NOTAÇÕES. : conjunto dos números naturais : conjunto dos números inteiros : conjunto dos números reais conjunto das matrizes reais m

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1 NOTAÇÕES : conjunto dos números naturais : conjunto dos números inteiros : conjunto dos números reais M mn : conjunto das matrizes reais m n det M : determinante da matriz M t M transposta da matriz M A B: x: xa e x B k n k ax n : a0 ax ax ax k, k n0 : conjunto dos números complexos i : unidade imaginária, i z : módulo do número z Re z : parte real do número z ab, : x ; a xb ab, : x ; a xb ab, : x ; a xb k an : a0 aa ak, k n0 Arg z : argumento principal de z \ 0, Arg z 0, C A : conjunto (evento) complementar do conjunto (evento) A AB : segmento de reta unindo os pontos A e B ABC : ângulo formado pelos segmentos AB e BC, com vértice no ponto B. Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são cartesianos retangulares. Questão 0 Sejam A, B e C subconjuntos de um conjunto universo U. Das afirmações: I. A \ BC A\ B A\ C; C II. A C\ B AB C; A \ B B\ C A\ B \ C ; III. é(são) verdadeira(s) A) apenas I. B) apenas II. C) apenas I e II. D) apenas I e III. E) todas.

2 Se x A\ B C, então x A e x B C. (V) I. Como A A\ B A\ C AB C, segue que x A\ B A\ C, logo A \ B C A\ B A\ C Se x A\ B A\ C, então x A\ B ou x A\ C, logo x A e x B ou x A e x C, portanto x A\ B C, ou seja A \ B A\ C A\ B C. Destas duas conclusões, segue que: A \ BC A\ B A\ C. (V) II. Se x A C \ B, então x A C e x B, logo x A C e C x B, ou seja. C x AB C, daí: C A C\ B AB C C C Se x AB C, então x A C e x B, que é equivalente à: x A C e x B C A B C A C\ B. Destes dois resultados, temos: C A B C A C\ B, então x A\ B e x B\ C, ou seja x A e x B, juntamente com x B e x C, o que é uma contradição, logo A\ B B\ C. A relação de inclusão A \ B\ C A\ B B\ C só seria verdadeira se A. Como nada pode ser dito sobre A o item é falso. (F) III Se x A\ B B\ C Alternativa C, ou seja, \ x A C B, daí: Questão 0 A soma das raízes da equação em, A). B). C). D). E). 8 z 7z 0, tais que z z 0, é 8 z 7z z z z ou z z z ou z i z z ou z i Das raízes listadas acima, as que satisfazem z z 0 são z ou z. A soma delas é. Alternativa C

3 Considere a equação em, z i soluções, então o valor de z 0 é A) 9. B). C). D). E). Como zi zi ou zi i Logo as raízes serão: z i, z i, z i e z i. Se z 0 é a solução que apresenta o menor argumento principal dentre as quatro Como todas as raízes se encontram no º quadrante, a raiz que possui o menor argumento principal será aquela que tiver a menor razão Im z : Re z Questão 0 Logo é o z, cujo módulo é z Alternativa B A soma de todos os números reais x que satisfazem a equação 8 9 x x x é igual a A) 8 B) C) D) 8 E) 0 Questão 0 Como x, temos x 0, x Reescrevendo, fica x x x 9, e fazendo A A A x A, teremos A A 9A 9 0, pelo teorema das raízes racionais encontramos A. Reduzindo o grau: 0

4 Logo fatorando fica Então A ou A ou A Regressando à variável original: A A A x,,, x x x x x x x A soma das soluções é: 8 Alternativa D Questão 0 Se os números reais a e b satisfazem, simultaneamente, as equações a b e ln a bln 8 ln, um possível valor de a b é A). B). C). D). E). a b a b b ln a ln ln8 Fazendo a mudança de variáveis I) ln a b ln a b 8 8 a x e b y. x y 8 xy Resolvendo o sistema simétrico obtemos: x e y 8 Assim a e a Logo b b 8 II) x e 8 a e Logo a b y b Alternativa A

