NOTAÇÕES. Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são os cartesianos retangulares.

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1 NOTAÇÕES : conjunto dos números reais : conjunto dos números complexos i : unidade imaginária i = det M : determinante da matriz M M : inversa da matriz M MN : produto das matrizes M e N AB : segmento de reta de extremidades nos pontos A e B a, b = x : a x b [ ] { } Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são os cartesianos retangulares. Questão 0 Sejam X e Y dois conjuntos finitos com X Y e X Y. Considere as seguintes afirmações: I. Existe uma bijeção f : X Y. II. Existe uma função injetora g: Y X. III. O número de funções injetoras f : X Y é igual ao número de funções sobrejetoras g: Y X. É (são) verdadeira(s) A) nenhuma delas. B) apenas I. C) apenas III. D) apenas I e II. E) todas. As três afirmações são falsas. I. Considerando que o número de elementos do conjunto X é diferente do número de elementos do conjunto Y, não é possível formar uma função bijetora sequer com domínio em X e contradomínio em Y. II. Se X Y e X Y, então o número de elementos de Y é maior que o número de elementos de X. Assim, não é possível formar uma função injetora sequer com domínio em Y e contradomínio em X. III. Se X = {,, } e Y = {,,,4 }, então há 4 funções injetoras de X em Y e 6 funções sobrejetoras de Y em X. Assim, não necessariamente, o número de funções injetoras de X em Y é igual ao número de funções sobrejetoras de Y em X. Alternativa A O número de soluções da equação ( + sec θ )( + cossecθ ) = 0, com [ ] A) 0. B). C). D). E) 4. Questão 0 θ π, π, é

2 ( + sec θ )( + cos sec θ ) = 0 e, com θ [ π, π ] + secθ= 0 secθ= θ= πou θ=π ou π + cossecθ cossecθ= θ= Devido às condições de existência, nenhuma solução parcial pode ser usada, fazendo com que a equação inicial não tenha solução. Alternativa A Sejam abcd,,,. Suponha que abcd,,, formem, nesta ordem, uma progressão geométrica e que ab, /, c/ 4, d 40 formem, nesta ordem, uma progressão aritmética. Então, o valor de d b é A) 40. B) 0. C) 0. D) 0. E) 40. PG.. ( a b c d ) M MK MK MK,,, (,,, ) b c..,,, -40 PA MK MK a d ( M,,, MK 40) 4 4 MK M( K ) ( ) A razão da P.A é, por um lado: M K M = = 4 MK MK MK MK MK K ( ) Por outro lado: = = Igualando as razões encontradas: M ( K ) = MK( K ). b c Se M = 0 a = b= c = d = 0, então ( a,,, d 40) não é P.A! ABSURDO! 4. Se M 0 ( K ) = K( K ) ( K ) = 0 K = Então a P.A. será ( M, M, M, 8 M 40) Então 8M 40 = M M = 0 d b = MK MK = = 0 Alternativa D O maior valor de tg x, com A) / 4. B) /. C) /. D). E). Questão 0 Questão 04 π x = arc sen e x 0,, é π π π Se x = arcsen, com x 0,, então sen x =, com x [ 0, π]. Entretanto, contando que a função arcsen é definida para,, π π tem-se que x 0,. Se sen x =, então cosx =. Se cosx =, então cos x =, ou ainda, cos x =, pois x 0,. 0 π Com cos x = e x 0,, 0 sen x =, o que significa que tg x =. Assim, o único valor possível de tgx é 0. Alternativa B

