam A( 2, 1) e B(0, ) as etremidades de um diâmetro de uma circunferência λ. Obtenha a equação de λ. 5. (UE-RS) Obtenha a equação da circunferência de diâmetro AB, com A(, 1) e B(1, ). 6. (PUC-SP) Obtenha o ponto da circunferência ( 2) (y + 4) 2 = 4 que tem ordenada máima. 7. Obtenha a área do disco: 2 + y 2 4 6y + 8 < (FCMSC-SP) Seja (λ) uma circunferência cujo centro pertence ao eio das abcissas. Se as etremidades de uma de suas cordas são os pontos (2, 2) e (8, 4), obtenha a área da superfície plana limitada por λ. 9. (Mack-SP) Obtenha o maior valor inteiro de k, de modo que a equação 2 + y 2 4 6y + k = 0 represente uma circunferência. 40. (PUC-SP) Quantos são os pontos que têm coordenadas inteiras e são interiores à circunferência de equação 2 + y 2 = 6? 41. (UFC-CE) Qual a posição relativa das circunferências dadas pelas equações 2 + y 2 = 25 e ( ) y 2 = 4? 42. (PUC-SP) Dadas as circunferências C 1 : 2 + y 2 2 2y = 0 e C 2 : 2 + y 2 2 = 0, qual é a posição de C 1 em relação a C 2? 4. Dadas a circunferência ( 1) 2 + y 2 = 4 e a reta = k, para que valores de k a reta intercepta a circunferência em pontos distintos? 44. Determine os pontos P e Q, onde a circunferência 2 + y 2 + 4y + 2 = 0 encontra o eio das abscissas. 45. Determine a equação da reta t, tangente à circunferência (λ) 2 + y 2 = 4, e paralela à reta (s) + y 2 = 0. r 46. Obtenha a equação da reta (t), tangente à circunferência (λ), passando por P em cada caso: P t C t a) (λ) X 2 + y 2 = 25 e P(, 4) b) (λ) X 2 + y y + 47 = 0 e P(6, 1) c) (λ) X 2 + y = 0 e P( 1, 7) 47. (FGV-SP) Obtenha os pontos comuns à reta y = 1 e à circunferência 2 + y 2 = (FGV-SP) Obtenha os valores de k, tais que a circunferência 2 + y 2 = 20 e a reta y = 2 + k sejam tangentes. t s

14 14 Matemática 49. (Fuvest-SP) A reta y = é tangente a uma circunferência de centro C(2, 0). Obtenha o raio dessa circunferência. 50. Escreva as equações das retas tangentes à circunferência 2 + y 2 8 8y + 24 = 0, paralelas à reta y =. 51. Determine as equações das retas tangentes à circunferência 2 + y 2 2 2y + 1 = 0, e perpendiculares à reta = y. 52. Determine o comprimento da corda determinada pela reta y = 0 sobre a circunferência: ( + 2) 2 + (y 2) 2 = Determine as equações das paralelas à reta + 4y = 0, eteriores à circunferência 2 + y 2 = (Cesgranrio-RJ) Obtenha a equação da reta do plano oy, que passa pela origem 0 e é tangente à circunferência ( 2) 2 + (y 2) 2 = Determine as equações das retas tangentes à circunferência( 2) 2 + (y ) 2 = 9, pelo ponto (, 2). 56. (UFPE-PE) Obtenha a equação da circunferência de raio 2, e que tangencia os dois semieios positivos. 57. (PUC-SP) A equação de uma circunferência é y 2 = 16. Obtenha a equação da reta que possui uma corda, cujo ponto médio é (, 2). 58. As retas y = e y = tangenciam uma circunferência respectivamente nos pontos (, ) e (, ). Obtenha o raio dessa circunferência. 59. Obtenha a equação da circunferência que tangencia as retas + y = 0 e + y = 8, e que passa pelo ponto (0, 0). 60. (UEL-PR) Sejam A e B os pontos de intersecção da reta definida por y = + 1 com a circunferência de centro O(1, 2) e raio 2 cm. Obtenha a área do triângulo ABO. 61. (UFRGRS-RS) Uma circunferência, de centro (10, 6), tangencia o eio dos y. Obtenha os pontos onde ela corta o eio dos. 62. (FGV-SP) Calcule o comprimento da corda determinada numa circunferência de centro C(2, 0) e raio 8, pela reta y = (Fuvest-SP) A reta da equação 4y 6 = 0 intercepta a circunferência y y 5 = 0 nos pontos A e B. Determine o valor de tg a, em que α 2 é a medida do ângulo ACB, e C é o centro da circunferência. 64. (Fuvest-SP) Por um ponto P do semieio positivo dos, traçam-se tangentes à circunferência de equação 2 + y 2 =. O quadrilátero, cujos vértices são P, o centro da circunferência e os dois pontos de tangência têm área. Determine as equações dessas tangentes. 65. (UFRGS-RS) Se os gráficos de 2 + y 2 = 1 e 2 + y = m são circunferências tangentes, determine o valor de m.

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