5 Questão 0 Considere as funções f e g, da variável real x, definidas, respectivamente, por x ax b f x e ax e gx ln b, em que a e b são números reais. Se f f, então pode-se afirmar sobre a função composta g f que A) g f ln. B) g f 0. C) g f nunca se anula. D) g f está definida apenas em x : x 0. E) g f admite dois zeros reais distintos. x ax b f( x) e f( x) x axb 0 Assim, e são raízes de x axb x ( x ) Então a e b Assim x x f( x) e x e gx ( ) ln Segue x x e g f( x) ln g f( x) x xln Com domínio real. Analisando o discriminante: ln ln logo 0 x ax b Então g f admite duas raízes reais distintas. Alternativa E Questão 07 Considere funções f, g, f g:. Das afirmações: I. Se f e g são injetoras, f g é injetora; II. Se f e g são sobrejetoras, f g é sobrejetora; III. Se f e g não são injetoras, f g não é injetora; IV. Se f e g não são sobrejetoras, f g não é sobrejetora. é(são) verdadeira(s) A) nenhuma. B) apenas I e II. C) apenas I e III. D) apenas III e IV. E) todas. I Falsa. Sejam f ( x) x e g( x) x Então f g é constante e não injetora. II Falsa pelo mesmo contra exemplo. III Falsa. Seja f ( x) x x e g( x) x x Nem f, nem g são injetoras.

6 IV Mas f gx x, assim f g Falsa. Novamente f ( x) x x e é injetora. g( x) x x Mas f gx x que é sobrejetora., assim f e g não são sobrejetoras. Alternativa A Questão 08 Seja n um inteiro positivo não divisível por. Se, na divisão de da divisão de n por é A). B). C). D). E). Seja n p r com r Então n p pr r n r e p pr Como p pr é par, mas o quociente de r r tem quociente 0 r r tem quociente 0 r r tem quociente r r tem quociente r r tem quociente Logo, r Alternativa C n por é ímpar, segue que o quociente de n por, o quociente é um número ímpar, então o resto r por é ímpar. Questão 09 Considere a equação n ax n 0 em que a soma das raízes é igual a e os coeficientes a 0, a, a, a, a e a formam, n0 nesta ordem, uma progressão geométrica com a 0 =. Então A). an é igual a n0 B) C).. D). E). Temos: ax ax ax ax ax a0 0 onde a0, a, a, a, a, a é uma P.G. e a0 Pelas relações de Girard: a a a, logo aq 0 aq 0 q a

7 Assim: a0 aa a a a n n0 a Alternativa D a q n 0 q Seja solução real da equação 9 7. Então a soma das soluções z, com Re z 0, da equação z, é A). B). C). D). E) Questão ' 8 " Apenas " é solução real da equação dada. Assim: z z i ou z i As soluções cuja Re z 0 são z i e z i z z Alternativa B Questão Seja p uma probabilidade sobre um espaço amostral finito. Se A e B são eventos de tais que pa, pa B, as probabilidades dos eventos A \ B, A B e A A), e. B), e. C), 7 e. D), e. E), 7 e. C C B são, respectivamente, p B e 7

8 P A\ B P( A) P( A B) PA ( \ B) PA ( B) PA ( ) PB ( ) PA ( B) 7 PA ( B) C C P A B P A B C C PA ( B) Alternativa E Questão Considere os seguintes resultados relativamente ao lançamento de uma moeda: I. Ocorrência de duas caras em dois lançamentos. II. Ocorrência de três caras e uma coroa em quatro lançamentos. III. Ocorrência de cinco caras e três coroas em oito lançamentos. Pode-se afirmar que A) dos três resultados, I é o mais provável. B) dos três resultados, II é o mais provável. C) dos três resultados, III é o mais provável. D) os resultados I e II são igualmente prováveis. E) os resultados II e III são igualmente prováveis. I Probabilidade de duas caras: II III Probabilidade de caras e coroa: C, Probabilidade de caras e coroas: C 7 8, Alternativa D Questão Considere A M com det A e \ 0 x det AAA, o valor de é. Se t t A) B).. C). D). E). Por Burt temos: det t t A AA A A t A det det det 8

9 A det Com 0, fica,, Alternativa C Questão Sejam a um número real e n o número de todas as soluções reais e distintas x 0, 8 8 cos x sen xsen x a. Das afirmações: I. Se a 0, então n 0 ; II. Se a, então n 8 ; III. Se a, então n 7 ; IV. Se a, então n ; é(são) verdadeira(s) A) apenas I. B) apenas III. C) apenas I e III. D) apenas II e IV. E) todas. Primeiro vamos deixar a equação expressa através de uma única função trigonométrica: 8 8 cos x sen xsen x a cos x sen xcos xsen x sen x a sen x sen xcos xsen x sen x a sen x sen x sen x sen x a sen x sen x cos xsen x cos xsen x sen x a sen x sen xsen xsen xsen xsen x a sen x sen x a (V)I Se a 0, então: sen xsen x 0 que é uma equação biquadrática em "sen x ", que não possui raízes reais. n 0 da equação (V)II Se a, então: sen xsen x sen x8sen x 0 8 sen x 8 sen x senx ou senx n 8 (V)III Se a, então: sen x sen x sen x sen x 0 9