3 Questão 0 Considere a reta : =. deste quadrado é r y x Seja = (,) A o vértice de uma quadrado ABCD, cuja diagonal BD está contida em r. A área A) B) C) D) E) r: y =. x A = (,) Como a diagonal BD está contida em r, segue que a distância de A a r é a metade da diagonal desta forma: d () () d 6 = = d =, em que d é o comprimento da diagonal do quadrado. Desta forma, a área A do () + ( ) 6 8 quadrao será A= = A Alternativa C Questão 06 Considere o sistema de equações = x y z S = x y z = x y z Se ( xyz,, ) é uma solução real de S, então x + y + z é igual a A) 0. B). C) 6. D) 9. E). Seja = A, = B, = C, nosso sistema se torna: x y z 4 A+ 7B+ 8C = 4A+ 08B+ C = ( I) 4A + 8B + 40C = 0 ( II ) A + 4B + 4C = 7 4A + 08B + 48C = 4 ( III ) Subtraindo ( I) de ( III ), temos 6C = C = 8 Subtraindo agora, ( II ) de ( III ): 7B+ 8C = 4 7B = B = 9 De ( I ):

4 7 8 A+ + = A = 9 8 Então, voltando às variáveis originais: A= x = B = y =± x + y + z = 6 9 C = z = 8 Alternativa C Questão 07 O número de soluções inteiras da inequação A). B). C). D) 4. E). x x + x é Com x + 8x 0, ou ainda, x ou x 0, 0 x 8x. Disso, 4 x ou + x 0. Neste caso, x = 4 e 8 x = 0 são os únicos valores inteiros que satisfazem a desigualdade. Com x + 8x < 0, ou ainda, < x < 0, tem-se que 0 4x + 8x. 6 6 Disso, x ou 0 x +. Neste caso, x = é o único valor inteiro que satisfaz a desigualdade. Assim, a inequação exibe três soluções inteiras: x = 4, x = e x = 0. Alternativa C Sejam A = {,,, 4,} e B {,,, 4, }. Se = { } A) 0. B). C). D). E) 4. Questão 08 C xy : x A e y B, então o número de elementos de C é Ao fazer um quadro da multiplicação dos elementos de A com os elementos de B temos. x Pela simples contagem por enumeração, temos que o número de elementos do conjunto C é: 4 Alternativa E 4

5 { } Sejam S= ( xy) y x e ( ) ( ) A) B) C) D) E) Questão 09, :. 4 π. 4 π. 4 π 7. 4 π 7. 4 π Para resolver essa questão é necessário esboçar os gráficos: { } S = xy, R : x + y +. A área da região S S é O círculo foi desenhado levando em consideração que o centro é (0,-) e o raio é. Como m m =, a área hachurada é: Alternativa A π S = πr ( ) = π = Questão 0 Sejam abcd,,, números reais positivos e diferentes de. Das afirmações: I. ( logc b) ( logc a) a = b. II. logd c logd a logd b a b c =. b c a log bc = log c III. ( ) ab é (são) verdadeira(s) A) apenas I. B) apenas II. C) apenas I e II. D) apenas II e III. E) todas. a As afirmações I e II são verdadeiras e a afirmação III é falsa. I. Sendo log b = xc x c, = b. Disso, x logc a logc a ( c ) = b, ou ainda, logc b logc a a = b. II. Tem-se que ( ) = logc a x logc a c b. Com isso, tem-se que log a x c a = b, ou melhor, logd c logd a logd b logd c logd a logd b a b c a b c = b c a b c a logd c logd a logd b.

6 Da igualdade justificada no item anterior, logd c logd a a = c, logd c logd b b c e = logd a logd b b a. Com isso, = logd c logd a logd b logd a logd b logd b = = logd b logd a logd b a b c c a c b c a c c a III. Sendo a=, b=4 e c=8, log c a = e log ab(bc) = log8.como log8, a afirmação não é, necessariamente, verdadeira. Alternativa C Questão 0 0 Sejam D = 0 0 e P = Considere = A) 44. B) 80. C) 40. D) 4. E) 60. A P DP. O valor de det ( A + ) A é A A A ( P D P) ( P D P) P D P P D P = = = = = = P D D P P D P Desta forma, segue que: A + A= P D P+ P D P = P D + D P A + A = P D + DP det ( ) det ( ( ) ) =det ( ) det( ) det( ) D + D P det( P) = det( ) det( ) =det( ) ( ) P D + D P D + D =det =det = 6 = 44 Alternativa A Questão Considere dois círculos no primeiro quadrante. π C com centro ( x, y ), raio r e área. 6 C com centro ( x, y ), raio r e área 44 π. Sabendo que ( x, y, r ) e (,, ) x y r são duas progressões geométricas com somas dos termos iguais a 7 4 e, respectivamente, então a distância entre os centros de C e C é igual a A). 6

7 B) C) D) E) π C : =π r r = 6 4 C :44π=πr r = (,, ) x y r é P.G. y = xr x =4y Nossa P.G. é 4,, y y 4, cuja soma é y + y+ = 4y + y = y + y = 0 = 00 Como está no º quadrante, só podemos considerar a raiz positiva: + 0 = = 6 4 = 4 = =, =, 4 y x y ( x y ) De forma análoga: x y r é P.G. y= xr x = y (,, ) y y, y, soma : + y + = y + y 08 = 0 = y = = 6, x = x, y =, 6 Distância do ponto, ( ) ( ) para (, 6 ) 7 d = ( ) + 6 = 4+ = Alternativa E Questão Das afirmações: k I. Todo número inteiro positivo pode ser escrito, de maneira única, na forma ( ) positivos. II. Existe um número [ 0, π/ ] = ( + π ) x de tal modo que os números = sen, a4 sen x / 4 estejam, nesta ordem, em progressão geométrica. III. Existe um número inteiro primo p tal que p é um número racional. é (são) verdadeira(s) A) apenas I. B) apenas II. C) apenas III. D) apenas I e II. E) todas. m, em que k e m são inteiros a x a = ( x +π ) = ( +π ) sen / 4, a sen x / e 7

8 A afirmação I é verdadeira e as afirmações II e III são falsas. K I. Para se escrever um número inteiro positivo na forma (m ), basta fazer k igual ao sucessor da quantidade de fatores e m igual à metade do sucessor do produto dos fatores primos ímpares. II. Considerando que a, a, a, a4, nesta ordem, formem uma progressão geométrica, a = a a 4, o que implica cos x = cos x sen x. Com isso, tg x =. Levando-se em conta que não há x real que satisfaz esta igualdade, não existe π um número x 0, que torna a sequência ( a, a, a, a4) uma progressão geométrica. III. Sejam a e b inteiros positivos e primos entre si tais que p = a b. Disso, p = a b, ou melhor, a = b p. Independentemente de a e b, o número a tem uma quantidade par de fatores primos e o produto b p, uma quantidade ímpar, o que faz com que esta igualdade não seja verdadeira. Assim, não existe número inteiro primo p tal que p seja um número racional. Alternativa A Questão 4 Com os elementos,,,0 a, a,, a 7. Escolhendo-se aleatoriamente uma dessas sequências, a probabilidade de a sequência escolhida não conter elementos repetidos é A) 7!. 7 0! B) 0!. 7 0! C)! ! D) 0!. 0 7! E) 0! 7. 0 são formadas todas as sequências ( ) O número total de sequência é 0 7, pois para cada posição existem 0 possibilidades. 7 0! O número destas sequências, que não contem elementos repetidos, é A0 =.! 0!! 0! Portanto, a possibilidade P de se montar uma sequência sem elementos repetidos é P = = ! Alternativa B Considere a equação ( a bi) 0 = ( a + bi) ( a b ) O número de pares ordenados ( ab, ) que satisfazem a equação é A) 00. B) 0. C) 0. D) 0. E) 04. Seja Questão a + bi = z cs i θ, onde θ é o argumento e z = a + b. 8