10 sen x sen x 0 senx 0 ou n 7 senx (V)IV Se a, então: sen sen x sen x sen x 0 sen xsen x 0 sen x sen x senx n Alternativa E Questão Se cos x, então um possível valor de cossec cotg x x secx é A). B). C). D). E). Dado que cos x, então x k x k Como cos x 0 e senx 0, temos cossec( x ) sen x sen x senx secx cosx cos x Assim: cos x cot g x senx cos sec( x) sec x senx cos x cos x senx senx cos x cos xsenx senxcos x Dentre as alternativas o único valor possível para cos x é, que ocorre para x. Alternativa A 0

11 Questão Uma reta r tangencia uma circunferência num ponto B e intercepta uma reta s num ponto A exterior à circunferência. A reta s passa pelo centro desta circunferência e a intercepta num ponto C, tal que o ângulo ABC seja obtuso. Então o ângulo CAB ˆ é igual a A) ˆ. ABC B) ABC ˆ. C) ˆ. ABC D) ABC ˆ. E) ABC ˆ. C O r O triângulo BOC é isósceles, assim: BCO ˆ OBC ˆ CAB ˆ BCO ˆ ABC ˆ OBC ˆ ABC ˆ CAB ˆ BCO ˆ ABC ˆ ˆ ˆ CAB ABC ABC ˆ ˆ CAB ABC ˆ B A s Alternativa B Questão 7 Sobre a parábola definida pela equação x xy y xy 0 pode-se afirmar que A) ela não admite reta tangente paralela ao eixo Ox. B) ela admite apenas uma reta tangente paralela ao eixo Ox. C) ela admite duas retas tangentes paralela ao eixo Ox. D) a abscissa do vértice da parábola é x. E) a abscissa do vértice da parábola é x. Reta paralela ao eixo x será y A Logo x xa A xa 0 x Ax A A 0 Como queremos uma reta tangente, essa equação deve ter solução única, portanto: 0 A A A 0 A 8AA A 0 A 0, A 0 Logo y 0 é a única reta tangente. Alternativa B

12 Das afirmações: I. Duas retas coplanares são correntes; II. Duas retas que não têm ponto em comum são reservas; III. Dadas duas retas reversas, existem dois, e apenas dois, planos paralelos, cada um contendo uma das retas; IV. Os pontos médios dos lados de um quadrilátero reverso definem um paralelogramo, é (são) verdadeira(s) apenas A) III. B) I e III. C) II e III. D) III e IV. E) I e II e IV. Questão 8 I. Falsa, pois elas podem ser paralelas. II. Falsa, pois retas paralelas não têm ponto em comum e são coplanares. III. Verdadeira. IV. Verdadeira. Alternativa D Um plano intercepta as arestas de um triedro trirretângulo de vértice V, determinando um triângulo ABC cujos lados medem, respectivamente, 0, 7 e cm. O volume, em cm, do sólido VABC é A) B) C) 7 D) E) 0 Questão 9 a b 0 Como b c a c 7 Somando as equações: a b c a b c a a b 7 b c 0 c bc Logo seu volume será V a V cm Alternativa A

13 No sistema xoy os pontos A,0, B, e 0, circular reto de altura 8. Para este cilindro, razão A) B) 00 0 C) 0 D) 00 E) Questão 0 C são vértices de um triângulo inscrito na base de um cilindro volume, em unidade de comprimento, é igual a área total da superfície Como: d d d, o triângulo ABC é retângulo em C. AB AC BC Assim, o raio da base do cilindro é: d AB R R 8 Volume 00 8 Área total 0 Alternativa B Questão Para z iy, 0 y, determine todos os pares, ay, a, tais que 0 z a. Escreva a e y em função de Arg z. Do enunciado, o afixo de z pertence à semi reta tracejada:

14 Assim, z cosisen, com 0, Segue z 0 0 i sen0 com O problema de obter ay, tal que Assim 0 ou 0 ou Para : cos sec z sec cos isen y tg 0 a sec Para sec. 0 0,. 0 z z sec cos isen y tg 0 a sec a, com a, deve ser entendido como cos0 e sen 0 0. Logo, os pares pedidos são: 0 0 sec, tg e sec, tg Questão Determine o maior domínio D da função f :, f x log sen cos x x Logaritmando e base devem ser positivos: Base: x x0 e x x

15 Estudo do sinal: Logo, x x00 x (I) Logaritmando: sen xcos x 0 senx0 sen x De (I) basta resolver a inequação na primeira volta. sen x cos x x x (II) Obedecendo às condições I e II temos D, Questão Considere o polinômio Pm am m 8, em que a é tal que a soma das raízes de P é igual a. Determine a raiz m de P tal que duas, e apenas duas, soluções da equação em x, x mx m x 0, estejam no intervalo,. A soma das raízes de P é : a a. Logo P m m m 8 cuja raízes são m' e m" Para m a equação dada se reduz a: x x x 0

16 L x x x x. Seja Tem-se L 7 e L. Como L 0 e L 0, existe um número ímpar de raízes reais no intervalo, Logo m não convém. Para m a equação dada se reduz a: x x 0x 0 Por inspeção, x é raiz. Reduzindo o grau: 0 0. (Teorema de Bolzano). As outras raízes são raízes de x x 0 x x,, Logo m é a raiz pedida de P. Quantos tetraedros regulares de mesma dimensão podemos distinguir usando cores distintas para pintar todas as suas faces? Cada face só pode ser pintada com uma única cor. Questão Considerando as cores c, c, c e c. I) Todas as faces da mesma cor: casos II) III) IV) Usando exatamente duas cores: C casos casos 8casos, Escolha facesdeuma das cor eduasfaces cores daoutraou facesdeumacor edaoutra,sendo que na última opção podemos mudar a cor mais utilizada. Usando exatamente três cores: C, C, caso casos casos Escolha Escolha das da cores cor que repete uma vez escolhidas escolhidas as cores é única a forma de pintar Usando as quatro cores: Tomemos a cor c para a base. Nas outras três faces teremos uma permutação circular das três cores restantes. PC casos casos. Do exposto, teremos um total de casos casos Questão Considere o sistema na variável real x : x x x x (a) Determine os números reais e para que o sistema admita somente a soluções reais. (b) Para cada valor de encontrado em (a), determine todas as soluções da equação xx

17 O sistema deve ter solução, e ela deve ser real. Para x x 0 admitir somente raiz real, 0 0 Dado, o sistema pode admitir uma ou duas soluções, dentre: x e x Para cada uma das soluções comuns podemos determinar em função de : x x x x Para que todas as soluções da primeira equação sejam soluções da segunda : 0 0 ou Para 0 segue 0 Para segue Com isso, pode ser 0,0 ou e o sistema admite a solução 0, e o sistema admite a solução 8, 8. S. S. Podemos, ainda, admitir que apenas uma raiz da primeira equação seja raiz da segunda, neste caso, basta tomar ou como definidos acima. Logo, existem infinitos pares de números reais que fazem o sistema admitir somente soluções reais:,, ou,,, com. Sendo que para 0 ou obtemos os casos particulares, 0,0 e,, 8 descritos anteriormente. b) Para a solução " x " do sistema, tem-se: x x x x Substituindo na segunda equação: xx( x ) xx x xxx xx x x é raiz. Redução de grau: x x 0 7

18 Logo as outras raízes são: x Logo x S,, Questão Considere o sistema nas variáveis reais x e y : xsen ycosa x cos ysen b, com 0, e a, b. Analise para que valores, a e b o sistema é (i) possível determinado, (ii) possível indeterminado ou (iii) impossível, respectivamente. Nos casos (i) e (ii), encontre o respectivo conjunto solução. Analisando o determinante do sistema: sen cos D D sen cos cos sen i ) Para o sistema ser possível e determinado é necessário e suficiente que D 0 sen cos 0 tg tg e tg Como 0, segue Logo o sistema é possível determinado para, a, b IR. ii ) Para o sistema ser possível e indeterminado é necessário D 0: D 0 tg O sistema se torna: x y a S x y b Como o sistema admite infinitas soluções, as retas descritas pelas duas equações são coincidentes e uma equação é múltipla da outra. a Logo, a b. b O sistema será indeterminado para:, a b, b IR. iii ) Para o sistema ser impossível as equações do sistema S devem representar retas paralelas distintas. Assim, a b, b IR e. Resolvendo para o caso i ) pelo Teorema de Cramer: a sen Dx b cos e sen a Dy cos b Dx acosbsen x D sen cos 8