9 Então: 0 0 ( ) ( ) ( ) a bi = z cis θ a bi = z ci s 0θ ( ) 0 00 a + b = z Substituindo na equação, teremos: 0 z cs i θ z cis( 0θ ) = 00 z ( ) z + z = z ci s 0θ Caso : z = 0 a + b = 0 a = b = 0. Caso : z ( )( ) z + z = ci s 0 θ * Igualando as partes imaginárias: sen 0 0 θ=, então ( ) cos 0θ = ou z + z = cos( 0θ), a única solução possível é ( ) z + z =, como z > 0, então z =. cos 0θ =. Usando * : c s( 0 ) ( ) z + z = i θ + = ci s 0θ ( ) ci s 0θ = ( ) 0 0 cisθ = ci sθ= 0 raízes Como a = z cosθ e b= z sen θ, há 0 pares ordenados nesse caso. Então, o total será: 0 0 Alternativa D + = pares ( a, b ) Questão 6 Seja ABC um triângulo cujos lados AB, AC e BC medem 6cm, 8cm e 0cm, respectivamente. Considere os pontos M e N sobre o lado BC tais que AM é a altura relativa a BC e N é o ponto médio de BC. A área do triângulo AMN, em cm, é A),6. B),60. C) 4,0. D) 4,48. E) 6,7. 9

10 Observe o desenho: No triângulo ABC, 6 = x 0, o que implica x =,6. Com isso, y =, 4. Ainda no triângulo ABC, 0 h = 6 8, o que implica h = 4,8. Assim, a área do triângulo AMN, em cm, é, 4 4,8 =,6. Alternativa A Questão 7 Seis circunfêrencias de raio cm são tangentes entre si duas a duas e seus centros são vértices de um hexágono regular, conforme a figura abaixo. O comprimento de uma correia tensionada que envolve exsternamente as seis circunferências mede, em cm, A) 8 + π. B) π. C) π. D) π. E) π. A correia e formada por seis segmentos de reta (partes da correia que não tem contato com a circunferência) e seis arcos de circunferência (a partes da correia que tem contato com a circunferência). Cada segmento de reta tem comprimento igual a 0 cm e se posicionarmos os arcos de circunferência lado a lado teremos uma circunferência completa. Desta forma o comprimento da correia será: Alternativa D π π Questão 8 O lugar geométrico dos pontos ( ab, ) tais que a equação, em z, possua uma raiz puramente imaginária é A) uma circunferência. B) uma parábola. ( ) z z a ib = 0 0

11 C) uma hipérbole. D) uma reta. E) duas retas paralelas. Se a equação possui uma raiz puramente imaginária, ela será do tipo Z = m i. Substituindo e igualando a zero: m m i a bi = ( ) ( ) a m + m bi = 0 Então: m= b a m = 0 a b = 0 b + a = 0 Calculando o cônica = 0 40 = 0. Então se trata de uma parábola. Alternativa B Questão 9 Um atirador dispõe de três alvos para acertar. O primeiro deste encontra-se a 0m de distância; o segundo, a 40 m ; o terceiro alvo, a 60 m. Sabendo que a probabilidade de o atirador acertar o alvo é inversamente proporcional ao quadrado da distância e que a probabilidade de ele acertar o primeiro alvo é de, então a probabilidade de acertar ao menos um dos alvos é A) B) C) D) E) Considerando que a probabilidade de o atirador acertar o alvo é inversamente proporcional ao quadrado da distância, p( ) 0 = p( ) 40 = p( ) 60, sendo p(, ) p ( ) e p ( ) as probabilidades de se acertarem o º, o º e o º alvos, respectivamente. Com p ( ) =, 900 = p( ) 600 = p( ) 600, o que implica p ( ) = e p ( ) =. Levando-se em conta que a probabilidade de o atirador errar todos os alvos é 8 6 =, a probabilidade de ele acertar ao menos um alvo é 9 = Alternativa E

12 Questão 0 Considere o triângulo ABC, em que os segmentos AC, CB e AB medem, respectivamente, 0cm, cm e 0cm. Seja D um ponto do segmento AB de tal modo que CD é bissetriz do ângulo ACB ˆ e seja E um ponto do prolongamento de CD, na direção de D, tal que DBE ˆ = DCB ˆ. A medida, em cm, de CE é A) B) C) D) E) Pelo teorema de bissetriz interna, temos: Desta forma DB =. Pela relação de Stewart, temos: CA CB 0 = = ( 0 DA) = DA DA DB DA DA ( 0 ) 40 DA = DA DA = 40 DA = 8. CD = CD = 080 CD = 4 CD = 6 Pela semelhança entre os triângulos BED e CAD, temos: DE 6 6 = DE = CE = 6 + = Alternativa E Questão Considere as retas de equações r: y = x + ae s : y = bx + c, em que abc,, são reais. Sabendo que r e s são perpendiculares entre si, com r passando por ( 0, ) e s, por (,4 ), determine a área do triângulo formado pelas retas r, s e o eixo x. r: y = x + a mr = nr = a s : y = bx + c ms = b ns = c r s m m = b = b = r s

13 ( 0;) r = 0+ a a = n = ( ;4) s 4= + c c = ns = r: y = x+ s: y = x+ r s: y = y+ 0 y = y = ( altura do triângulo) ox r :0= x + x = x = x = r ox s : 0= x + x = x = 0 0 x = x = 0 0 x = = ( base do triângulo) A A TRI TRI = = ua.. Questão Determine todos os valores reais de x que satisfazem a inequação 4 x 4 > x. Tem-se que x x x x 4x 4 4x 64 x > > > 8 > 4 > 4 log 64 < log 64 4 x x < log Assim, a inequação é satisfeita para todo número real x tal que x < log x x Questão Considere o polinômio 4 p x = x + x + + x + 4 x+ ( ) ( ) ( ) ( ) A) Determine os números reais a e b tais que p ( x) ( x ax )( x bx ) B) Determine as raízes de p( x ). =

14 A) p x 4 = x + x + + x + 4 x+ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = ( + + ) ( + + ) p x x ax x bx 4 ( ) ( ) ( ) ( ) p x = x + a+ b x + + ab+ x + a+ b x+ a+ b = ab + = + a+ b = 4 a = b = B) ( ) = ( + ) ( + ) p x x x x x x x+ = 0 x = + x = s = [ + ; ;+ i 7; i 7] ou x x+ = 0 x = + i 7 x = i 7 4 Questão 4 Sejam A e B dois conjuntos com e elementos, respectivamente. Quantas funcoes sobrejetivas f : B A existem? Pensemos da seguinte forma: Seja x o número de flechas que chegam em, y em e z em. Sabemos que: x+ y+ z = Usando o método bola-traço, para que a função seja sobrejetora, x, y, z. 4 O número de soluções inteiras será = 6. Essas soluções são: (,, ); (,, ); (,, ) (,, ); (,, ); (,, ) Então, o número de maneiras que podemos escolher é: Substituindo as ternas ordenadas: total 0 = !!!!!!!!!!!!!!!!!! = = = 0 = 0 possíveis funções sobrejetoras. ( ) ( ) x x y! x! 0 = = x y z x! ( x)! y! x y! xyz!!! 4

15 Sejam A = {,,...,9,0} o conjunto dos números inteiros de a 0 e (,, ) com elementos de A e razão q >. A) Determine todas as progressões geométricas (,, ) B) Escreva Questão q m n =, com m, n e ( ) a a a de razão a a a uma progressão geométrica crescente q =. mdc mn, =. Determine o maior valor possível para n. A) Com q =, a 9 = a. Considerando que a e a pertencem ao conjunto A, a = 4 ou a = 8 ou a =. Assim, as progressões de 4 razão q = são ( 4,6,9 ), ( 8,,8 ) e (,8,7 ). B) Com q = m n, sendo m, n e mdc (, ) m n =, a = a m n, o que significa que a deve ser múltiplo de a devem pertencer ao conjunto A e que m> n, pois q >, o maior valor possível para n é 4. e n. Considerando que a Questão 6 Esboce o gráfico da função f : dada por x f ( x ) =. x f ( x ) = = x Questão 7 Determine todos os valores reais de a para os quais o seguinte sistema linear é impossível: x + ay + z = x y + z = x + az = x + ay + z = a x x y z y + = = x + az = 0 a z