19 Dy bsenacos y D sen cos a cos b sen sen cos, b a S sen cos sen cos Para o caso ii ) despreza-se uma equação de S x y b x b y S b y, y, y IR A solução é e nas condições anteriormente estabelecidas para a e b. Encontre os pares, 0, 0, que satisfazem simultaneamente as equações tg cotg cossen cos e Questão 7 sen cos tgcot cossencos sen cos sen sen cos sen cos sen cos sen sencos cos sen sencoscos cossen cos coscos k cos cos 0 k ou k cos ou cos cos sen cos Como, 0, 0, então cos não tem solução, e o sistema se reduz a I ou II 0 III De (I) e (III), vem De (II) e (III), vem sen cos. Assim, as soluções são,, e,, 9

20 Questão 8 x Determine a área da figura plana situada no primeiro quadrante e delimitada pelas curvas yxy 0 x x y 8 0. e x x y 80 x y 9 Circunferência de centro C, 0 e raio R x x r: y x e s: y Representando graficamente A equação yx z y 0 conduz ao par de retas A s ya A, Seja S a área hachurada pedida: S A A A setor CBE ABC ADE S 9 9 S 9 S 0

21 Em um triângulo de vértices A, B e C, a altura, a bissetriz e a mediana, relativamente ao vértice C, dividem o ângulo BCA ˆ em quatro ângulos iguais. Se é a medida do lado oposto ao vértice C, calcule: (a) A medida da mediana em função de. (b) Os ângulos Questão 9 ˆ CAB, ˆ ABC e ˆ BCA. Considere a figura acima em que CH é altura, CP é bissetriz e CM é mediana, que dividem o ângulo C e em quatro ângulos iguais. Aplicando a lei dos senos no ACM, temos: CM AM sen 90º sen AM e sen90º Como cos CM sen cos, temos: Analogamente, aplicando a lei dos senos no CM BM sen 90º sen cos CM sen (I) (II) Igualando (I) e (II), temos: cos cos sen sen sen cos sen cos sen sen ou 80º 0 (não convém) ou,º BCM, vem: a) BCA ˆ 90º, portanto o ABC é retângulo. Assim, a mediana relativa à hipotenusa mede a metade da hipotenusa, ou seja, b) Os ângulos são: BCA ˆ 90º, CAB ˆ 90º 7,º e ABC 90º,º CM.

22 Seja ABCDEFGH um paralelepípedo de bases retangulares ABCD e EFGH, em que A, B, C e D são, respectivamente, as projeções ortogonais de E, F, G e H. As medidas das arestas distintas AB, AD e AE constituem um progressão aritmética cuja soma é cm. Sabe-se que o volume da pirâmide ABCF é igual a 0cm. Calcule: (a) As medidas das arestas do paralelepípedo. (b) O volume e a área total da superfície do paralelepípedo. Questão 0 a) Como x, y e z estão em P.A., temos: x y r e z y r, em que r é a razão da P.A. A soma dos termos da P.A. é, portanto: yr y yr y y O volume da pirâmide ABCF é: xyz V 0, logo r r r As medidas das arestas são: AB cm, AD cm e AE cm ou AB cm, AD cm e AE cm b) Volume do paralelepípedo é: V V 0cm e a área total: S S 9cm

23 Matemática Bruno Fraga Douglas Lafayette Luis Antônio Marcelo Moraes Ney Marcondes Colaboradores Aline Alkmin Carolina Chaveiro Luis Gustavo Rubem Jade Digitação e Diagramação João Paulo de Faria Márcia Santana Valdivina Pinheiro Desenhistas Leandro Bessa Luciano Lisboa Vinicius Ribeiro Projeto Gráfico Vinicius Ribeiro Assistente Editorial Valdivina Pinheiro Supervisão Editorial José Diogo Rodrigo Bernadelli Marcelo Moraes Copyright Olimpo0 A Resolução Comentada das provas do IME poderá ser obtida diretamente no OLIMPO Pré-Vestibular, ou pelo telefone () As escolhas que você fez nessa prova, assim como outras escolhas na vida, dependem de conhecimentos, competências, conhecimentos e habilidades específicos. Esteja preparado.

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