16 Por meio do método de Cramer: ( a+ 9a+ 0) ( 6+ 0 a ) a + 7a+ 6= 0 a = ou a = 6 com a = : x y+ z = x y+ z = x y+ z = y+ 4z = SPI... x z = 6y+ 8z = com a = 6 x 6y+ z = x 6y+ z = x y+ z = 8y+ 4z = SI.. x 6z = 6y+ z = Logo, para que o sistema seja impossível, é preciso que a = 6. Questão 8 Um triângulo retângulo com hipotenusa = ( + 6) superfície do cone obtido ao girar o triângulo em torno do seu maior cateto. Observe a figura: c está circunscrito a um círculo de raio unitário. Determine a área total da Considere < a b. Tem-se + = ( + 6) a b. Com isso, o perímetro do triângulo é e a área é + 6, pois a mesma pode ser obtida multiplicando-se o semiperímetro pelo raio da circunferência inscrita. Com a área, ( a+ ) ( b+ ) ( )( ) a+ b + = Como = + 6 b a, ( a+ )( + 6 a ) = , ou melhor, ( ) = + 6, ou ainda, a + 6 a = 0. Resolvendo-se esta equação a = + 6 ou a = + 6. Se a = + 6, b = + 6. Se a = + 6, b = + 6. Levando-se em conta que a< b, a = + 6 e b = + 6. Observe a figura: O cone formado pelo giro do triângulo em torno do maior cateto, tem raio = 6 superfície é π 6( ), ou melhor, ( 8 6 ) + π. R e geratriz g = ( + 6). Assim, a área total de sua 6

17 Z Questão 9 x Determine o conjunto das soluções reais da equação cossec tg x =. cos( ) Usando a identidade sen x x = na equação temos: x cossec tg ( x ) = tg ( x) = cos x ( ) ( x) = cos tg ( x) ( x) 6 6 = + tg ( x) = sec cos + cos ( x) ( x) ( x) ( x ) ( x) 6 = = + + cos cos 6 cos cos 0 = ( ) ( )( ) = 4 6 = cos ( x) De cos( ) De cos( ) ± = 6 ( ) cos( x) = ou cos ( x) ( x) ( x) 6cos cos ( x) = π x = segue x =± + k π. x = segue x =± arccos + k π. π S = x x =± + kπ ou x =± arccos + kπ, k Questão 0 Considere o cubo ABCDEFGH de aresta tal que: ABCD é o quadrado da base inferior; EFGH, o quadrado da base superior e AE, BF, CG e DH são as arestas verticais. Sejam L, M e N os pontos médios das arestas AB, CG e GH, respectivamente. Determine a área do triângulo LMN. Resolução n : MNG é triângulo retângulo MN = GM + GN ( ) ( ) ( ) MN = u. c P é ponto médio da aresta EF. é triângulo retângulo LPN ( LN ) = ( LP) + ( PN ) LN = u. c 7

18 LBM é triângulo retângulo ( LM ) = ( LB) + ( BM ) LM = 6 u.. c BCM é triângulo retângulo ( BM ) = ( BC) + ( CN ) BM = u.. c LMN é triângulo retângulo. LM = 6 uc.. MN = uc.. LN = uc.. A LMN 6 = = ua.. Resolução n : Vetores: A+ B C + G L = = (,0,0) M = = (,,) G+ H N = = (,,) LM = M L = (,,) LN = (0,,) i j k Área = LM LN = = iˆ + j k 0 = + + = = 8

19 Matemática Diego Bernadelli Mateus Costa Ney Marcondes Salviano Colaboradores Aline Alkmin Cristiane Ribeiro João Paulo Márcia Santana Nathally Cortez Rodrigo Ramos Vinicius Ribeiro Projeto Gráfico Rodrigo Ramos Copyright Olimpo06 As escolhas que você fez nessa prova, assim como outras escolhas na vida, dependem de conhecimentos, competências, conhecimentos e habilidades específicos. Esteja preparado. 9